初三数学第6讲：图形的旋转和中心对称(教师版)

第5讲图形的旋转和中心对称图形的旋转和中心对称1、旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某______沿着某个方向转动______的图形变换叫做旋转．这个点O叫做______，转动的角叫做______．因此，图形的旋转是由______和______决定的．2、中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果它能够与另一个图形______，那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做______，这两个图形中的对应点叫做关于中心的______．3、旋转的特点：旋转的性质是对应点到旋转中心的______相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于______；旋转前、后的图形之间的关系是______．4、中心对称的特点：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连______都经过______，而且被对称中心所______．(2)关于中心对称的两个图形是______．5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果旋转后的图形能够与原来的图形______，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的______．1、旋转的定义和性质；2、中心对称的定义和性质；3、会画旋转后的图形和中心对称图形；例1、下图中，不是旋转对称图形的是( )．答案：B解析：根据旋转的定义；例2、有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化A．1个B．2个C．3个D．4个答案：D解析：利用旋转的特征；例3、下列图形中，不是．．中心对称图形的是( )．A．圆B．菱形C．矩形D．等边三角形答案：D解析：中心对称的定义；例4、以下四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )．A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B解析：旋转和中心对称的定义结合。

例5、已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．求证：BE=AF＋CE答案：先延长DC到G，使CG=AF，连接BG，易证△ABF≌△CBG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠EBG=∠G，进而证明BE=CG+CE=AF+CE．证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°，∴△ABF≌△CBG，∴∠5=∠G，∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴∠2+∠4=∠3+∠4，即∠FBC=∠EBG，∵AD∥BC，∴∠5=∠FBC=∠EBG，∴∠EBG=∠G，∴BE=CG+CE=AF+CE．解析：通过截长补短，构造全等来证明；例6．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B＋∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD 上的点，且BE＋FD=EF．求证：.21BADEAF∠=∠答案：把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如图，∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，∵∠B+∠D=180°，∴∠B+∠ABG=180°，∴点G、B、C共线，∵BE+FD=EF，∴BE+BG=GE=EF，在△AEG和△AEF中，AG=AFAE=AEEG=EF∴△AEG≌△AEF，∴∠EAG=∠EAF，而∠BAG=∠DAF，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，.21BADEAF∠=∠解析：旋转构造全等，找相等的角代换。

A1、下面各图中，哪些绕一点旋转180°后能与原来的图形重合?( )．A．①、④、⑤B．①、③、⑤C．②、③、⑤D．②、④、⑤答案：A解析：中心对称的定义2、如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有( )个．A．1 B．2C．3 D．4答案：C解析：以C为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，可得到正方形CDEF 以D为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，可得到正方形CDEF以CD的中点为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，可得到正方形CDEF3、下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )．答案：C解析：旋转和中心对称的定义4、如图4可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是( )图4(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°答案：C解析：图形可看做是正八边形的中心角；5．下列图形中，既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是( ) (A)等腰三角形 (B)平行四边形 (C)等边三角形 (D)等腰梯形 答案：C解析：轴对称定义；绕着旋转中心旋转120°可与原图形重合；6．将点A (4，0)绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A ′，则点A ′的坐标是( ) (A))2,32( (B)(4，－2) (C))2,32(-(D))32,2(- 答案：C解析：根据旋转后特殊的直角三角形，30°锐角所对直角边等于斜边的一半； 7．要使正十二边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针旋转( ) (A)9° (B)18° (C)30° (D)36° 答案：C解析：正十二边形中心角为360°÷12=30°。

8、如图，已知D ，E 分别是正三角形的边BC 和CA 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 交于P ，求∠BPD 的度数？答案：60°解析：∵正三角形ABC ∴AB=BC=AC ，∠C=∠BAC=60°，AE =CD ，可得△ACD ≌△ABE ， 可得∠CAD=∠ABE ，即∠BPD=∠ABE ＋∠BAD=60°9、已知，如图7，E、F分别在正方形ABCD边AB和BC上，AB＝1，∠EDF＝45°，求△BEF 的周长．图7答案：2解析：把△ADE沿点D按逆时针方向旋转90°到△CDG处。

则∠GDF=∠EDF=45°，DE=DG，△EDF≌△GDF，所以EF=GF，△BEF的周长=BE+BF+EF=BE+BF+GF=BE+BF+FC+FG=BE+BF+FC+AE=AB+BC=2B1．如图3，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是( )图3(A) (B) (C) (D)答案：C解析：根据旋转后的特点；2．下列说法中，正确的个数有( )(1)如果两个图形关于一点中心对称，则对称点的连线必经过对称中心；(2)如果两个图形关于一点中心对称，则对应线段一定平行或在同一直线上；(3)如果一个图形经过平移得到另一个图形，那么它们的对应点的连线一定平行．(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个答案：D解析：中心对称的性质应用；3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是( )．A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的答案：A解析：根据对应点A和D与旋转中心的连线夹角正好是90°。

4．下列说法错误的是( )(A)全等的两个图形不一定成中心对称(B)中心对称的两个图形一定是全等图形(C)能够完全重合的两个图形中心对称(D)中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系答案：C解析：完全重合不一定中心对称5、如图，用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角为______°．答案：22°解析：∠AMB=45°+22°=67°，∠67°-45°=22°C1．下列正方体的平面展开图中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是( )(A) (B) (C) (D)答案：A解析：B 是轴对称和中心对称，C 是中心对称，D 是轴对称图形； 2．下列语句中，不正确的是( )(A)图形的平移是由移动的方向和移动的距离所决定的(B)图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定的 (C)中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形 (D)旋转对称图形是中心对称图形 答案：D解析：旋转对称图形可以是任意角度的旋转，而中心对称只是180°旋转。

3、如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形A ′B ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积等于______．答案：√33解析：设CD 与C ′D ′交于O ，AB=1，所以O B ′=√33，所以公共部分的面积=1X √33X 12X2=√334、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =3，BC =5，AB =1，把线段CD 绕点D 逆时针旋转90°到DE 位置，连结AE ，则AE 的长为______．答案：2√5解析：过点E作EF垂直于AD，交AD的延长线于点F易得EF=5-3=2DF=AB=1所以AF=4所以AE=2√55.已知：如图，四边形ABCD中，∠D=60°，∠B=30°，AD=CD．求证：BD2=AB2＋BC2．∴BD²=AB²+BC²解析：旋转构造全等，得出直角三角形，利用勾股定理，等量代换可得结论。

1．在下列图形中，中心对称图形有( )(A)③(B)①③(C)②③(D)③④答案：B解析：2和4都不是中心对称图形，4是轴对称图形2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )：答案：A解析：B 是轴对称，C 和D 只是轴对称3．点P (5，－3)关于原点对称的点的坐标是( ) (A)(－5，3) (B)(－5，－3) (C)(3，－5) (D)(－3，5) 答案：A解析：关于原点对称x,y 都变。

4．如图3，△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，AB ＝1，将△ABC 绕顶点A 旋转180°，点C 落在C ′处，则CC ′的长为( )图3(A)34 (B)4 (C)32(D)52答案：B解析：根据30°锐角所对直角边等于斜边的一半；5．点M(m，n)在第二象限，则点M′(mn－n，n－m)关于原点对称的点在( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限答案：D解析：第二象限，可得m＜0，n＞0，所以mn-n＜0，n-m＞0，所以在第二象限，关于原点对称后在第四象限。