习题课-不定积分的计算方法
举例说明不定积分计算的一些常用方法
举例说明不定积分计算的一些常用方法不定积分是微积分中一个重要的概念，常常用于计算函数的原函数。
在计算不定积分时，常用的方法包括分部积分法、换元积分法、三角恒等变换等。
1.分部积分法：分部积分法是求解积分时最常用的方法之一，适用于两个函数相乘的形式。
其基本思想是将原函数拆分成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式进行求解。
具体步骤如下：设$f(x)$和$g(x)$是两个具有连续导数的函数，则有$\intf(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx$。
例如，我们要计算$\int x \sin(x)dx$，可以令$f(x) = x$和$g'(x)=\sin(x)$。
然后再根据公式，计算出$f'(x)$和$g(x)$，最后代入公式进行计算即可。
2.换元积分法：换元积分法也是常用的一种方法，适用于使用一个变量替换另一个变量的情况。
通过设定适当的变量替换，可以将原函数转换成更容易处理的形式。
具体步骤如下：设$x=g(t)$，则$dx=g'(t)dt$，将上述两式代入不定积分，则有$\int f(g(t))g'(t)dt$，然后对$t$进行求解。
例如，我们要计算$\int xe^x dx$，可以令$u = x$和$dv = e^xdx$，则$du = dx$和$v = \int e^xdx = e^x$。
然后套用换元积分公式$\int udv = uv - \int v du$，我们可以得到$\int xe^x dx = xe^x - \inte^xdx = xe^x - e^x + C$，其中$C$为常数。
3.三角恒等变换：三角恒等变换适用于含有三角函数的积分，通过将三角函数转换成三角恒等式的形式，可以简化计算过程。
常用的三角恒等式有正弦、余弦、正切、余切等。
例如，我们要计算$\int \sin^2x dx$，可以利用三角恒等式$\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$，将原函数转换成更容易进行积分的形式。
不定积分的计算
5 u 4 du u 5 c sin 5 2 x c. 引出凑公式法: Th 若 f ( x) dx F ( x) c,
u sin 2 x
(x )
连续可导,
则
f [ (t)] ( t) dt F [ (t )] c.
该定理可叙述为： 若函数 g (t ) 能分解为 g ( t ) f [ ( t )] (t ) 则有
们就可以用分部积分把不容易积分的 例4 若令
u (x )v (x )dx
计算出来
u x , v cos x v sin x ， 代入分部积分公式
x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
但若令 u cos x , v x v x 2 / 2 ， 代入分部积分公式 x2 1 x cos xdx cos x x 2 sin xdx 2 2 比原积分还复杂
x ln xdx
u ln x , v x v x 2 / 2
相比之下显然， x 容易积分，所以取
x2 1 x2 x2 x2 x ln xdx 2 ln x x 2 dx 2 ln x 4 C
由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那 个作 u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计 算不出来。 分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则： 一般应把 （相比之下） 容易积分， 积分后比较简单的函数作为 v ， 积分较难或积分后比较复杂的函数作为 u 例 4
2 arctgtdarctgt ( arctgt ) 2 c ( arctg x ) 2 c . 其他凑法举例: 例 18 e x e x d (e x e x ) dx x ln( e x e x ) c . e x e x e ex ln x 1 d ( x ln x ) (x ln x ) 2 dx (x ln x )2
不定积分计算的各种方法
不定积分计算的各种方法不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
计算不定积分的方法有很多种，下面将介绍其中常用的几种方法。
1.替换法（换元法）：替换法是求不定积分最常用的方法之一、通过引入一个新的变量代替原函数中的一部分，使得被积函数被替换为新变量的导数形式。
然后将积分转化为新变量的积分，最后再将结果换回原变量。
替换法适用于当被积函数具有其中一种特殊形式时，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
2.分部积分法：分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。
它通过将被积函数拆分成两个函数的乘积形式，然后将积分转化为其中一个函数的积分和另一个函数的导数的积分。
这个方法适用于当被积函数是两个函数的乘积形式时。
3.微分方程法：微分方程法适用于求解一些具有特殊形式的微分方程的原函数。
通过将微分方程转化为不定积分形式，并通过求解该不定积分得到原函数。
4.图像法：图像法适用于当被积函数的几何意义或图像特点已知时。
通过观察被积函数的几何性质，可以直接得出不定积分的结果。
5.线性代数法：线性代数法是一种较为复杂的计算不定积分的方法，适用于一些特殊的被积函数形式。
它通过将被积函数视为多项式的线性组合形式，并利用线性代数中的方法求解。
6.对称性法：对称性法适用于具有对称性质的被积函数。
通过利用函数的对称性质，可以将不定积分简化为更容易处理的形式。
7.勾股定理法：勾股定理法适用于当被积函数具有勾股定理形式时。
通过利用勾股定理，可以将不定积分转化为勾股定理的逆定理的形式，然后求解。
8.换项法：换项法适用于当被积函数的形式与换项公式相似时。
通过将被积函数拆分成一个或多个项的和的形式，然后通过换项公式对其中的其中一项进行换项，从而简化积分计算。
综上所述，计算不定积分时常用的方法有替换法、分部积分法、微分方程法、图像法、线性代数法、对称性法、勾股定理法和换项法等。
在实际计算中，可以根据被积函数的特点选择相应的方法，以简化计算过程并求得准确的结果。
求不定积分的方法
求不定积分的方法不定积分方法是微积分中常见而重要的一类问题，求解不定积分可以通过多种方法，下面将介绍常见的一些方法。
1.基本积分公式和微分运算法则：根据基本积分公式和微分运算法则，可以求出一些常见函数的不定积分。
例如，对于幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数和对数函数等，我们可以根据其定义和性质直接求得其不定积分。
2. 分部积分法：分部积分法是一种通过递归的方式将一个积分问题转化为一个更简单的积分问题的方法。
具体来说，对于两个函数f(x)和g(x)，我们可以通过分部积分公式∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) -∫F(x)g'(x)dx来求解不定积分。
这一方法在解决乘积函数的积分问题时特别有用。
3. 代换法：代换法是一种通过变量代换的方式来简化不定积分的方法。
具体来说，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx的不定积分，我们可以选择一个新的变量u=g(x)，然后将原来的不定积分转化为∫f(u)du的形式，从而通过求解新的不定积分来得到最终结果。
4.其他方法：除了上述方法，还有一些其他的不定积分方法可以用来求解特定类型的问题。
例如，对于一些特殊函数（如分式函数、反函数和超越函数等），我们可以尝试利用特殊的积分技巧来求解其不定积分。
此外，对于一些复杂的函数，我们还可以利用级数展开、极限转换或积分换元等方法来求解其不定积分。
总结起来，求解不定积分的方法是多种多样的，根据具体的问题和函数类型选择合适的方法是很重要的。
通过熟练掌握基本积分公式和微分运算法则，以及灵活运用分部积分法、代换法和其他方法，我们可以更好地解决不定积分问题。
然而，在实际应用中，求不定积分往往是一个复杂而耗时的过程，需要充分发挥数学思维和技巧，结合实际问题的特点进行合理选择和灵活运用。
不定积分的计算方法I
不定积分的计算方法I不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数的原函数过程中的一个步骤。
不定积分也叫作反导函数，即给定一个函数f(x)，求它的原函数F(x)。
在数学中，原函数与给定函数的导函数相等。
不定积分的计算方法有很多，下面我将介绍几种常见的计算方法。
1.基本积分法：基本积分法是一种基于已知函数的简单积分表格，通过查表得到积分结果的方法。
对于一些常见的函数，我们可以通过查找积分表格来得到它们的积分结果。
例如常见的幂函数、指数函数、三角函数等。
当然，这些函数在求导的时候也是通过已知的导函数公式求得的。
2.分部积分法：分部积分法是一种适用于乘积函数的积分法则。
给定两个函数u(x)和v(x)，我们可以通过分部积分法计算积分∫u(x)v(x)dx。
分部积分法的公式表达为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
通过选择适当的u(x)和v'(x)，我们可以将这个积分化简为更容易求解的形式。
3.代换法：代换法也叫变量代换法，是一种通过变量代换来改变积分变量从而简化积分运算的方法。
对于一些复杂的函数积分，我们可以通过合理地选择变量代换来将积分变为更简单的形式。
例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx 的积分，我们可以选择u=g(x)来进行变量代换，从而将积分转化为∫f(u)du的形式。
4.部分分式分解法：部分分式分解法是一种将一个有理函数拆解为若干简单的分式相加的方法，从而简化积分运算的方法。
对于一些有理函数，我们可以通过部分分式分解将其分解为一系列分式相加的形式，再对每一项分式进行不定积分。
5.定积分的性质：在计算不定积分时，我们也可以利用定积分的性质来进行简化。
例如，如果需要计算∫(f(x)+g(x))dx，我们可以先计算∫f(x)dx和∫g(x)dx，然后将两个结果相加。
类似地，对于∫f(x)g'(x)dx，我们可以利用定积分的性质将其转化为∫f(x)dg(x)dx。
积分计算的求解方法例题
积分计算的求解方法例题1. 引言积分是数学中重要的概念之一，在计算和解决实际问题中起着关键作用。
本文将给出一些积分计算的求解方法例题，帮助读者更好地理解和应用积分的概念。
2. 方法示例2.1 不定积分不定积分是指求出一个函数的原函数的过程，通常以积分符号∫ 表示。
下面是一个不定积分的求解示例：例题1：求解不定积分∫(4x^3 + 2x^2 - 3x + 1) dx。
解：根据积分的性质，不定积分的求解是逐项求解的。
首先，我们计算每一项的不定积分：∫(4x^3) dx = x^4 + C1∫(2x^2) dx = 2/3 x^3 + C2∫(-3x) dx = -3/2 x^2 + C3∫(1) dx = x + C4其中 C1、C2、C3、C4 是常数项。
最后，将每一项的不定积分相加，得到整个函数的原函数：∫(4x^3 + 2x^2 - 3x + 1) dx = x^4 + 2/3 x^3 - 3/2 x^2 + x + C2.2 定积分定积分是指在一个区间上求一个函数的积分值的过程，通常用符号∫[a, b] 表示。
下面是一个定积分的求解示例：例题2：计算定积分∫[0, 2] (x^2 + 3x) dx。
解：根据定积分的定义，首先我们求出函数 (x^2 + 3x) 在区间 [0, 2] 上的原函数 F(x)。
然后，计算 F(2) 和 F(0)，并求出它们之间的差值：F(2) = 2^3/3 + 3*2^2/2 = 8/3 + 12/2 = 8/3 + 6 = 26/3F(0) = 0^3/3 + 3*0^2/2 = 0 + 0 = 0最后，将 F(2) 和 F(0) 的差值作为积分的结果：∫[0, 2] (x^2 + 3x) dx = F(2) - F(0) = 26/3 - 0 = 26/33. 总结本文介绍了积分计算的两种求解方法：不定积分和定积分。
不定积分是求解函数的原函数，而定积分是在一个区间上求函数的积分值。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法基本的三种不定积分方法是：代入法、分部积分法和换元法。
这些方法都用于求解函数的不定积分，即求函数的原函数。
1.代入法：代入法是基本的一种不定积分方法。
它通过选取适当的变量代换，将被积函数转化为更容易求解的形式。
首先，通过观察被积函数的形式，选取一个变量代换来简化函数。
例如，如果被积函数中有一个较为复杂的根式，我们可以选取一个新的变量，使得根式可以被表示为新变量的幂函数。
然后对新变量进行求导和求逆，并用新变量替代原变量进行积分。
举个例子，如果我们计算不定积分∫(x/(1+x²)) dx，我们可以选取u=1+x²，使得被积函数可以表示为 du/dx。
然后我们对等式两边同时求导，得到 du=2xdx，进而得到∫(x/(1+x²)) dx = ∫(1/u) du。
通过代入法，我们将原来的被积函数转化为了一个更简单的函数进行积分。
2.分部积分法：分部积分法是另一种常用的求不定积分的方法。
它是导数乘积的逆运算，通过将一个积分分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数的导数形式可以被简化。
分部积分法的公式为∫(u dv) = uv - ∫(v du)。
其中 u 和 v 分别为两个待定函数，du 和 dv 分别为其导数。
具体应用分部积分法时，我们首先选择一个函数 u 作为被积函数的导数，然后选取另一个函数 dv，使得 dv 尽可能简单。
然后我们计算出u 的导数 du 和 v 的不定积分。
例如，对于不定积分∫(x sinx) dx，我们可以选取 u=x，dv=sinx。
然后计算出 du=dx 和v=∫sinx dx=-cosx。
最后根据分部积分法公式，我们得到∫(x sinx) dx = -xcosx + ∫cosx dx = -xcosx + sinx + C。
通过分部积分法，我们将原来的被积函数分解为两个函数的乘积，以便其中一个函数可以更容易地被积分。
3.换元法：换元法是一种常用的不定积分方法。
不定积分的算法
不定积分的算法
不定积分的算法：
一、积分公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
二、换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
1、第一类换元法（即凑微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。
进而求得原不定积分。
2、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：
（1）根式代换法。
（2）三角代换法。
在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。
三、分部积分法
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。
移项得到udv=d(uv)-vdu，两边积分，得分部积分公式：∫udv=uv-∫vdu ⑴。
称公式⑴为分部积分公式。
如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u，v。
求不定积分的方法与技巧
求不定积分的方法与技巧不定积分是微积分的一个重要概念，它常被用于求出函数的原函数。
在求不定积分时，我们需要掌握一些方法和技巧，下面将介绍一些常用的方法。
1.基本积分法：这是最基本的积分方法，也是需要重点掌握的。
它是指利用函数的基本积分公式来求解不定积分。
如常数函数、幂函数、指数函数、三角函数的基本积分公式。
2.运用换元法：换元法是求不定积分中非常常用的一种方法。
它可以将原函数转化为另一个变量的函数，并通过对新变量的积分求解。
换元法中的关键是选择合适的替换变量和微分形式。
需要特别注意的是，替换变量一定要进行对应的替换。
3.部分分式法：部分分式法常用于求解有理函数的积分。
有理函数指的是多项式除以多项式的形式。
我们可以将有理函数进行分解，然后再分别进行积分。
其中分解的关键是根据多项式的次数进行合适的分子分母的拆分。
4.三角函数的积分：三角函数的积分是求不定积分中比较常见的一类问题。
需要掌握三角函数之间的积分关系，比如正弦函数、余弦函数、正切函数等的积分公式。
在求解三角函数的积分时，可能需要通过换元法或其他方法将其转化为其他函数的积分形式。
5.分部积分法：分部积分法是求不定积分中常用的一种方法，它类似于求导中的乘积法则的逆过程。
即将一个复杂的积分问题转化为两个较简单的积分问题。
在利用分部积分法时，需要选择合适的因子进行拆分，通常选择一个函数进行求导，另一个函数进行积分。
6.对称性和周期性的运用：对于一些特殊函数或特殊区间上的函数，可以利用其对称性和周期性来简化积分计算。
比如对称函数在对称区间上的积分值为零，周期函数的平均值积分等。
7.径向对称结构的积分：对于具有很多共轭因子的积分表达式，可以利用极坐标变换将其转化为极坐标系下的积分形式。
实现径向对称，使原积分化简。
8.利用积分性质：积分有一些常用的性质，比如线性性质、分段性质等。
通过运用这些性质，可以将复杂的积分问题简化为更容易求解的形式。
比如可以将一个积分表达式拆分为多个积分求和的形式。
常见不定积分的求解方法
常见不定积分的求解方法常见的不定积分求解方法有以下几种：1.直接反求导法：根据已知函数的导函数的特征，反向求解原函数。
例如，对于常见的函数，如多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数，可以直接运用基本导数公式进行反求导。
2. 分部积分法：适用于求解由两个函数的乘积构成的积分。
分部积分法是应用导数的乘法法则对乘积进行转化，即∫[u(x)v'(x)]dx =u(x)v(x) - ∫[v(x)u'(x)]dx。
通过反复使用分部积分法，可以将复杂的积分转化为易于求解的形式。
3.换元积分法：也被称为代换法或变量替换法。
通过对被积函数中的自变量进行替换，将原函数表达式转化为一个更容易求解的形式。
常见的替换方式包括三角代换、指数代换、倒数代换等。
4.三角恒等变换：适用于含有三角函数的积分。
根据三角函数的特性和恒等变换公式，将函数中的三角函数进行替换或转换，进而简化积分表达式。
5.格斯宾公式：适用于含有根式的积分。
格斯宾公式是一种将根式积分转变为有理函数积分的方法，通过对根式进行分子有理化、配凑分母等方式进行变换，从而使得积分变得更容易求解。
6.球体坐标和柱体坐标的应用：在求解具有球对称性或柱对称性的问题时，可以通过将直角坐标系转换为球体坐标系或柱体坐标系，以简化积分的求解。
7.特殊积分方法：一些具有特殊特征的积分可以使用特殊的方法进行求解，如分式分解法、欧拉代换法、辛普森三分法、求和法等。
需要注意的是，不同的积分表达式可能需要结合多种方法来求解。
在实际求解过程中，需要根据具体的积分形式和所学的积分方法选择合适的求解策略。
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8. 计算积分 1) x arctan x ln(1 x 2 )dx;
令 f ( x ) x ln(1 x 2 ), 则 解： 1 2 1 x2 2 x 2 x ln(1 x 2 ) f ( x ) x ln(1 x )dx 2 dx 2 2 1 x 1 2 1 x2 1 1 2 x ln(1 x 2 ) dx 2 2 2 x 1 1 2 1 2 1 d ( x 2 1) x ln(1 x 2 ) x 2 2 2 2 x 1 1 2 1 2 1 2 x ln(1 x ) x ln(1 x 2 ) C 2 2 2 1 1 2 2 2 (1 x ) ln(1 x ) x C 2 2
7. 设函数 y f ( x ) 是由方程 ( x y ) y x 所确定的隐 dx 函数，求 2 ; y
2 2
解： 设 y tx, 代入方程 y ( x y ) x ,
2 2
t x ( x tx ) x t (1 t ) x 1 1 1 3t 2 x 2 , y . dx 3 2 dt t (1 t ) t (1 t ) t (1 t ) 2 dx 2 2 3t 2 y 2 t (1 t ) t 3 (1 t )2 dt (3 t )dt 3y y 2 ln C 3t 2 ln | t | C x x
指数代换
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 .
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,
定都能积出.
例如 ,
1 k sin x dx (0 k 1) ,
6. 设 f ( x ) 是单调连续函数， f 1 ( x ) 是它的反函数， 且 f ( x )dx F ( x ) C , 求 f ( x )dx;
1
x f ( f 1( x )) F ( f 1( x )) 解：
f 1 ( x )dx xf 1 ( x ) xdf 1 ( x ) xf 1 ( x ) f ( f 1 ( x ))df 1 ( x )
xf 1( x ) F ( f 1( x )) C
或令 f 1( x ) y, x f ( y )
f 1 ( x )dx ydf ( y ) yf ( y ) f ( y )dy
yf ( y ) F ( y ) C
f 1( x ) x F ( f 1( x )) C
( x 1)3 1 A B C D E 2 3 2 2 x 1 ( x 1) x 1 ( x 1) ( x 1)3 ( x 1) ( x 1)
3 1 3 A , B , C , 16 8 16
1 D , 4 1 E . 4
ln( xe x ) ln(1 xe x ) C
1 4） 4 . 4 dx sin x cos x
2 sec2 2 xdx I 1 2 2 sec2 2 x tan 2 2 x 1 sin 2 x 2 d tan 2 x 1 tan 2 x arctan C 2 2 2 tan 2 x 2
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
第一类换元法 第二类换元法
(代换: x (t ))
(注意常见的换元积分类型)
3. 分部积分法
t 2 ( t 2 3) 原式 3 2 2 dt 3 t ( t 1) t 2 2 t 1 t 1
1
ln ( x y ) 1 C
1 2 2
例5. 求 解: 原式 arctane xde x
ex e arctan e e x 2 x dx 1 e
1.计算下列积分
1） .
1 ln x dx x ln x
t 2 1
令 1 ln x t ,
t 2 1
xe
, dx 2te
t 2 1
dt
t2 1 I t 2 1 2 2 2 dt 2 [1 2 ]dt t 1 e ( t 1) t 1
dt
t 2te
x 1 3） . x dx x(1 xe )
e ( x 1) d ( xe ) I x x dx xe (1 xe ) xe x (1 xe x )
x x
令 xe t，则
x
dt I ln | t | ln | t 1 | C t ( t 1)
x x
e x arctan e x
x x
(1 e ) e dx 2x 1 e
2x 2x
e arctan e x 1 ln (1 e 2 x ) C 2
例6. 设
证明递推公式:
1 n2 n 2 In sec x tan x I n 2 n 1 n 1
例10 求不定积分 解: 原式
1 ( 2 u )( u2 1)
A 2 u
uB 1 uC 1
例11. 求
解: I
( n 为自然数)
dx ( x a ) ( x b) n
x a x b
令
则
nt
n1
ab dt 2 dx ( x b)
n 1 n dt t2 b a t C ab
1 ln x 1 2 1 ln x ln C 1 ln x 1
dx 2） 6 2 . x ( x a2 ) dx 1 x 2 a 2 x 2 1 dx 1 I 2 6 2 2 dx a2 x6 a2 x4 ( x2 a2 ) a x (x a ) 2 2 2 1 1 x a x 2 5 2 4 2 2 dx 5a x a x ( x a ) 1 1 1 1 x 2 5 4 3 6 7 arctan C a 5a x 3a x a x a
2. 求 [ln f ( x ) ln f ( x )][ f 2 ( x ) f ( x ) f ( x )]dx
解： I [ln f ( x ) f ( x )]d ( f ( x ) f ( x ))
f ( x ) f ( x ) ln( f ( x ) f ( x )) f ( x ) f ( x ) d ( f ( x ) f ( x )) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )[ln( f ( x ) f ( x )) 1] C
证: I n sec
n 2
( n 2)
x sec x d x
2
n3
sec n 2 x
( n 2) sec x sec x tan x
sec
n2
x tan x ( n 2) secn 2 x (sec2 x 1) dx
sec n2 x tan x ( n 2) I n ( n 2) I n 2
4. 设 f (sin2 x ) cos 2 x tan 2 x，求 f ( x )； f ( x ) x ln | x 1 | C
2
5. 设 f (cos x 2) sin2 x tan 2 x，求 f ( x )；
1 1 f ( x) ( x 2) 2 C x 1 3
dx 6） 2 . a cos 2 x b 2 sin2 x
1 I 2 a
b dx 1 a d ( a tan x ) 2 b b b2 a 1 ( a tan x )2 cos 2 x(1 2 tan 2 x ) a 1 b arctan( tan x ) C ab a
例2. 求
解: 原式 [ ln( x 1 x ) 5 ] d [ ln( x 1 x 2 ) 5 ]
2
1 2
3 2 2 ln( x 1 x ) 5 2 C 3
分析:
d [ ln( x 1 x ) 5 ]
2
(1 2
2x 1 x 2
例9. 求
1 e
x 6
dx
x 2
e e
x 3
x 6
.
解: 令 t e , 则 x 6 ln t , dx 6 dt t dt dt 原式 6 6 3 2 (1 t t t ) t ( t 1)( t 2 1) t
dt 3 6 ln t 3 ln t 1 ln( t 2 1) 3arctan t C 2
f ( x) I arctan xdf ( x ) f ( x ) arctan x 2 dx 1 x
(1 x 2 ) ln(1 x 2 ) 1 x 2 2 f ( x ) arctan x dx 2 1 x 1 1 x2 2 f ( x ) arctan x ln(1 x )dx 2 dx 2 2 1 x 2 2 1 1 2x 1 x 2 f ( x ) arctan x x ln(1 x ) 2 dx 2 dx 2 2 1 x 2 1 x 1 3 x2 f ( x ) arctan x x ln(1 x 2 ) 2 dx 2 2 1 x 2 1 3 x 11 2 f ( x ) arctan x x ln(1 x ) 2 dx 2 2 1 x