弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载
《弹塑性理论》课程教学大纲
《弹塑性理论》课程教学大纲课程代码R1100112课程名称中文名：弹塑性理论英文名：E1asticandP1asticMechanics课程类别专业选修课修读类别任选学分 2.0 学时32（理论）开课学期第6学期开课单位工程力学系应用力学教研室适用专业材料科学与工程先修课程《理论力学》、《材料力学》后续有关专业课无程和教学环节主讲教师/职称郭树起/教授、张存/讲师考核方式及各环期末考试（100%）节所占比例教材及主要参考建议教材：”《弹性力学简明教程》（第4版），徐芝纶编著，高等教育出版社，2013o《塑性力学引论》，王仁、黄文斌著，北京大学出版社，1992。
建议参考书：（1）《弹性力学》（第5版）上册，徐芝纶，高等教育出版社，2016。
（2）《弹塑性力学引论》，杨桂通，清华大学出版社，2004o一、课程性质和目标《弹塑性理论》是材料科学与工程等类专业的一门专业选修课。
课程的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题做准备，但是并不直接作强度和刚度分析以及材料超过弹性范围后力学行为。
课程的目的和任务是使学生平面、空间问题和材料进入塑性后的力学分析方法，培养学时利用所学知识进行力学分析和设计的能力。
知识目标：课程目标1：确立学习任务和方法，认识弹塑性理论的研究对象、研究方法、基本概念及基本假定。
课程目标2：学习平面问题的基本理论，理解平面应力问题与平面应变问题的判定依据，建立平面问题的平衡微分方程、几何方程、物理方程及应力边界条件，利用微元体受力平衡给出物体内任意一点的应力状态，运用圣维南原理给出小边界上的应力边界条件，理解并应力函数求解弹性力学问题的过程。
课程目标3：运用逆解法、半逆解法给出平面问题的直角坐标解答，运用逆解法及半逆解法计算矩形梁的纯弯曲问题、简支梁受均布荷载问题。
课程目标4：学习空间问题的基本理论，理解并空间问题的平衡微分方程、几何方程物理方程及应力边界条件，利用微元体受力平衡给出物体内任意一点的应力状态。
简支梁位移计算公式
简支梁位移计算公式
简支梁的位移计算公式可以通过梁的弯曲理论来推导。
在简支
梁的情况下，当集中力作用于梁上时，梁会发生弯曲变形，导致梁
的位移。
位移计算公式可以通过弯曲理论和梁的几何特征来推导。
首先，我们可以使用弹性力学理论中的梁弯曲方程来描述梁的
位移。
对于简支梁而言，可以使用Euler-Bernoulli梁理论来进行
分析。
根据这个理论，简支梁在受到集中力作用时的最大位移可以
通过以下公式来计算：
δ = (F L^3) / (3 E I)。
在这个公式中，δ代表梁的最大位移，F代表作用在梁上的力
的大小，L代表梁的长度，E代表梁的弹性模量，I代表梁的惯性矩。
这个公式适用于简支梁在受到集中力作用时的情况。
另外，如果梁上分布有均匀载荷，则可以使用不同的公式来计
算梁的位移。
对于简支梁在均匀载荷作用下的位移，可以使用以下
公式：
δ = (5 w L^4) / (384 E I)。
在这个公式中，δ代表梁的最大位移，w代表均匀分布载荷的大小，L代表梁的长度，E代表梁的弹性模量，I代表梁的惯性矩。
需要注意的是，以上提到的公式都是针对简支梁在弹性范围内的情况下推导得出的。
在实际工程中，还需要考虑许多其他因素，例如梁的材料特性、截面形状等，因此在使用这些公式进行位移计算时，需要结合具体情况进行综合考虑。
简支梁均布荷载弯矩计算公式推导
简支梁均布荷载弯矩计算公式推导简支梁均布荷载（uniformly distributed load）的弯矩计算公
式推导如下：
假设梁的长度为L，均布荷载大小为w。
考虑梁上任意一点的弯矩，根据梁的静力学原理可以推导出如下公式：
M = -w * x^2 / 2 + C1 * x + C2
其中，M是指定点处的弯矩，x是指定点到梁左端的距离，C1和
C2是常数。
根据梁的边界条件，可以进一步推导出C1和C2的值。
对于简支梁，边界条件如下：
1.在梁的左端（x = 0），弯矩为零：M = 0
将上述边界条件带入弯矩公式中，可得到：
0 = -w * 0^2 / 2 + C1 * 0 + C2
0 = C2
2.在梁的右端（x = L），弯矩为零：M = 0
将上述边界条件带入弯矩公式中，可得到：
0 = -w * L^2 / 2 + C1 * L + 0
0 = -w * L^2 / 2 + C1 * L
综合上述两个方程，可以解出C1的值：
C1 = w * L / 2
将C2和C1代入弯矩公式中，可得到简支梁均布荷载的弯矩计算公式：
M = -w * x^2 / 2 + (w * L / 2) * x
这就是简支梁均布荷载的弯矩计算公式。
除了这个推导过程，还可以进一步拓展相关内容。
例如，可以讨论不同形状的均布荷载对梁的弯矩分布的影响，或者讨论不同支座条件（如固支梁或跨中连续梁）下的弯矩计算公式推导等。
弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1） ， f（y2）。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相 容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
代入第三式，并整理可得
v
M
2 EI
y f 2 ( x)
2
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：
M
l
1、形变分量与位移分量
M
x
1
h
（1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程 y (2-8) 1 x ( x y ) E M x y 1 I y ( y x ) E y xy 0 2(1 ) xy xy E
M x y EI M y y EI xy 0
（c）几何方程积分计算位移表达式 （d）利用位移边界条件，确定常数。
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.4 简支梁受均布荷载
内容要点： 用半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的 解题过程。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学 得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式； (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（ 含待定函数项）；
弹性力学教案.doc
弹性⼒学教案.doc弹性⼒学教案第⼀章绪论（4学时）介绍弹性⼒学研究的内容、基本概念和基本假设。
1、主要内容：第⼀节弹性⼒学的内容第⼆节弹性⼒学的基本概念第三节弹性⼒学的基本假设2、本章重点：弹性⼒学的基本概念。
3、本章难点：弹性⼒学的基本概念。
4、本章教学要求：理解弹性⼒学的基本假设、基本概念。
5、教学组织：弹性⼒学是在学习了理论⼒学、材料⼒学等课程的基础上开设的专业课程。
学⽣已经建⽴了关于应⼒、应变、位移的概念。
⽽且能够⽤材料⼒学的⽅法对杆件进⾏应⼒计算；并进⼀步对其进⾏强度、刚度和稳定性的分析。
在本章第⼀节的教学中，要明确弹性⼒学、材料⼒学和结构⼒学在研究对象上的分⼯的不同；在研究⽅法上的不同；及其不同的原因。
并且让学⽣初步了解弹性⼒学的研究⽅法。
在本章第⼆节的教学中，要进⼀步深⼊研究作⽤在弹性体上的⼒。
明确内⼒与外⼒、体⼒与⾯⼒、应⼒⽮量与应⼒张量等概念及其表达⽅式。
在本章第三节的教学中，研究弹性⼒学的基本假设。
通过基本假设的讲解，让学⽣明⽩合理的科学假设在科学研究中的必要性和重要性。
要启发学⽣理解弹性⼒学的各个假设及其限定的缘由。
第⼆章弹性⼒学平⾯问题的基本理论（14学时）本章研究平⾯问题的基本⽅程、边界条件及其解法。
1、主要内容：第⼀节平⾯问题第⼆节平衡微分⽅程第三节斜截⾯上的应⼒、主应⼒第四节⼏何⽅程、刚体位移第五节斜截⾯上的应变及位移第六节物理⽅程第七节边界条件第⼋节圣维南原理第九节按位移求解的平⾯问题第⼗节按应⼒求解的平⾯问题、相容⽅程第⼗⼀节常体⼒情况下的简化第⼗⼆节应⼒函数、逆解法与半逆解法2、本章重点：平⾯问题的基本⽅程、应⼒函数及边界条件。
3、本章难点：平⾯问题的基本⽅程及边界条件的确定。
4、本章教学要求：掌握弹性⼒学平⾯问题的基本⽅程和应⼒边界条件；理解圣维南原理及相容⽅程的意义。
掌握按应⼒求解弹性⼒学问题的基本⽅程和概念；掌握按位移求解弹性⼒学问题的基本⽅程和概念。
弹性力学第3章(徐芝纶第五版)
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
弹性力学第三章
多项式解答 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s f x , m y l xy s f y . (b)
水平截面上的应力分布如图所示。 σx σy
yx
楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1 已知
(a) Φ Ay 2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax 4 Bx3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 , 试问它们能否作为平面问题的应力函数？
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
简支梁均布荷载跨中弯矩计算公式
简支梁均布荷载跨中弯矩计算公式在我们的建筑和结构工程领域中，有一个非常重要的概念——简支梁均布荷载跨中弯矩计算公式。
这可不仅仅是一堆枯燥的数字和符号组合，它其实在我们的生活中有着实实在在的应用呢！先来说说什么是简支梁。
想象一下，有一根长长的梁，两端被简单地支承着，就像一个扁担放在两个支架上一样，这就是简支梁。
而均布荷载呢，就是这根梁上受到的力均匀分布在整个长度上，就好像有一堆同样重的东西整整齐齐地排在梁上。
那简支梁均布荷载跨中弯矩计算公式到底是啥呢？它就是：M =ql²/8 。
这里的“M”代表跨中弯矩，“q”表示均布荷载的大小，“l”则是梁的跨度。
咱们来举个例子感受一下。
比如说，有一根 5 米长的简支梁，上面承受着每米 10 牛顿的均布荷载。
那咱们来算算跨中弯矩。
首先，跨度l = 5 米，均布荷载 q = 10 牛顿/米。
把这些数值代入公式 M = ql²/8 中，就得到 M = 10×5²÷8 = 31.25 牛顿·米。
这就意味着在这根梁的跨中位置，会产生 31.25 牛顿·米的弯矩。
我记得有一次，在一个建筑工地实习的时候，就碰到了关于简支梁均布荷载跨中弯矩计算的实际问题。
当时，工程师们正在讨论如何设计一个厂房的屋顶结构，其中就涉及到了支撑屋顶的简支梁。
他们拿着图纸，嘴里不停地念叨着各种数据和公式，我在旁边听得一头雾水。
后来，一位经验丰富的师傅注意到了我迷茫的表情，他笑着说：“小伙子，别着急，咱们就拿这个简支梁来说，先得搞清楚上面的荷载有多重，梁有多长，然后用公式一算，就能知道这梁能不能承受得住啦。
”他一边说，一边在纸上写下了公式，还详细地给我解释了每个参数的含义。
那一刻，我突然觉得这些看似复杂的公式变得亲切了起来。
在实际工程中，如果这个弯矩计算不准确，那可就麻烦啦！要是算小了，梁可能会承受不住压力而弯曲甚至断裂；要是算大了，又会造成材料的浪费，增加成本。
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忽略常数项 忽略常数项及一次项
根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，上 述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略。
x2 ( x, y ) ( Ay 3 By 2 Cy D ) 2 2 A 5 B 4 3 x( Ey Fy Gy) y y Hy 3 Ky 2 10 6
M l u ( x ) y, EI 2
M M M 2 v (l x) x v (l x) x y y 0 2 EI 2 EI 2 EI
材料力学中相同
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 M
2、位移边界条件的利用
（2）悬臂梁
u EI
xy wy u0
上述是关于 x 的一元二次方程，相容方程要求全梁每一点 处的 x 值都必须满足上述方程，上述方程有无数多根。对 所有 x 均应满足，故其系数和自由项都必须为0
4 f ( y) 0, 4 y 4 f1 ( y ) 0, 4 y 4 f 2 ( y) 2 f ( y) 2 0 4 2 y y
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
位移求解的过程：
（a）将应力分量代入物理方程
1 xy 1 x ( x y) y ( y x) xy E E G
（b）再将应变分量代入几何方程
u x x
v y y
xy
u v y x
2
u x l 0 h y 边界条件 v x l 0 2
由上式可知，此边界条件无法 满足，边界条件改写为： v 0 u x l 0, v x l 0 x x l y 0 y 0
（中点不动） （轴线在端部不转动）
y 0
M 2 v y x wx 0 2 EI 2 EI
(1)假定应力分量的函数形式
x——主要由弯矩引起； xy——主要由剪力引起。
又∵ q =常数，不随x变化，∴ ql
q ql x l
y——由竖向荷载q 引起（挤压应力）；
y
l
y 不随 x 变化。
因此假设 y 只是y的函数： y f y “(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状 、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力 学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式”
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.3 位移分量的求出
内容要点： 以上一节矩形梁纯弯曲为例，体会学习如何由应力分 量求出位移分量。
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
本节所解决的问题：按应力求解时，如果已求出应力分量，
如何求对应的位移分量？ 以矩形梁的纯弯曲为例，由应力分量求解位移分量
M
l
1、形变分量与位移分量
M
x
1
h
（1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程 y (2-8) 1 x ( x y ) E M x y 1 I y ( y x ) E y xy 0 2(1 ) xy xy E
M x y EI M y y EI xy 0
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
将应力函数 代入式(2-24)，可得应力分量P42式(f) 、(g)、(h)： 2 x x (6 Ay 2 B ) x(6 Ey 2 F )
2 3 2 Ay 2 By 2 6 Hy 2 K y Ay 3 By 2 Cy D xy x(3 Ay 2 2 By C ) (3Ey 2 2 Fy G )
代入第三式，并整理可得
v
M
2 EI
y f 2 ( x)
2
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：
2
M
M 2 x EI 1
就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
2、位移边界条件的利用
下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移常数u0 ， 0 和 w 。 分两种约束情况讨论：简支梁和悬臂梁。
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（c）几何方程积分计算位移表达式 （d）利用位移边界条件，确定常数。
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.4 简支梁受均布荷载
内容要点： 用半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的 解题过程。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学 得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式； (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（ 含待定函数项）；
2 ( x, y) 2 ( x, y) 2 ( x, y) x f x x, y f y y, xy 2 2 y x xy
(3)将应力函数 代入相容方程进行校核，进而求 得应力函数 的具体表达形式 4 4 4
x
4
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1） ， f（y2）。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相 容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
u
EI
xy wy u0
y
EI
x w
对于同一个截面， x 为常量x 0，因此上式(转角)也是常量。于 是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保 持为平面——材料力学里的平截面假定。 由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求得梁的各 纵向纤维的曲率是 2
M 2 v y x wx 0 2 EI 2 EI
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(2)由应力推出应力函数的一般形式 将假设的 y 向应力分量代入式(2-24)，在无体力情 况下，有 2 ( x, y ) y f ( y) 2
x
对 x 积分可得
x2 ( x, y ) f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) 2
M
h 2
带入位移式可得： Ml 2 Ml u0 0, wl v0 0, w 0 2 EI EI
Ml Ml 2 w , u0 0, 0 EI 2 EI M u (l x) y EI M M 2 2 v (l x) y 2 EI 2 EI M v y 0 (l x)2 2 EI
M u xy wy u0 EI M 2 M 2 v y x wx 0 2 EI 2 EI
其中表示刚体位移量的常数u0 ，0 和 w ，须由约束条件确 定。
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
讨论：
由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求得垂直线 段的转角为u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角 。 M u M
2
x y
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
y
4
0
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
量
(4)将应力函数 代入式(2-24)，由应力函数求得应力分
(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察 应力分量是否满足全部应力边界条件。如果都能满足，则 所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复 上述过程并进行求解。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 ( x, y)
(3)由相容方程求应力函数
x2 f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) 2
4 f ( y) 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) 0, 0, 2 0 4 4 4 2 y y y y 由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式： f ( y ) Ay 3 By 2 Cy D
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量 将应变分量代入平面问题的几何方程(2-8)：
u M x y, x EI
v M y y, y EI
v u xy 0 x y
前两式分别积分，可得
M u xy f1 ( y ) , EI
材料力学中相同
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
平面应变问题
以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分 量和位移分量解。对于平面应变情况下的梁(梁宽度远 大于深度和长度），须在以上的应变分量和位移分量 的公式中，将 E 和 作如下替换，即可求解。
E E 1 2
1
假定相关 式（2-24） 应力函数 应力分量 积分 基本形式
2 ( x, y) 2 ( x, y) 2 ( x, y) x f x x, y f y y, xy 2 2 y x xy
得到正 导出应力 式（2-15） 满足边 满足 式（2-24） 4 Ñ 0 表达式 界条件 是 确解答 是 否 否