材料力学第6章
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材料力学 第6章 连接件的实用计算
故销钉安全
6.2 连接件的实用计算
D
思考题
(1)销钉的剪切面面积 A
h
(2)销钉的挤压面面积 AbS
d
F
6.2 连接件的实用计算
D
挤压面
思考题
(1)销钉的剪切面面积 A
h
(2)销钉的挤压面面积 AbS
A = πdh
d
剪切面
π(D2 - d2)
F
Abs =
4
挤压面
6.2 连接件的实用计算
冲床的最大冲压力F=400kN，冲头材料的许用压应力[]=440MPa，钢板的
对错动。
F
5. 连接处的破坏形式
6.1 引言
一、基本概念和实例
5. 连接处的破坏形式
FS n
(1)剪切破坏 连接件沿剪切面的剪断
(2)挤压破坏 连接件与被连接件在
相互接触面上因挤压 挤压面
而使连接松动，发生 破坏。
(3)拉伸破坏 被连接件在受连接件 处削弱的截面处，应 力增大，易在连接处 拉断。
F n
挤压面和挤压力为：
F AQ
b
仰视图
Abs
Fbs
F ：切应力和挤压应力
τ Fs F 40 107 0.952MPa
AQ bh 12 35
F
σbs
=
Fbs Abs
=
F cb
=
40 ×107 4.5×12
=
7.4MPa
6.2 连接件的实用计算
例6-2 齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm， 键的尺寸为b×h×L=20
2. 工程实例
(1) 螺栓连接
可拆卸
M
特点：可传递一般力
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
材料力学第六章
§6-1 一、多跨静定梁 3．求解变形：
其它平面弯曲构件的内力与变形
1)宜采用叠加法；
2)先求主梁的变形： 在自身载荷及中间铰处次梁作用力的共同作用 下变形。
3)再求次梁的变形： 主梁变形引起次梁的刚性转动；
简化成简支梁或外伸梁的次梁在自身载荷作用 下的变形；
§6-1
其它平面弯曲构件的内力与变形
a
Fz
B
a
Fy y
10
解：外力沿形心主轴分解： F F y F cosa A点最大拉应力(B点最大压应力) F F sina z F y l | y A | Fz l | z A | sA 60.7 MPa Iz Iy
§6-4
开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
一、产生平面弯曲的条件
)
F
§6-1
a A
F B
其它平面弯曲构件的内力与变形
y
x Fa A B
b
C
F
C
例6-3 作图示刚架内力图，并求A截面的 转角、水平和铅垂位移(抗弯刚度为EI)。 2)求A点转角、水平和铅垂位移： 再将AB刚化，BC解除刚化，F由 A点简化到B点 Fab q B " ( ) EI 2 在B点产生qB"、 Fab xB"为 x B " ( ) 2 EI BC变形引 q A " q B " Fab ( ) EI 2 起A点刚性 Fab ( ) 转动产生的 x A " x B " 2 EI2 qA"、xA"、 Fa b y A " q B "a ( ) yA " EI
y、z为形心主轴，F平行y轴，通过弯心A； Fx 0 ：FN 2 FN1 t 'tdx 0 * * * * F S M z dMM ( M d M ) S M S d M S z z z z zz z z z z Qy FN 2 y d A s d A y d A t t ' 1 A AA I z I z dx I z t I zII t zz
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
材料力学第六章 应力状态理论和强度理论
单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为： 单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态（空间应力状态） 、三向应力状态（空间应力状态） 定义：三个主应力均不为零。 定义：三个主应力均不为零。 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点 的单元体 的单元体， 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体， 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明， 前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度 如果危险点既有正应力，又有切应力， 条件？ 条件？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素： 一点的应力状态的四要素： ）、应力作用点的坐标 （1）、应力作用点的坐标； ）、应力作用点的坐标； ）、过该点所截截面的方位 （2）、过该点所截截面的方位； ）、过该点所截截面的方位； ）、应力的大小 （3）、应力的大小； ）、应力的大小； ）、应力的类型 （4）、应力的类型。 ）、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， ）、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单， 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。
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整体变形-微段变形累加的结果
x •拉压杆 杆长为l
•有限长杆子两端部相对变形
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
整体变形 -微段变形累加的结果
x
扭转杆 •杆长为l
•有限长圆轴两端部相对扭转角
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
整体变形 -弯曲变形
•弯曲梁变形基本的特征:
弹性范围加载
梁的轴线变成 光滑连续曲线
各个力偶和集中力作用的结果叠加
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
弯矩方程的奇异函数表示
单个力偶作用的情形 x坐标,正方向从左指向右
S
A
•第i个力偶Mi 作用于x=ai处 •考虑xai, xai内力弯矩
M ( M i ) M i x ai
•仅考虑左段的平衡
0
第10章 弹性杆件位移分析
BC段
F x P EI
F wx P EI
3 1 3 1 l 7 2 l x x x 6 4 128 8
加力点B处的挠度(x=l/4)和支承处A(x=0)和C(x=l) 的转角分别为
3 FP l 3 wB 256 EI
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
整体变形
O
转角 ：截面绕中性轴转角 定义角 1:挠曲线切线与x轴夹角.
P
a
dw t an1 1 dx 由 1 dw dx
梁弯曲变形后任一截面的位移： •可以用w,dw/dx描述
•需要确定挠度和转角的函数表达式
讨论:位移与约束的关系
•BC处为轴承支座,A 端为齿轮, 齿轮重量可 •看作外力，大小Fp
B
避免过度弹性变形发生, 需要了解 位移分布，为刚度设计奠定基础
•位移分析
刚度设计
目的：就是根据零件和构件的不同工艺 要求，将最大的位移限制在一定范围内
弹性体位移与弹性杆件的位移区别
•弹性体(弹力)：受力变形后,一点位置 的改变. •弹性杆件(材力)：横截面的位移
xa
n
0
( x a)
( x a)
n
( x a)
幂函数
•奇异函数图形
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数图形 •0阶奇异函数
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数图形 •1阶奇异函数
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数图形 •2阶奇异函数
3 2 2
1
1
第10章 弹性杆件位移分析
确定梁位移的积分方法
小挠度情形下
d2w dx 2 dw 1 dx
2
dw 1 dx
2
1
y
3
2
d2w M 2 EI dx
此即弹性挠曲线的小挠度微分方程
d2w M 2 EI dx
奇异函数的应用
弯矩方程的奇异函数表示
单个集中力作用的情形 •x坐标,正方向从左指向右 j
A
S
•第j个集中力FPj 作用于x=bj处
•考虑x bj, xbj内力弯矩
M ( FP j ) FP j x b j
1
若杆子上有
•m(1im)个力偶,n(1 j n)个集中力共同 作用, 弯矩方程如何用奇异函数表示?
•问题:仅仅已知梁变形是否可确定 梁位移？
•三种情况梁:
AB段弯矩相同，AB段长度相同，EI相同
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
没有约束无法确定绝对位移
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
约束对位移的影响
•AB段弯矩为 x
Fp a
w
•AB段位移为正:W>0
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
C
第10章 弹性杆件位移分析
确定梁位移的奇异方法
奇异函数法在求解梁位移中的应用
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数的定义 奇异函数图形 奇异函数微分和积分 奇异函数法求解梁位移中的应用
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
n阶奇异函数定义（Singular Function）
7 C1＝C2 FPl 2 128
x
FP 3 2 7 2 x l EI 8 128
AB段
wx
FP 1 3 7 2 l x x EI 8 128
2 3 2 1 l 7 2 l x x 8 2 4 128
奇异函数的应用
例题2
已知：FP、EI、l
用奇异函数确定加力点的挠度和支承处的转角
关键:弯矩方程用奇异函数表示 •首先建立坐标系 •求支反力 •标出梁的受力 •列弯矩方程
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
例题2
（1）弯矩方程（只需考虑左端约束力3FP/4 和载荷FP)
3 1 l M ( x) FP x 0 FP x 4 4
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
弯矩方程的奇异函数表示
一般情形: m个力偶和n个集中力共同作用 n m 1 0 M ( x ) M i x ai FP j x b j j 1 i 1
•叠加:各载荷单独作用下引起的奇异函数表示 的弯矩进行代数值相加
第10章 弹性杆件位移分析
•弯曲梁弯矩方程如何用奇异函数表示
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
M1
FP1
FP2
Mm
M2
……
……
FPn
•m(1im)个集中力偶,n(1 j n)个集中力,
i为集中力偶的下标,j为集中力的下标
•弯矩方程如何用奇异函数表示?
--弯矩用奇异函数表示
总体思路:
每个力偶单独作用的结果
每个集中力单独作用的结果
建立x-w坐标系, AB和BC两段的弯矩方程分别为
AB段
BC段
3 M 1 x FP x 4
0 x
l 4 l x l 4
3 l M 2 x FP x－FP x－ 4 4
3将弯矩表达式代入小挠度微分方程
基本概念
微段变形（拉压,扭转,弯曲） 整体变形（拉压,扭转,弯曲）
•为什么要研究微段的变形? •因为杆件的内力一般不是均匀的，选择 微段使问题简化； •是研究整体变形的基础
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
微段变形：拉压杆
•微元两截面的相对伸长
dx+dux
•EA为拉压刚度
第10章 弹性杆件位移分析
•正负号如何确定?
第10章 弹性杆件位移分析
确定梁ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ移的积分方法
d2w M 0, 2 0 dx
d2w M 0, 2 0 dx
d w M 2 EI dx
2
d w M 2 EI dx
2
d2w M 2 EI dx
应用积分法
dw M( x ) dx C dx EI M( x ) w ( dx ) Cx D EI
1
(0 x l )
上式可简化
M ( x)
3 FP x 0 4
1
l FP x 4
1
(0 x l )
可简化为
M ( x)
l 3 F x FP x P 4 4
1
(0 x l )
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
例题2
（2）挠度微分方程
A
B
D
Fp a
M
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
约束对位移的影响
•AB段弯矩为
Fp a
x
w
•AB段位移为负:W<0
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
C
A
B
Fp a
M
•归纳一下三种情况: •弯矩相同,变形相同,但位移不相同(?).
•约束条件
结论：梁的挠度不仅与梁变形有关而且 与约束有关.即使变形相同,不同约束 导致的位移是不同. •约束对位移起关键作用。
分析下列弹性杆件有哪些位移？ •拉压杆 •圆截面扭转杆 •弯曲梁
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念(微段变形和整体变形) 确定梁位移的积分方法 奇异函数求解梁位移的应用 工程中的叠加方法 简单的超静定问题 结论与讨论
第10章 弹性杆件位移分析
基本概念
第10章 弹性杆件位移分析
积分常数的确定：根据约束条件.
约束条件：指约束对于挠度和转角的限制.
•在固定端，约束条件为挠度和转角都等于 零，w=0,=0. •在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为 w=0。
积分法例题1
已知：简支梁受力如 图示。FP、EI、l均为 已知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
1． 确定梁约束力 2． 分段建立梁的弯矩方程
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数的微分和积分
d xa dx
n
0
( x a)
n 1
n( x a)
( x a)
第10章 弹性杆件位移分析
奇异函数的应用
奇异函数的积分
x a dx
n
0
( x a)
1 n 1 ( x a) C n 1 ( x a)
3 EI 1 FP x 2 C1 8 1 EIw1 FP x 3 C1 x D1 8