高一数学复习训练：章末知识整合苏教版必修
苏教版高中数学同步辅导与检测：必修5章末知识整合
章末知识整合[整合·网络构建]专题1利用正弦、余弦定理解三角形[典例1]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－2a sin C＝b sin B.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.分析：(1)由已知等式的特点，利用正弦定理把已知等式转化为边之间的关系，然后再结合余弦定理求解．(2)由(1)知两角和一角的对边，利用正弦定理求解．解：(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.故cos B＝22，因此B＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ 2＋64. 故a ＝b ·sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ·sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 归纳拓展解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .[变式训练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值． 解：由题意得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因此A ＝60°. 在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B .由已知条件可得：12＋3＝cb＝sin Csin B＝sin（120°－B）sin B＝sin 120°cos B－cos 120°sin Bsin B＝32tan B＋1 2，从而tan B＝1 2.专题2三角形形状的判断[典例2]在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理，可得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，所以A＝120°.(2)法一：由(1)知B＋C＝60°，B＝60°－C，由sin B＋sin C＝1，得sin(60°－C)＋sin C＝1，即sin 60°cos C－cos 60°sin C＋sin C＝1，即sin(C＋60°)＝1，而0°＜C＜60°，所以C＝30°.故B＝30°，所以△ABC为等腰钝角三角形．法二：由(1)b2＋c2＋bc＝a2得sin2B＋sin2C＋sin B sin C＝sin2A，即(sin B＋sin C)2－sin B sin C＝3 4，所以sin B sin C ＝14. 与sin B ＋sin C ＝1联立，解得sin B ＝sin C ＝12， 而0°＜B ，C ＜60°，所以B ＝C .所以△ABC 为等腰钝角三角形．归纳拓展要注意正弦的多值性，否则可能漏解．另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角函数方法求解．在解三角形时的常用结论有：(1)在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2，则cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C 2. (3)在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2⇔C >π2，a 2＋b 2＝c 2⇔C ＝π2，a 2＋b 2>c 2⇔0<C <π2. [变式训练]2．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． 解：法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C .因为B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.则A ＝120°－C ，代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ，整理得32sin C ＋12cos C ＝1. 所以sin(C ＋30°)＝1，所以C ＋30°＝90°，所以C ＝60°.故A ＝60°.所以△ABC 为正三角形．法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为B ＝60°，b ＝a ＋c 2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°. 整理，得(a －c )2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c .所以△ABC 为正三角形．专题3 求三角形的面积[典例3] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B＝2c －a b . (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S . 分析：(1)利用正弦定理将已知等式左边化成角，进而化简整理等式可求解；(2)利用余弦定理及(1)的结论先求出边c ，再求面积．解：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B，所以cos A－2cos Ccos B＝2sin C－sin Asin B，即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.因此sin Csin A＝2.(2)由sin Csin A＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B及cos B＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2·14，解得a＝1.从而c＝2.又因为cos B＝14，且0<B<π，所以sin B＝15 4.因此S＝12ac sin B＝12×1×2×154＝154.归纳拓展三角形面积公式：S△＝12ah a＝12bc sin A＝abc4R＝pr＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中A，B，C分别为△ABC的边a，b，c的对角，R，r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，p＝12(a＋b＋c)．[变式训练]3．在△ABC中，已知a＝3，cos A＝78，且b2－bc－2c2＝0.(1)求b，c的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)由b2－bc－2c2＝0得(b＋c)(b－2c)＝0，即b ＝2c ，再由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得3＝(2c )2＋c 2－2×2c 2·78，解得c ＝2，b ＝2 2.(2)因为cos A ＝78，所以sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×22×2×158＝154. 题型4 正弦、余弦定理的应用[典例4] 已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？分析：由题意画出图形，把实际问题转化为数学问题，用解三角形的方法解决．解：如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202(海里)，∠ABC ＝90°－75°＝15°，∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°.由正弦定理，得AC sin 15°＝BC sin 45°， 所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)． 故A 到航线的距离为AD ＝AC sin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．归纳拓展应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等．(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[变式训练]4．2009年国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图所示，在坡度为 15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排距离为106米，求旗杆的高度．解：设旗杆的高度为x 米，∠ABC ＝105°，∠CAB ＝45°， 所以∠ACB ＝30°.根据正弦定理可知BC sin 45°＝106sin 30°， 即BC ＝20 3.所以旗杆高度x ＝BC sin 60°＝203×32＝30(米)． 故旗杆的高度为30米．。
高中数学不等式章末知识整合苏教版必修5
【金版学案】2016-2017学年高中数学 第3章 不等式章末知识整合苏教版必修5[整合·网络构建]专题1 转化与化归思想的应用[典例1] 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．分析：“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等．解：法一(看成函数的值域)： 因为ab ＝a ＋b ＋3，所以b ＝a ＋3a －1(显然a ≠1)，且a ＞1. 所以ab ＝a ·a ＋3a －1＝（a －1）2＋5（a －1）＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9，当且仅当a －1＝4a －1， 即a ＝3时取等号． 又a ＞3时，(a －1)＋4a －1＋5单调递增， 所以ab 的取值范围是[9，＋∞)． 法二(看成不等式的解集)：因为a ，b 为正数，所以a ＋b ≥2ab . 又ab ＝a ＋b ＋3， 所以ab ≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0. 解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，所以ab ≥9，即ab 的取值范围是[9，＋∞)． 法三：若设ab ＝t ， 则a ＋b ＝t －3，所以a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（t －3）2－4t ≥0，a ＋b ＝t －3＞0，ab ＝t ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤1或t ≥9，t ＞3，t ＞0，解得t ≥9，即ab ≥9， 所以ab 的取值范围是[9，＋∞)．归纳拓展不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．[变式训练]1．如果关于x 的不等式2x 2＋2mx ＋m 4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为4x 2＋6x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0恒成立，从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3(x ∈R)．即2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )＞0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(6－2m )2－4×2(3－m )＝4(m －1)·(m －3)＜0，解得1＜m ＜3.答案：(1，3)2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a的取值范围．解：法一：在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，而y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在定义域内单调递增， 所以当x ＝1时，y min ＝3＋a .于是当y min ＝3＋a >0时，不等式f (x )>0恒成立， 故a >－3.法二：f (x )＝x ＋a x＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )单调递增，故当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故－3<a <0.综上可得实数a 的取值范围是a >－3.专题2 函数与方程思想的应用[典例2] 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，如果M ⊆[1，4]，求实数a 的取值范围．解：M ⊆[1，4]有两种情况：其一是M ＝∅，此时Δ<0；其二是M ≠∅，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a 的取值范围．设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，则有Δ＝(－2a )2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)， (1)当Δ<0时，－1<a <2，M ＝∅⊆[1，4]；(2)当Δ＝0时，a ＝－1或2. 当a ＝－1时，M ＝{－1}[1，4]． 当a ＝2时 ，M ＝{2}⊆[1，4]； (3)当Δ>0时，a <－1或a >2. 设方程f (x )＝0的两根x 1，x 2， 且x 1<x 2，那么M ＝[x 1，x 2]，M ⊆[1，4]⇔1≤x 1≤x 2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （1）>0，且f （4）>0，1≤a ≤4，且Δ>0.即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3>0，18－7a >0，1≤a ≤4，a <－1或a >2.解得2<a <187，所以M ⊆[1，4]时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，187.归纳拓展函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决．方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决．函数与方程二者密不可分，如函数解析式y ＝f (x )也可看作方程．函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等．函数与方程思想体现了静与动，变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一．具体包括：(1)利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况，讨论不等式的取值情况．(2)利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实际中的应用．(3)利用方程解决有关函数的问题．函数、方程、不等式三者密不可分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑．在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解．如f (x )＞a 恒成立等价于f (x )min ＞a .[变式训练]3．求证：sin 2x ＋4sin 2 x≥5.证明：设sin 2x ＝t ，原式变形为f (t )＝t ＋4t，则f (t )在t ∈(0，1]时为单调递减函数． 因为0＜sin 2x ≤1， 所以当sin 2 x ＝1.即t ＝1时，f (t )有最小值，f (t )min ＝5. 所以f (t )＝t ＋4t ≥5，即sin 2x ＋4sin 2x≥5. 4．定义在(－1，1)上的奇函数f (x )在整个定义域上是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：由f (1－a )＋f (1－a 2)＜0得f (1－a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，1－a ＞a 2－1，－1＜1－a 2＜1⇒0＜a ＜1.所以a 的取值范围是(0，1)．专题3 分类讨论思想的应用[典例3] 解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0(a ∈R)．分析：先将不等式左边分解因式，然后对两根的大小比较，分类求解不等式． 解：原不等式转化为(x －2a )(x ＋a )<0. 对应的一元二次方程的根为x 1＝2a ，x 2＝－a . (1)当a >0时，x 1>x 2，不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)当a ＝0时，原不等式化为x 2<0，无解； (3)当a <0时，x 1<x 2，不等式的解集为{x |2a <x <－a }． 综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；a ＝0时，x ∈∅； 当a <0时，{x |2a <x <－a }．归纳拓展分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．在解答数学题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决．这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体上的解决．通俗一点说，就是“化整为零，各个击破”，这种处理数学问题的思想，就是“分类讨论”的思想，分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用．分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象，确定对象的范围．(2)确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏． (3)逐类讨论，获得阶段性结果． (4)归纳总结，得出结论． [变式训练]5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立．当a －2≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4（a －2）2－4（a －2）（－4）<0. 解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为－2<a ≤2.6．求函数y ＝2－3x －4x的最值．解：显然x ≠0.①当x >0时，y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ，令y 1＝3x ＋4x ，因为x >0，所以3x >0，4x>0.故y 1＝3x ＋4x≥2 3x ·4x＝4 3.当且仅当3x ＝4x ，即x ＝23(负值舍去)时，取等号，所以(y 1)min ＝43，当y 1取最小值时，y 取最大值．所以当x ＝23时，y max ＝2－4 3.②当x <0时，y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ，令y 2＝3x ＋4x，则－y 2＝(－3x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x .因为x <0，所以－3x >0，－4x>0.故－y 2≥2（－3x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝43，即y 2≤－43，当且仅当－3x ＝－4x ，即x ＝－23(正值舍去)时，取等号所以(y 2)max ＝－43，当y 2取最大值时，y 取最小值． 题型4 数形结合思想的应用[典例4] 求使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围．分析：因不等式左边为对数式，右边为整式，故不可解，所以可借助函数图象求解． 解：如右图所示，在同一平面直角坐标系中作出函数y 1＝log 2(－x )，y 2＝x ＋1的图象，易知两图象交于点(－1，0)．显然y 1＜y 2的x 的取值范围是(－1，0)．归纳拓展数形结合就是把数学关系的精确刻画(代数关系)与几何图形的直观形象有机结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，可以用数形结合的思想寻找解题思路，具体体现为：(1)由数化形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反映出它们的数量关系，从而解决问题．(2)由形化数，借助于图形，通过观察研究，得出图形中蕴含的数量关系，反映出事物的本质特征．(3)数形转换，化抽象为直观，化难为易． [变式训练]7．已知f (x )是定义域R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．解析：作出y ＝f (x )的图象如图所示，f (5)＝f (－5)＝5.所以|x ＋2|＜5，即－7＜x ＜3.答案：(－7，3)8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且－1≤f (－1)≤0，2≤f (1)≤4，求b ＋1a ＋2的取值范围． 解：由－1≤f (－1)≤0，2≤f (1)≤4， 可得－1≤a －b ≤0，2≤a ＋b ≤4.求b ＋1a ＋2的取值范围即是求经过 点(a ，b )和点(－2，－1)的直线的斜率的范围． 关于a ，b 构成的平面区域如图所示， 根据图象可以得到b ＋1a ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1.。
【2020】最新苏教版高中数学苏教版必修一学案：章末复习课3
跟踪训练4 已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(xБайду номын сангаас的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝__________.
解析 显然f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，由条件可知f(1)·f(2)＜0，
即(2－2－a)(4－1－a)＜0，
即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.
例4 (，)
解析 ∵f(x)是R上的单调增函数且图象是连续的，且f(0)＝e0＋4×0－3＜0，f(1)＝e＋4－3＞0，∴f(x)在(0,1)内有唯一零点．f()＝＋4×－3＝－1＞0，f()＝＋4×－3＝－2＜0，
当堂训练
1．3
解析 设a＝x，则a＝x，
又＝，∴＝2，即＝2，
∴x＝2，解得x＝3.
2．④
3．2
解析 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝的图象(图略)，易知有2个交点．
4．(log32,1) 5.2
例3 x1＜x2＜x3
解析 令x＋2x＝0，得2x＝－x；
令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；
在同一坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，如图可知x1＜0＜x2＜1.
令h(x)＝x－－1＝0，
则()2－－1＝0，
所以＝，即x3＝()2＞1.
所以x1＜x2＜x3.
跟踪训练3 (0,3)
跟踪训练1 已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)．
高中数学不等式章末知识整合苏教版必修5
【金版教课方案】 2016-2017 学年高中数学第 3 章不等式章末知识整合苏教版必修 5[ 整合·网络成立]专题 1转变与化归思想的应用[ 典例 1]若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．解析：“范围”问题是数学中的常有问题，一般可将“范围”看作函数定义域、值域，或看作不等式的解集等．解：法一 ( 看作函数的值域) ：a＋3因为＝＋＋ 3，所以b＝( 明显a≠1) ，且＞ 1.ab a b a－1a所以 ab＝a·a＋3（ a－1）2＋ 5（a－1）＋ 44a－1＝a－1＝ ( a－ 1) ＋＋5≥9，当且仅当a－1a－14＝a－1，即 a＝3时取等号．4又 a＞3时，( a－1)＋a－1＋5单调递加，所以 ab 的取值范围是[9，＋∞)．法二 ( 看作不等式的解集 ) ：因为 a， b 为正数，所以a＋ b≥2 ab.又 ab＝ a＋ b＋3，所以 ab≥2 ab＋3，即 ( ab) 2－ 2 ab－3≥0.解得ab≥3或ab≤－1(舍去)，所以 ab≥9，即 ab 的取值范围是[9，＋∞)．法三：若设ab＝ t ，则 a＋b＝ t －3，2所以 a， b 可看作方程x －( t －3) x＋ t ＝0的两个正根．从而有a＋ b＝ t －3＞0，ab＝ t ＞0，t≤1或t≥9，即 t ＞3，解得t ≥ ，即≥ ，9ab 9t＞ 0，所以 ab 的取值范围是[9，＋∞)．归纳拓展不等与相等是相对的，在必定条件下能够相互转变．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转变的过程．无论哪一各种类的不等式，其求解思路都是经过等价转变，把它们最终究结为一元一次不等式( 组) 或一元二次不等式( 组 ) 的求解．因为不等式的解集一般是无量集，所以不等式非等价变换产生的增根或失根是没法由检验而予以剔除或补充的，这就必定要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这类变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．[ 变式训练 ]2x2＋2mx＋m1．假如关于x 的不等式4x2＋6x＋3＜1对一的确数x 均成立，则实数m的取值范围是________．2解析：因为4x2＋6x 3＝ 2x＋3＋3＞恒成立，从而原不等式能够利用不等式的基本＋24性质，等价转变成2x2＋2mx＋m＜4x2＋ 6x＋ 3( x∈R)．即 2x2＋ (6 － 2m) x＋ (3 －m) ＞ 0对一的确数x 恒成立，所以＝ (6 －2m) 2－4×2(3 －m)＝4( m－1) ·(m－ 3) ＜ 0，解得 1＜m＜ 3.答案： (1 ， 3)x2＋2x＋a2．已知函数f ( x) ＝x，若对任意x∈[1，＋∞)， f ( x)>0恒成立，试务实数 a 的取值范围．x2＋2x＋a2恒成解：法一：在区间 [1 ，＋∞ ) 上，f ( x) ＝x>0 恒成立，等价于x ＋2x＋ a>0立．设 y＝x2＋2x＋ a，x∈[1，＋∞)，而 y＝x2＋2x＋ a＝( x＋1)2＋ a－1在定义域内单调递加，所以当 x＝1时， y min＝3＋ a.于是当 y min＝3＋ a>0时，不等式 f ( x)>0恒成立，故 a>－3.a法二： f ( x)＝ x＋x＋2， x∈[1，＋∞)，当 a≥0时，函数 f ( x)的值恒为正；当 a<0时，函数 f ( x)单调递加，故当 x＝1时， f ( x)min＝3＋ a，于是当 f ( x)min＝3＋ a>0时，函数 f ( x)>0恒成立，故－ 3<a<0. 综上可得实数a的取值范围是a>－ 3.专题 2函数与方程思想的应用[ 典例 2]设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，假如 M? [1，4]，务实数 a 的取值范围．解： M? [1，4]有两种状况：其一是 M＝?，此时<0；其二是M≠ ?，此时＝0或>0，下边分三种状况计算 a 的取值范围．设 f ( x)＝ x2－2ax＋a＋2，则有＝ ( － 2a) 2－4( a＋ 2) ＝ 4( a2－a－ 2) ，(1) 当<0 时，－ 1<a<2，M＝?? [1，4]；(2)当＝ 0 时，a＝－ 1 或 2.当 a＝－1时， M＝{－1}[1 ，4] ．当 a＝2时， M＝{2} ? [1，4]；(3) 当>0 时，a<－ 1 或a>2.设方程 f ( x)＝0的两根 x1，x2，且 x1<x2，f （1）>0，且 f （4）>0，那么 M＝[ x1， x2]， M? [1，4] ? 1≤ x1≤ x2≤4?1≤a≤ 4，且>0.－a＋3>0，18－ 7a>0，即1≤a≤ 4，a<－1或 a>2.18解得 2<a< 7，所以 M? [1，4]时， a 的取值范围是－ 1，18 7 .归纳拓展函数思想是指用联系变化的看法解析问题，经过函数的形式把问题中的数目关系表示出来，运用函数的看法、图象、性质等对问题加以研究，使问题获取解决．方程思想是指将问题转变成对方程 ( 组 ) 的认识，经过解方程或对方程的议论使问题得以解决．函数与方程两者密不能够分，如函数解析式 y＝ f ( x)也可看作方程．函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等．函数与方程思想表现了静与动，变量与常量的辩证一致，是重要的数学思想方法之一．详尽包含：(1)利用函数图象议论方程解的个数及分布状况，议论不等式的取值状况．(2)利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实质中的应用．(3)利用方程解决有关函数的问题．函数、方程、不等式三者密不能够分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑．在不等式问题中，好多能够从函数的角度进行求解．如 f ( x)＞ a 恒成立等价于 f ( x)min＞ a.[ 变式训练 ]3．求证： sin 24≥ 5.x＋sin2x24证明：设 sin x＝ t ，原式变形为f ( t )＝ t ＋t，则 f ( t )在 t ∈(0，1]时为单调递减函数．因为 0＜ sin 2x≤ 1，所以当 sin 2x＝ 1.即 t ＝1时， f ( t )有最小值， f ( t )min＝5.所以4f ( t )＝ t ＋ t ≥5，即sin24x＋sin 2x≥5.4．定义在( － 1， 1) 上的奇函数 f ( x)在整个定义域上是减函数，且 f (1－ a)＋f (1－ a2)＜0，务实数 a 的取值范围．解：由 f (1－ a)＋ f (1－ a2)＜0得f(1 －a) ＜－f (1 －a2) ＝f ( a2－ 1) ，－ 1＜ 1－a＜ 1，所以1－a＞a2－1，? 0＜a＜ 1.－1＜ 1－a2＜ 1所以 a 的取值范围是(0，1)．专题 3分类议论思想的应用[ 典例 3]解关于x的不等式x2－ ax－2a2<0( a∈R)．解析：先将不等式左侧分解因式，此后对两根的大小比较，分类求解不等式．解：原不等式转变成( x－2a)( x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x 1＝ 2，2＝－a.a x(1)当 a>0时， x1>x2，不等式的解集为 { x| －a<x<2a} ；(2)当＝ 0 时，原不等式化为x2<0，无解；a(3)当 a<0时， x1<x2，不等式的解集为{ x|2 a<x<－a} ．综上所述，原不等式的解集为：当 a>0时，{ x|－ a<x<2a}； a＝0时， x∈?；当 a<0时，{ x|2 a<x<－ a}．归纳拓展分类议论是一种重要的解题策略，分类相当于减小议论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．在解答数学题时，因为好多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性，并且就问题自己来说，也遇到多种条件的交错限制，形成千头万绪的场面，很难从整体上加以解决．这时就从切割下手，把整体区分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体上的解决．平常一点说，就是“化整为零，各个击破”，这类办理数学识题的思想，就是“分类议论”的思想，分类议论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑区分思想在解决数学识题中的详尽运用．分类议论的一般步骤：(1)明确议论对象，确立对象的范围．(2)确立分类标准，进行合理分类，做到不重不漏．(3)逐类议论，获取阶段性结果．(4)归纳总结，得出结论．[ 变式训练 ]5．若不等式 ( a－ 2) x2＋ 2( a－ 2) x－ 4<0 的解集为R，务实数a的取值范围．解：当 a－2＝0，即 a＝2时，原不等式为－4<0，所以a＝ 2 时成立．a－2<0，当 a－2≠0时，由题意得<0，a<2，即4（a－ 2）2－ 4（a－ 2）（－ 4） <0.解得－ 2<a<2.综上所述， a 的取值范围为－2<a≤2.46．求函数y＝2－3x－x的最值．解：明显 x≠0.4①当 x>0时， y＝2－3x＋x，44令 y1＝3x＋x，因为 x>0，所以3x>0，x>0.44故 y1＝3x＋x≥23x·x＝ 4 3.42当且仅当 3x＝，即x＝( 负值舍去 ) 时，取等号，x3所以 ( y1) min＝ 4 3，当 y1取最小值时， y 取最大值．所以当x＝2时，3y max＝2－43.4②当 x<0时， y＝2－3x＋x，44令 y2＝3x＋x，则－ y2＝(－3x)＋－x.4因为 x<0，所以－3x>0，－x>0.4故－ y2≥2（－3x）－x＝43，即 y2≤－43，42当且仅当－ 3x＝－，即x＝－( 正当舍去 ) 时，取等号x3所以 ( y2) max＝－ 4 3，当y2取最大值时，y 取最小值．题型 4数形联合思想的应用[ 典例 4]求使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围．解析：因不等式左侧为对数式，右侧为整式，故不能够解，所以可借助函数图象求解．解：如右图所示，在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝log2(－ x)， y2＝ x＋1的图象，易知两图象交于点( － 1， 0) ．明显y1＜y2的x的取值范围是 ( － 1，0) ．归纳拓展数形联合就是把数学关系的精确刻画( 代数关系 ) 与几何图形的直观形象有机联合起来，从而充分裸露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形联合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，能够用数形联合的思想找寻解题思路，详尽表现为：(1)由数化形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反响出它们的数目关系，从而解决问题．(2)由形化数，借助于图形，经过观察研究，得出图形中包含的数目关系，反响失事物的实质特色．(3) 数形变换，化抽象为直观，化难为易．[ 变式训练]7．已知 f ( x)是定义域R 上的偶函数，当x≥0时， f ( x)＝x2－4x，则不等式 f ( x＋2)＜5 的解集是________．解析：作出y＝f ( x)的图象以以下列图，f (5)＝f (－5)＝5.所以 | x＋ 2| ＜ 5，即－7＜x＜ 3.答案： ( －7， 3)b＋128．已知函数f ( x) ＝ax＋ bx，且－1≤ f (－1)≤0， 2≤f (1)≤ 4，求a＋2的取值范围．解：由－ 1≤f ( －1) ≤0， 2≤f (1) ≤4，可得－ 1≤ －≤0， 2≤＋≤4.a b a bb＋1求a＋2的取值范围即是求经过点 ( a，b) 和点 ( － 2，－ 1) 的直线的斜率的范围．关于 a， b 构成的平面地域以以下列图，＋ 123，1 .依据图象能够获取a＋2的取值范围是。
【步步高】高中数学 第一章章末复习课配套名师课件 苏教版必修1
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
小结 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质， 明确是数集，还是点集等．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
跟踪训练 1 设集合 A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若
A∩B＝∅，则实数 a 的取值范围是___{_a_|_a_≤__0_，__或__a__≥_6_}____．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
跟踪训练 4 设集合 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0， a∈R}，若 A∩B＝B，求 a 的值．
解 由题意得 A＝{－4,0}，因为 A∩B＝B，所以 B⊆A.
当 B＝∅时，即关于 x 的方程 x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0 无实数解，则 Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得 a<－1. 当 B≠∅时，若集合 B 中仅含一个元素，则 Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得 a＝－1，此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}⊆A，即 a＝－1 符合题意．若集合 B 含 有两个元素，则这两个元素是－4,0，即关于 x 的方程 x2＋2(a＋1)x＋a2－1 ＝0 的解是－4,0， 则有－－44＋×00＝＝－a2－2a1＋，1， 解得 a＝1，则 a＝1 符合题意． 综上所述，a＝1 或 a≤－1.
故所求集合为0，13，－12.研一研·题解法、解题更高效章末复习课
小结 (1)在解决两个数集关系问题时，合理运用数轴分析与求解可避 免出错．在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论， 分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问 题的解答． (2)对于两集合 A，B，当 A⊆B 时，不要忽略 A＝∅的情况．
高中数学教师用书第一部分第1章章末小结知识整合与阶段检测课件苏教版必修1
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A＝ B A⊆B A B
三、交集、并集和补集
定义
交集 并集 A∩B＝{x|x∈A且 x∈B}
性质
A∩A＝A，A∩∅＝∅， A∩B⊆A，A∩B⊆B
A∪B＝{x|x∈A或
x∈B}
A∪B＝B∪A，A∪∅＝A，
A⊆A∪B，B⊆A∪B ①A∩(∁UA)＝∅
补集 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
②A∪(∁UA)＝U
元素的特征 ①确定性；②互异性；③无序性 元素与集合
特殊的数集
分类
集合的表示
列举法(适用于有限集和有规律的无限集)
描述法 x∈A，一定有 x∈B，则 A⊆B(B⊇A) 真子集 若 A⊆B 且 A≠B，则 A B(B A) ①A⊆A； ②∅ A(非空)； 性质 ③若 A⊆B，B⊆C，则 A⊆ C； ④若 A B，B C，则 A C 关系
章未 小结 知识 整合 与阶 段检 测
核心要点归纳
阶段质量检测
知识整合与阶段检测
一、集合的含义与表示 集合的含义
一般地，把研究的确定对象称为元素，把一
些元素的总体称作集合 若a属于集合A记作a∈A； 若a不属于集合A，记作a∉A. 自然数集—N，正整数集—N*或N＋ 整数集—Z，有理数集—Q，实数集—R 有限集、无限集和空集
苏教版高中数学必修第一册第1章章末综合提升【授课课件】
综上所述，a，b 的值为ab＝ ＝－1 1， 或ab＝ ＝11， 或ab＝ ＝－0，1.
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类型 3 集合的运算 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算，这是高考对集合部 分的主要考查点，常与不等式、方程等知识交汇考查．若集合是列举 法给出的，在处理有关交、并、补集的运算时常结合 Venn 图处理．若 与不等式(组)组合命题时，一般要借助于数轴求解．解题时要注意各 个端点能否取到．
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类型 2 集合间的关系 集合间的关系主要考查集合与集合之间、元素与集合之间的关 系．解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是什么，是 点集还是数集．根据定义归纳为判断元素与集合间的关系或利用数轴 或 Venn 图表示，进行直观判断．在解决含参数的不等式(或方程)时， 一般对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”．
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(2)由题意知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}． 所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}．
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【例 4】 已知集合 A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且 A ∁ RB，求 a 的取值范围．
[思路点拨] 解答本题的关键是利用 A ∁RB，对 A＝∅与 A≠∅进 行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问 题．
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苏教版学高中数学必修一函数章末复习课讲义
函数值域的求法了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．【例１】求下列函数的值域：（１）y＝错误!；（２）y＝错误!；（３）f（x）＝x＋错误!.思路点拨：（１）用直接法（观察法）；（２）所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；（３）中含有根式，可利用换元法求解．[解] （１）由偶次方根的被开方数为非负数，得２x≥0，即x≥0．所以函数y＝错误!的定义域为[0，＋∞），因此错误!≥0，所以函数y＝错误!的值域为[0，＋∞）．（２）法一（分离系数法）：y＝错误!＝错误!＝２＋错误!.而错误!≠0，所以２＋错误!≠２，因此函数y＝错误!的值域为（—∞，２）∪（２，＋∞）．法二（反解法）：因为分式的分母不能为零，所以x＋３≠0，即x≠—３，所以函数y＝错误!的定义域为{x∈R|x≠—３}．又由y＝错误!，得x＝错误!.而分式的分母不能为零，所以２—y≠0，即y≠２．所以函数y＝错误!的值域为（—∞，２）∪（２，＋∞）．（３）令错误!＝t，则t≥0，x＝错误!＝错误!t２＋错误!，∴y＝错误!t２＋错误!＋t＝错误!错误!错误!—错误!.∵t≥0，∴y≥错误!，∴函数f（x）＝x＋错误!的值域为错误!.常见的求值域的方法１直接法观察法：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数f x＝５x＋１x∈{１，２，３，４}的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f x的值域为{6，１１，１6，２１}.２分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.３反解法：例如求函数y＝错误!的值域.由y＝错误!解出x得x＝错误!.由x＞—４，得错误!＞—４，即错误!＞0，∴y＞错误!或y＜１．故函数y＝错误!的值域为—∞，１∪错误!.４图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.５换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.１．（１）函数f（x）＝错误!则f（x）的最大值与最小值分别为________、________.（２）已知函数f（x）＝—x２＋４x＋a，x∈[0,１]，若f（x）有最小值—２，则f（x）的最大值为________．（１）１0 6 （２）１[（１）f（x）在[１,２]和[—１,１）上分别递增，而且在[１,２]上，f（x）＝f（１）＝8．min在[—１,１]上，f（x）<f（１）＝１＋7＝8，∴f（x）在[—１,２]上单调递增，∴f（x）max＝f（２）＝２×２＋6＝１0，f（x）min＝f（—１）＝—１＋7＝6．（２）f（x）＝—x２＋４x＋a＝—（x—２）２＋a＋４，对称轴为x＝２，∴在[0,１]上，f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝a＝—２，∴f（x）max＝f（１）＝—１＋４＋a＝４—３＝１．]函数性质的应用其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．【例２】函数f（x）＝错误!是定义在（—１,１）上的奇函数，且f 错误!＝错误!.（１）确定函数f（x）的解析式；（２）用定义证明：f（x）在（—１,１）上是增函数；（３）解不等式：f（t—１）＋f（t）<0．思路点拨：（１）（２）分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；（３）利用奇偶性和单调性去掉f ，转化为t的不等式求解．[解] （１）由题意，得错误!即错误!⇒错误!∴f（x）＝错误!，经检验，符合题意．（２）证明：任取x１，x２∈（—１,１）且x１<x２，则f（x２）—f（x１）＝错误!—错误!＝错误!.∵—１<x１<x２<１，∴x２—x１>0,１＋x错误!>0,１＋x错误!>0．又∵—１<x１x２<１，∴１—x１x２>0，∴f（x２）—f（x１）>0，故f（x２）>f（x１），∴f（x）在（—１,１）上是增函数．（３）原不等式可化为f（t—１）<—f（t）＝f（—t）．∵f（x）在（—１,１）上是增函数，∴—１<t—１<—t<１，解得0<t<错误!.故原不等式的解集为错误!.函数单调性与奇偶性应用常见题型１用定义判断或证明单调性和奇偶性.２利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.３利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.４利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.２．设函数f（x）对任意的x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）<0，f （１）＝—２．（１）求证：f（x）是奇函数；（２）在区间[—３,３]上，f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．[解] （１）令x＝y＝0，则有f（0＋0）＝f（0）＋f（0），即f（0）＝２f（0），所以f（0）＝0．令y＝—x，则有0＝f（0）＝f（x）＋f（—x），所以f（x）为奇函数．（２）任取—３≤x１<x２≤３，则x２—x１＝Δx>0．由题意，得f（x２—x１）<0，且f（x１）—f（x２）＝f（x１）—f [x１＋（x２—x１）]＝f（x１）—[f（x１）＋f（x２—x１）]＝—f（x２—x１）>0，即f（x１）>f（x２），所以f（x）在[—３,３]上为减函数．所以函数f（x）在[—３,３]上有最值，最大值为f（—３）＝—f（３）＝—３f（１）＝6，最小值为f（３）＝—f（—３）＝３f（１）＝—6．函数的图象与数形结合思想如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图（作图），知图选式，比较大小，求单调区间，判断根（交点）的个数等．【例３】（１）若函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象分别如图（１）及图（２）所示，则f（x）·g （x）的图象可能是________．（填序号）（２）若方程x２—４|x|＋５＝m有４个互不相等的实数根，则m的取值范围是________．思路点拨：（１）利用函数的奇偶性进行选择；（２）作出函数的图象，观察图象即可．（１）３（２）１<m<５[由f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，可知f（x）·g（x）为奇函数，又x∈（—３,0）时，f（x）>0，g（x）>0，所以f（x）·g（x）>0，只有３符合．（２）令f（x）＝x２—４|x|＋５，则f（x）＝错误!作出f（x）的图象，如图所示．由图象可知，当１<m<５时，f（x）的图象与y＝m有４个交点，即方程x２—４|x|＋５＝m有４个互不相等的实数根．]作函数图象的方法方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．３．对于任意x∈R，函数f（x）表示—x＋３，错误!x＋错误!，x２—４x＋３中的较大者，则f（x）的最小值是________．２[首先应理解题意，“函数f（x）表示—x＋３，错误!x＋错误!，x２—４x＋３中的较大者”是对同一个x值而言，函数f（x）表示—x＋３，错误!x＋错误!，x２—４x＋３中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A（0,３），B（１,２），C（５,8）．从图象观察可得函数f（x）的表达式：f（x）＝错误!f（x）的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B（１,２），所以f（x）的最小值是２．。
高中数学 第2章 函数第二章章末复习课配套课件 苏教版必修1
＋5＝m 有 4 个互不相等的实数根．
研一研·题型解法、解题更高效
题型四 函数性质的综合运用 函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式 上看，抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、 求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利 用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
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跟踪训练 3 当 m 为何值时，方程 x2－4|x|＋5＝m 有 4 个互不相等的
实数根？
解 令 f(x)＝x2－4|x|＋5，
则 f(x)＝ x2－4x＋5， x2＋4x＋5，
x≥0， x<0，
作出 f(x)的图象，如图所示．由图象可知，当 1<m<5 时，f(x)的图象与 y＝m 有 4 个交点，即方程 x2－4|x|
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方法二 设 x1>x2，则 f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2) －f(x2)＝f(x1－x2)． 又∵x>0 时，f(x)<0，而 x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在 R 上为减函数． (2)解 ∵f(x)在 R 上是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上也是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为 f(－3)与 f(3)． 而 f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为 2，最小值为－2.
解析 因为 f(x)是连续的偶函数，且 x>0 时是单调函数，由偶函 数的性质可知若 f(x)＝fxx＋ ＋34，只有两种情况：①x＝xx＋ ＋34；②x＋ xx＋ ＋34＝0. 由①知 x2＋3x－3＝0，故其两根之和为 x1＋x2＝－3. 由②知 x2＋5x＋3＝0，故其两根之和为 x3＋x4＝－5.
高中数学 第一部分 第1章 章末小结 知识整合与阶段检测配套课件 苏教版必修3
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④当型循环是当条件满足时执行循环体．而直到型循环是 当条件不满足时执行循环体．
⑤在解决一些需要反复执行的任务时，如累加求和、累乘 求积通常都用循环语句来实现(shíxiàn)，要注意循环变量的控制 条件．
⑥在循环语句中嵌套条件语句时，要注意书写格式．
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四、算法案例(求最大公约数) 1．更相减损术 更相减损术(也叫等值算法)是我国古代数学家在求两个正 整数最大公约数时的一个算法，其操作过程是：对于给定的 两个正整数，用较大的数减去较小的数，接着把得到(dédào) 的差与较小的数比较，用这两个数中较大的数减去较小的数 ，继续上述操作(大数减去小数)，直到产生一对相等的数为止 ，那么这个数(等数)即是所求的最大公约数．
用规定的图框和流程线来准确(zhǔnquè)、直观、形 象地表示算法的图形． 2．算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构 构：
(3)循环 (xúnhuán)结构：
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3．画流程图的规则 (1)使用标准的图框符号． (2)一般按从上到下、从左到右的方向画． (3)除判断框外，其他(qítā)图框只有一个进入点和一个 退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号． (4)一种判断框分为“是”与“不是”两个分支，而且有且仅 有两个结果；另一种是多分支判断，有几种不同的结果． (5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．
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2．辗转相除法 辗转相除法(即欧几里得算法)就是给定两个正整数，用 较大的数除以较小的数，若余数(yúshù)不为零，则将较小的 数和余数(yúshù)继续上面的除法，直到余数(yúshù)为零，此 时的除数就是所求的最大公约数． 3．二者的区别与联系 辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除，而更相减 损术进行的是减法运算，即辗转相减，但实质都是一个递归 过程
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数学·必修1(苏教版) 一、 元素与集合的关系 已知A＝{x|x＝m＋n·2，m，n∈Z}． (1)设x1＝13－22，x2＝9－42，x3＝(1－32)2，试判断x1，x2，x3与A之间的关系；
(2)任取x1，x2∈A，试判断x1＋x2，x1·x2与A之间的关系； (3)能否找到x0∈A，使1x0∈A，且|x0|≠1? 分析：分清楚集合A中元素具备什么形式．
解析：(1)由于x1＝13－22＝3＋22，则x1∈A， 由于x2＝9－42＝1－222＝－1＋22， 则x2∈A，由于x3＝(1－32)2＝19－62， 则x3∈A.
(2)由于x1，x2∈A， 设x1＝m1＋n12，x2＝m2＋n2·2(其中m1，n1，m2，n2∈Z)． 则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)2，
其中m1＋m2，n1＋n2∈Z，则x1＋x2∈A.
由于x1x2＝(m1＋n12)(m2＋n22)
＝(m1m2＋2n1n2)＋(m1n2＋m2n1)·2，
其中m1m2＋2n1n2，m1n2＋m2n1∈Z，则x1x2∈A.
(3)假设能找到x0＝m0＋n02∈A(其中m0，n0∈Z)符合题意，则： 1x0＝1m0＋n0·2＝m0
m20－2n20＋－n0m20－2n20
·2∈A，
则m0
m20－2n20∈Z，－n0m20－2n20
∈Z .
于是，可取m0＝n0＝1，则能找到x0＝－1＋2，又能满足|x0|≠1，
符合题意． 点评：解决是否存在的问题主要采用假设法：假设存在某数使结论成立，以此为基础进行推理．若出现矛盾，则否定假设，得出相反的结论；若推出合理的结果，则说明假设正确．这种方法可概括为“假设—推理—否定(肯定)假设—得出结论”．
►变式训练 1．设集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，C＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，任取x1∈B，x2∈C，则x1＋x2∈________，x1x2∈________，x1－x2∈________，x2－x1∈________. (注：从A，B，C中选一个填空)
解析：设x1＝3m＋1，x2＝3n＋2，m，n∈Z，则x1＋x2＝3(m＋n＋1)∈A；x1x2＝9mn＋6m＋3n＋2＝3(3mn＋2m＋n)＋2∈C；x1－x2＝
3m－3n－1＝3(m－n－1)＋2∈C；x2－x1＝3n－3m＋1＝3(n－m)＋1∈B. 答案：A C C B
2．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}． (1)若A＝∅，求实数a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来．
解析：(1)A＝∅，则方程ax2－3x＋2＝0无实根， 即Δ＝9－8a<0，∴a>98. ∴a的取值范围是a a＞98. (2)∵A中只有一个元素， ∴①a＝0时，A＝
2
3满足要求．
②a≠0时， 则方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实根． 故Δ＝9－8a＝0，
∴a＝98，此时A＝43满足要求．
综上可知：a＝0或a＝98.
二、集合与集合的关系 A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，当B⊆A时，求实数p的取值范围．
分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决． 解析：由已知解得，B＝x x<－p4. 又∵A＝{x|x＜－1或x＞2}，且B⊆A，利用数轴． ∴－p4≤－1. ∴p≥4，即实数p的取值范围为{p|p≥4}． 点评：在解决两个数集包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．
三、集合的综合运算 已知集合A＝{(x，y)|x2－y2－y＝4}，B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}，C＝{(x，y)|x－2y＝0}，D＝{(x，y)|x＋y＝0}．
(1)判断B、C、D间的关系； (2)求A∩B. 分析：对集合B进行分解因式，读懂集合语言． 解析：(1)∵x2－xy－2y2＝(x＋y)(x－2y)， ∴B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0} ＝{(x，y)|(x＋y)(x－2y)＝0} ＝{(x，y)|x－2y＝0或x＋y＝0} ＝{(x，y)|x－2y＝0}∪{(x，y)|x＋y＝0}＝C∪D. (2)A∩B＝x，y x2－y2－y＝4，x2－xy－2y2＝0
＝
x，y x2－y2－y＝4，x－2yx＋y＝0
＝
x，y x2－y2－y＝4，x＋y＝0
或
x，y x2－y2－y＝4，x－2y＝0.
＝83，43，－2，－1，4，－4. 设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合∁A(A∩B)＝________.
分析：首先简化集合A和B，再借助数轴求解． 解析：∵A＝{x|－43}， ∴A∩B＝{x|－4∴∁A(A∩B)＝{x|1≤x≤3}． 答案：{x|1≤x≤3} 点评：解集合问题，重要的是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识解决． ►变式训练 3．已知M，N为集合U的非空真子集，且M≠N，若M∩∁UN＝∅，则M∪N＝( ) A．M B．N
C．U D．∅
答案：B 4．已知全集U＝{实数对(x，y)}，A＝x，y y－4x－2＝3，B＝{(x，y)|y＝3x－2}，求(∁UA)∩B.
解析：A＝ x，y
y－4
x－2＝3＝{(x，y)|y＝3x－2，且x≠2}，∴(∁
UA)∩B＝{(x，y)|x＝2，y＝4}＝{(2,4)}． 四、 空集的地位和作用 已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋1＝0}，若A∩R＋＝∅，则实数m的取值范围是________[其中R＋＝(0，＋∞)]．
分析：从方程的观点来看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1＝0的解集，而x＝0不是该方程的解，所以由A∩R＋＝∅可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，解出m的范围即可．
解析：由于A∩R＋＝∅和该方程没有零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，从而有
Δ＝m＋22
－4≥0，
－m＋2<0或Δ＝(m＋2)2－4<0，
解得m≥0或－4－4. 答案：{m|m＞－4} 点评：由于集合的联系性较强，应注意体会和提炼数学思想(如数形结合、方程思想和分类讨论思想)．
►变式训练 5．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1} (1)若A∩B＝B，求实数m的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
解析：(1)A∩B＝B⇔B⊆A，当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅，满足B⊆A；当m＋1≤2m－1时，要使B⊆A，则
m＋1≥－2，
2m－1≤5，m＋1≤2m－1⇒
2≤m≤3. 综上，m的取值范围为{m|m≤3}．
(2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅，满足A∩B＝∅.
当B≠∅时，要使A∩B＝∅，则必须 m＋1≤2m－1，m＋1>5或
m＋1≤2m－1，
2m－1<－2⇒m>4.
综上，m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
五、 集合中的信息迁移题 约定“”与“⊗”是两个运算符号，其运算法则如下：对任意的a，b∈R，有ab＝a－b，a⊗b＝a＋ba－b2＋1.设U＝{c|c＝(ab)＋(a⊗b)，－2且a，b∈Z}，求∁UA.
分析：本题的难点在接受题中临时约定的运算符号及其运算法则，关键是要按照规定，把符号“”与“⊗”表示的运算转化为通常的“＋，－，×，÷，…”等运算．然后化简集合U及A，最后再由补集的定义求出∁UA.
解析：由－2a＝0，b＝0.根据题中对符号“”与“⊗”及其运算法则的约定，有： (1)若a＝－1，b＝－1， 则c＝(ab)＋(a⊗b)
＝(－1)－(－1)＋－1＋－1－1＋12＋1＝－2； (2)若a＝－1，b＝0， 则c＝(ab)＋(a⊗b)
＝(－1)－0＋－1＋0－1－02＋1＝－32； (3)若a＝0，b＝0，