【高考复习方案】(新课标)2015届高三数学二轮限时训练 第19讲 函数与方程思想、数形结合思想

[第19讲 函数与方程思想、数形结合思想](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．若复数z 满足(1＋i)z ＝1＋2i(其中i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．方程sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝14x 的实数解的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．以上均不对 3．若x ∈{}x |log 2x ＝2－x ，则有( )A ．x 2>x >1B ．x 2>1>xC ．1>x 2>xD ．x >1>x 24．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)上的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2011，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，则S 2014＝________.提升训练6．与向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72的夹角相等，且模为1的向量是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫232，－13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫232，－13或⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 2，137．已知函数f (x )＝|log 2|x ||－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则下列结论正确的是( )A ．f (x )有三个零点，且所有零点之积大于－1B ．f (x )有三个零点，且所有零点之积小于－1C ．f (x )有四个零点，且所有零点之积大于1D ．f (x )有四个零点，且所有零点之积小于18．已知f (x )为R 上的可导函数，且对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′(x )，则以下判断正确的是( )A ．f (2013)>e 2013f (0)B ．f (2013)<e 2013f (0)C ．f (2013)＝e 2013f (0)D ．f (2013)与e 2013f (0)的大小无法确定9．对任意的实数x ，y ，定义运算 ：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y . 设a ＝ln 24，b ＝ln 39，c ＝ln 525，则b a c 的值是( )A ．aB ．bC ．cD ．不确定10．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________. 11．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )＋||sin x －cos x ，则f (x )的值域是________.12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是__________.13．设f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )＞a 恒成立，求a 的取值范围.14．过点(3，0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝3相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (其中O 为原点)，求直线l 的方程.15．已知函数f (x )＝e x －kx 2，x ∈R .(1)若k ＝12，求证：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞1；(2)若f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，试求k 的取值范围.专题限时集训(十九)【基础演练】1．A [解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有(1＋i)(a ＋b i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ＝1＋2i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得a ＝32，b ＝12，所以z ＝32＋12i ，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．2．B [解析] 在同一坐标系内作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4与y ＝14x 的图像，如图所示，可知它们有3个不同的交点．3．A [解析] 设y 1＝log 22交点的横坐标x >1，则有x 2>x ＞1.4．B [解析] 显然f (x )＝2x＋f (0)f (2)＝－10<0，故只有一个零点．5．0 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得 a 1q n －1＋2a 1q n ＋a 1q n ＋1＝0，即a 1q n －1(1＋2q ＋q 2)＝0.因为a 1q n －1≠0，所以1＋2q ＋q 2＝0，解得q ＝－1，所以S 2014＝a 1（1－q 2014）1－q＝0.【提升训练】6．B [解析] 设所求向量m ＝(x ，y )，由题意得|a |＝|b |，|m |＝1，72x ＋12y |a |·|m |＝12x －72y |b |·|m |，即有3x ＋4y ＝0且x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝45，y 1＝－35 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－45，y 2＝35.7．A [解析] 在同一坐标系中分别作出f 1(x )＝|log 2|x ||与f 2(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像，如图所示．由图像知f 1(x )与f 2(x )有三个交点，即函数f (x )有三个零点．设三个零点从左到右分别是x 1，x 2，x 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14>0，所以－12<x 1<－14.同理，12<x 2<1，1<x 3<2，则－1<x 1x 2x 3<－18，即所有零点之积大于－1. 8．B [解析] 构造函数g (x )＝e x ，则g ′(x )＝f （x ）ex<0，所以函数g (x )在R 上单调递减，所以g (0)>g (2013)，即f （0）e>f （2013）e2013，即f (2013)<e2013f (0)．9．A [解析] 设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2，易知在区间(e ，＋∞)上f ′(x )<0恒成立，即函数f (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减．因为a ＝12f (4)，b ＝12f (9)，c ＝12f (25)，所以a >b >c ，所以b a c ＝a c ＝a .10．a >1 [解析] 函数f (x )有两个零点，即方程a x ＝x ＋a 有两个解，即函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 的图像有两个交点．作图分析易知当0<a <1时只有一个交点，当a >1时有两个交点．11．[]－2，2 [解析] f (x )＝(sin x ＋cos x )＋||sin x －cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x （sin x ≥cos x ），2cos x （sin x <cos x ）， 结合三角函数的图像知当x ＝54π时，f (x )取得最小值－2，当x ＝π2时，f (x )取得最大值2，所以这个函数的值域是[]－2，2.12．[0，5) [解析] 由x ，y 的约束条件作出可行域，如图中阴影区域所示．令u ＝2x－2y －1，则y ＝x －u ＋12，先画出直线y ＝x ，再平移直线y ＝x ，易知当直线分别经过点A (2，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，u 取得最大值与最小值．又x ＜2，所以－53≤u <5，故z ＝|u |∈[0，5)．13．解： 由f (x )＞a 可知x 2－2ax ＋2－a ＞0在区间[－1，＋∞)上恒成立，即函数g (x )＝x 2－2ax ＋2－a 的图像在区间[－1，＋∞)上位于x 轴上方．故Δ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a ＜－1，g （－1）＞0，解得－2＜a ＜1或－3＜a ≤－2.综上所述，a ∈(－3，1)．14．解： 设直线l 的方程为x ＋ay －3＝0(a ≠0)，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x ＋ay －3＝0，消去y ，得(a 2＋1)x 2－6x ＋9－3a 2＝0，∴x 1x 2＝9－3a 2a ＋1.①由方程组消去x ，得(a 2＋1)y 2－6ay ＋6＝0，∴y 1y 2＝6a 2＋1. ②依题意知OP ⊥OQ ，∴y 1y 2x 1x 2＝－1，即y 1y 2＋x 1x 2＝0. 由①②知，9－3a 2a 2＋1＋6a 2＋1＝0，解得a ＝± 5.∴所求直线l 的方程为x ＋5y －3＝0或x －5y －3＝0.15．解： (1)证明：f (x )＝e x －12x 2，则h (x )＝f ′(x )＝e x －x ，∴h ′(x )＝e x－1＞0(x ＞0)，∴h (x )＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＞f ′(0)＝1＞0，∴f (x )＝e x－12x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )＞f (0)＝1.(2)f ′(x )＝e x－2kx若k ≤0，显然f ′(x )＞0，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．记φ(x )＝e x －2kx ，则φ′(x )＝e x－2k .当0＜k ＜12时，∵e x ＞e 0＝1，2k ＜1，∴φ′(x )＞0，∴φ(x )在区间(0，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝φ(x )＞φ(0)＝1＞0，∴f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当k ≥12时，φ(x )＝e x－2kx 在区间(0，ln 2k )上单调递减，在区间(ln 2k ，＋∞)上单调递增，f ′(x )＝φ(x )≥φ(ln 2k )＝e ln 2k －2k ln 2k ，由e ln 2k－2k ln 2k ≥0，得2k －2k ln 2k ≥0，解得12≤k ≤e 2.综上，k 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，e 2.。