2018北京石景山区初三(二模)数 学
二次函数的图象-初中数学习题集含答案
二次函数的图象（北京习题集）（教师版）一．选择题（共2小题）1．（2019秋•昌平区校级期末）函数2y ax c =+与(0)y ax c a =-+≠在同一坐标系内的图象是图中的( )A ．B ．C ．D ．2．（2017秋•石景山区期末）如果在二次函数的表达式2y ax bx c =++中，0a >，0b <，0c <，那么这个二次函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二．填空题（共3小题）3．（2011秋•丰台区期末）已知二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数），x 与y 的部分对应值如下表，则当x = 或 时，0y =．4．（2011秋•海淀区校级期中）若2143y x x =-+，23y x =-+，则使12y y 成立的x 的取值范围是 ．5．（2008•朝阳区二模）在正方形的网格中，抛物线21y x bx c =++与直线2y kx m =+的图象如图所示，请你观察图象并回答：当12x -<<时，1y 2y （填“>”或“<”或“=”号）．三．解答题（共9小题）6．（2018秋•西城区期末）小明利用函数与不等式的关系，对形如12()()()0n x x x x x x --⋯-> (n 为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式30x ->，观察函数3y x =-的图象可以得到如表格：x 的范围3x >3x < y 的符号+-由表格可知不等式30x ->的解集为3x >．②对于不等式(3)(1)0x x -->，观察函数(3)(1)y x x =--的图象可以得到如表表格：x 的范围3x >13x << 1x <y 的符号+-+由表格可知不等式(3)(1)0x x -->的解集为 ．③对于不等式(3)(1)(1)0x x x --+>，请根据已描出的点画出函数(3)(1)(1)y x x x =--+的图象； 观察函数(3)(1)(1)y x x x =--+的图象补全下面的表格：x 的范围3x >13x << 11x -<< 1x <-y 的符号 +-由表格可知不等式(3)(1)(1)0x x x --+>的解集为 ．⋯⋯小明将上述探究过程总结如下：对于解形如12()()()0(n x x x x x x n --⋯⋯->为正整数）的不等式，先将1x ，2x ⋯，n x 按从大到小的顺序排列，再划分x 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集． （2）请你参考小明的方法，解决下列问题： ①不等式(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>的解集为 ．②不等式2(9)(8)(7)0x x x --->的解集为 ．7．（2019秋•西城区校级期中）已知二次函数的解析式是223y x x =--． （1）与x 轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x⋯ ⋯ y⋯⋯（3）结合图象回答：当22x -<<时，函数值y 的取值范围是 ．8．（2018春•海淀区校级期中）画函数2(1)y x x =-的图象．9．（2018秋•西城区校级期中）已知抛物线212(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），对称轴为直线1x =-．（1）m 的值为 ；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x⋯⋯y⋯⋯（2）若直线2y kx b =+过点B 且与抛物线交于点(2,3)P --，根据图象直接写出当x 取什么值时，21y y ．10．（2018•房山区二模）有这样一个问题：探究函数3126y x x =-的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数3126y x x =-的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数3126y x x =-的自变量x 的取值范围是 ； （2）如表是y 与x 的几组对应值x ⋯4-3.5- 3- 2-1-0 1 2 33.5 4 ⋯ y ⋯83- 748- 3283116116-83- m74883⋯则m 的值为 ；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）观察图象，写出该函数的两条性质 ．11．（2015•北京）有这样一个问题：探究函数2112y x x=+的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数2112y x x=+的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数2112y x x=+的自变量x 的取值范围是 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值． x ⋯ 3- 2- 1- 12- 13- 13 1212 3⋯y ⋯256 32 12- 158- 5318- 5518 178 32 52m ⋯ 求m 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是3(1,)2，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．12．（2015秋•北京校级月考）有这样一个问题：探究函数22y x x =-的图象与性质． 小峰根据学习函数的经验，对函数222y x x =-的图象与性质进行了探究． 下面是小峰的探究过程，请补充完整：（1）函数222y x x =-的自变量的取值范围是 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值． x ⋯ 4-3- 2-1- 0 1 2 3 4 ⋯ y⋯n3 01-1-3m⋯求m 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第四象限内的最低点是(1,1)-，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）: ．13．（2015秋•西城区校级期中）已知二次函数243y x x =-+． （1）求出该函数与x 轴的交点坐标、与y 轴的交点坐标； （2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；x⋯ ⋯ y⋯⋯（3）根据图象回答：①当自变量x 的取值范围满足什么条件时，0y <？ ②当03x <时，y 的取值范围是多少？14．（2014秋•大兴区期末）抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(0,3)点． （1）求出m 的值并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线； （2）根据图象回答下列问题：①方程2(1)0x m x m -+-+=的根是多少？ ②x 取什么值时，0y <？二次函数的图象（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2019秋•昌平区校级期末）函数2y ax c =+与(0)y ax c a =-+≠在同一坐标系内的图象是图中的( )A ．B ．C ．D ．【分析】可先根据函数y ax c =-+的图象判断a 、c 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：A 、由二次函数2y ax c =+的图象可得：0a >，0c >，由函数y ax c =-+的图象可得：0a >，0c >，函数y ax b =-+与2y ax c =+的与坐标轴的交点是同一点，错误；B 、由二次函数2y ax c =+的图象可得：0a >，0c >，由函数y ax c =-+的图象可得：0a <，0c >，错误；C 、由二次函数2y ax c =+图象可得：0a <，0c <，由函数y ax c =-+的图象可得：0a <，0c <，函数y ax b=-+与2y ax c =+的与坐标轴的交点是同一点，正确；D 、由二次函数2y ax c =+的图象可得：0a <，0c <，由函数y ax c =-+的图象可得：0a >，0c <，错误．故选：C ．【点评】此题考查了二次函数与一次函数的图象，应该熟记正比例函数(0)y kx b k =+≠在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．2．（2017秋•石景山区期末）如果在二次函数的表达式2y ax bx c =++中，0a >，0b <，0c <，那么这个二次函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】由0a >，0b <，0c <，推出02ba->，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y 轴的右边，交y 轴于负半轴，由此即可判断．【解答】解：0a >，0b <，0c <， 02ba∴->， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y 轴的右边，交y 轴于负半轴，故选：C ．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共3小题）3．（2011秋•丰台区期末）已知二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数），x 与y 的部分对应值如下表，则当x = 0 或 时，0y =．【分析】由表格可知，(0,0)，(2,0)是抛物线上两对称点，可求对称轴1x =，再利用对称性求出0y =时，横坐标的值．【解答】解：观察表格可知， 当0x =或2时，0y =．【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，顶点坐标及对称轴，与x 轴(y 轴）的交点，确定二次函数的解析式．4．（2011秋•海淀区校级期中）若2143y x x =-+，23y x =-+，则使12y y 成立的x 的取值范围是 03x ． 【分析】先把二次函数配成顶点式，然后在同一直角坐标系中画出2143y x x =-+，23y x =-+的图象，利用解方程求出它们交点的横坐标，再观察函数图象可确定使12y y 的x 的取值范围． 【解答】解：22143(2)1y x x x =-+=--，在同一直角坐标系中画出2143y x x =-+，23y x =-+的图象，如图 解方程2433x x x -+=-+得0x =或3， 所以交点坐标横坐标分别为0，3．当12y y <，即抛物线在一次函数图象下方所对应的自变量的取值范围为03x <<， 当12y y =时0x =或3，12y y ∴成立的x 的取值范围是03x ．故答案为：03x ．【点评】本题考查了利用二次函数和一次函数图象解不等式的方法：先画出反映不等式的两函数图象，再利用方程组求出两函数图象的交点的坐标，然后观察图象得到满足不等式的自变量的取值范围．5．（2008•朝阳区二模）在正方形的网格中，抛物线21y x bx c =++与直线2y kx m =+的图象如图所示，请你观察图象并回答：当12x -<<时，1y < 2y （填“>”或“<”或“=”号）．【分析】根据函数图象直接回答问题即可． 【解答】解：根据图示知， ①当1x -时，21y y ； ②当12x -<<时，21y y <； ③当2x 时，21y y ； 故答案为：<．【点评】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象的单调性，在解答此题时，根据图象可以很直观的得到答案． 三．解答题（共9小题）6．（2018秋•西城区期末）小明利用函数与不等式的关系，对形如12()()()0n x x x x x x --⋯-> (n 为正整数）的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式30x ->，观察函数3y x =-的图象可以得到如表格：由表格可知不等式30x ->的解集为3x >．②对于不等式(3)(1)0x x -->，观察函数(3)(1)y x x =--的图象可以得到如表表格：由表格可知不等式(3)(1)0x x -->的解集为 3x >或1x < ．③对于不等式(3)(1)(1)0x x x --+>，请根据已描出的点画出函数(3)(1)(1)y x x x =--+的图象； 观察函数(3)(1)(1)y x x x =--+的图象补全下面的表格：由表格可知不等式(3)(1)(1)0x x x --+>的解集为 ．⋯⋯小明将上述探究过程总结如下：对于解形如12()()()0(n x x x x x x n --⋯⋯->为正整数）的不等式，先将1x ，2x ⋯，n x 按从大到小的顺序排列，再划分x 的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中y 的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集． （2）请你参考小明的方法，解决下列问题： ①不等式(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>的解集为 ． ②不等式2(9)(8)(7)0x x x --->的解集为 ．【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集； ③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集； （2）①根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集； ②根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集．【解答】解：（1）②由表格可知不等式(3)(1)0x x -->的解集为3x >或1x <， 故答案为：3x >或1x <； ③图象如右图所示，当11x -<<时，(3)(1)(1)0x x x --+>，当1x <-时，(3)(1)(1)0x x x --+<， 由表格可知不等式(3)(1)(1)0x x x --+>的解集为3x >或11x -<<， 故答案为：+，-，3x >或11x -<<；（2）①不等式(6)(4)(2)(2)0x x x x ---+>的解集为6x >或24x <<或2x <-， 故答案为：6x >或24x <<或2x <-；②不等式2(9)(8)(7)0x x x --->的解集为9x >或8x <且7x ≠， 故答案为：9x >或8x <且7x ≠【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式的解集．7．（2019秋•西城区校级期中）已知二次函数的解析式是223y x x =--． （1）与x 轴的交点坐标是 (1,0)-，(3,0) ，顶点坐标是 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x⋯ ⋯ y⋯⋯（3）结合图象回答：当22x -<<时，函数值y 的取值范围是 ．【分析】（1）根据抛物线223y x x =--，可以求得抛物线与x 轴和y 轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可； （3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案． 【解答】解：（1）令0y =，则2023x x =--． 解得11x =-，23x =．抛物线223y x x =--与x 轴交点的坐标为(1,0)-，(3,0)．2223(1)4y x x x x =--=--， 所以它的顶点坐标为(1,4)-； （2）列表：x⋯ 1-0 1 2 3 ⋯ y⋯3-4-3-⋯图象如图所示：；（3）当21x -<<时，45y -<<； 当12x <<时，43y -<<-．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x 轴、y 轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．8．（2018春•海淀区校级期中）画函数2(1)y x x =-的图象．【分析】首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可． 【解答】解：列表得： x ⋯ 1-0 1 2 3 4 5 ⋯ y⋯11491625⋯描点，连线．【点评】此题主要考查了画二次函数图象，求出图象上点的坐标是解题关键．9．（2018秋•西城区校级期中）已知抛物线212(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），对称轴为直线1x =-．（1）m 的值为 1- ；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x⋯ ⋯ y⋯⋯（2）若直线2y kx b =+过点B 且与抛物线交于点(2,3)P --，根据图象直接写出当x 取什么值时，21y y ．【分析】（1）根据对称轴列出方程求解即可得到m 的值，然后根据二次函数图象的画法描点，连接即可； （2）根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可． 【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线2(2)12m x +=-=-， 解得1m =-，函数解析式为223y x x =+-，x⋯ 3- 2-1- 0 1 ⋯ y⋯3-4-3-⋯（2）直线2y kx b =+过点B 且与抛物线交于点(2,3)P --， 2x ∴<-或1x >时，21y y ．【点评】本题考查了二次函数图象，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键． 10．（2018•房山区二模）有这样一个问题：探究函数3126y x x =-的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数3126y x x =-的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数3126y x x =-的自变量x 的取值范围是 任意实数 ； （2）如表是y 与x 的几组对应值x ⋯4-3.5- 3- 2-1-0 1 2 33.5 4 ⋯y ⋯83- 748- 3283116116-83- m74883⋯则m 的值为 ；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）观察图象，写出该函数的两条性质 ．【分析】（1）根据函数解析式是整数即可得到结论； （2）把3x =代入函数解析式即可得到结论； （3）根据描出的点，画出该函数的图象即可； （4）根据函数图象即可得到结论． 【解答】解：（1）函数3126y x x =-的自变量x 的取值范围是任意实数； 故答案为：任意实数； （2）把3x =代入3126y x x =-得，32y =-； 故答案为：32-；（3）如图所示；（4）根据图象得，①当2x <-时，y 随x 的增大而增大； ②当2x >时，y 随x 的增大而增大．故答案为：①当2x <-时，y 随x 的增大而增大； ②当2x >时，y 随x 的增大而增大．【点评】本题考查了二次函数的图象，函数自变量的取值范围，二次函数的性质，正确的画出函数的图形是解题的关键．11．（2015•北京）有这样一个问题：探究函数2112y x x=+的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数2112y x x=+的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数2112y x x=+的自变量x 的取值范围是 0x ≠ ； （2）下表是y 与x 的几组对应值． x ⋯ 3- 2- 1- 12- 13- 13 1212 3⋯y ⋯256 32 12- 158- 5318- 5518 178 32 52m ⋯ 求m 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是3(1,)2，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．【分析】（1）由图表可知0x ≠；（2）根据图表可知当3x =时的函数值为m ，把3x =代入解析式即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可得出该函数的其他性质． 【解答】解：（1）0x ≠， （2）令3x =， 211323y ∴=⨯+9129236=+=； 296m ∴=； （3）如图（4）该函数的其它性质： ①该函数没有最大值； ②该函数在0x =处断开； ③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限． 故答案为该函数没有最大值．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． 12．（2015秋•北京校级月考）有这样一个问题：探究函数22y x x =-的图象与性质． 小峰根据学习函数的经验，对函数222y x x =-的图象与性质进行了探究． 下面是小峰的探究过程，请补充完整：（1）函数222y x x =-的自变量的取值范围是 任意实数 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值．x⋯4-3-2-1-01234⋯y⋯n301-01-03m⋯求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第四象限内的最低点是(1,1)-，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）:．【分析】（1）由图表可知x是任意实数；（2）根据图表可知当4x=代入解析式即可求得；x=时的函数值为m，把4（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）任意实数，（2）令4x=，2222∴=-=-=-=，24241688y x x∴=；m8（3）如图（4）该函数的其它性质： ①该函数有最小值1-； ②该函数对称轴是y 轴； ③该函数与x 轴有三个交点； 故答案为该函数对称轴是y 轴．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． 13．（2015秋•西城区校级期中）已知二次函数243y x x =-+． （1）求出该函数与x 轴的交点坐标、与y 轴的交点坐标； （2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；x⋯⋯y⋯⋯（3）根据图象回答：①当自变量x 的取值范围满足什么条件时，0y <？ ②当03x <时，y 的取值范围是多少？【分析】（1）令0y =得关于x 的一元二次方程，求解得到两根，此即为与x 轴的两交点坐标；令0x =，求得y 的值即可求得与y 轴的交点坐标；（2）通过列表、描点、连线画出函数的图象． （3）根据图象回答即可．【解答】解：（1）令0y =，得2430x x -+=， 解得11x =，23x =，故与x 轴的交点坐标：(1,0)，(3,0)； 令0x =，得3y =，故与y 轴的交点坐标：(0,3)； （2）列表：x 01 2 3 4 y3 0 1-0 3 图象为：（3）①当自变量x 的取值范围满足13x << 时，0y <；②当03x <时，y 的取值范围是13y -．【点评】此题考查了二次函数的图象，利用描点法作二次函数图象，二次函数和不等式的关系，作出函数的图象解题的关键．14．（2014秋•大兴区期末）抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(0,3)点．（1）求出m 的值并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；（2）根据图象回答下列问题：①方程2(1)0x m x m -+-+=的根是多少？②x 取什么值时，0y <？【分析】（1）把点(0,3)代入2(1)y x m x m =-+-+，即可求出m 的值．利用五点画出函数的图象；（2）根据方程2(1)0x m x m -+-+=的根就是函数值为0抛物线和x 轴的交点的横坐标，观察图形可直接得出方程的根以及0y <时，x 的取值范围．【解答】解：（1）2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于点(0,3)3m ∴=，∴抛物线的表达式为：2223(1)4y x x x =-++=--+．∴顶点(1,4)，列表： x ⋯1- 0 1 2 3 ⋯ y⋯ 0 3 4 3 0 ⋯描点、连线可得如图所示抛物线．（2）①由图象可知，抛物线与x 轴交点为(1,0)-，(3,0)，∴方程2(1)0x m x m =-+-+=的解为11x =-，23x =，②由图象可知，当1x <-或3>时0y <．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，关键是根据题意画出图形，根据抛物线解析式求出抛物线的顶点坐标，对称轴及与x 轴的交点坐标．。
精品解析：2018年北京市东城区九年级二模生物试题(解析版)
东城区2017-2018学年第二学期初三年级统一测试（二）一、选择题1.我们食用的番茄的果肉主要属于A. 保护组织B. 营养组织C. 输导组织D. 分生组织【答案】B【解析】【分析】植物的组织主要有保护组织、分生组织、营养组织、输导组织，它们各有不同的特点和功能，据此答题。
【详解】保护组织一般由植物根、茎、叶表面的表皮细胞构成，具有保护内部柔嫩部分的功能；营养组织的细胞壁薄，液泡大，有储存营养物质的功能，含有叶绿体的营养组织还能进行光合作用合成有机物。
植物的果肉、叶肉、茎中央的髓等大多属于营养组织；分生组织的细胞小，细胞壁薄细胞核大，细胞质浓，具有很强的分裂能力，不断分裂产生新细胞形成其它组织。
如根尖的分生区、茎的形成层等属于分生组织；输导组织有运输物质的作用，植物体内的导管能运送水和无机盐，筛管能运送有机物，属于输导组织。
番茄果实果肉富含丰富的营养物质，属于营养组织。
可见B符合题意。
故选：B。
【点睛】这部分内容是考试的重点，要熟练掌握，但不能死记硬背。
2.人进入温室大棚时，会感觉空气比外面湿润。
与此现象有关的植物生理过程是（）A. 光合作用B. 呼吸作用C. 蒸腾作用D. 分解作用【答案】C【解析】【分析】植物的蒸腾作用是把体内的水分以水蒸气的形式散发到空气中，同时带走植物体内的热量，降低温度。
【详解】A、光合作用能不断地吸收大气中的二氧化碳，并释放氧气，以维持大气中的碳-氧平衡，A错误；B、呼吸作用是不断地吸收氧气释放二氧化碳，会使大气中二氧化碳越来越多，氧气越来越少，不能维持二者的平衡，B错误；C、蒸腾作用，能增加大气的湿度，C正确；D、分解作用是营腐生生活的细菌和真菌能把环境中的有机物分解为简单的无机物即无机盐、水、二氧化碳的过程，D错误。
【点睛】考查植物的蒸腾作用的意义。
3.小刚的妈妈做了个小手术。
他为妈妈准备了以下食品，其中最有利于伤口愈合的是A. 苹果B. 鸡蛋C. 饼干D. 巧克力【答案】B【解析】【分析】食物中含有六大类营养物质：蛋白质、糖类、脂肪、维生素、水和无机盐，每一类营养物质都是人体所必需的。
石景山区初三二模数学试题含答案
HFE DC BA 石景山区2018年初三统一练习二数学试卷学校姓名 准考证号考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．数轴上的点A 表示的数是a ，当点A 在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B ，若点A 和点B 表示的数恰好互为相反数，则数a 是（A ）6 （B ）6- （C ）3 （D ）3- 2．如图，在ABC △中，BC 边上的高是（A ）AF （B ）BH （C ）CD （D ）EC第2题图 第3题图 3．如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（A ）三棱锥 （B ）四棱锥 （C ）三棱柱 （D ）四棱柱 4．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（A ）面朝上的点数是6 （B ）面朝上的点数是偶数 （C ）面朝上的点数大于2 （D ）面朝上的点数小于2 5．下列是一组logo 设计的图片，其中不是．．中心对称图形的是 （A ） （B ） （C ） （D ）6．一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（A）2与3之间（B）3与4之间（C）4与5之间（D）5与6之间7．某商场一名业务员则这组数据的众数和中位数分别是（A）10，8 （B）9.8，9.8 （C）9.8，7.9 （D）9.8，8.1 8．甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．则下列说法正确的是（A）两人从起跑线同时出发，同时到达终点（B）跑步过程中，两人相遇一次（C）起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远（D）乙在跑前300米时，速度最慢二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分解因式：=+-xxx232_________．10．若代数式24+2xx-的值为0，则实数x的值是_________．11．一次函数()0y kx b k=+≠的图象过点()0,2，且y随x的增大而减小，请写出一12．某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x人，依题意，可13．若222351x y+-=，则代数式22695x y+-的值为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(－4，1)、(－1，3)，在经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A''、B''的坐标分别为(1，0)、(3，－3)，则由线段AB得到线段A B''的过程是：，由线段A B''得到线段A B''''15．如图，⊙O的半径为2，切线AB的长为200S(米)t(秒)ODCBA16070800600300点P 是⊙O 上的动点，则AP 的长的取值 范围是__________．16．已知：在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90º， M 、N 分别是CD 和BC 上的点． 求作：点M 、N ，使△AMN 的周长最小． 作法：如图，（1）延长AD ，在AD 的延长线上截取DA ´=DA ； （2）延长AB ，在AB 的延长线上截取B A″=BA ； （3）连接A′A″，分别交CD 、BC 于点M 、N ． 则点M 、N 即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是_____________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23题6分；第24、25题，每小题5分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：11()tan 603223-+-︒--．18．解不等式241126x x +--≥，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且60ADE ∠=︒． 求证：△ADC ∽△DEB ．20．已知关于x 的一元二次方程220x x m ++=．（1）当m 为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根； （2）在（1）的条件下，求方程的根．21．如图，在四边形ABCD 中，45A ∠=︒，CD BC =，DE 是AB 边的垂直平分线，连接CE ．（1）求证：DEC BEC ∠=∠；（2）若8AB =，10BC =，求CE 的长．A ''A 'N MD CBA A BCDCA22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:2l y x b =-+与x 轴，y 轴分别交于点1(,0)2A ，B ，与反比例函数图象的一个交点为(),3M a . （1）求反比例函数的表达式；（2）设直线2:2l y x m =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ,D ,且3OCD OAB S S ∆∆=，直接写出m 的值 .23．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．剩大量60%不剩剩少量剩一半部分同学用餐剩余情况统计图餐余情况剩大量不剩（1）这次被调查的同学共有 人；（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．24．如图，在△ABC 中，∠ο90=C ，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC 交于点F ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，连接BE ．（1）求证：EC EH =；（2）若4BC =，2sin 3A =，求AD 的长． 25．如图，在ABC △中，8cm AB =，点D 是AC 边的中点，点P 是边AB 上的一个动点，过点P 作射线BC 的垂线，垂足为点E ，连接DE .设cm PA x =，cm ED y =.小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点E 是BC 边的中点时，PA 的长度约为 cm .26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =++≠经过点()34,A -和()02,B ．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线3x =翻折，得到图象N ．若过点()94,C 的直线y kx b =+与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．27．在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点M 是线段BC 的中点，点N 在射线MB上，连接AN ，平移△ABN ，使点N 移动到点M ，得到△DEM （点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），DM 交AC 于点P ． （1）若点N 是线段MB 的中点，如图1．① 依题意补全图1； ② 求DP 的长；（2）若点N 在线段MB 的延长线上，射线DM 与射线AB 交于点Q ，若MQ =DP ，求（1）已知，点()1,0P ，①点1,22A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）； ②点()1,0B -在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）； （2）若点P 在x 轴上，且点P 的“伴随圆”与直线x y 33=相切，求点P 的坐标； （3）已知直线2+=x y 与x 、y 轴分别交于点A ，B ，直线2-=x y 与x 、y 轴分别交于点C ，D ，点P 在四边形ABCD 的边上并沿DA CD BC AB →→→的方 向移动，直接写出点P 的“伴随圆”经过的平面区域的面积．石景山区2018年初三统一练习二数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）9． 2(1)x x -． 10．2． 11．答案不唯一.如：2y x =-+． 12．(230)600x x +-=．13.13． 14．向右平移4个单位长度；绕原点顺时针旋转90︒． 15．26AP ≤≤． 16. ①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的 连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23题6分；第24、25题，每小题5分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．解：原式=223+-- ………………4分3=. ………………5分 18．解：去分母,得 3(2)(41)6x x +--≥ ………………1分去括号,得 36416x x +-+≥ ………………2分 移项，合并同类项：1x -≥- ………………3分 系数化为1：1x ≤． ………………4分 把解集表示在数轴上：………………5分19. 证明：∵△ABC 是等边三角形，∴60B C ∠=∠=︒， ………… 1分 ∴1160ADB C ∠=∠+∠=∠+︒，………… 2分 ∵60ADE ∠=︒，∴260ADB ∠=∠+︒， ………… 3分 ∴12∠=∠， ………… 4分 ∴△ADC ∽△DEB . ………… 5分 20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴0∆>. …………… 1分 ∴440m ->.即1m <. …………… 2分 又m 为非负整数,∴0m =. …………… 3分 （2）当0m =时，原方程为220x x +=，解得：10x =，22x =-． …………… 5分21．（1）证明：∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴DE AB ⊥，4AE EB ==， ………… 1分 ∵45A ∠=︒， ∴DE AE EB ==， 又∵DC CB =，CE CE =， ∴△EDC ≌△EBC .∴45DEC BEC ∠=∠=︒. ………… 2分 （2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ， 可得，CH EH =，设EH x =，则4BH x =-， 在Rt △CHB 中， 222CH BH BC +=， ……… 3分即22(4)10x x +-=，解之，13x =，21x =（不合题意，舍），………… 4分 即3EH =.∴232CE EH ==. ………… 5分22．解：（1）∵一次函数2y x b =-+的图象过点1(,0)2A ，HCDA∴0212b =-⨯+． ∴解得，1b =．∴一次函数的表达式为21y x =-+． ………………1分 ∵一次函数的图象与反比例函数(0)y xkk =≠图象交于点(),3a M ，∴321a =-+，解得,1a =-． ………………2分 由反比例函数(0)y xkk =≠图象过点()1,3M -，得3k =-．∴反比例函数的表达式为3y x=-． ………………3分（2………………5分 23．解: （1）1000； ………………2分 （2）………………4分（3）50180009001000⨯=. ………………6分 答：估计该校18000名学生一餐浪费的食物可供900人食用一餐． 24．（1）证明:连接OE ∵⊙O 与边AC 相切 ∴OE ⊥AC ∵∠ο90=C∴OE ∥BC ． ……………………..1分 ∴OEB CBE ∠=∠ ∵OB OE =， ∴OEB OBE ∠=∠ ∴OBE CBE ∠=∠∵EH ⊥AB∴EH EC =． …………………………..2分 （2）解：在Rt △ABC 中，4BC =，2sin 3BC A AB ==， ∴6AB =． ………………………………..3分 ∵OE ∥BC∴OE AO BC AB =，即4OE = 解得,125OB = ………………………………..4分∴2465AD AB BD =-=-=..5分 25.解：（1）2.7 ………………………… 1分（2）……………………… 4分（3）6.8 ……………………… 5分26．解：（1）∵抛物线240y ax x c a =++≠()经过点34(,)A -和02(,)B ， 可得：91242a c c ⎧++=-⎨=⎩解得：22a c ⎧=-⎨=⎩∴抛物线的表达式为2242y x x =-++. ……………………… 2分 ∴顶点坐标为()14,. ……………………… 3分（2）设点02(,)B 关于3x =的对称点为B’， 则点B’()62,. 若直线y kx b =+经过点()94,C 和()62B ',，可得2b =-. 若直线y kx b =+经过点()94,C 和()34,A -，可得8b =-.直线y kx b =+平行x 轴时,4b =.综上，824b b -<<-=或. ……………………… 7分27．解：（1）①如图1，补全图形. ………………… 1分② 连接AD ，如图2.在Rt △ABN 中,∵∠B =90°，AB =4，BN =1， ∴17=AN .∵线段AN 平移得到线段DM ， ∴DM =AN =17， AD =NM =1，AD ∥MC ， ∴△ADP ∽△CMP . ∴21==MC AD MP DP . ∴317=DP .………………… 3分 图1图2yx–1123456789–1–2–3–4–512345CB'ABO（2）连接NQ ，如图3.由平移知：AN ∥DM ，且AN =DM . ∵MQ DP =， ∴PQ DM =.∴AN ∥PQ ，且AN =PQ . ∴四边形ANQP 是平行四边形. ∴NQ ∥AP .∴45BQN BAC ∠=∠=︒. 又∵90NBQ ABC ∠=∠=︒， ∴BN BQ =. ∵AN ∥MQ ，∴AB NBBQ BM=. 又∵M 是BC 的中点，且4AB BC ==∴42NBNB =. ∴NB =舍负). ∴ME BN ==∴2CE =.………………… 7分（2）法二，连接AD ，如图4. 设CE 长为x ，∵线段AB 移动到得到线段DE ， ∴4+==x BE AD ，AD ∥BM . ∴△ADP ∽△CMP . ∴24xMC AD MP DP +==. ∵MQ =DP ， ∴x xMP DP DP QD MQ 21042++=+=. ∵△QBM ∽△QAD ， ∴xAD BM QD MQ +==42. 解得222-=x .∴222-=CE . ………………… 7分28．解：（1）上；外； ………………… 2分 （2）连接PH ，如图1，∵点P 的“伴随圆”与直线x y 33=相切， ∴PH OH ⊥.∴1PH =，30POH ∠=︒， 可得，2OP =，∴点P ）（0,2或）（0,2-； …………………… 6分 （3）4π-+.（可参考图2） …………………… 8分E。
2023年北京市石景山区九年级中考二模数学试题(含答案解析)
2023年北京市石景山区九年级中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A ．圆柱B ．圆锥C ．长方体D ．三棱柱2．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．a b >B ．||a b >C ．0a b +>D ．3a <-3．一个多边形的内角和是540︒，这个多边形的边数是（）A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，在ABC 中，M ，N 分别是边AB AC ，上的点，MN BC ∥，2BM AM =．若AMN 的面积为1，则ABC 的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．95．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的点， BC D C =．若35CBD ∠=︒，则ABD ∠的度数为（）A ．20︒B ．35︒C ．40︒D ．70︒6．一组数据：1，2，5，0，2，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）7．下图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果．下面有四个推断：①当移植的棵树是800时，成活的棵树是688，所以“移植成活”的概率是0.860；②随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在0.852附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是0.852；③与试验相同条件下，若移植10000棵这种树苗，可能成活8520棵；④在用频率估计概率时，移植3000棵树时的频率0.852一定比移植2000棵树时的频率0.853更准确其中合理的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④8．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，10CA CB ==．点P 是CB 边上一动点（不与C ，B 重合），过点P 作PQ CB ⊥交AB 于点Q ．设CP x =，BQ 的长为y ，BPQ V 的面积为S ，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别为（）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题15．如图，在Rt ACB△中，∠1CD=，则DAB的面积为_________16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，白卡片数字1摆在了标注字母_______三、解答题17．计算：11 4sin602722-︒⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭18．解不等式组：147 543x xx x+>+⎧⎪-⎨≤⎪⎩19．已知：如图1，直线AB及AB外一点求作：直线PQ ，使得PQ AB ∥．作法：如图2，①在直线AB 上任取一点C ，连接PC ；②C 为圆心，PC 长为半径作弧，交直线AB 于点D ；③分别以点P ，D 为圆心，PC 长为半径作弧，两弧在直线AB 外交于一点Q ；④作直线PQ ．直线PQ 就是所求作的直线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接DQ ．CD DQ PQ === __________，∴四边形PCDQ 是__________形（__________）（填推理的依据）．PQ AB∴∥20．已知关于x 的一元二次方程22210x mx m -+-=．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若1m >，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．21．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，过点B 作BM AC ，过点C 作CN DB ∥交BM 于点E ．(1)求证：四边形BECO 是矩形；(2)连接DE ，若2AB =，60BAC ∠=︒，求DE 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图像过点()3,1A -，()0,2B -．(1)求该函数的解析式；(2)当3x >-时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，b ．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下平均数中位数方差讲座前72.071.599.7讲座后86.8m88.4c ．结合讲座后成绩x ，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”(x <“优秀奖”809()0x ≤<，有8人获得“环保达人奖”(90100)x ≤≤，其中成绩在一组的是：80828385878888根据以上信息，回答下列问题：(1)居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用小张的点；(2)写出表中m 的值；(3)参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有_____24．2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获某跳水运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度水平距离/m x 00.20.40.6竖直高度/my 10.0010.4510.6010.45①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系()()20y a x h k a =-+<；②运动员必须在距水面5m 前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为次跳水会不会出现失误，并说明理由；(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离()24.160.3810.60y x =--+．如图，记该运动员第一次训练的入水点为区域AB 内（含A ，B ）入水能达到压水花的要求，“能”或“不能”）．25．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点于点H ，点F 是DH 延长线上一点，CF CD =(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若1tan 2DCB ∠=，8=CF ，求O 半径的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 右平移4个单位长度，得到点B ．(1)若4c =，点()2,4C -在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；(2)若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图像，求27．如图，在ABC 中，AB AC =，ACB ∠是ED 上一点且EAF α∠=．(1)求AFB ∠的大小（用含α的式子表示）；(1)如图，点(1,0)P -，点4(),Q m ，①点M 为O 与y 轴正半轴的交点，5OO '=，求m ②点M 为O 上一点，若在直线3y x =+上存在线段围；(2)点Q 是O 上一点，点M 在线段OQ 上，且OM =点O '为线段PQ 的“中移点”，连接OO '．当点Q 在O 大值与最小值的差（用含t 的式子表示）．参考答案：=，CBDBC D C∠=∴35CAB CBD︒∠=∠=的直径，AB为O∴90∠=︒，ADB∴90∠=︒-∠CBA CAB∴ABD CBA CBD∠=∠-∠故选A．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角．6．D【分析】分别按照平均数，中位数，众数，方差的求解方法，去求发生变化前后的数值．【详解】解：A、发生变化前的平均数：【点睛】本题主要考查了矩形的性质，且等于第三边长的一半是解题的关键．15．3【分析】如图所示，过点D 作角平分线的性质和定义得到∠即可得到23AB =，再由三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图所示，过点∵90ACB ∠=︒，30B ∠=，∴60BAC ∠=︒，【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和定义，勾股定理，含质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．16．B4【分析】根据排列规则依次确定白【详解】解：第一行中B与第二行中可能有2张黑卡片，（2）证明：连接DQ．，===CD DQ PQ PC∴四边形PCDQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，含（2）解：将讲座后20人的成绩从低到高排序，第10名和第11名的成绩分别为因此中位数878887.52m +==；（3）解：81606420⨯=（人），即估计能获得“环保达人奖”的有64人，故答案为：64．【点睛】本题考查统计图、中位数、利用样本估计总体等知识点，解题的关键是看懂所给统计图，掌握中位数的定义，能够利用样本估计总体思想解决问题．24．(1)①10.60m ，()23.750.410.60y x =--+；②此次跳水不会出现失误，理由见解析(2)不能【分析】（1）①先根据对称性求出抛物线对称轴，进而求出顶点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出最高点的距离即可；②求出当 1.6x =时，（2）分别求出两次入水点的位置即可得到答案．【详解】（1）解：①由表格中的数据可知当0.2x =时，10.45y =，当∵抛物线开口向下，∴该运动员竖直高度的最大值为10.60m ；②此次跳水不会出现失误，理由如下：当 1.6x =时，()23.751.60.410.60 5.2y =--+=，∵5.25>，∴此次跳水不会出现失误；（2）解：在()23.750.410.60y x =--+中，当0y =时，则()23.750.410.600x --+=，解得 2.08x ≈或 1.28x =-（舍去），∴()2.080A ，在()24.160.3810.60y x =--+中，当0y =时，则()24.160.3810.600x --+=，解得 1.98x ≈或 1.22x ≈-（舍去），∴第二次入水的位置的水平距离为1.98米，∵1.98 2.08<，即第二次入水的位置在店A 的左侧，∴第二次训练不能达到要求，故答案为：不能．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．25．(1)见解析(2)5【分析】（1）连接OC ，根据等腰三角形三线合一得出DCH FCH ∠∠=，再由等腰三角形的性质得出OCB OBC ∠∠=，利用等量代换确定90OCF ∠=︒，即可证明；（2）根据垂径定理得出4CE DE ==，再由正切函数的定义得出2BE =，设O 半径的长为r ，则2OE r =-，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：连接OC ，如图所示：∵CF CD =，CH DF ⊥，∴CH 平分DCF ∠，∴DCH FCH ∠∠=，∵CO BO =，∴OCB OBC ∠∠=，∵CD AB ⊥，∴90BCE OBC ∠∠+=︒，∴90OCB HCF ∠∠+=︒，即90OCF ∠=a<时，如图3-2所示，当0【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与思想求解是解题的关键．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，②由①可得：点M 为O 与y 轴正半轴的交点时，∵在直线3y x =+上存在线段PQ 的“中移点∴1132m -=+，解得：3m =-，即m 有最小值如图：当点M 为O 与y 轴正半轴的交点时，∵点M 与线段PQ 的中点M '重合，∴122m M -⎛⎫' ⎪⎝⎭，，∵点M 为O 与y 轴正半轴的交点，∴1M O MO ''==，∴132m O -⎛⎫' ⎪⎝⎭，，∵在直线3y x =+上存在线段PQ 的“中移点∴1332m -=+，解得：1m =，即m 有最大值∴m 的取值范围为31m -≤≤．（2）解：如图：经分析，当P 、Q 在同一象限内，存在象限内，存在OO '最大值OO ''；如图：∵OO OO O O ''''''-≤，∴当,,,,,O M O Q O M ''''''在同一条直线上且1,Q Q 关于原点对称时，设(),Q a b ，设(),P c d ，则221a b +=，。
09.2024石景山初三二模数学试卷答案
石景山区2024年初三综合练习数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案ACBADBAC第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．1x 10．23y x ()11．31x y，12．6 13．214．1015．1.816．24006000；三、解答题（共68分，第17－18题，每题5分，第19－20题，每题6分，第21－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）17．解：原式6113…………………………4分 ．…………………………5分18．解：原不等式组为3452924x x xx，①.②解不等式①，得3x ．…………………………2分解不等式②，得1x ．…………………………4分∴原不等式组的解集为31x ．…………………………5分19．（1）证明：∵90AD BC BCD ∥，°，∴90ADC °．∵AB AC ，AE 平分BAC ，∴90AEC °．∴四边形AECD 是矩形．…………………………3分（2）解：∵90130BCD °，°，∴260 °．∵AB AC ，∴ABC △是等边三角形．∴2BC AC AB ．在Rt ADC △中，cos 12CD AC ，∴CD ．在Rt BCD △中，BD ．…………………………6分20．解：设引进新设备前工程队每天改造道路x 米．根据题意，得……………1分21075021022120x x %．…………………………3分解这个方程，得30x ．…………………………4分经检验，30x 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．……………5分答：引进新设备前工程队每天改造道路30米．…………………………6分21．（1）证明：依题意，得226491m m ()()2236364m m 40 ．∴此方程有两个不相等的实数根．…………………………2分（2）解：∵x，12x x ，∴123131x m x m ，．∵2123x x ，∴312313m m （）．∴2m ．…………………………5分AB CDE2122．解：（1）∵一次函数0y k x b k ()的图象由函数2y x 的图象平移得到，∴2k ．∵一次函数0y k x b k ()的图象经过点13A (，)，∴23b ．∴1b ．∴该函数的解析式为21y x ．…………………………2分∵函数21y x 的图象与过点03(，)且平行于x 轴的直线交于点B ，∴点B 的纵坐标为3．令3y ，得2x ．∴点B 的坐标为23(-，)．…………………………3分（2）13n ≤≤．…………………………5分23．解：（1）m 的值为90，n 的值为92；…………………………2分（2）七年级；…………………………4分（3）50．…………………………5分24．（1）证明：连接OB ，如图1．∵PA PB ，是O ⊙的切线，OA OB ，是O ⊙的半径，∴PA PB ，90OAP OBP °．∴90D C °，1290 °．∵OB OC ，∴2C ．∴1D ．∴PD PB ．又∵PA PB ，∴PD PA ．…………………………3分图1（2）解：连接OB ，AB ，如图2．在Rt PAE △中，1sin 3PA E PE ，设3PA x PE x ，．则PD PB PA x，AE ．在Rt OBE △中，1sin 3OB E OE，13 ．解得1x ．∴2AD，CD∵AC 是O ⊙的直径，∴90CBA °．∵90CBA CAD °，C C ，∴CBA △∽CAD △．∴BC ACAC DC．∴BC …………………………6分25．解：（1）如图；………2分（2）答案不唯一，如5.5，66.0；………4分（3）>．………5分26．解：（1）由题意，抛物线的对称轴为22bx b．∵点24M m N n (，)，(，)在抛物线22y x bx c 上，且m n ，∴42b b ．∴3b ．…………………………2分（2）∵点24M m N n (，)，(，)，0T x p (，)在抛物线22y x bx c 上，∴44m b c ，168n b c ，2002p x bx c ．∵m p ，∴0p m ．即2002440x bx c b c ()()．002220x x b ()()．∵001x ，∴020x ．∴0220x b ．022x b ．∴221b ≥．∴32b ≥．∵p n ，∴0p n ．即20021680x bx c b c ()()．004420x x b ()()．∵001x ，∴040x ．∴0420x b ．024x b ．∴240b ≤．∴2b ≤．综上所述，b 的取值范围是322b ≤≤．…………………………6分27．（1）15；…………………………1分（2）①解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC °，BA BC ．∵点F 与点C 关于直线BE 对称，∴BF BC ，90MHF °．∴BF BA ．设1 ．在BFC △中，BF BC ，可得1809024522()．在BFA △中，BF BA ，可得18019022BFA．∴3290454522BFA()()．……………3分②数量关系：2222MB MD AB ．证明：过点A 作AN AM 交BM 于点N ，连接BD ，如图2．在Rt FHM △中，345 ，可得45HMF ．∴45ANM AMN ，135ANB ．∴AM AN ．∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD °，AD AB ，BD ．∴45 ．∴AMD △≌ANB △．∴135AMD ANB ．∴90BMD AMD AMN ．在Rt BMD △中，由勾股定理，得222MB MD BD ，即2222MB MD AB ．…………………………7分28．解：（1）①2；…………………………1分②322t ≤；…………………………3分（2）2b≤或2b ≤．…………………………7分。
中考数学试题考点分类解析-垂线
年度第*次考试试卷一、选择题1．已知如图， O 是直线l 上一点，作射线OA,过O 点 作OB ⊥OA 于点O ，则图中∠1与∠2的数量关系为（ ） A .∠1+∠2=180° B. ∠1=∠2C .∠1+∠2=90°D .无法确定2．如图，在同一平面内，OA ⊥,OB ⊥,垂足为O,则OA 与OB 重合的理由是 A.两点确定一条直线 B. 垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3．(2019年北京延庆区七（上）期末数学T5)如图，∠BDC ＝90°，点A 在线段DC 上，点B 到直线AC 的距离是指哪条线段长（ ）A ．线段DAB ．线段BAC ．线段DCD ．线段BD答案：D解析：D解：由图可得，BD ⊥AD ，所以，点B 到直线AC 的距离是线段BD 的长． 故选：D ．4．已知如图， O 是直线l 上一点，作射线OA,过O 点l l作OB ⊥OA 于点O ，则图中∠1与∠2的数量关系为（ ） A .∠1+∠2=180° B. ∠1=∠2C .∠1+∠2=90°D .无法确定5．如图，在同一平面内，OA ⊥,OB ⊥,垂足为O,则OA 与OB 重合的理由是 A.两点确定一条直线 B. 垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直6．如图，在同一平面内，OA ⊥,OB ⊥,垂足为O,则OA 与OB 重合的理由是 A.两点确定一条直线 B. 垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直l lll7．(2019年北京延庆区七（上）期末数学T5)如图，∠BDC＝90°，点A在线段DC上，点B到直线AC的距离是指哪条线段长（）A．线段DA B．线段BA C．线段DC D．线段BD答案：D解析：D解：由图可得，BD⊥AD，所以，点B到直线AC的距离是线段BD的长．故选：D．8．(2019·常州，4)如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是()A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD答案：B解析：B29．(2019·毕节，7)如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C 到边AB所在直线的距离是()A．线段CA的长度B．线段CM的长度C．线段CD的长度D．线段CB的长度答案：C解析：C310．（3分）如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（）A．2条B．3条C．4条D．5条答案：D解析：D解：如图所示：线段AB是点B到AC的距离，线段CA是点C到AB的距离，线段AD是点A到BC的距离，线段BD是点B到AD的距离，线段CD是点C到AD的距离，故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．故选：D．11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足点为D，则下列结论中正确的个数为（）①AB与AC互相垂直；②∠ADC＝90°；③点C到AB的垂线段是线段AB；④线段AB的长度是点B到AC的距离；⑤线段AB是点B到AC的距离．A．5 B．4 C．3 D．2答案：C解析：C．解：∵∠BAC＝90°，∴AB与AC互相垂直；故①正确；∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，故②正确；点C到AB的垂线段是线段AC；故③错误；线段AB的长度是点B到AC的距离；故④正确；线段AB 的长度是点B 到AC 的距离，故⑤错误； 故选：C ．12．如图，在同一平面内，OA ⊥,OB ⊥,垂足为O,则OA 与OB 重合的理由是 A.两点确定一条直线 B. 垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直13．（2016年吉林省长春市农安县七（上）期末）点P 为直线MN 外一点，点A 、B 、C 为直线MN 上三点，PA ＝4厘米，PB ＝5厘米，PC ＝2厘米，则P 到直线MN 的距离为（ ） A ．4厘米 B ．2厘米 C ．小于2厘米D ．不大于2厘米答案：D解析： D ．解：如图所示：∵PA ＝4厘米，PB ＝5厘米，PC ＝2厘米， ∴P 到直线MN 的距离为：不大于2厘米． 故选：D ．14．（3分）如图，OC ⊥AB ，OE 为∠COB 的角平分线，∠AOE 的度数为（ ）A ．130°B ．125°C ．135°D ．145°答案：C解析： C ． 解：∵OC ⊥AB ，l l∴∠COB＝∠AOC＝90°，∵OE为∠COB的角平分线，∴∠COE＝45°，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝90°+45°＝135°；故选：C．15．（3分）（2018秋•德惠市期末）如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理正确的是（）A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边答案：B解析：B．解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，故选：B．16．（3分）如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连结AC，使AC＝2AB，P在线段BC上连结AP．若AB＝3，则线段AP的长不可能是（）A．3.5 B．4 C．5.5 D．6.5答案：D解析：D．解：∵过点A作AB⊥l于点B，AC＝2AB，P在线段BC上连结AP，AB＝3，∴AC＝6，∴3≤AP≤6，故AP不可能是6.5，故选：D．17．（2018年门头沟区七上期末T5）如图是北京地铁的路线图，小明家住复兴门，打算趁着放假去建国门游玩，看了路线图后，小明打算乘坐①号线地铁去，认为可以节省时间，他这样做的依据是A．垂线段最短B．两点之间，直线最短C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短答案：D18．（2018年怀柔区七上期末T6）如图，如果用剪刀沿直线将一个正方形图片剪掉一部分，发现剩下部分的周长比原正方形图片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短答案：D19．（2018年怀柔区七上期末T7）下列图形中，通过测量线段AB的长可以知道点A到直线l的距离的是答案：C20．(2019·毕节，7)如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C 到边AB所在直线的距离是()A．线段CA的长度B．线段CM的长度C．线段CD的长度D．线段CB的长度答案：C解析：ClA DCBB和平门前门崇文门苹果园阜成门车公庄西直门东直门东四十条朝阳门建国门复兴门古城八角游乐园八宝山玉泉路五棵松万寿路公主坟军事博物馆木樨地南礼士路长椿街宣武门北京站永安里国贸大望路四惠四惠东积水潭鼓楼安定门雍和宫西单天安门西天安门东王府井东单②号线①号线321．(2019·衡阳，6)如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是()A．40°B．50°C．80°D．90°答案：B解析：B3，，22．(2019·常州，4)如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是()A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD答案：B解析：B2二、填空题23．（2019大兴区七（上）期末数学T15）点P是直线l外一点，点A，B，C，D是直线l 上的点，连接PA，PB，PC，PD．其中只有PA与l垂直，若PA＝7，PB＝8，PC＝10，PD＝14，则点P到直线l的距离是．答案：7解析：7解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点P到直线l的距离＝PA，即点P到直线l的距离＝7，故答案为：7．24．已知如图，CD⊥AD于D，BE⊥AC于E.(1)点B到AC的距离是；(2)线段AD的长度表示的距离或的距离.25．已知如图，CD⊥AD于D，BE⊥AC于E.(1)点B到AC的距离是；(2)线段AD的长度表示的距离或的距离.26．（3分）如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P 是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为．答案：245解析：解：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，当AP⊥BC时，AP的值最短，∴AP，∴线段AP的最小值为，故答案为：．27．（3分）直线AB与射线OC相交于点O，OC⊥OD于O，若∠AOC＝60°，则∠BOD ＝度．答案：30或150解析：30或150解：根据题意画图如下，情况一：如图1，∵OC⊥OD，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90﹣60°＝30°，∴∠COD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣30°＝150°；情况二：如图2，∵OC⊥OD，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝90°+60°＝150°，∴∠COD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣150°＝30°，故答案为：150或30．28．(2017年吉林省一模试卷T10)如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD＝43°，则∠COB＝度．答案：133解析：133解：∵OM⊥AB，∴∠AOM＝90°，∵∠MOD＝43°，∴∠AOD＝90°+43°＝133°，∴∠COB＝133°，故答案为：133．29．(2018年北京市顺义区七（上）期末T14)如图，已知∠AOB内有一点P，过点P画PC ⊥OB，垂足为C；再过点P画PD⊥OA，垂足为D，画出图形，并量出C、D两点间的距离是．答案：2cm解析：2cm解：如图，CD ＝1.2cm ， 故答案为：1.2cm ．30．（2018学年北京市昌平区期末T10）如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式PA ，PB ，PC ，PD 中，最短的是 ．答案：PC ．解析： PC ．解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∵PC ⊥AD ， ∴PC 最短． 故答案为：PC ．31．（2018年顺义区七期末数学T14）如图，已知AOB 内有一点P ，过点P 画PC ⊥OB ， 垂足为C ；再过点P 画PD ⊥OA ，垂足为D ，画出图形， 在数学课上，老师提出如下问题：AB l小聪、小明、小敏三位同学在黑板上分别画出了设计方案：根据以上信息，你认为同学的方案最节省材料，理由是．答案：小聪；两点之间线段最短；点到直线垂线段最短33．（2018•张店区二模）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线a和直线外一点P．求作：直线a的垂线，使它经过P．作法：如图，（1）在直线a上取一点A，连接PA；（2）分别以点A和点P为圆心，大于AP的长为半径作弧，两弧相交于B，C两点，连接BC交PA于点D；（3）以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是{解析}解：由作图可知，点D是线段PA的中点，线段PA是⊙D 的直径，∴∠AEP＝90°，即PE⊥AE（直径所对的圆周角是直角），∴该尺规作图的依据是与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，故答案为与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角；三、解答题34．(2019北京通州区七（上）期末数学T20)画图题：利用刻度尺、三角板、量角器，按照题目要求完成画图和解题．（1）画出∠ABC的角平分线，交线段AC于点P；（2）过点P画PH垂直线段AB，垂足为H．（3）请你度量出PH的长．解析：解：（1）如图，BP为所作；（2）如图，PH为所作；（3）线段PH的长为1.6cm．35．(2019北京顺义区七（上）期末数学T23)已知：如图，∠AOB和C、D两点．（1）过点C作直线CE，使直线CE只与∠AOB的一边相交，且交点为E；（2）请你通过画图、测量，比较点D到点C的距离与点D到射线OB的距离的大小关系．解析：解：（1）如图，CE为所作；（2）作DH⊥OB于H，连接CD，测得CD＝2cm，CH＝1.5cm，因为CD＞DH，所以点D到点C的距离大于点D到射线OB的距离．36．(2019北京通州区七（上）期末数学T20)画图题：利用刻度尺、三角板、量角器，按照题目要求完成画图和解题．（1）画出∠ABC的角平分线，交线段AC于点P；（2）过点P画PH垂直线段AB，垂足为H．（3）请你度量出PH的长．解析：解：（1）如图，BP为所作；（2）如图，PH为所作；（3）线段PH的长为1.6cm．37．(2019北京顺义区七（上）期末数学T23)已知：如图，∠AOB和C、D两点．（1）过点C作直线CE，使直线CE只与∠AOB的一边相交，且交点为E；（2）请你通过画图、测量，比较点D到点C的距离与点D到射线OB的距离的大小关系．解析：解：（1）如图，CE为所作；（2）作DH⊥OB于H，连接CD，测得CD＝2cm，CH＝1.5cm，因为CD＞DH，所以点D到点C的距离大于点D到射线OB的距离．38．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，点M是∠AOB内部的一点，按下述要求画图，并回答问题：（1）过点M画OA的平行线MN；（2）过点P画OB的垂线PC，交OA于点C；（3）点C到直线OB的距离是线段的长度．解析：解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）点C到直线OB的距离是线段PC的长度；故答案为：PC．39．（7分）如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，OC平分∠AOF，∠EOF＝56°，（1）求∠BOD的度数；（2）写出图中所有与∠BOE互余的角，它们分别是．解析：解：（1）∵OE⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠EOF＝56°，∴∠COF＝90°﹣56°＝34°，∵OC平分∠AOF，∴∠AOC＝∠COF＝34°，∴∠BOD＝∠AOC＝34°；（2）写出图中所有与∠BOE互余的角，它们分别是：∠COF，∠AOC，∠BOD．故答案为：∠COF，∠AOC，∠BOD．40．(2018年北京市石景山区七（上）期末T22)如图，点A，B，C是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器完成（以答题卡上印刷的图形为准）：（1）画图：①连接AC并延长到点D，使得CD＝CA；②画射线AB，画直线BC；③过点A画直线BC的垂线交BC于点E．（2）测量：①∠ABC约为°（精确到1°）；②点A到直线BC的距离约为cm（精确到0.1cm）．解析：解：（1）如图所示，（2）①∠ABC约为50°；②点A到直线BC的距离AE约为1.2cm；故答案为：50、1.2．41．(2018年延庆区期末数学试卷T24)如图，点P ，点Q 分别代表两个村庄，直线l 代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l 上的某处设置一个公交站．（1）若考虑到村庄P 居住的老年人较多，计划建一个离村庄P 最近的车站， 请在公路l 上画出车站的位置（用点M 表示），依据是 ；（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P 和村庄Q 的距离之和最小， 请在公路l 上画出车站的位置（用点N 表示），依据是 ． 解析：(1) 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短. (2)两点之间线段最短42．（2018学年北京市昌平区期末T24）化简求值：（﹣2）×3x+3（3x 2﹣1）﹣（9x 2﹣x+3），其中x．解析：解：原式＝﹣6x+9x2﹣3﹣9x2+x ﹣3 ＝﹣5x ﹣6， 当x时，原式＝﹣5×（）﹣6．43．（2018学年北京市昌平区期末T23）如图，平面上有五个点A ，B ，C ，D ，E ．按下列要求画出图形． （1）连接BD ；（2）画直线AC 交BD 于点M ； （3）过点A 作线段AP ⊥BD 于点P ；（4）请在直线AC 上确定一点N ，使B ，E 两点到点N 的距离之和最小（保留作图痕迹）．l QP解析：解：（1）如图，线段BD为所作；（2）如图，点M为所作；（3）如图，AP为所作；（4）如图，点N为所作．44．(2018年北京市石景山区七（上）期末T24)阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，要在A，B两个小区和公路l之间修建地下管道，请你设计一种线路最短的修建方案．根据以上信息，你认为同学的方案最节省材料，理由是．解析：解：小力同学的方案最节省材料，理由是：（1）两点之间线段最短，（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．故答案为：小力，两点之间线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．45．（2018年怀柔区七上期末T25）如图所示，李明和王丽家分别位于公路CD两侧的A,B 处，星期天王丽要去为李明送书，他两人约定在公路CD 边上见面.(1) 李明骑自行车，王丽步行， 为节省时间，他们见面的地点定在距离王丽家最近的点E 处，请你利用所学过的知识，画图确定点E 的位置并写出画图依据；（2）出门前李明发现自行车坏了，临时决定也步行前往，为节省时间，他们约定在距离他两家距离之和最小的F 处见面，请你画出图形，确定点F 的位置并写出画图依据 解析：(1) 如图所示，理由：垂线段最短 （2）如图所示，理由：两点之间线段最短46．（2016年丰台七年级期末试卷T27）已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线. （1）当∠AOB ＝60°时，求∠AOC 的度数；（2）在（1）的条件下，过点O 作OE ⊥OC ，请在图中补全图形，并 求∠AOE 的度数；（3）当∠AOB ＝α时，过点O 作OE ⊥OC ，直接写出∠AOE 的度数. （用含α的代数式表示）解析：．解：（1）∵OC 是∠AOB 的平分线（已知），∴1.2∠=∠AOC AOB （角平分线的定义）∵∠AOB ＝60°， ∴∠AOC=30°.ABO C图2E COBADD（2）∵OE ⊥OC ，∴∠EOC=90°.（垂直的定义） 如图1，∠AOE=∠COE+∠COA=90°+30°=120° 如图2，∠AOE=∠COE-∠COA=90°－30°=60° （3）902α︒+ ；902α︒-.47．（2018年石景山区期末T22）如图，点,,A B C 是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器完成（以答题卡 上印刷的图形为准）：（1）画图：①连接AC 并延长到点D ，使得CD CA =； ②画射线AB ，画直线BC ；③过点A 画直线BC 的垂线交BC 于点E . （2）测量：①ABC ∠约为 °（精确到1°）；②点A 到直线BC 的距离约为 cm （精确到0.1cm ）．解析：．（1）（2）①约50°；②约1.2．（以答题卡上的印刷图形为准） 48．（2018年石景山区期末T24）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：ABC小丁、小力、小川三位同学的设计方案如下：根据以上信息，你认为 同学的方案最节省材料，理由是 ． 解析：小力． 理由是：（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．49．（2018年石景山区期末数学试卷T22）如图，点,,A B C 是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器完成（以答题卡上印刷的图形为准）： （1）画图：①连接AC 并延长到点D ，使得CD CA =； ②画射线AB ，画直线BC ；③过点A 画直线BC 的垂线交BC 于点E . （2）测量：①ABC ∠约为 °（精确到1°）；②点A 到直线BC 的距离约为 cm （精确到0.1cm ）．解析：（1）（2）①约50°；②约1.2．（以答题卡上的印刷图形为准） 50．（2018年石景山区期末数学试卷T24）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：ABC小丁、小力、小川三位同学的设计方案如下：根据以上信息，你认为 同学的方案最节省材料，理由是 ． 解析：小力． 理由是：（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 51．下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线l 及直线l 外一点P.求作：直线PQ,使得PQ ⊥l.作法：如图，①在直线l 上取一点A ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，与直线l 交于另一点B ；②分别以A ，B 为圆心，PA 长为半径在直线l 下方画弧，两弧交于点Q ； ③作直线PQ.所以直线PQ 为所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接PA ，PB ，QA ，QB. ∵PA=PB=QA=QB ，∴四边形APBQ 是菱形（ ）（填推理的依据）． ∴PQ ⊥AB （ ）（填推理的依据）．PlBAPl即PQ ⊥l ．解析：（1）（2）四条边都相等的四边形是菱形 菱形的对角线互相垂直52．下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：如图1，直线l 和l 外一点P ． 求作：直线l 的垂线，使它经过点P ． 作法：如图2，（1）在直线l 上任取一点A ；（2）连接AP ，以点P 为圆心，AP 长为半径作弧，交直线l 于点B （点A ，B 不重合）； （3）连接BP ，作∠APB 的角平分线，交AB 于点H ； （4）作直线PH ，交直线l 于点H ． 所以直线PH 就是所求作的垂线．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形 （保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明. 证明：∵PH 平分∠APB ， ∴∠APH= ． ∵PA= ，∴PH ⊥直线l 于H ．( )(填推理的依据)图1lP图。
中考数学习题精选：整式(含参考答案)
中考数学满分冲刺讲义： 一、选择题1．（2018北京市朝阳区初二期末）下列计算正确的是A ．235a a a ⋅=B ．325()a a =C ．22(3)6a a = D ．2841a a a ÷= 答案：A2．（2018北京市东城区初二期末）下列运算正确的是A. 532b b b ÷=B.527()b b =C. 248b b b = D ．2-22a a b a ab =+（）解：A 3．（2018北京市海淀区八年级期末）下列计算正确的是A ．325a a a +=B ．325a a a ⋅=C ．236(2)6a a =D ．623a a a ÷=答案：B4.（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）5. （2018北京西城区二模）下列运算中，正确的是A ．22456x x x +=B ．326x x x ⋅=C ． 236()x x =D ．33()xy xy =答案： C6.（2018北京东城区二模） 6. 如果23510a a +-=，那么代数式()()()5323+232a a a a +--的值是A. 6B. 2C. - 2D. - 6 答案A7.（2018北京朝阳区二模）6.已知a a 252=-，代数式)1(2)2(2++-a a 的值为 （A ）-11 （B ）-1 （C ） 1 （D ）11答案:D8．（2018北京石景山区初三毕业考试）下列各式计算正确的是A ．23525a a a +=B ．23a a a ⋅=C ．623a a a ÷= D ．235()a a =答案：B9. （2018北京市大兴区检测）下列运算正确的是 A. 236(2)6=a a B. 325⋅=a a aC. 224246+=a a aD. 222(2)4+=+a b a b答案B10.（2018北京延庆区初一第一学期期末）4．下列计算中，正确的是A ．22254a b a b a b -=B ．a b ab +=C ．33624a a -=D ．235235b b b += 答案：A11.（2018北京平谷区初一第一学期期末）下列运算正确的是A ．4x －x =3xB ．6y 2－y 2=5C ．b 4+b 3=b 7D ．325a b ab +=答案A12.(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)下列计算正确的是A ．2233x x -=B ．22232a a a --=-C ．3(1)31a a -=-D ．2(1)22x x -+=--答案：D13.（2018北京丰台区初一第一学期期末） 下列运算正确的是 A ．33323a a a =- B ．34-=-m m C ．022=-ab b aD ．2532x x x =+答案：A14.(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)李老师用长为6a 的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为b -a ，则另一边的长为A ．7a b -B ．2a b -C ．4a b -D ．82a b - 答案：C15.（2018北京东城区初一第一学期期末）下列运算正确的是A ． 43m m -=B ． 33323a a a -=-C ． 220a b ab -=D ． 2yx xy xy -= 答案：B16.（2018北京海淀区七年级第一学期期末） 下列结论正确的是（ ）A. 23ab -和2b a 是同类项B.π2不是单项式 C. a 比a -大 D. 2是方程214x +=的解 答案：A17.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）如图，正方形的边长为a ，圆的直径是d ，用字母表示图中阴影部分的面积为A ．22a d π- B ．22a d π- C ．2212a d π-D ．22()2da π-答 案D18.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）如果23(2)0a b ++-=，那么代数式2017()a b +的值为A ．5B ．-5C ．1D ．-1 答 案D19.（2018北京延庆区初一第一学期期末）元旦，是公历新一年的第一天．“元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以孟夏正月为元，其实正朔元旦之春 ”．中国古代曾以腊月、十月等的月首为元旦．1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦，因此元旦在中国也被称为“阳历年”．为庆祝元旦，人民商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x 元（x ＞100），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是A ． 80%x －20B ．80%（x －20）C ． 20%x －20D ．20%（x －20）答案：A二、填空题20.（2018北京房山区二模）10. 若代数式26x x b -+可化为2()5x a +-，则a b +的值为 ．答案：121.（2018北京顺义区初一第一学期期末）13．多项式32232421x y x y xy y +-+-是 次 项式．答案：四次五项式22.（2018北京顺义区初一第一学期期末）16．如果23x y -=，那么代数式142x y -+的值为 ． 答案：-523.（2018北京顺义区初一第一学期期末）18．如果21(1)0x y +++=，那么代数式20172018x y -的值是 ．答案：-224.（2018北京石景山区初一第一学期期末）若710x y -与415m x y -是同类项，则m 的值为 . 答案：225.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）单项式343x y 的系数是 ，次数是 . 答案：43，26.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）如果2a －b ＝－2，ab ＝－1，那么代数式3ab －4a ＋2b-5的值是_________． 答案：-427.（2018北京海淀区七年级第一学期期末）小何买了4本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a 元，圆珠笔的单价为b 元则小何共花费 元.（用含a ，b 的代数式表示）答案： 410a b +;28．（2018北京西城区九年级统一测试）化简：()()42(1)a a a a +--+=__________． 答案： 8a -．29.(2018北京昌平区初一第一学期期末) 234x y -的系数是 ,次数是 ． 答案： -4，530.(2018北京昌平区初一第一学期期末)写出32m n - 的一个同类项 ． 答案：答案不唯一，如m 3n 等.31.（2018北京东城区初一第一学期期末）单项式﹣xy 2的系数是 ；次数是_________．答案：1-32，32.（2018北京东城区初一第一学期期末）已知代数式2x ﹣y 的值是12，则代数式﹣6x +3y ﹣1的值是 ． 答案：33.（2018北京东城区初一第一学期期末）13．写出一个与32x y -是同类项的单项式为______．答案：3x y （答案不唯一）34 .（2018北京房山区一模）如图，正方形ABCD ，根据图形，写出一个正确的等式：__________． 答案()2222a b a ab b+=++35. （2018北京市朝阳区综合练习（一））赋予式子“ab ”一个实际意义： ． 答案答案不惟一，如：边长分别为a ，b 的矩形面积36．（2018北京平谷区中考统一练习）计算：23222333m n ++++⨯⨯⨯个个= ．答案23n m +37．（2018北京平谷区中考统一练习）已知：24a a +=，则代数式()()()2122a a a a +-+-的值是 ．答案8；38.（2018北京东城区初一第一学期期末）14. 如图：（图中长度单位：m ），阴影部分的面积是______2m答案：2+420x x +39.（2018北京东城区初一第一学期期末）19.按下列图示的程序计算，若开始输入的值为x =﹣6，则最后输出的结果是 ．答案：12040.（2018北京丰台区初一第一学期期末）写出一个系数为32-且次数为3的单项式 ．答案：答案不唯一，如332a -41.（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）两个单项式满足下列条件：① 互为同类项；②次数都是3．任意写出两个满足上述条件的单项式 ，将这两个单项式合并同类项得_______________． 答案：略42.（2018北京平谷区初一第一学期期末）已知622x y 和－313m n x y是同类项，则m-n 的值是答案：043.（2018北京西城区七年级第一学期期末）已知222x x +=，则多项式2243x x +-的值为 ． 答案：144.（2018北京西城区七年级第一学期期末）16．右图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m ），这所住宅的建筑面积为 m. ．答案：2218x x ++45.（2018北京延庆区初一第一学期期末）13．写出－21x 2y 3的一个同类项 ．答案：ax 2y 3三、解答题46.(2018北京交大附中初一第一学期期末)先化简，再求值：22113122()()223233x x y x y x y --+-+=-=，其中，47.(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)21．已知2250x y --=，求223(2)(6)4x xy x xy y ----的值．解：223(2)(6)4x xy x xy y ----223664x xy x xy y =--+- 224x y =-.因为2250x y --=， 所以225x y -=. 所以原式=10.48.(2018北京昌平区初一第一学期期末)24. 化简求值：22(2)33(31)(93)x x x x -⨯+---+，其中13x =-.解：原式= -6x + 9x 2 - 3 - 9x 2 + x - 3…………………… 3分 = -5x - 6. ………………………… 4分当13x =-时，原式=15()63-⨯--………………………… 5分=133-.………………………… 6分49.（2018北京东城区初一第一学期期末）先化简，再求值：（5a 2+2a ﹣1）﹣4（3﹣8a +2a 2），其中a =﹣1．解：原式=5a 2+2a ﹣1﹣12+32a ﹣8a 2=﹣3a 2+34a ﹣13. ………3分 当a =﹣1时，原式=﹣3﹣34﹣13=﹣50． ………4分50.（2018北京丰台区初一第一学期期末）先化简，再求值：()[]xy y x xy xy y x ---+2223275，其中1-=x ，32-=y ．解：原式=()xy y x xy xy y x -+-+224675=y x y x 2245+ =y x 29． ……3分当1-=x ，32-=y 时， 原式=()⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯32192= – 6．……4分51.（2018北京海淀区七年级第一学期期末）已知37=3a b --，求代数式2(21)5(4)3a b a b b +-+--的值．答案．解： 2(21)5(4)3a b a b b +-+--=4225203a b a b b +-+--=9212a b --…………………………………..2分37=3a b --Q ∴原式=9212a b -- =3(37)2a b -- =3(3)2⨯-- =92--=11-…………………………………..4分52.（2018北京怀柔区初一第一学期期末）21．先化简，再求值：22(22)(21)x x x ---+，其中12x =-． 解：原式=224421x x x ---- ……………………………………1分=2265x x --………………………………………………………3分 当x=12-时， 原式=2112()6()522⨯--⨯-- 1352=+-32=-………………………… 4分53.（2018北京门头沟区七年级第一学期期末）23．先化简，再求值：已知210a -=，求()()225+212a a a a --+的值．答案 解：()()225212a a a a +--+2252122a a a a =+---……………………………………………………………2分 231a =-…………………………………………………………………………3分 又∵210a -=∴21a =………………………………………………………………………………4分 ∴ 原式2313112a =-=⨯-=……………………………………………………5分54.（2018北京平谷区初一第一学期期末）22．化简)()(223212a a a a +-+-- 答案 解：=2a 2-a -1+6-2a+2a 2 ……………………………………………………… 3 =4a 2-3a +5 ………………………………………………………… 5 55.（2018北京平谷区初一第一学期期末）23.先化简，再求值：若2=x ，1-=y ，求)332()1(22222-----xy y x xy y x 的值． 答案 )332()1(22222-----xy y x xy y x3322222222++---=xy y x xy y x ............................................. 2 12+=xy (4)当2=x ，1-=y 时，原式=3 (5)56.（2018北京石景山区初一第一学期期末）23．先化简，再求值：22173)6()3x xy x xy ---（，其中13,3x y =-=. 答案．解：原式222736x xy x xy +=-- ……………………………… 2分 2x xy =-． ………………………………… 3分当13,3x y =-=时， 原式21(3)(3)3=---⨯10.= ………………………………… 5分57.（2018北京顺义区初一第一学期期末）27．王老师给同学们出了一道化简的题目：222(2)3(2)x y x x y x +--，小亮同学的做法如下：222222(2)3(2)432x y x x y x x y x x y x x y x +--=+--=-．请你指出小亮的做法正确吗？如果不正确，请指出错在哪？并将正确的化简过程写下来． 答案：去括号时应用分配率出错． ………………………………………………… 2分 正确化简结果如下：原式224236x y x x y x =+-+ ……………………………………………… 4分 28x y x =+ ……………………………………………………………… 5分 58.2018北京西城区七年级第一学期期末）．先化简，再求值：2223()2()3x xy x y xy ---+，其中1x =-，3y =．答案： 解：2223()2()x xy x y xy ---+=22233223x xy x y xy --++ ............................................................................. 2分 =222x y + ............................................................................................................. 3分 当1x =-，3y =时，原式=22(1)23-+⨯ ............................................................................................. 4分 =19．5分59.（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）输液时间与输液速率问题静脉输液是用来给病人注射液体和药品的．在医院里，静脉输液是护士护理中最重要的一项工作，护士需要依据输液速率D ，即每分钟输入多少滴液体，来计算输完点滴注射液的时间t （单位：分钟）．他们使用的公式是：dVt D=，其中，V 是点滴注射液的容积，以毫升（ml ）为单位，d 是点滴系数，即每毫升（ml ）液体的滴数．（1）一瓶点滴注射液的容积为360毫升，点滴系数是每毫升25 滴，如果护士给病人注射的输液速率为每分钟50滴，那么输完这瓶点滴注射液需要多少分钟？（2）如果遇到的病人年龄比较大时，护士会把输液速率缩小为原来的12，准确地描述，在V和 d 保持不变的条件下， 输完这瓶点滴注射液的时间将会发生怎样的变化？ 答案：（1）由D = 50, d = 25, 360V =, dVt D=, ∴ 2536050t ⨯=． ........................................................................... 3分 ∴ t =180． ............................................................................. 4分答：输完点滴注射液的时间是180分钟．（2）设输的速率为D 1滴/分，点滴注射的时间为t 1分钟，则11dV t D =．.......................................................................................... 5分 输液速率缩小为112D 2，点滴注射的时间延长到t 2分钟， 则21112212dV dV t t D D ===， .................................................................... 6分 答：在d 和V 保持不变的条件下，D 将缩小到原来的12时，点输完滴注射的时间延长为原来的2倍． ..................................................................................... 7分60.（2018北京延庆区初一第一学期期末）先化简，再求值：222(22)(21)x x x x +----，其中12x =-． 答案 18．解：原式=2224421x x x x +--++ ……………………3分=263x x +-………………………………………4分 当12x =-时， 原式=211()6()322-+⨯-- 1334=--234=-………………… 5分 61.（2018北京房山区二模）已知2212x x --=. 求代数式2(1)(4)(2)(2)x x x x x -+-+-+的值.答案. 原式=2222144x x x x x -++-+-=2363x x --．……………………………………………………………………3′ ∵2212x x --=∴原式=2363x x --23(21)x x =--6=．………………………………………4′62．（2018北京市朝阳区初二期末）已知0a b +=，求代数式(4)(2)(2)a a b a b a b +-+-的值．解： (4)(2)(2)a a b a b a b +-+-2224(4)a ab a b =+--…………………………………………………2分 244ab b =+． …………………………………………………………………3分∵0a b +=，∴原式4()0b a b =+=．………………………………………………………5分63.（2018北京市东城区初二期末））已知2+2x x =，求()()()()22311x x x x x +-+++-的值【解析】。
2018年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)
2018年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ={1, 2, 4}，B ={1, 3, 5}，则(∁U A)∩B =( )A.{1}B.{3, 5}C.{1, 6}D.{1, 3, 5, 6}【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行交集、补集的运算即可．【解答】解：∁U A ={3, 5, 6}；∴ (∁U A)∩B ={3, 5}．故选B .2. 已知复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，则（ ）A.z +1是实数B.z +1是纯虚数C.z +i 是实数D.z +i 是纯虚数【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，可得z =1−i ，分别计算z +1，z +i ．即可判断出结论．【解答】复数z 在复平面上对应的点为(1, −1)，则z =1−i ，∴ z +1=2−i ，z +i =(1)因此只有C 正确．故选：C ．3. 已知x >y >0，则（ ）A.1x >1yB.(12)x >(12)yC.cosx >cosyD.ln(x +1)>ln(y +1)【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的性质、函数的单调性即可得出判断出结论．【解答】x>y>0，∴1x <1y，(12)x<(12)y，cosx与cosy的大小关系不确定，ln(x+1)>ln(y+1)．4. 若直线x+y+a=0是圆x2+y2−2y=0的一条对称轴，则a的值为（）A.1B.−1C.2D.−2【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程求解．【解答】圆x2+y2−2y=0化为x2+(y−1)2=1，圆心坐标为(0, 1)，∵直线x+y+a=0是圆x2+y2−2y=0的一条对称轴，∴0+1+a=0，即a=−(1)故选：B．5. 设曲线C是双曲线，则“C的方程为x2−y24=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据双曲线的渐近线方程结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】C的方程为x2−y24=1，则双曲线的渐近线方程为y=±2x，即充分性成立，双曲线y24−x2=1的渐近线方程也是y=±2x，即必要性不成立，故“C的方程为x2−y24=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的充分不必要条件，6. 关于函数f(x)=sinx−xcosx，下列说法错误的是（）A.f(x)是奇函数B.0不是f(x)的极值点C.f(x)在(−π2，π2)上有且仅有3个零点D.f(x)的值域是R 【答案】C【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】根据三角函数的性质和导函数，依次判断各选项即可．【解答】对于A：由f(−x)=sin(−x)+xcos(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数，A对；对于B，f(x)=sinx−xcosx，f′(x)=cosx−cosx−xsinx=−xsinx，当x=0时，f(x)=0，f′(x)=0，0不是f(x)的极值点．B对．对于C:f(x)=sinx−xcosx，f′(x)=cosx−cosx−xsinx=−xsinx，可得在(−π2, 0)上单调递增．(0, π2)上单调递减．f(0)可得最大值，f(0)=0，所以，f(x)在(−π2，π2)上不是3个零点．C不对；对于D：当x无限大或无线小时，可得f(x)的值域为R，D对．7. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A.求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B.求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和C.求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D.求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21−1=1，第二次累加的是23−1=4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，8. 已知集合M={x∈N∗|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素②A1∪A2∪A3=M，集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i(i=1, 2, 3)，则X1+X2+X3的值不可能为（）A.37B.39C.48D.57【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】求出集合M={x∈N∗|1≤x≤15}={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}，由题意列举出集合A1，A2，A3，排除选项B、C、D，由此能求出结果．【解答】由题意集合M={x∈N∗|1≤x≤15}={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}，当A1={1, 4, 5, 6, 7}，A2={3, 12, 13, 14, 15}，A3={2, 8, 9, 10, 11}时，X1+X2+X3=8+18+13=39，故排除B选项；当A1={1, 4, 5, 6, 15}，A2={2, 7, 8, 9, 14}，A3={3, 10, 11, 12, 13}时，X1+X2+X3=16+16+16=48，故排除C选项；当A1={1, 2, 3, 4, 15}，A2={5, 6, 7, 8, 14}，A3={9, 10, 11, 12, 13}时，X1+X2+X3=16+19+22=57，故排除D选项．∴X1+X2+X3的值不可能为（37）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)到直线ρcosθ=1的距离为________．极坐标系中，点(2,π2【答案】1【考点】圆的极坐标方程【解析】首先把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，进一步利用点到直线的距离求出结果．【解答】)转换为直角坐标为：(0, 2)，把点(2, π2直线ρcosθ=1转换为直角坐标方程为：x=1，则：点(0, 2)到直线x=1的距离为：d=(1)如图所示：故答案为：1在(x +2x )5的二项展开式中，x 3的系数是________（用数字作答）．【答案】10【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第r +1项，令x 的指数为3得解．【解答】因为其通项为：T r+1=c 5r x 5−r ⋅(2x )r =2r ⋅c 5r ⋅x 5−2r ． 令5−2r =3得r =1，所以：x 3的系数为21×c 51=(10)已知平面向量a →，b →的夹角为π3，且满足|a →|=2，|b →|=1，则a →∗b →=________，|a →+2b →|=________．【答案】1,2√3【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据向量的数量积公式和向量的模即可求出．【解答】∵ 向量a →与b →的夹角为π3，|a →|=2，|b →|=1，∴ a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos π3=2×1×12=1， ∴ |a →+2b →|2=|a →|2+4|b →|2+4a →⋅b →=4+4+4=12，∴ |a →+2b →|=2√3，在△ABC 中，a:b:c =4:5:6，则tanA =________．【答案】√7【考点】正弦定理【解析】根据题意，利用余弦定理求得cosA 的值，再利用同角的三角函数公式求得sinA 、tanA 的值．【解答】△ABC 中，a:b:c =4:5:6，设a =4k ，b =5k ，c =6k ，k >0，则cosA =b 2+c 2−a 22bc =25k 2+36k 2−16k 22×5k×6k =34，∴ sinA =√1−cos 2A =√1−(34)2=√74； ∴ tanA =sinA cosA =√73． 能够使得命题“曲线x 24−y 2a 2=1(a ≠0)上存在四个点P ，Q ，R ，S 满足四边形PQRS 是正方形”为真命题的一个实数a 的值为________．【答案】a <−2或a >2的任意实数【考点】命题的真假判断与应用【解析】由题意可设P(m, n)，(m >0, n >0)，由对称性可得Q(−m, n)，R(−m, −n)，S(m, −n)，可得m =n ，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．【解答】曲线x 24−y 2a 2=1(a ≠0)上存在四个点P ，Q ，R ，S 满足四边形PQRS 是正方形， 可设P(m, n)，(m >0, n >0)，由对称性可得Q(−m, n)，R(−m, −n)，S(m, −n)，则|PQ|=|QR|，即2m =2n ，即m =n ，由曲线的方程可得m 24−n 2a 2=1， 即m 24−m 2a 2=1有解，即有m 2=4a 2a 2−4>4， 可得4a 2−4>0，解得a >2或a <−2，如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，点P 在侧面ABB 1A 1内，若D 1P 垂直于CM ，则△PBC 的面积的最小值为________．【答案】2√55【考点】棱柱的结构特征【解析】建立坐标系，求出P 的轨迹，得出P 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积．【解答】以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则M(0, 0, 1)，C(2, 2, 0)，D 1(0, 2, 2)，设P(a, 0, b)，则D 1P →=(a, −2, b −2)，CM →=(−2, −2, 1)，∵ D 1P ⊥CM ，∴ D 1P →∗CM →=−2a +4+b −2=0，即b =2a −(2)取AB 的中点N ，连结B 1N ，则P 点轨迹为线段B 1N ，过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ =√5=2√55． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ，∴ S △PBC 的最小值为S △QBC =12×2×2√55=2√55． 故答案为：2√55．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．如图，已知函数f(x)=Asinx(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象经过B(π6,0)，C(2π3,0)，D(5π12,2)三点(Ⅰ)写出A ，ω，φ的值；(Ⅱ)若α∈(5π12,2π3)，且f(α)=1，求cos2α的值．【答案】（1）π6+2π3=10π12=5π12×2，即x=5π12为图象的一条对称轴，可得A=2，12⋅2πω=2π3−π6，∴ω=2，再结合五点法作图可得2×π6+φ=0，求得φ=−π3．（2）由(Ⅰ)得，f(x)=2sin(2x−π3)，∵f(α)=1，∴sin(2α−π3)=12．∵α∈(5π12,2π3)，∴2α−π3∈(π2,π)，∴2α−π3=56π，∴2α=76π，∴cos2α=cos76π=−√32．【考点】正弦函数的图象【解析】(Ⅰ)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得函数的解析式，由题意求得sin(2α−π3)=12，结合2α−π3的范围，求得2α−π3的值，可得2α的值，进而求得cos2α的值．【解答】（1）π6+2π3=10π12=5π12×2，即x=5π12为图象的一条对称轴，可得A=2，12⋅2πω=2π3−π6，∴ω=2，再结合五点法作图可得2×π6+φ=0，求得φ=−π3．（2）由(Ⅰ)得，f(x)=2sin(2x−π3)，∵f(α)=1，∴sin(2α−π3)=12．∵α∈(5π12,2π3)，∴2α−π3∈(π2,π)，∴2α−π3=56π，∴2α=76π，∴cos2α=cos76π=−√32．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：(Ⅱ)从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为x 1，s 12，考核成绩的平均数和方差分别为x 2，s 22，试比较x 1与x 2，s 12与s 22的大小．（只需写出结论）【答案】（本小题共1（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人．所以样本中学生考核成绩大于90分的频率为：510=0.5，从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5．…………………………………………． （2）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学， 这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分．考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人．所以，P(A)=C 32C 62=315=15． (Ⅲ)x 1=x 2，s 12>s 22． 【考点】极差、方差与标准差【解析】(Ⅰ)求出这10名学生的考核成绩，其中大于等于90分的有5人，由此能求出样本中学生考核成绩大于90分的频率，由从该校高二年级随机选取一名学生，能估计这名学生考核成绩大于90分的概率．(Ⅱ)设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分．考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有3人．由此能求出这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率．(Ⅲ)x 1=x 2，s 12>s 22． 【解答】（本小题共1（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人．所以样本中学生考核成绩大于90分的频率为：510=0.5，从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5．…………………………………………． （2）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学， 这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分．考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人． 所以，P(A)=C 32C 62=315=15． (Ⅲ)x 1=x 2，s 12>s 22．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =AB 1=2，AB 1⊥平面ABC ，AC 1⊥AC ，D ，E 分别是AC ，B 1C 1的中点(Ⅰ)证明：AC ⊥B 1C 1；(Ⅱ)证明：DE // 平面AA 1B 1B ；(Ⅲ)求DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．【答案】（本小题共1证明：(Ⅰ)因为AB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AB 1⊥AC ．因为AC 1⊥AC ，AB 1∩AC 1=A ，AB 1，AC 1⊂平面AB 1C 1，所以AC ⊥平面AB 1C 1．因为B 1C 1⊂平面AB 1C 1，所以AC ⊥B 1C 1．(Ⅱ)取A 1B 1的中点M ，连接MA 、ME ．因为E 、M 分别是B 1C 1、A 1B 1的中点，所以ME // A 1C 1，且ME =12A 1C 1． 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AD // A 1C 1，且AD =12A 1C 1，所以ME // AD ，且ME =AD ，所以四边形ADEM 是平行四边形，所以DE // AM ．又AM ⊂平面AA 1B 1B ，DE 平面AA 1B 1B ，所以DE // 平面AA 1BB ．(Ⅲ)在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC // B 1C 1，因为AC ⊥B 1C 1，所以AC ⊥BC ．在平面ACB 1内，过点C 作Cz // AB 1，因为，AB 1⊥平面ABC ，所以，Cz ⊥平面ABC ．建立空间直角坐标系C −xyz ，如图．则C(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，B 1(0, 2, 2)，C 1(−2, 2, 2)，D(0, 1, 0)，E(−1, 2, 2)． DE →=(−1,1,2)，CB →=(2,0,0)，CB 1→=(0,2,2)．设平面BB 1C 1C 的法向量为n →=(x, y, z)， 则{n →∗CB →=0n →∗CB 1→=0，即{2x =02y +2z =0， 得x =0，令y =1，得z =−1，故n →=(0, 1, −1)． 设直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， 则sinθ=|cos <DE →，n →>|=|DE →∗n →||DE →|∗|n →|=√36， 所以直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为√36．【考点】直线与平面所成的角 【解析】(Ⅰ)推导出AB 1⊥AC ，AC 1⊥AC ，从而AC ⊥平面AB 1C 1，由此能证明AC ⊥B 1C 1． (Ⅱ)取A 1B 1的中点M ，连接MA 、ME ，推导出四边形ADEM 是平行四边形从而DE // AM ，由此能证明DE // 平面AA 1BB ．(Ⅲ)推导出AC ⊥BC ，过点C 作Cz // AB 1，则Cz ⊥平面ABC ．建立空间直角坐标系C −xyz ，利用向量法能求出直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． 【解答】 （本小题共1证明：(Ⅰ)因为AB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AB 1⊥AC ． 因为AC 1⊥AC ，AB 1∩AC 1=A ，AB 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， 所以AC ⊥平面AB 1C 1．因为B 1C 1⊂平面AB 1C 1，所以AC ⊥B 1C 1． (Ⅱ)取A 1B 1的中点M ，连接MA 、ME ．因为E 、M 分别是B 1C 1、A 1B 1的中点，所以ME // A 1C 1，且ME =12A 1C 1． 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AD // A 1C 1，且AD =12A 1C 1， 所以ME // AD ，且ME =AD ，所以四边形ADEM 是平行四边形，所以DE // AM ． 又AM ⊂平面AA 1B 1B ，DE 平面AA 1B 1B ， 所以DE // 平面AA 1BB ．(Ⅲ)在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BC // B 1C 1， 因为AC ⊥B 1C 1，所以AC ⊥BC ． 在平面ACB 1内，过点C 作Cz // AB 1，因为，AB 1⊥平面ABC ，所以，Cz ⊥平面ABC ．建立空间直角坐标系C −xyz ，如图．则C(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，B 1(0, 2, 2)，C 1(−2, 2, 2)，D(0, 1, 0)，E(−1, 2, 2)． DE →=(−1,1,2)，CB →=(2,0,0)，CB 1→=(0,2,2)． 设平面BB 1C 1C 的法向量为n →=(x, y, z)， 则{n →∗CB →=0n →∗CB 1→=0，即{2x =02y +2z =0， 得x =0，令y =1，得z =−1，故n →=(0, 1, −1)． 设直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ， 则sinθ=|cos <DE →，n →>|=|DE →∗n →||DE →|∗|n →|=√36， 所以直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为√36．已知椭圆C:x 24+y 2=1，F 为右焦点，圆O:x 2+y 2=1，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 的两侧． (Ⅰ)求椭圆C 的焦距及离心率；(Ⅱ)求四边形OFPT 面积的最大值． 【答案】 (Ⅰ)在椭圆C:x 24+y 2=1中，a =2，b =1，所以c =√a 2−b 2=√3，故椭圆C 的焦距为2c =2√3，离心率e =ca=√32． (Ⅱ)设P(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0)， 则x 024+y 02=1，故y 02=1−x 024．所以|TP|2=|OP|2−|OT|2=x 02+y 02−1=34x 02，所以|TP|=√32x 0，S △OTP =12|OT|∗|TP|=√34x 0．又O(0, 0)，F(√3,0)，故S △OFP =12|OF|∗y 0=√32y 0．因此S 四边形OFPT =S △OFP +S △OTP =√32∗(x 02+y 0)=√32∗√x 024+x 0y 0+y 02=√32∗√1+x0y0．由x024+y02=1，得2√x024∗y02≤1，即x0⋅y0≤1，所以S四边形OFPT =√32∗√1+x0y0≤√62，当且仅当x024=y02=12，即x0=√2，y0=√22时等号成立．【考点】椭圆的定义【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，据此计算可得答案；(Ⅱ)设P(x0, y0)，结合椭圆的方程分析可得四边形OFPT面积的表达式，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】(Ⅰ)在椭圆C:x24+y2=1中，a=2，b=1，所以c=√a2−b2=√3，故椭圆C的焦距为2c=2√3，离心率e=ca =√32．(Ⅱ)设P(x0, y0)(x0>0, y0>0)，则x024+y02=1，故y02=1−x024．所以|TP|2=|OP|2−|OT|2=x02+y02−1=34x02，所以|TP|=√32x0，S△OTP=12|OT|∗|TP|=√34x0．又O(0, 0)，F(√3,0)，故S△OFP=12|OF|∗y0=√32y0．因此S四边形OFPT =S△OFP+S△OTP=√32∗(x02+y0)=√32∗√x024+x0y0+y02=√32∗√1+x0y0．由x024+y02=1，得2√x024∗y02≤1，即x0⋅y0≤1，所以S四边形OFPT =√32∗√1+x0y0≤√62，当且仅当x024=y02=12，即x0=√2，y0=√22时等号成立．已知函数f(x)=e ax−ax−3(a≠0) (Ⅰ)求f(x)的极值；(Ⅱ)当a>0时，设g(x)=1a e ax−12ax2−3x，求证：曲线y=g(x)存在两条斜率为−1且不重合的切线．【答案】（1）f′(x)=a⋅e ax−a=a⋅(e ax−1)(a≠0, x∈R)，令f′(x)=0，得x=(0)①当a>0时，f′(x)与e ax−1符号相同，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：②当a<0时，f′(x)与e ax−1符号相反，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：综上，f(x)在x=0处取得极小值f(0)=−(2)（2）g′(x)=e ax−ax−3=f(x)(a>0, x∈R)，故g′(x)=−1⇔f(x)=−(1)注意到f(0)=−2<−1，f(2a )=e2−5>−1，f(−2a)=e−2−1>−1，所以，∃x1∈(−2a ,0)，x2∈(0,2a)，使得f(x1)=f(x2)=−(1)因此，曲线y=g(x)在点P1（x1, f(x1)），P2（x2, f(x2)）处的切线斜率均为−(1)下面，只需证明曲线y=g(x)在点P1（x1, f(x1)），P2（x2, f(x2)）处的切线不重合．曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线方程为y−g(x i)=−(x−x i)，即y=−x+g(x i)+x i．假设曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线重合，则g(x2)+x2=g(x1)+x1．令G(x)=g(x)+x，则G(x1)=G(x2)，且G′(x)=g′(x)+1=f(x)+(1)由(Ⅰ)知，当x∈(x1, x2)时，f(x)<−1，故G′(x)<(0)所以，G(x)在区间[x1, x2]上单调递减，于是有G(x1)>G(x2)，矛盾！因此，曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线不重合．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(Ⅱ)问题转化为证明曲线y=g(x)在点P1（x1, f(x1)），P2（x2, f(x2)）处的切线不重合，得出矛盾，从而证明结论．【解答】（1）f′(x)=a⋅e ax−a=a⋅(e ax−1)(a≠0, x∈R)，令f′(x)=0，得x=(0)①当a>0时，f′(x)与e ax−1符号相同，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：②当a<0时，f′(x)与e ax−1符号相反，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：综上，f(x)在x=0处取得极小值f(0)=−(2)（2）g′(x)=e ax−ax−3=f(x)(a>0, x∈R)，故g′(x)=−1⇔f(x)=−(1)注意到f(0)=−2<−1，f(2a )=e2−5>−1，f(−2a)=e−2−1>−1，所以，∃x1∈(−2a ,0)，x2∈(0,2a)，使得f(x1)=f(x2)=−(1)因此，曲线y=g(x)在点P1（x1, f(x1)），P2（x2, f(x2)）处的切线斜率均为−(1)下面，只需证明曲线y=g(x)在点P1（x1, f(x1)），P2（x2, f(x2)）处的切线不重合．曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线方程为y−g(x i)=−(x−x i)，即y=−x+g(x i)+x i．假设曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线重合，则g(x2)+x2=g(x1)+x1．令G(x)=g(x)+x，则G(x1)=G(x2)，且G′(x)=g′(x)+1=f(x)+(1)由(Ⅰ)知，当x∈(x1, x2)时，f(x)<−1，故G′(x)<(0)所以，G(x)在区间[x1, x2]上单调递减，于是有G(x1)>G(x2)，矛盾！因此，曲线y=g(x)在点P i（x i, f(x i)）(i=1, 2)处的切线不重合．如果数列{a n}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得a k=a i a j”，则称数列{a n}具有“性质P”．已知数列{a n}是无穷项的等差数列，公差为d.(1)若a1=2，公差d=3，判断数列{a n}是否具有“性质P”，并说明理由；(2)若数列{a n}具有“性质P”，求证：a1≥0且d≥0；(3)若数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k=2018，这样的数列共有多少个？并说明理由．(1)解：若a1=2，公差d=3，则数列{a n}不具有性质P．理由如下：由题知a n=3n−1，对于a1和a2，假设存在正整数k，使得a k=a1a2，则有3k−1=2×5=10，解得k=113，得出矛盾，所以对任意的k∈N∗，a k≠a1a2．(2)证明：若数列{a n}具有“性质P”，则：①假设a1<0，d≤0，则对任意的n∈N∗，a n=a1+(n−1)⋅d<0，设a k=a1×a2，则a k>0，矛盾；②假设a1<0，d>0，则存在正整数t，使得a1<a2<a3<...<a t≤0<a t+1<a t+2<…，设a1⋅a t+1=a k1，a1⋅a t+2=a k2，a1⋅a t+3=a k3，…，a1⋅a2t+1=a kt+1，k i∈N∗，i=1，2，…，t+1，则：0>a k1>a k2>a k3>⋯>a kt+1，但数列{a n}中仅有t项小于等于0，矛盾；③假设a1≥0，d<0，则存在正整数t，使得a1>a2>a3>...>a t≥0>a t+1>a t+2>…，设a t+1⋅a t+2=a k1，a t+1⋅a t+3=a k2，a t+1⋅a t+4=a k3，…，a t+1⋅a2t+2=a kt+1，k i∈N∗，i=1，2，…，t+1，则：0<a k1<a k2<a k3<⋯<a kt+1，但数列{a n}中仅有t项大于等于0，矛盾.综上，a1≥0，d≥0.(3)解：设公差为d的等差数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k=2018，若d=0，则{a n}为常数数列，此时a n=2018恒成立，故对任意的正整数k，a k=2018≠20182=a1⋅a2，这与数列{a n}具有“性质P”矛盾，故d≠0，设x是数列{a n}中的任意一项，则x+d，x+2d均是数列{a n}中的项，设a k1=x(x+d)，a k2=x(x+2d)，则a k2−a k1=xd=(k2−k1)⋅d，因为d≠0，所以x=k2−k1∈Z，即数列{a n}的每一项均是整数．由(2)知，a1≥0，d≥0，故数列{a n}的每一项均是自然数，且d是正整数．由题意知，2018+d是数列{a n}中的项，故2018⋅(2018+d)是数列中的项，设a m=2018⋅(2018+d)，则a m−a k=2018⋅(2018+d)−2018=2018×2017+2018d=(m−k)⋅d，即(m−k−2018)⋅d=2018×2017，因为m−k−2018∈Z，d∈N∗，故d是2018×2017的约数．所以，d=1，2，1009，2017，2×1009，2×2017，1009×2017，2×1009×2017，当d=1时，a1=2018−(k−1)≥0，得k=1，2，…，2018，2019，故a1=2018，2017，…，2，1，0，共2019种可能；当d=2时，a1=2018−2(k−1)≥0，得k=1，2，…，1008，1009，1010，故a1=2018，2016，2014，…，4，2，0，共1010种可能；当d=1009时，a1=2018−1009×(k−1)≥0，得k=1，2，3，故a1=2018，1009，0，共3种可能；当d=2017时，a1=2018−2017(k−1)≥0，得k=1，2，故a1=2018，1，共2种可能；当d=2×1009时，a1=2018−2018×(k−1)≥0，得k=1，2，故a1=2018，0，共2种可能；当d=2×2017时，a1=2018−2×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能；当d=1009×2017时，a1=2018−1009×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能；当d=2×1009×2017时，a1=2018−2×1009×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能．综上，满足题意的数列{a n}共有2019+1010+3+2+2+1+1+1=3039（种）．经检验，这些数列均符合题意．【考点】数列的应用【解析】(Ⅰ)直接利用反证法求出结果．(Ⅱ)直接利用反证法求出结果．(Ⅲ)分情况对数列的项进行讨论，得出组合数．【解答】(1)解：若a1=2，公差d=3，则数列{a n}不具有性质P．理由如下：由题知a n=3n−1，对于a1和a2，假设存在正整数k，使得a k=a1a2，则有3k−1=2×5=10，解得k=113，得出矛盾，所以对任意的k∈N∗，a k≠a1a2．(2)证明：若数列{a n}具有“性质P”，则：①假设a1<0，d≤0，则对任意的n∈N∗，a n=a1+(n−1)⋅d<0，设a k=a1×a2，则a k>0，矛盾；②假设a1<0，d>0，则存在正整数t，使得a1<a2<a3<...<a t≤0<a t+1<a t+2<…，设a1⋅a t+1=a k1，a1⋅a t+2=a k2，a1⋅a t+3=a k3，…，a1⋅a2t+1=a kt+1，k i∈N∗，i=1，2，…，t+1，则：0>a k1>a k2>a k3>⋯>a kt+1，但数列{a n}中仅有t项小于等于0，矛盾；③假设a1≥0，d<0，则存在正整数t，使得a1>a2>a3>...>a t≥0>a t+1>a t+2>…，设a t+1⋅a t+2=a k1，a t+1⋅a t+3=a k2，a t+1⋅a t+4=a k3，…，a t+1⋅a2t+2=a kt+1，k i∈N∗，i=1，2，…，t+1，则：0<a k1<a k2<a k3<⋯<a kt+1，但数列{a n}中仅有t项大于等于0，矛盾.综上，a1≥0，d≥0.(3)解：设公差为d的等差数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k=2018，若d=0，则{a n}为常数数列，此时a n=2018恒成立，故对任意的正整数k，a k=2018≠20182=a1⋅a2，这与数列{a n}具有“性质P”矛盾，故d≠0，设x是数列{a n}中的任意一项，则x+d，x+2d均是数列{a n}中的项，设a k1=x(x+d)，a k2=x(x+2d)，则a k2−a k1=xd=(k2−k1)⋅d，因为d≠0，所以x=k2−k1∈Z，即数列{a n}的每一项均是整数．由(2)知，a1≥0，d≥0，故数列{a n}的每一项均是自然数，且d是正整数．由题意知，2018+d是数列{a n}中的项，故2018⋅(2018+d)是数列中的项，设a m=2018⋅(2018+d)，则a m−a k=2018⋅(2018+d)−2018=2018×2017+2018d=(m−k)⋅d，即(m−k−2018)⋅d=2018×2017，因为m−k−2018∈Z，d∈N∗，故d是2018×2017的约数．所以，d=1，2，1009，2017，2×1009，2×2017，1009×2017，2×1009×2017，当d=1时，a1=2018−(k−1)≥0，得k=1，2，…，2018，2019，故a1=2018，2017，…，2，1，0，共2019种可能；当d=2时，a1=2018−2(k−1)≥0，得k=1，2，…，1008，1009，1010，故a1=2018，2016，2014，…，4，2，0，共1010种可能；当d=1009时，a1=2018−1009×(k−1)≥0，得k=1，2，3，故a1=2018，1009，0，共3种可能；当d=2017时，a1=2018−2017(k−1)≥0，得k=1，2，故a1=2018，1，共2种可能；当d=2×1009时，a1=2018−2018×(k−1)≥0，得k=1，2，故a1=2018，0，共2种可能；当d=2×2017时，a1=2018−2×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能；当d=1009×2017时，a1=2018−1009×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能；当d=2×1009×2017时，a1=2018−2×1009×2017×(k−1)≥0，得k=1，故a1=2018，共1种可能．综上，满足题意的数列{a n}共有2019+1010+3+2+2+1+1+1=3039（种）．经检验，这些数列均符合题意．。
北京市2018年中考数学二模试题汇编 代几综合题(无答案)
代几综合题2018昌平二模28.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A (2-,0) ，点 B (1,1) ，点 C (1-, 2-)，则A 、B 、C 三点的 “横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的“纵长”b =|1(2)--|=3. 因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点.（1）在点R (3，5) ，S (3，2-) ，T (4-，3-)中，与点A 、B 为正方点的是 ； （2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为 ； （3）已知点D (1，0).①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形； ②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．y xxy yx2018朝阳二模28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于，则称P 为直线m 的平行点． （1）当直线m 的表达式为y =x 时， ①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-，22）中，直线m 的平行点是 ； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标. （2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n 的取值范围．2018东城二模28. 研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)C t +， ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.2018房山二模28. 已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”.（1）已知⊙O的半径为1，在点E（1，1），F（－12，32），M（0，－1）中，⊙O的“关联点”为；（2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为 5 ，求n的值；（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H的“关联圆”，直线443y x=-+与x轴，y轴分别交于点A，B. 若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围.2018丰台二模28．在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q ，之间的“直距”定义为：2121y y x x D PQ -+-=.例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MN D =-+---=. 已知点A (1，0)、点B (-1，4).（1）则_______=AO D ，_______=BO D ；（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标； （3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.2018海淀二模28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数； （2）0m >，已知1y x=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围．（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．2018平谷二模28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时，○1点()120P-，，()211P，，()322P，中，⊙O的“美好点”是；○2点P为直线y=x+b上一动点，点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；（2）点M为直线y=x上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=4上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．2018石景山二模28．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意点P ，给出如下定义：若⊙P 的半径为1，则称⊙P 为点P 的“伴随圆”． （1）已知，点()1,0P ，①点1,2A ⎛⎝⎭在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）； ②点()1,0B -在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）；（2）若点P 在x 轴上，且点P 的“伴随圆”与直线x y 33=相切，求点P 的坐标； （3）已知直线2+=x y 与x 、y 轴分别交于点A ，B ，直线2-=x y 与x 、y 轴分别交于点C ，D ，点P 在四边形ABCD 的边上并沿DA CD BC AB →→→的方向移动，直接写出点P 的“伴随圆”经过的平面区域的面积．2018西城二模28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 .（2）点D 在直线+3y =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q ，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）2018怀柔二模28. A 为⊙C 上一点，过点A 作弦AB ，取弦AB 上一点P ，若满足131<≤ABAP ，则称P 为点A 关于⊙C 的黄金点．已知⊙C 的半径为3，点A 的坐标为（1，0）． (1)当点C 的坐标为（4，0）时，①在点D （3，0），E （4，1），F （7，0）中，点A 关于⊙C 的黄金点是 ； ②直线3333-=x y 上存在点A 关于⊙C 的黄金点P ，求点P 的横坐标的取值范围； (2)若y 轴上存在．．点A 关于⊙C 的黄金点，直接写出点C 横坐标的取值范围．2018门头沟二模28.在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直”表示.线）的距离叫做“弦中距”，用符号“d中以(3,0)W-为圆心，半径为2的圆上.（1）已知弦MN长度为2.①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的d的长度；中的取值范围.②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的d中（2）已知点(5,0)y x=-，求到直线2=-的dy xM-,点N为⊙W上的一动点，有直线2中备用图2018顺义二模28．已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果a ≤PQ ，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”． 在平面直角坐标系xOy 中，若A (-1，1)，B (-1，-1)，C (1，-1)，D (1，1) ．（1）在11(,0)2-P ，21(2P ，3P 中，正方形ABCD 的“关联点”有 ；（2）已知点E 的横坐标是m ，若点E 在直线y 上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围；（3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线1+y 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点．如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，求n 的取值范围．。
2018届中考数学二模试卷(带答案) (18)
2018年中考数学二模试卷一、．选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分1．计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b62．下列各式中，不成立的是（）A．|﹣3|=3 B．﹣|3|=﹣3 C．|﹣3|=|3| D．﹣|﹣3|=33．在实数﹣，0，，，，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）A．65°B．25°C．15°D．35°5．如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（）A．B．C．D．6．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．20157．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD=（）A．B．C．D．8．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是（）A．1 B．2 C．D．49．某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，不含辣椒的概率是（）A．B．C．D．10．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c11．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）A．B． C． D．712．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．因式分解：x2﹣2xy+y2=．14．将三角板（不是等腰的）顶点放置在直线AB上的O点处，使AB∥CD，则∠2的余弦值是．15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为．16．方程x2﹣2x﹣1=0的解是．17．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是．18．猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是．三、选修题、本小题满分6分，请在下列两个小题中，任选其一完成即可19．（1）解方程组：（2）解不等式组：．四、解答题：本大题共7个小题，满分54分．解答时请写出必要的演推过程．20．计算﹣2sin45°+（﹣2）﹣3+（）0．21．为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（2007•台州）如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）23．海丰塔是无棣灿烂文化的象征（如图①），喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：海丰塔，史称唐塔，原名大觉寺塔，始建于唐贞观十三年（公元639年），碑记为“尉迟敬德监建”，距今已1300多年，被誉为冀鲁三胜之一．小伟决定用自己所学习的知识测量海丰塔的高度．如图②，他利用测角仪站在B处测得海丰塔最高点P的仰角为45°，又前进了18米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小伟算算海丰塔的高度．（测角仪高度忽略不计，≈1.7，结果保留整数）．24．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．25．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，点M为圆心，A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（4，0），D点的坐标为（0，﹣4）．（1）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；（2）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式吗？能，请写出过程，不能，请说明理由．参考答案与试题解析一、．选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分1．计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．【解答】解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．故选D．【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．下列各式中，不成立的是（）A．|﹣3|=3 B．﹣|3|=﹣3 C．|﹣3|=|3| D．﹣|﹣3|=3【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的意义选择．【解答】解：A中|﹣3|=3，正确；B中﹣|3|=﹣3，正确；C中|﹣3|=|3|=3，正确；D中﹣|﹣3|=﹣3，不成立．故选D．【点评】本题考查绝对值的化简：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．3．在实数﹣，0，，，，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式求解．【解答】解：=3，=﹣2，无理数有：，，共2个．故选B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．4．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）A．65°B．25°C．15°D．35°【考点】圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】先根据邻补角的定义求出∠BOC，再利用圆周角定理求解．【解答】解：∵∠AOC=130°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣130°=50°，∴∠D=×50°=25°．故选B．【点评】本题利用了圆周角定理和邻补角的概念求解．5．如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形．故选C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．6．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，解得m2﹣m=1．∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．7．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD=（）A．B．C．D．【考点】三角形的内切圆与内心；切线长定理．【专题】压轴题．【分析】首先根据切线的性质和切线长定理证得四边形OECD是正方形，那么AC+BC﹣AB即为2R（⊙O 的半径R）的值，由此可得到OD、CD的值，进而可在Rt△OBD中求出∠OBD的正切值．【解答】解：∵BC、AC、AB都是⊙O的切线，∴CD=CE、AE=AF、BF=BD，且OD⊥BC、OE⊥AC；易证得四边形OECD是矩形，由OE=OD可证得四边形OECD是正方形；设OD=OE=CD=R，则：AC+BC﹣AB=AE+R+BD+R﹣AF﹣BF=2R，即R=（AC+BC﹣AB）=1，∴BD=BC﹣CD=3﹣1=2；在Rt△OBD中，tan∠OBD==．故选C．【点评】此题考查的是三角形的外切圆，切线长定理以及锐角三角形函数的定义，难度适中．8．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是（）A．1 B．2 C．D．4【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OC=OA，又由点E 是BC边的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA，∵点E是BC边的中点，即BE=CE，∴OE=AB，∵OE=1，∴AB=2．故选B．【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．9．某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，不含辣椒的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】让不含辣椒的盒饭数除以总盒饭数即为从中任选一盒，不含辣椒的概率．【解答】解：配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒，全部是80盒，不含辣椒的有70盒，所以从中任选一盒，不含辣椒的概率是=．故选A ．【点评】本题比较容易，考查等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A ．a=c B ．a=b C ．b=c D ．a=b=c 【考点】根的判别式． 【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b 2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a ﹣c ，代入b 2﹣4ac=0得（﹣a ﹣c ）2﹣4ac=0，化简即可得到a 与c 的关系．【解答】解：∵一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根， ∴△=b 2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a ﹣c ，代入b 2﹣4ac=0得（﹣a ﹣c ）2﹣4ac=0，即（a+c ）2﹣4ac=a 2+2ac+c 2﹣4ac=a 2﹣2ac+c 2=（a ﹣c ）2=0， ∴a=c ． 故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．11．如图，已知△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）A．B． C． D．7【考点】勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC==，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=×=2；故选A．【点评】此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形．运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）A．①②B．③④C．①④D．①③【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，∴=﹣3，则a=﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣．故③正确；④根据题意知，a=﹣，﹣=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，∴≤c≤4，即≤n≤4．故④错误．综上所述，正确的说法有①③．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．因式分解：x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】计算题．【分析】根据完全平方公式直接解答即可．【解答】解：原式=（x﹣y）2．故答案为（x﹣y）2．【点评】本题考查了因式分解﹣﹣运用公式法，熟悉因式分解是解题的关键．14．将三角板（不是等腰的）顶点放置在直线AB上的O点处，使AB∥CD，则∠2的余弦值是．【考点】特殊角的三角函数值；平行线的性质．【专题】探究型．【分析】先根据平行线的性质及直角三角板的特点求出∠2的度数，再根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【解答】解：由三角板的特点可知，∠D=60°，∵AB∥CD，∴∠D=∠2=60°，∴cos∠2=cos60°=．故答案为：．【点评】本题考查的是直角三角板的特点及平行线的性质、特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为45°．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】计算题．【分析】首先利用线段垂直平分线的性质推出∠DAC=∠DCA，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC=∠ACB，易求∠BCD的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°（已知）∴∠ABC=∠ACB==75°∵DE垂直平分AC，∴AD=CD；∴∠A=∠ACD=30°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD，∴∠BCD=45°；故答案为：45°．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，难度一般．16．方程x2﹣2x﹣1=0的解是x1=1+，x2=1﹣．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】首先把常数项2移项后，然后在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方，然后开方即可求得答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，∴x2﹣2x=1，∴x2﹣2x+1=2，∴（x﹣1）2=2，∴x=1±，∴原方程的解为：x1=1+，x2=1﹣．故答案为：x1=1+，x2=1﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程．解题时注意配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．17．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是76．【考点】勾股定理；正方形的性质．【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴由勾股定理得：AB==10，∴正方形的面积是10×10=100，∵△AEB的面积是AE×BE=×6×8=24，∴阴影部分的面积是100﹣24=76，故答案是：76．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．18．猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】根据分数的分子是2n，分母是2n+3，进而得出答案即可．【解答】解：∵分数的分子分别是：2 2=4，23=8，24=16，…分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，…∴第n个数是．故答案为：．【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键．三、选修题、本小题满分6分，请在下列两个小题中，任选其一完成即可19．（1）解方程组：（2）解不等式组：．【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）①+②得：4x=20，即x=5，把x=5代入①得：y=1，则方程组的解为；（2），由①得：x＜﹣1，由②得：x≤2，则不等式组的解集为x＜﹣1．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题：本大题共7个小题，满分54分．解答时请写出必要的演推过程．20．计算﹣2sin45°+（﹣2）﹣3+（）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用二次根式性质化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣1﹣2×﹣+1=﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（2）易知选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人．记选择音乐类的4人分别是A1，A2，A，小丁；选择美术类的3人分别是B1，B2，小李．可画出树状图如下：由树状图可知共有12种选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是或列表：由表可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是；（3）由（1）可知问卷中最喜欢体育运动的学生占40%，由样本估计总体得得500×40%=200名．所以该年级中最喜欢体育运动的学生约有200名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图及用样本估计总体等知识的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【专题】几何综合题．【分析】（1）由已知可证得OC⊥CD，OC为圆的半径所以直线CD与⊙O相切；（2）根据已知可求得OC，CD的长，则利用S阴影=S△COD﹣S扇形OCB求得阴影部分的面积．【解答】解：（1）直线CD 与⊙O 相切， ∵在⊙O 中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°， 又∵OB=OC ， ∴△OBC 是正三角形， ∴∠OCB=60°， 又∵∠BCD=30°， ∴∠OCD=60°+30°=90°， ∴OC ⊥CD ， 又∵OC 是半径， ∴直线CD 与⊙O 相切．（2）由（1）得△OCD 是Rt △，∠COB=60°， ∵OC=1， ∴CD=，∴S △COD =OC •CD=，又∵S 扇形OCB =，∴S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OCB =．【点评】此题主要考查学生对切线的性质及扇形的面积公式的理解及运用．23．海丰塔是无棣灿烂文化的象征（如图①），喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：海丰塔，史称唐塔，原名大觉寺塔，始建于唐贞观十三年（公元639年），碑记为“尉迟敬德监建”，距今已1300多年，被誉为冀鲁三胜之一．小伟决定用自己所学习的知识测量海丰塔的高度．如图②，他利用测角仪站在B 处测得海丰塔最高点P 的仰角为45°，又前进了18米到达A 处，在A 处测得P 的仰角为60°．请你帮助小伟算算海丰塔的高度．（测角仪高度忽略不计，≈1.7，结果保留整数）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设海丰塔的高OP=x，在Rt△POB中表示出OB，在Rt△POA中表示出OA，再由AB=18米，可得出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设海丰塔的高OP=x，在Rt△POB中，∠OBP=45°，则OB=OP=x，在Rt△POA中，∠OAP=60°，则OA==x，由题意得，AB=OB﹣OA=18m，即x﹣x=18，解得：x=27+9，故海丰塔的高度OP=27+9≈42米．答：海丰塔的高度约为42米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．24．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）利用两角对应相等可证出△ABE∽△ADF；（2）利用（1）的结论，先证出△ABG≌△ADH，得到AB=AD，那么平行四边形ABCD是菱形．【解答】证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90度．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF．∴△ABE∽△ADF．（2）∵△ABE∽△ADF，∴∠BAG=∠DAH．∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，从而∠AGB=∠AHD，∴△ABG≌△ADH，∴AB=AD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的判定．25．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，点M为圆心，A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（4，0），D点的坐标为（0，﹣4）．（1）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；（2）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式吗？能，请写出过程，不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）易得点A、B的坐标，用交点式设出二次函数解析式，把D坐标代入即可．自变量的取值范围是点A、B之间的数．（2）先设出切线与x轴交于点E．利用直角三角形相应的三角函数求得EM的长，进而求得点E坐标，把C、E坐标代入一次函数解析式即可求得所求的解析式．（3）设出所求函数解析式，让它与二次函数组成方程组，消除y，让跟的判别式为0，即可求得一次函数的比例系数k．【解答】解：（1）如图，设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，∴CM⊥CE，又∵A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（4，0），AB为半圆的直径，点M为圆心，∴M点的坐标为（1，0），∴AO=2，BO=4，OM=1．又因为CO⊥x轴，所以CO2=AO•OB，解得：CO=2，又∵CM⊥CE，CO⊥x轴，∴CO2=EO•OM，解之得：EO=8，∴E点的坐标是（﹣8，0），∴切线CE的解析式为：y=x+2；（2）根据题意可得：A（﹣2，0），B（4，0）；则设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4）（a≠0），又∵点D（0，﹣4）在抛物线上，∴a=；∴y=x2﹣x﹣4自变量取值范围：﹣2≤x≤4；（3）设过点D（0，﹣4），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx﹣4（k≠0），由题意可知方程组只有一组解．即kx﹣4=x2﹣x﹣4有两个相等实根，∴k=﹣1，∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣x﹣4；【点评】本题以半圆与抛物线合成的封闭图形“蛋圆”为背景，考查一次函数、二次函数有关性质，解题过程中涉及解一元一次方程、一元二次方程、方程组相关知识与技能，是一道综合性很强的试题．。
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HFEDC BA2018北京石景山区初三（二模）数 学学校 姓名 准考证号考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．数轴上的点A 表示的数是a ，当点A 在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B ，若点A 和点B 表示的数恰好互为相反数，则数a 是（A ）6 （B ）6- （C ）3 （D ）3- 2．如图，在ABC △中，BC 边上的高是（A ）AF （B ）BH （C ）CD （D ）EC第2题图 第3题图3．如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（A ）三棱锥 （B ）四棱锥 （C ）三棱柱 （D ）四棱柱 4．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（A ）面朝上的点数是6 （B ）面朝上的点数是偶数 （C ）面朝上的点数大于2 （D ）面朝上的点数小于2 5．下列是一组logo 设计的图片，其中不是．．中心对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ） 6．一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（A ） 2与3之间 （B ）3与4之间 （C ） 4与5之间 （D ）5与6之间 7．某商场一名业务员12个月的销售额（单位：万元）如下表：月份（月）1234567 8 9 10 11 12销售额（万元）6.2 9.8 9.87.8 7.2 6.4 9.8 8 7 9.8 10 7.5 则这组数据的众数和中位数分别是（A ）10，8 （B ）9.8，9.8 （C ）9.8，7.9 （D ）9.8，8.1PA BO8．甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ．则下列说法正确的是 （A ）两人从起跑线同时出发，同时到达终点 （B ）跑步过程中，两人相遇一次（C ）起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远 （D ）乙在跑前300米时，速度最慢 二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9． 分解因式：=+-x x x 232_________． 10．若代数式24+2x x -的值为0，则实数x 的值是_________． 11．一次函数()0y kx b k =+≠的图象过点()0,2，且y 随x 的增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式： ．12．某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x 人，依题意，可列方程为 ． 13．若222351x y +-=，则代数式22695x y +-的值为 ．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为(－4，1)、(－1，3)，在经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A ''、B ''的坐标分别为(1，0)、(3，－3)，则由线段AB 得到线段A B ''的过程是： ，由线段A B ''得到线段A B ''''的过程是： ．15．如图，⊙O 的半径为2，切线AB 的长为23，点P 是⊙O 上的动点，则AP 的长的取值 范围是__________．16．已知：在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90º， M 、N 分别是CD 和BC 上的点． 求作：点M 、N ，使△AMN 的周长最小． 作法：如图，（1）延长AD ，在AD 的延长线上截取DA ´=DA ； （2）延长AB ，在AB 的延长线上截取B A″=BA ； （3）连接A′A″，分别交CD 、BC 于点M 、N ．200S (米)t (秒)ODC BA 16070800600300yx–1–2–3–4–51234–1–2–3–41234B"A"B'B AA'O则点M 、N 即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是_____________．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23题6分；第24、25题，每小题5分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：111()tan 603223-+-︒--．18．解不等式241126x x +--≥，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且60ADE ∠=︒． 求证：△ADC ∽△DEB ．20．已知关于x 的一元二次方程220x x m ++=．（1）当m 为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根； （2）在（1）的条件下，求方程的根．21．如图，在四边形ABCD 中，45A ∠=︒，CD BC =，DE 是AB 边的垂直平分线，连接CE ．（1）求证：DEC BEC ∠=∠；（2）若8AB =，10BC =，求CE 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:2l y x b =-+与x 轴，y 轴分别交于点1(,0)2A ，B ，与反比例函数图象的一A ''A 'N MDCBA A BCDCDEBAFH C EOD BA个交点为(),3M a .（1）求反比例函数的表达式；（2）设直线2:2l y x m =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ,D ,且3OCD OAB S S ∆∆=，直接写出m 的值 .23．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．剩大量60%不剩剩少量剩一半部分同学用餐剩余情况统计图部分同学用餐剩余情况统计图餐余情况剩大量剩一半剩少量不剩人数501506008006004002000（1）这次被调查的同学共有 人；（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．24．如图，在△ABC 中，∠90=C ，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC 交于点F ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，连接BE ． （1）求证：EC EH =； （2）若4BC =，2sin 3A =，求AD 的长．25．如图，在ABC △中，8cm AB =，点D 是AC 边的中点，点P 是边AB 上的一个动点，过点P 作射线BC 的垂线，垂足为点E ，连接DE .设cm PA x =，cm ED y =.小石根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：/cm x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 /cm y3.02.41.91.82.13.44.25.0（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点E 是BC 边的中点时，PA 的长度约为 cm .26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =++≠经过点()34,A -和()02,B ．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线3x =翻折，得到图象N ．若过点()94,C 的直线y kx b =+与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．27．在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点M 是线段BC 的中点，点N 在射线MB 上，连接AN ，平移△ABN ，使点N移动到点M ，得到△DEM （点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），DM 交AC 于点P ． （1）若点N 是线段MB 的中点，如图1．① 依题意补全图1；E DCA B P② 求DP 的长；（2）若点N 在线段MB 的延长线上，射线DM 与射线AB 交于点Q ，若MQ =DP ，求CE 的长．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意点P ，给出如下定义：若⊙P 的半径为1，则称⊙P 为点P 的“伴随圆”． （1）已知，点()1,0P ，①点13,22A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）； ②点()1,0B -在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）； （2）若点P 在x 轴上，且点P 的“伴随圆”与直线x y 33=相切，求点P 的坐标； （3）已知直线2+=x y 与x 、y 轴分别交于点A ，B ，直线2-=x y 与x 、y 轴分别交于点C ，D ，点P 在四边形ABCD 的边上并沿DA CD BC AB →→→的方 向移动，直接写出点P 的“伴随圆”经过的平面区域的面积．图1N MA B CNMAB C备用图数学试题答案阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DABCABCC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9． 2(1)x x -． 10．2． 11．答案不唯一.如：2y x =-+． 12．(230)600x x +-=．13.13． 14．向右平移4个单位长度；绕原点顺时针旋转90︒． 15．26AP ≤≤． 16. ①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的 连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23题6分；第24、25题，每小题5分；第26、27题，每小题7分；第28题8分）．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．解：原式=223333+-+- ………………4分 33=. ………………5分 18．解：去分母,得 3(2)(41)6x x +--≥ ………………1分去括号,得 36416x x +-+≥ ………………2分 移项，合并同类项：1x -≥- ………………3分 系数化为1：1x ≤． ………………4分 把解集表示在数轴上：12–1–2………………5分19. 证明：∵△ABC 是等边三角形，∴60B C ∠=∠=︒， ………… 1分 ∴1160ADB C ∠=∠+∠=∠+︒，………… 2分 ∵60ADE ∠=︒，∴260ADB ∠=∠+︒， ………… 3分 ∴12∠=∠， ………… 4分 ∴△ADC ∽△DEB . ………… 5分 20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴0∆>. …………… 1分 ∴440m ->.即1m <. …………… 2分 又m 为非负整数,∴0m =. …………… 3分 （2）当0m =时，原方程为220x x +=，解得：10x =，22x =-． …………… 5分21．（1）证明：∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴DE AB ⊥，4AE EB ==， ………… 1分 ∵45A ∠=︒， ∴DE AE EB ==， 又∵DC CB =，CE CE =，∴△EDC ≌△EBC .∴45DEC BEC ∠=∠=︒. ………… 2分 （2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ， 可得，CH EH =，设EH x =，则4BH x =-， 在Rt △CHB 中，222CH BH BC +=， ……… 3分 即22(4)10x x +-=，解之，13x =，21x =（不合题意，舍），………… 4分 即3EH =.∴232CE EH ==. ………… 5分22．解：（1）∵一次函数2y x b =-+的图象过点1(,0)2A ， ∴0212b =-⨯+． ∴解得，1b =．∴一次函数的表达式为21y x =-+． ………………1分 ∵一次函数的图象与反比例函数(0)y xkk =≠图象交于点(),3a M ，∴321a =-+，解得,1a =-． ………………2分 由反比例函数(0)y xkk =≠图象过点()1,3M -，得3k =-．∴反比例函数的表达式为3y x=-． ………………3分（2）3,3-. ………………5分 23．解: （1）1000； ………………2分 （2）HCDE BAFH C EOD BA200部分同学用餐剩余情况统计图餐余情况剩大量剩一半剩少量不剩人数501506008006004002000………………4分（3）50180009001000⨯=. ………………6分 答：估计该校18000名学生一餐浪费的食物可供900人食用一餐． 24．（1）证明:连接OE ∵⊙O 与边AC 相切 ∴OE ⊥AC ∵∠90=C∴OE ∥BC ． ……………………..1分 ∴OEB CBE ∠=∠ ∵OB OE =， ∴OEB OBE ∠=∠ ∴OBE CBE ∠=∠ ∵EH ⊥AB∴EH EC =． …………………………..2分 （2）解：在Rt △ABC 中，4BC =，2sin 3BC A AB ==， ∴6AB =． ………………………………..3分 ∵OE ∥BC∴OE AO BC AB =，即646OE OB-=． 解得,125OB = ………………………………..4分∴246655AD AB BD =-=-=． …………………………..5分 25.解：（1）2.7 ………………………… 1分（2）y x /cm/cm12345612345678O……………………… 4分（3）6.8 ……………………… 5分26．解：（1）∵抛物线240y ax x c a =++≠()经过点34(,)A -和02(,)B ，可得：91242a c c ⎧++=-⎨=⎩解得：22a c ⎧=-⎨=⎩∴抛物线的表达式为2242y x x =-++. ……………………… 2分 ∴顶点坐标为()14,. ……………………… 3分（2）设点02(,)B 关于3x =的对称点为B’， 则点B’()62,. 若直线y kx b =+经过点()94,C 和()62B ',，可得2b =-. 若直线ykx b =+经过点()94,C 和()34,A -，可得8b =-.直线y kx b =+平行x 轴时,4b =.综上，824b b -<<-=或. ……………………… 7分27．解：（1）①如图1，补全图形. ………………… 1分② 连接AD ，如图2.在Rt △ABN 中,∵∠B =90°，AB =4，BN =1，yx–1123456789–1–2–3–4–512345CB'ABO∴17=AN .∵线段AN 平移得到线段DM ， ∴DM =AN =17，AD =NM =1，AD ∥MC ，∴△ADP ∽△CMP . ∴21==MC AD MP DP . ∴317=DP .………………… 3分 （2）连接NQ ，如图3.由平移知：AN ∥DM ，且AN =DM . ∵MQ DP =， ∴PQ DM =.∴AN ∥PQ ，且AN =PQ .∴四边形ANQP 是平行四边形. ∴NQ ∥AP .∴45BQN BAC ∠=∠=︒. 又∵90NBQ ABC ∠=∠=︒， ∴BN BQ =. ∵AN ∥MQ ， ∴AB NBBQ BM =. 又∵M 是BC 的中点，且4AB BC ==， ∴42NBNB =. ∴22NB =(舍负). ∴22ME BN ==.∴222CE =-.………………… 7分 （2）法二，连接AD ，如图4. 设CE 长为x ，∵线段AB 移动到得到线段DE ， ∴4+==x BE AD ，AD ∥BM . ∴△ADP ∽△CMP . ∴24xMC AD MP DP +==. ∵MQ =DP ， ∴x xMP DP DP QD MQ 21042++=+=. ∵△QBM ∽△QAD ， ∴xAD BM QD MQ +==42. 解得222-=x .图2PNQDEMA C BPNQDEMA C B图4∴222-=CE . ………………… 7分28．解：（1）上；外； ………………… 2分 （2）连接PH ，如图1，∵点P 的“伴随圆”与直线x y 33=相切， ∴PH OH ⊥.∴1PH =，30POH ∠=︒， 可得，2OP =，∴点P ）（0,2或）（0,2-； …………………… 6分 （3）1624π-+.（可参考图2） …………………… 8分yx–1–2–3123–1–212H'P'HPO图1y xHGFE–1–2–312345–1–2–3–4123ADBCO图2。