材料力学 第六章
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
返回 下一张 上一张 小结
第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
返回 下一张 上一张 小结
六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 第6章 连接件的实用计算
故销钉安全
6.2 连接件的实用计算
D
思考题
(1)销钉的剪切面面积 A
h
(2)销钉的挤压面面积 AbS
d
F
6.2 连接件的实用计算
D
挤压面
思考题
(1)销钉的剪切面面积 A
h
(2)销钉的挤压面面积 AbS
A = πdh
d
剪切面
π(D2 - d2)
F
Abs =
4
挤压面
6.2 连接件的实用计算
冲床的最大冲压力F=400kN，冲头材料的许用压应力[]=440MPa，钢板的
对错动。
F
5. 连接处的破坏形式
6.1 引言
一、基本概念和实例
5. 连接处的破坏形式
FS n
(1)剪切破坏 连接件沿剪切面的剪断
(2)挤压破坏 连接件与被连接件在
相互接触面上因挤压 挤压面
而使连接松动，发生 破坏。
(3)拉伸破坏 被连接件在受连接件 处削弱的截面处，应 力增大，易在连接处 拉断。
F n
挤压面和挤压力为：
F AQ
b
仰视图
Abs
Fbs
F ：切应力和挤压应力
τ Fs F 40 107 0.952MPa
AQ bh 12 35
F
σbs
=
Fbs Abs
=
F cb
=
40 ×107 4.5×12
=
7.4MPa
6.2 连接件的实用计算
例6-2 齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm， 键的尺寸为b×h×L=20
2. 工程实例
(1) 螺栓连接
可拆卸
M
特点：可传递一般力
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
材料力学-第六章
第15单元第六章 弯曲变形§6-1 引言应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。
挠度()y x ： 横截面形心的位移 转角()θx ：横截面绕中性轴的转角挠曲轴方程：()y y x = (挠曲轴的解析表达式)()tg dy dxy x θ=='()θθ≈='tg y x(通常θ<︒1=0.01745弧度)§6-2 梁变形基本方程目的：求()y x ，()()[]θx y x =' 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程1.中性层曲率表示的弯曲变形公式()1ρ=M x EI(其中M 可以通过弯矩方程表示为x 的函数，ρ为曲率半径，它可由'y 和''y 表示) 2.由数学()11232ρ=±''+'y y3.挠曲轴微分方程()()±''+'=y y M x EI1232(1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形，()'≈<y θ0.0175(弧度)'<<y 21112+'≈y ((1)式分母等于1)正负号确定——确定坐标系：y 向上''>y 0(从数学) ''<y 0M >0(本书规定) M <⇒选正号()∴''=y M x EI二、积分法计算梁的变形()θ='=+⎰y M x EI dx C()y M x EIdx Cx D =++⎰⎰C 、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
三、位移边界与连续条件边界条件：固定端 y A A ==00,θ 固定铰，活动铰 0,0==F E y y 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左右左右===00θθy y y y B BG G G G 左右左右左右===θθ例1：()M x M =0，()''=y x M EI 0()()θ='=+y x M EI x C 0()y x M EIx Cx D =++022由()()y D y C 00000=='==()()∴==y x M EIxx M EIx022θ例2：求挠曲轴微分方程AB 段： BC 段''=y M EI x l 10 ''=-⎛⎝ ⎫⎭⎪y M EI x l201y M EI x lC xD =++03116 y M EI x l x C x D =-⎛⎝ ⎫⎭⎪++0322262边界和连续条件()y 100= ()y l 20=y l y l 1222⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪(连续条件)'⎛⎝ ⎫⎭⎪='⎛⎝ ⎫⎭⎪y l y l 1222 (光滑条件)四个方程定4个常数()()y x M x lEI x l 1022244=- ()()y x M x l EIl2024=-例3：1.画剪力弯矩图2.列挠曲线的位移和连续条件3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 A ：()y 100= B:()()()()a y a y a y a y 2121'='=,C:()()020232==a y a y ,()()a y a y 2232'=' D:无挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性， +→⋃-→⋂,(2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移§6-3 计算梁位移的奇异函数法奇异函数法仍属积分法。
材料力学第六章
§6-1 一、多跨静定梁 3．求解变形：
其它平面弯曲构件的内力与变形
1)宜采用叠加法；
2)先求主梁的变形： 在自身载荷及中间铰处次梁作用力的共同作用 下变形。
3)再求次梁的变形： 主梁变形引起次梁的刚性转动；
简化成简支梁或外伸梁的次梁在自身载荷作用 下的变形；
§6-1
其它平面弯曲构件的内力与变形
a
Fz
B
a
Fy y
10
解：外力沿形心主轴分解： F F y F cosa A点最大拉应力(B点最大压应力) F F sina z F y l | y A | Fz l | z A | sA 60.7 MPa Iz Iy
§6-4
开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
一、产生平面弯曲的条件
)
F
§6-1
a A
F B
其它平面弯曲构件的内力与变形
y
x Fa A B
b
C
F
C
例6-3 作图示刚架内力图，并求A截面的 转角、水平和铅垂位移(抗弯刚度为EI)。 2)求A点转角、水平和铅垂位移： 再将AB刚化，BC解除刚化，F由 A点简化到B点 Fab q B " ( ) EI 2 在B点产生qB"、 Fab xB"为 x B " ( ) 2 EI BC变形引 q A " q B " Fab ( ) EI 2 起A点刚性 Fab ( ) 转动产生的 x A " x B " 2 EI2 qA"、xA"、 Fa b y A " q B "a ( ) yA " EI
y、z为形心主轴，F平行y轴，通过弯心A； Fx 0 ：FN 2 FN1 t 'tdx 0 * * * * F S M z dMM ( M d M ) S M S d M S z z z z zz z z z z Qy FN 2 y d A s d A y d A t t ' 1 A AA I z I z dx I z t I zII t zz
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6-1试作图示等直杆的轴力图。
解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。
因为固定端不能移动，故变形协调条件为：
故
故
返回
6-2图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分
别为，和。
试求各杆的轴力。
解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。
此时各杆的变形及如图所示。
现求它们之
间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。
即：
亦即：
将，，代入，
得：
即：
亦即：
（1）
此即补充方程。
与上述变形对应的内力如图所示。
根据节点A的平衡条件有：
；
亦即：（2）
；，
亦
即：
（3）
联解（1）、（2）、（3）三式得：
（拉）
（拉）
（压）
返回
6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。
如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。
解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：
变形协调条件：
补充方程：
求解上述三个方程得：
返回
6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF
使该刚性杆处于水平位置，如图所示。
如已知，两根钢杆的横截面面
积，试求两杆的轴力和应力。
解：，
（1）
又由变形几何关系得知：
，（2）
联解式（1），（2），得，
故，
返回
6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。
已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。
试求短木柱的许可荷载。
解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：
（1）
由木柱与角钢间的变形相容条件，有
（2）
由物理关系：
（3）
式（3）代入式（2），得
（4）
解得：
代入式（1），得：
（2）许可载荷
由角钢强度条件
由木柱强度条件：
故许可载荷为：
返回
6-6(6-9)图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离。
已知上、下两段杆的横截面面积分别为和，材料的弹性模量。
试作图示荷载作用下杆的轴力图。
解：变形协调条件
故
故，
返回
6-7(6-10)两端固定的阶梯状杆如图所示。
已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆材料的弹性模量为，线膨胀系数
℃-1。
试求当温度升高℃后，该杆各
部分产生的应力。
解：设轴力为，总伸长为零，故
==
返回
6-8(6-11)图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩。
若，试求固定端的支反力偶矩，并作扭矩图。
解：解除B端多余约束，则变形协调条件为
即
故：
即：
解得：
由于
故
返回
6-9(6-13)一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。
两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个角。
现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。
在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。
试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知管A和
杆B的极惯性矩分别为；两杆的材料相同，其切变模量为G。
解：解除Ⅱ端约束，则Ⅱ端相对于截面C转了角，（因为事先将杆B的C端扭了一个角），故变形协调条件为=0
故：
故：
故连接处截面C，相对于固定端Ⅱ的扭转角为：
=
而连接处截面C，相对于固定端I的扭转角为：
=
应变能
=
=
返回
6-10(6-15)试求图示各超静定梁的支反力。
解（a）：原梁AB是超静定的，当去掉多余的约束
铰支座B时，得到可静定求解的基本系统（图i）
去掉多余约束而代之以反力，并根据原来约束条件，令B点的挠度，则得
到原超静定梁的相当系统（图ii）。
利用的位移条件，得补充方程：
由此得：
由静力平衡，求得支反力，为：
剪力图、弯矩图分别如图（iii），（iv）所示。
梁的挠曲线形状如图（v）所示。
这里遵循这样几个原则：
（1）固定端截面挠度，转角均为零；
（2）铰支座处截面挠度为零；
（3）正弯矩时，挠曲线下凹，负弯矩时，挠曲线上凸；
（4）弯矩为零的截面，是挠曲线的拐点位置。
（b）解：由相当系统（图ii）中的位移条件，得补充方程式：
因此得支反力：
根据静力平衡，求得支反力：
,
剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（iii）、（iv）、
（v）所示。
（c）解：由于结构、荷载对称，因此得支反力
；
应用相当系统的位移条件，得补充方程式：
注意到，于是得：
=
剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图（iii）、（iv）、
（v）所示。
其中：
若截面的弯矩为零，则有：
整理：
解得：或。
返回
6-11(6-16)荷载F作用在梁AB及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。
已知其跨长比和刚度比分别为
解：令梁在连接处受力为，则梁AB、CD受力如图（b）所示。
梁AB 截面B的挠度为：
梁CD 截面C的挠度为：
由于在铅垂方向截面B与C连成一体，因此有。
将有关式子代入得：
变换成：
即：
解得每个梁在连接处受力：
返回
6-12(6-18)图示结构中梁AB和梁CD的尺寸及材料均相同，已知EI为常量。
试绘出梁CD的剪力图和弯矩图。
解：由EF为刚性杆得
即
图（b）：由对称性，
剪力图如图（c）所示，
弯矩图如图（d）所示，
返回
6-13(6-21)梁AB的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度时，试确定梁的约束反力。
解：当去掉梁的A端约束时，得一悬臂梁的基本系统（图a）。
对去掉的约束代之以反力和，并限定A截面的位移：。
这样得到原结构
的相当系统（图b）。
利用位移条件，，与附录（Ⅳ）得补充式方程如下：
（1）
（2）
由式（1）、（2）联解，得：
从静力平衡，进而求得反力是：。