九年级数学上学期9月段考试卷(含解析) 新人教版五四制

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市虹桥中学九年级（上）段考数学试卷一、选择题1．某日的最高气温为8℃，最低气温为﹣4℃，则这一天的最高气温比最低气温高（）A．﹣12℃B．﹣6℃C．6℃D．12℃2．下列运算正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．a2•a3=a6C．（a+b）2=a2+b2D．a10÷a2=a53．一辆汽车沿倾斜角α的斜坡前进800米，则它上升的高度是（）A．800•sinα米B．米C．800•cosα米D．米4．反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥35．抛物线y=（a+2）x2﹣3，当x＜0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A．a＞﹣2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＜26．在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则tanA的值为（）A．B．C．D．7．某反比例函数象经过点（﹣1，6），则下列各点中此函数图象也经过的是（）A．（﹣3，2）B．（3，2） C．（2，3） D．（6，1）8．把抛物线y=x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣3）2﹣2 B．y=（x﹣3）2+2 C．y=（x+3）2+2 D．y=（x+3）2﹣29．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°10．快车与慢车分别从相距420千米的甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地．快慢两车距各自出发地的路程y（千米）与所用的时间x（时）的关系如图所示，下列说法正确的有（）①快车返回的速度为140千米/时；②慢车的速度为70千米/时；③出发小时时，快慢两车距各自出发地的路程相等；④快慢两车出发小时时相距150千米．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．将60250000用科学记数法表示为．12．函数y=的自变量取值范围是．13．计算：﹣= ．14．不等式组的解集是．15．反比例函数的图象经过点（﹣2，4），其解析式为．16．若点A（n，2）与点B（﹣3，m）关于原点对称，则n﹣m= ．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=，则AC= ．18．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．19．矩形ABCD中，AB=4，BC=9，点P为BC的三等分点，连接AP，则sin∠PAB= ．20．如图，在正方形ABCD中，点E是线段AD上的一点，以EC为斜边作等腰直角△ECF，连接BF，若AE=2，DE=3，则线段BF的长度为．三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．先化简，再求代数式的值，其中a=2sin60°+tan45°．22．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），B（0，5）．（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2；（3）直接写出∠OAB的度数．23．如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．24．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD=2∠MCD，∠ACB=90°，AC=BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）25．六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？（2）该服装A品牌每套售价为130元，B品牌每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？26．如图，△ABC是等边三角形，AE∥BC，点D在线段AC的延长线上，连接DE、DB，且DB=DE；（1）求证：∠BDE=60°；（2）点F在线段AB上，连接DF，且BD=DF，求证：AF=CD；（3）在（2）的条件下，作EM⊥BC，垂足为点M，连接DM，若AF：BF=3：2，CM=1，求线段DM的长度．27．如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∠CBO=45°，OB=4OA．（1）求抛物线的解析式；（2）当P为抛物线上在第一象限图象上一点，设点P的横坐标为m，点D在线段CO上，CD=m，当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，求P点坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在抛物线上一点Q，使∠PCB=∠APQ？若存在，求Q点的横坐标；若不存在请说明理由．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市虹桥中学九年级（上）段考数学试卷（9月份）（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题1．某日的最高气温为8℃，最低气温为﹣4℃，则这一天的最高气温比最低气温高（）A．﹣12℃B．﹣6℃C．6℃D．12℃【考点】有理数的减法．【专题】计算题；实数．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：8﹣（﹣4）=8+4=12℃，故选D【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．2．下列运算正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．a2•a3=a6C．（a+b）2=a2+b2D．a10÷a2=a5【考点】整式的混合运算．【分析】分别根据平方差公式、同底数幂的乘法、完全平方公式及同底数幂的除法进行判断即可．【解答】解：A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，是平方差公式，故A正确；B、a2•a3=a2+3=a5，故B不正确；C、（a+b）2=a2+b2+2ab，故C不正确；D、a10÷a2=a10﹣2=a8，故D不正确；故答案为A．【点评】本题主要考查整式的乘法公式及同底数幂的运算，掌握整式的平方差公式、完全平方公式及同底数幂的运算法则是解题的关键．3．一辆汽车沿倾斜角α的斜坡前进800米，则它上升的高度是（）A．800•sinα米B．米C．800•cosα米D．米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】在三角函数中，根据坡度角的正弦值=垂直高度：坡面距离即可解答．【解答】解：如图，∠A=α，∠C=90°，则他上升的高度BC=ABsinα=800•sinα米．故选A．【点评】此题主要考查了坡角问题的应用，通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求解是解题关键．4．反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k≤3 C．k＞3 D．k≥3【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质解题．【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴函数图象必在第四象限，∴k﹣3＜0，∴k＜3．故选A．【点评】对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．5．抛物线y=（a+2）x2﹣3，当x＜0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A．a＞﹣2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＜2【考点】二次函数的性质．【专题】探究型．【分析】先根据抛物线y=（a+2）x2﹣3，当x＜0时，y随x的增大而增大判断出a+2的符号，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵抛物线y=（a+2）x2﹣3，当x＜0时，y随x的增大而增大，∴a+2＜0，解得a＜﹣2．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意得到关于a的不等式是解答此题的关键．6．在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=6，AC=8，则tanA的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正切的定义计算即可．【解答】解：tanA==，故选：B．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．7．某反比例函数象经过点（﹣1，6），则下列各点中此函数图象也经过的是（）A．（﹣3，2）B．（3，2） C．（2，3） D．（6，1）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】函数思想．【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（﹣1）×6=﹣6的，就在此函数图象上．【解答】解：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，∴此函数的比例系数是：（﹣1）×6=﹣6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是﹣6的，就是符合题意的选项；A、（﹣3）×2=﹣6，故本选项正确；B、3×2=6，故本选项错误；C、2×3=6，故本选项错误；D、6×1=6，故本选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．8．把抛物线y=x2向右平移3个单位，然后再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣3）2﹣2 B．y=（x﹣3）2+2 C．y=（x+3）2+2 D．y=（x+3）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=x2的顶点为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（3，﹣2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（3，﹣2），所以平移后抛物线的解析式为y=（x﹣3）2﹣2．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．9．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数．【解答】解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，∴∠OFA=（180°﹣130°）÷2=25°．故选：C．【点评】考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．同时考查了正方形的性质和等腰三角形的性质．10．快车与慢车分别从相距420千米的甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地．快慢两车距各自出发地的路程y（千米）与所用的时间x（时）的关系如图所示，下列说法正确的有（）①快车返回的速度为140千米/时；②慢车的速度为70千米/时；③出发小时时，快慢两车距各自出发地的路程相等；④快慢两车出发小时时相距150千米．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一次函数的应用．【分析】根据题意，快车往返行驶的时间与慢车驶往甲地的时间相同，再根据速度=路程÷时间分别求出两车的速度即可；然后分别求出x=和时两车行驶的路程，再判断即可．【解答】解：∵快车到达乙地后停留1小时，快车比慢车晚1小时到达甲地，∴快车往返行驶的时间与慢车驶往甲地的时间相同，∴快车的速度==140千米/时，故①正确；慢车的速度==70千米/时，故②正确；x=时，快车到达乙地又返回，行驶路程=（﹣1）×140=千米，慢车路程=×70=千米，∵420×2﹣=千米，∴快慢两车距各自出发地的路程相等，故③正确；x=时，甲乙还没有相遇，二者相距：420﹣×（140+70）=420﹣270=150千米，故④正确．综上所述，说法正确的有①②③④共4个．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要是行程问题的考查，读懂题目信息以及函数图象表示的行驶过程是解题的关键，难点在于出发小时时快车到达乙地并且休息后已经返回．二、填空题11．将60250000用科学记数法表示为 6.025×107．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：60250000=6.025×107．故答案为：6.025×107．【点评】此题考查科学记数法表示较大数的方法，准确确定a与n值是关键．12．函数y=的自变量取值范围是x≠2 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．【解答】解：根据题意得，2﹣x≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．13．计算：﹣= ﹣．【考点】二次根式的加减法．【分析】首先化简二次根式进而合并同类二次根式得出答案．【解答】解：原式=3﹣4=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．14．不等式组的解集是﹣1≤x≤3 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x≤3，故此不等式组的解集为：﹣1≤x≤3．故答案为：﹣1≤x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．反比例函数的图象经过点（﹣2，4），其解析式为y=﹣．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【专题】待定系数法．【分析】因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），由图象可知，函数经过点P（﹣2，4），∴4=﹣，得k=﹣8，∴反比例函数解析式为y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．16．若点A（n，2）与点B（﹣3，m）关于原点对称，则n﹣m= 5 ．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】直接利用关于原点对称点的坐标性质得出m，n的值即可．【解答】解：∵点A（n，2）与点B（﹣3，m）关于原点对称，∴n=3，m=﹣2，则n﹣m=3﹣（﹣2）=5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=，则AC= 1 ．【考点】解直角三角形．【分析】先根据锐角三角形的定义求出BC，再判断出AC=BC即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA===，∴BC=1，∵sinA=∴锐角∠A=45°，∴∠B=∠A=45°，∴AC=BC=1，故答案为：1，【点评】此题是解直角三形，主要考查了锐角三角函数，解本题的关键是掌握锐角三角函数的定义，和特殊角的三角函数值．18．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= 70 °．【考点】旋转的性质．【专题】探究型．【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，∴△OAB≌△OA1B1，∴∠A1OB1=∠AOB=30°．∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°．故答案为：70．【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．19．矩形ABCD中，AB=4，BC=9，点P为BC的三等分点，连接AP，则sin∠PAB= 或．【考点】矩形的性质；解直角三角形．【分析】首先根据题意画出图形，然后由点P为BC的三等分点，分别从BP=BC与BP=BC，去分析求解即可求得答案．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵BC=9，点P为BC的三等分点，∴BP=BC=3或BP′=BC=6，∴AP==5，AP′==2，∴sin∠PAB==或sin∠P′AB===．故答案为：或．【点评】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．20．如图，在正方形ABCD中，点E是线段AD上的一点，以EC为斜边作等腰直角△ECF，连接BF，若AE=2，DE=3，则线段BF的长度为2．【考点】正方形的性质；等腰直角三角形．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ACE∽△DCF，得，求出DF=，再证明E、C、F、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得∠CDF=∠CEF=45°，得△BDF是直角三角形，利用勾股定理求BD和BF的长即可．【解答】解：如图，连接AC、BD、DF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ACD=∠BDC=∠BCD=×90°=45°，AC=CD，∴∠ACE+∠ECD=45°，∵△ECF为等腰三角形，∴∠ECF=45°，EC=CF，∴∠ECD+∠DCF=45°，∴∠ACE=∠DCF，∵，，∴，∴△ACE∽△DCF，∴，∵AE=2，∴DF=，∵∠ADC=∠EFC=90°，∴E、C、F、D四点共圆，∴∠CDF=∠CEF=45°，∵∠BDC=45°，∴∠BDF=∠BDC+∠CDF=90°，∵AE=2，ED=3，∴AD=5，∴正方形的边长为5，由勾股定理得：BD2=AB2+AD2=52+52=50，在Rt△BDF中，BF===2，故答案为：2．【点评】本题考查了正方形、等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质和判定，知道等腰直角三角形的斜边是一直角边的倍，且锐角为45°；熟练掌握正方形的各边相等，各角为90°，且对角线与边的夹角为45°，在计算边长时可以利用三角形相似和勾股定理列方程求解；同时还运用了四点共圆的性质和判定得出角的度数，从而使问题得以解决．三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．先化简，再求代数式的值，其中a=2sin60°+tan45°．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【专题】探究型．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•（a+1）=，∵a=2×+1=+1，∴原式===．【点评】本题考查的是分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），B（0，5）．（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2；（3）直接写出∠OAB的度数．【考点】作图-旋转变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕原点O逆时针方向旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后与点O顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B关于原点O的中心对称点A2、B2的位置，然后与点O顺次连接即可；（3）根据网格结构可以作出以∠OAB为锐角的等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答．【解答】解：（1）△OA1B1如图所示；（2）△OA2B2如图所示；（3）如图，∠OAB为等腰直角三角形的一个锐角，所以，∠OAB=45°．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，等腰直角三角形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．23．如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】（1）将点A（1，2）代入双曲线y=，求出k2的值，将B（m，﹣1）代入所得解析式求出m的值，再用待定系数法求出k1和b的值，可得两函数解析式；（2）根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究；（3）根据A、B点的横坐标结合图象进行解答．【解答】解：（1）∵双曲线y=经过点A（1，2），∴k2=2，∴双曲线的解析式为：y=．∵点B（m，﹣1）在双曲线y=上，∴m=﹣2，则B（﹣2，﹣1）．由点A（1，2），B（﹣2，﹣1）在直线y=k1x+b上，得，解得，∴直线的解析式为：y=x+1．（2）∵在第三象限内y随x的增大而减小，故y2＜y1＜0，又∵y3是正数，故y3＞0，∴y2＜y1＜y3．（3）由图可知x＞1或﹣2＜x＜0．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出交点坐标是解题的关键一步．24．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD=2∠MCD，∠ACB=90°，AC=BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由CN∥AB，MA=MC，易证得△AMD≌△CMN，则可得MD=MN，即可证得：四边形ADCN是平行四边形．（2）由∠AMD=2∠MCD，可证得四边形ADCN是矩形，又由∠ACB=90°，AC=BC，可得四边形ADCN是正方形，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵CN∥AB，∴∠DAM=∠NCM，在△ADM和△CNM中，，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴MD=MN，∴四边形ADCN是平行四边形．（2）解：∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，∴∠MCD=∠MDC，∴MC=MD，∴AC=DN，∴▱ADCN是矩形，∵AC=BC，∴AD=BD，∵∠ACB=90°，∴CD=AD=BD=AB，∴▱ADCN是正方形，∴AN=AD=BD=CD=CN．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．注意证得△AMD≌△CMN与四边形ADCN是正方形是解此题的关键．25．六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？（2）该服装A品牌每套售价为130元，B品牌每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x﹣25）元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；（2）首先设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装（2a+4）套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式（130﹣100）a+（95﹣75）（2a+4）＞1200，再解不等式即可．【解答】解：（1）设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x﹣25）元，由题意得：=×2，解得：x=100，经检验：x=100是原分式方程的解，x﹣25=100﹣25=75，答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；（2）设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装（2a+4）套，由题意得：（130﹣100）a+（95﹣75）（2a+4）＞1200，解得：a＞16，答：至少购进A品牌服装的数量是17套．【点评】本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A、B两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．26．如图，△ABC是等边三角形，AE∥BC，点D在线段AC的延长线上，连接DE、DB，且DB=DE；（1）求证：∠BDE=60°；（2）点F在线段AB上，连接DF，且BD=DF，求证：AF=CD；（3）在（2）的条件下，作EM⊥BC，垂足为点M，连接DM，若AF：BF=3：2，CM=1，求线段DM的长度．【考点】三角形综合题．【分析】（1）如图1中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N．只要证明△DGB≌△DNE，得∠BDG=∠EDN，推出∠BDE=∠GDN，求出∠GDN即可解决问题．（2）证明：如图2中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N．连接BE．只要证明△ABE≌△CBD，△ADF≌△ADE，即可推出AF=AE=CD．（3）如图3中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N，DN交BC的延长线于K．设AB=BC=AC=5a，则BG=GF=EN=KM=a，由CK∥AN，推出=，列出方程求出a，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∵AE∥BC，∴∠CAE=∠ACB=60°，∴∠CAB=∠CAE，∵DG⊥AB，DN⊥AE，∴DG=DN，∠DGB=∠N=90°，在Rt△DGB和△DNE中，，∴△DGB≌△DNE，∴∠BDG=∠EDN，∴∠BDE=∠GDN∵∠GDN=360°﹣∠AGD﹣∠N﹣∠GAN=60°，∴∠BDE=60°．（2）证明：如图2中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N．连接BE．由（1）可知∠BDE=60°，∵DB=DE，∴△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠EBD=60°，∵∠ABC=∠EBD=60°，∴∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD，由（1）可知，△DGB≌△DNE，∴∠DBG=∠DEN，∵DB=DF，∴∠DBF=∠DFB，∴∠DFB=∠DEN，∴∠AFD=∠AED，在△ADF和△ADE中，，∴△ADF≌△ADE，∴AF=AE，∴AF=CD．（3）解：如图3中，作DG⊥AB于G，DN⊥AE于N，DN交BC的延长线于K．设AB=BC=AC=5a，∵AF：BF=3：2，BG=FG，∴GF=BG=a，∵四边形ENKM是矩形，∴EN=KM=BG=a，AN=AE+EN=4a，CK=CM+MK=1+a，∵CK∥AN，∴=，∴=，∴a=2，∴CD=6，在Rt△CDK中，∵∠DCK=60°，∠CK D=90°，∴∠CDK=30°，∴CK=CD=3，∴DK==3，∴DM===．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线性质定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．27．（10分）（2016秋•哈尔滨校级月考）如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∠CBO=45°，OB=4OA．（1）求抛物线的解析式；（2）当P为抛物线上在第一象限图象上一点，设点P的横坐标为m，点D在线段CO上，CD=m，当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，求P点坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在抛物线上一点Q，使∠PCB=∠APQ？若存在，求Q点的横坐标；若不存在请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先确定出点C的坐标，进而得出点B，A坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先表示出点D坐标，进而得出E的坐标，由等腰三角形的性质得出PE⊥CD，从而得出点P坐标代入抛物线解析式即可；（3）先判断出点A，D，P在同一条直线上，将∠BCP转化成∠FDP上，再分两种情况计算，①利用平行线即可得出直线PQ解析式，从而求出抛物线和直线PQ交点坐标即可，②利用等腰三角形的性质得出点N坐标，即可求出直线PQ'的解析式，从而求出抛物线和直线PQ'的交点坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点C，∴C（0，4），∴OC=4，∵∠BOC=90°，∠CBO=45°，∴OB=OC=4，∴B（4，0），∵OB=4OA，∴OA=1，∴A（﹣1，0），∴，∴，∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4．（2）如图1，过点P作PE⊥CD，∵C（0，4），CD=m，∴D（0，4﹣m），∴CD的中点E坐标为（0，4﹣），∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴PE⊥CD，∴P（m，4﹣），∵点P在抛物线y=﹣x2+3x+4上，∴4﹣=﹣m2+3m+4，∴m=0（舍）或m=，∴D（0，），P（，）；即：P（，）；（3）存在点Q，理由：如图2，由（2）知，D（0，），P（，）；∵A（﹣1，0），∴直线AP的解析式为y=x+，∵D（0，），∴点A，D，P在同一条直线上，过点D作DF⊥BC，则∠OCB=∠CDF=45°，∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=45°+∠BCP，∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴∠OCP=∠CDP，∴∠CDP=∠CDF+∠FDP=45°+∠FDP=45°+∠BCP，∴∠FDP=∠BCP，∵∠PCB=∠APQ，∴∠FDP=∠APQ，①当点Q在第三象限时，过点P作PQ∥DF，则PQ和抛物线的交点就是Q，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y=﹣x+4，∵D（0，），∴直线DF的解析式为y=x+，∵P（，），∴直线PQ解析式为y=x﹣①，由（1）知，抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4②．联立①②得，（此种情况是点P坐标）或，∴Q（﹣，﹣），∴Q点的横坐标为：﹣，②当点Q在第二象限是时，过点P作∠APQ'与DF相交于N，∴ND=NP，∴ND2=NP2，∵直线DF解析式为y=x+，∴设点N（n，n+），∵D（0，），P（，），∴ND2=n2+（n+﹣）2=2n2，NP2=（n﹣）2+（n+﹣）2，∴2n2=（n﹣）2+（n+﹣）2，∴n=，∴N（，），∵P（，），∴直线PQ'解析式为y=x+③，联立②③得，（此种情况是点P的坐标）或，∴Q'（，），∴Q'点的横坐标为：﹣，即：Q点的横坐标为：﹣和﹣．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平行线的性质，函数图象的交点坐标，解本题的关键是将∠BCP转化成∠FDP上，难点是判断出点A，D，P在同一条直线上，也是解（3）的突破口．。