复变函数：留数
复变函数第五章留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
复变函数与留数定理
复变函数与留数定理复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
复变函数具有许多独特的性质和定理，其中留数定理是复分析中的重要内容之一。
本文将介绍复变函数的基本概念和留数定理，并探讨其应用及相关性质。
一、复变函数的基本概念1. 复数与复平面复数由实部和虚部构成，可以表示为z=a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分，i为虚数单位。
复平面是以实部和虚部为坐标轴的平面，可将复数表示为一个点在平面上的位置。
2. 复变函数的定义复变函数f(z)是将复平面中的每个点z映射到另一个复数w的规则。
它可以表示为w=f(z)，其中z和w都是复数。
3. 解析函数解析函数是指在某个区域内可导的复变函数。
解析函数满足柯西-黎曼方程，即偏导数存在且连续。
4. 复变函数的性质与实变函数类似，复变函数也具有加法、乘法、除法和复合等性质。
此外，复变函数还具有解析性和保持拓扑的性质。
二、留数定理的基本概念1. 留数的定义留数是指复变函数在孤立奇点处的积分残余。
对于具有孤立奇点的复变函数，可以通过计算留数来求解相关积分。
2. 留数定理（1）留数定理的形式留数定理是指对于具有简单闭合围道的复变函数f(z)，其在围道内部的留数之和等于围道上的积分值。
数学上可表示为∮ f(z)dz = 2πi * (Sum(Res(f,zk)))，其中∮表示围道上的积分，Res表示留数。
（2）留数定理的应用留数定理在求解复分析中的积分具有重要作用。
它可以简化积分计算的过程，特别适用于含有极点和奇点的函数。
三、留数定理的应用案例1. 计算围道积分通过留数定理，我们可以将一些复杂的积分问题转化为计算围道内的留数。
根据留数定理，可以将围道上的积分转化为计算留数的和，从而简化计算过程。
2. 求解实数积分通过将实数积分转化为复数积分，并利用留数定理的性质，我们可以求解一些难以计算的实数积分。
这种方法被称为留数法，为求解实变函数积分提供了一种有效的途径。
3. 应用于物理问题留数定理在物理学中也有广泛的应用。
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数与留数定理
复变函数与留数定理复变函数在数学中有着重要的地位，它是实变函数的推广和扩展。
复变函数的研究依赖于留数定理，这是复分析中的重要概念。
本文将介绍复变函数以及留数定理的基本概念和应用。
一、复变函数的定义与性质复变函数是定义在复数域上的函数，其定义域和值域都是复数集合。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u和v是实变函数。
复变函数和实变函数的性质有相似之处，如连续性、可微性和可导性等。
但复变函数的导数是一个复数，具有方向和模的概念。
二、留数定理的基本概念留数是复变函数在孤立奇点处的特殊性质。
留数定理是复变函数理论中的核心内容之一。
对于函数f(z)，若z=a是它的孤立奇点，可以通过留数计算沿闭合曲线的积分。
留数定理包括留数定理、柯西公式和狄利克雷问题等。
1. 留数定理留数定理是针对有限孤立奇点的情况。
当f(z)在区域D内有孤立奇点a1,a2,...,an时，针对闭合曲线C内的函数f(z)，可以通过求解a1,a2,...,an处的留数来计算C上的积分。
这个定理在复积分计算、曲线积分和求和等问题中有广泛的应用。
2. 柯西公式柯西公式是留数定理的一个重要推论。
柯西公式表明，如果函数f(z)在区域D内解析（即可导），则它在D内的任何闭合曲线C上的积分为零。
这个结论为复变函数的求解和计算提供了方便。
3. 狄利克雷问题狄利克雷问题是留数定理与边值问题相结合的应用，它在电磁学和热传导等领域中起着重要作用。
狄利克雷问题可以通过留数定理求解，将定义在一条封闭曲线上的边值问题转化为计算特定点上的积分问题。
三、复变函数与实变函数的关系复变函数理论是实变函数理论的扩展和推广，两者之间有着密切的联系。
复分析的基本定理和方法可以归结为实分析的特殊情况，同时复分析也为实分析提供了新的解题思路和工具。
1. 复变函数的导数与实变函数的导数复变函数的导数是一个复数，可以表示为f'(z)=u_x+iv_x，其中u_x和v_x是u和v相对于x的偏导数。
复变函数的留数定理与辐角原理
复变函数的留数定理与辐角原理复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以分为解析函数和非解析函数两类。
而留数定理（Residue theorem）和辐角原理（Arg principle）是复变函数理论中重要的两个定理，它们在解析函数的研究和应用中具有重要的作用。
一、复变函数的留数定理留数定理是由法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）在19世纪末提出的，它给出了计算复变函数沿封闭曲线的积分的方法。
留数定理的核心思想是：对于在圆盘上解析的函数，它的积分仅与它在圆盘内的奇点（亦即解析函数的不可导点）有关。
设f(z)是圆盘D内的解析函数，z_0是D内的孤立奇点，那么f(z)在z_0处的留数（residue）可以通过下式计算得到：Res(f, z_0) = (1/2πi) ∮f(z)dz其中，∮表示沿着封闭曲线的积分。
这个公式可以方便地计算复杂数学问题中的积分，特别是在计算围道积分时非常有用。
二、复变函数的辐角原理辐角原理是由奥地利数学家黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪中提出的，它描述了复变函数在解析域内辐角变化的性质。
辐角原理的核心思想是：如果在解析域内有一个点z_0，使得f(z_0) = 0，则f(z)在z_0附近的辐角将增加或减少2π的整数倍。
具体而言，对于在解析域Ω内解析的函数f(z)，假设z_0是f(z)的零点，那么f(z)在z_0附近的辐角变化等于z从z_0沿着封闭曲线C绕行一周的辐角变化：Δα = Arg(f(z)) = (1/2π) Δθ其中，Δα表示辐角的变化量，Δθ表示z从z_0沿着C绕行一周所对应的角度变化量。
迄今为止，辐角原理在解析函数的研究和应用领域起到了重要作用。
它为复变函数的数学分析提供了有力的工具和方法。
综上所述，复变函数的留数定理和辐角原理是复变函数理论中的两个重要定理。
留数定理利用留数的概念，提供了计算复变函数沿封闭曲线积分的方法；辐角原理研究解析函数的辐角特性，描述了函数在零点附近的辐角变化规律。
复变函数-留数定理
dz 例 计算积分 ， 其中，C 为 8 2 C ( z i ) ( z 1) ( z 3) 正向圆周： z 2.
1 解 记 f (z) ， 则 8 2 ( z i ) ( z 1) ( z 3) 除 点外，被积函数的有限奇点为： i， 1， 3， 由留数总和定理得 Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ),1] Re s[ f ( z ), 3] Re s[ f ( z ), ] 0 由于奇点 i， 1在圆周C 得内部，由留数定理 及上式得
三、留数定理
定 理 设 函 数 f ( z ) 在 区 域D 内 除 有 限 个 孤 立 奇 点 zk ( k 1,2, , n) 外 处 处 解 析 , C 为 D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线 ,则
C
f ( z )dz 2i Re s[ f ( z ), zk ]
k 1
4、若z0为f ( z )的m级极点，则
1 d m 1 lim m 1 [( z z0 )m f ( z )] Re s[ f ( z ), z0 ] ( m 1)! z z0 dz
5、若z0为f ( z )的本性奇点，
将f ( z)在0 z z0 内展开成洛朗级数，求a1;
dz C ( z i )8 ( z 1)2 ( z 3) 2 i{Re s[ f ( z ), i ] Re s[ f ( z ),1]}
2 i{Re s[ f ( z ), 3] Re s[ f ( z ), ]}
而
1 1 Re s[ f ( z ), 3] lim( z 3) f ( z ) lim 8 2 z 3 z 3 ( z i ) ( z 1) 4(3 i )8
复变函数的留数定理与柯西公式
复变函数的留数定理与柯西公式复变函数是数学中一个重要的研究对象，它是指定义在复平面上的函数。
复变函数有很多特殊的性质和定理，其中留数定理和柯西公式是非常重要的两个定理。
在本文中，我们将详细介绍留数定理和柯西公式。
一、留数定理留数定理是关于复变函数在孤立奇点处的积分的定理。
设f(z)是函数在z0处的孤立奇点，那么函数f(z)在z0处的留数记作Res(f, z0)。
留数的计算可以通过洛朗展开公式来进行。
留数定理的表述如下：设f(z)是一个在复平面上减少了一条折线的闭曲线上都有定义的函数，除去闭曲线上的一个有限个奇点外，在每一孤立奇点z0处函数f(z)都有留数Res(f, z0)。
设γ是一个以奇点z0为中心的小圆环，那么函数f(z)在γ上的积分等于2πi乘以z0处的留数，即：∮γf(z)dz = 2πi Res(f, z0)留数定理的重要性在于它将复变函数的积分问题转化为留数的计算问题，从而简化了计算的过程。
利用留数定理，可以高效地求解很多积分，特别是当函数存在简单极点（即一阶极点）时。
二、柯西公式柯西公式是复变函数理论中的又一重要定理。
柯西公式的表述如下：设f(z)是一个在闭曲线C内连续，除去闭曲线C上的一个有限个奇点外，在C内部处处有导数的函数，那么对于闭曲线C内的每一个点z0，都有：f(z0) = 1/(2πi) ∮C f(z)/(z-z0)dz柯西公式可以理解为复变函数的积分和它在孤立奇点处的取值之间存在密切的关系。
具体地说，柯西公式表明，如果一个函数在某个区域内处处可导，在闭区域内部积分的结果等于在闭区域边界上积分的平均值。
柯西公式的应用非常广泛，它不仅可以用来计算复平面上的积分，还可以用于解析函数和傅里叶变换等。
三、留数定理和柯西公式的关系留数定理实际上是柯西公式的一个特殊情况。
当闭曲线C所围的区域内只有一个孤立奇点z0时，留数定理和柯西公式是等价的。
此时，柯西公式可以写为：f(z0) = 1/(2πi) ∮C f(z)/(z-z0)dz = Res(f, z0)也就是说，柯西公式表明了求取孤立奇点的留数可以通过对围绕该奇点的闭曲线求积分来实现。
复变函数 第五章留数
F(t)
c
n
t
n
cnt
n
(2)
n 1
n0
第五章 留数
相应地规定：如果 t = 0 是 F(t) 的可去奇点、m 级极点或本
性奇点，则称z 是 f (z) 的可去奇点、m 级极点或本性奇点。
将式（1）写成
f
(z)
c
n
z
n
c0
cn zn
(3)
n 1
n 1
将式（2）写成
F(t)
cn t n
c0
cnt
( n 0, 1, 2, , m 1)
f
(m) (z0 ) m!
a0
0
故必有 f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 cm2 (z z0 )m2
(z z0 )m[cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ]
(z z0)m (z)
根据 0 z z0 内 f (z) 的 Laurent 级数的不同，孤立奇点 分为三种类型。
第五章 留数
1、可去奇点
如果 Laurent 级数中不含 z z0 的负幂项，孤立奇点 z0 称为 f (z) 的可去奇点。
即
c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n
在 0 z z0 内收敛于 f (z) 。
lim f (z)
zz0
或
lim f (z)
z z0
第五章 留数
如果 f (z)以 z0为其孤立奇点，则下列四个条件是等价的。 它们中的任何一条都是 m 级极点的特征：
（1） f (z) 在以 z0 点为中心的去心邻域内的 Laurent 级数只 有有限多个 z z0 的负幂项；
复变函数之留数定理
∫ f
( z )在a点的留数：Res [
f
(z), a]
=
a−1
=
1
2π
i
f (ζ )dζ ，
C
它是f (z)在a的充分小去心邻域内洛朗展式中 z−1a 的系数。
故∫C f (ζ )dζ = 2π i Res[ f (z), a]，
C：在a的使f (z)解析的去心邻域K 内 < 任一条围绕 a 的正向闭路。
第五章 留数及其应用
留数是复变函数又一重要概念，有着非常广泛的应用.
5.1 留数定理
一 、留数的定义和计算
设 a 是 f (z) 的孤立奇点， 则∃δ > 0,使得
f (z)在K : 0 < z − a < δ 解析，f (z)在K内可展为洛朗级数：
∑+∞
f (z) =
an(z − a)n,
n=−∞
留数定理(P103定理1)：设f (z)在闭路C上解析， y
C
∫ ∑ 在C内部除n个孤立奇点a1, a2 ,, an外解析,则 n
a1 C1 a2 C2
C
f (z)d z
=
2π
i Res f (z), ak 。
k =1
0 a3 C3
证明 ∀k =1, 2,n, 以ak为圆心作充分小的圆周Ck ,
an Cn
x
使得C1,C2 ,,Cn都在C 的内部,且它们彼此完全分离(如图)。
由多连通区域柯西积分定理和留数定义得
n
n
∫ ∑ ∫ ∑ C
f (z)d z =
k =1
Ck
f (z)d z = 2π i Res f (z), ak 。#
k =1
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数 的一阶极点，并且
3
3.（定理 对数留数定理）：设 C 是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在 C 的内部是亚纯的； （2）f(z)在 C 上解析且不为零。 则有
注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C 上解析；（2）C 上有 f≠0，有 ，即
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
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所以
P z0 P( z ) , lim( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z z0 Q ( z ) Q ( z ) Q z 0 0 z z0
即得 规则3。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
证明 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正 向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有
C
f ( z) d z
1 2πi
C1
f ( z )dz
1
C2
f ( z )dz
2
Cn
f ( z )dz.
C
f ( z) d z Res[ f ( z), z ] Res[ f ( z), z ]
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
留数
1. 留数的定义
如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那么根据柯西积分定理
C
f ( z)dz 0.
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在 z0的某个去心邻域 0<|z-z0|<R 内包含z0的任意一 条正向简单闭曲线C的积分
即
C
Res[ f ( z), zn ]
f ( z ) d z 2 π i Res[ f ( z ), zk ].
k 1
n
注意检查定理中的条件要满足。例如
1 不能应用留数定理。 求积分 ln 1 dz z 2 z
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
事实上, 由于
如果z0为f(z)的m级极点, 则
f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,
(z-z0)m f(z)=c-m+c-m
+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)
m-1+c
0 (z-z0 )
m+...,
复变函数与积分变换
其中(z)在 z0 解析, 且(z0)0. 故 z0 为 f (z)的一级极点.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
由规则 1, Res[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z ) ,而 Q(z0)=0.
f ( z )dz
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
为f ( z )在z0的留数，记作 Res[ f ( z ), z0 ]，即 1 Res[ f ( z ), z0 ] 2 i
C
f ( z )dz c1
2.留数定理
定理一 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1,
C
f ( z)dz 未必再等于零。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
（ f z）
c（ c （ （ n z z0） 1 z z0） c0 c 1 z z0）
+
n +c （ z z ） ， 0 | z | R n 0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
事实上, 因为 Q(z0)=0 及 Q'(z0)0, 所以 z0 为 Q(z)的一级 零点, 从而 z0 为1 Q z 的一级极点. 因此
1 1 ( z ), Q ( z ) z z0
求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻
域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但
如果知道奇点的类型, 对求留数会更有利.
如果z0是f (z)的可去奇点, 则Res[f(z),z0]=0 .
如果z0 是本性奇点, 则只好将其展开成洛朗级数. 如
果z0 是极点, 则有如下规则:
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
3. (极点)留数的计算规则
规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[ f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z)
z z0
规则2
1 d m1 Res[ f ( z ), z0 ] lim m1 [( z z0 ) m f ( z )] (m 1)! z z0 dz
就是Res[f(z),z0],即得规则2,当 m=1时就是规则1。
规则 3 设 f ( z ) P z Q z , P(z)及 Q(z)在 z0 都解析,
如果 P(z0)0, Q(z0)=0, Q'(z0)0, 则 z0 为 f (z)的一级 极点, 而 Res[ f ( z ), z0 ] P z0 Q z0 .
n
1
两端沿C逐项积分: f ( z ) d z 2π ic 1.
C
即C1是积分过程中唯一残留下来的Laurent系数 ,为此
定义
设z0 ( z0 )是f ( z )的孤立奇点, C为去心邻域
1 2 i
0 | z z0 | 内任一条围绕z0的正向简单闭曲线,则称积分
C
Complex Analysis and Integral Transform
d m1 m {( z z ) f ( z )} (m 1)!c1 c0 m(m 1) 0 m 1 dz
3 2( z z0 )
令 zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!
z2, ...,zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向
简单闭曲线, 则
C
f ( z ) d z 2 π i Res[ f ( z ), zk ] .
k 1
n
D
C3
zn C z1 n C1 z z3 plex Analysis and Integral Transform