中考真题之折叠问题
九年级数学中考折叠问题精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）专题10图形折叠问题 姓名_________折叠型问题通常是把某个图形（三角形或矩形）绕某一点或沿某一条线折叠，通过折叠后满足的条件图形求某一条线段的大小或最小值，折叠问题的解题突破点：1.折叠前后两图形全等，关于折痕成轴对称（即折痕是对称轴，对画图很重要）；2.遇到折叠问题，寻找等量（即相等的线段和相等的角）；3.折叠问题中的计算，一般会用到分类讨论、勾股定理和方程思想；4.确定折叠后的对应点可以用画圆（画弧）和对称的方法.1.如图所示，正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边上一动点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 的对应点落在点F 处，若△CFD 恰为等腰三角形，则BE 的长为_________. （32-4或332）2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，连接EF ，将△ABC 沿直线EF 折叠，点C 的对应点D 恰好落在边AB 上，若△BDF 是等腰三角形，则CF 的长为_______.（231048-或 或1312）3.如图,一张长方形纸片的长AD=4,宽AB=1，点E 在边AD 上,点F 在BC 边上,将四边形ABFE 沿直线EF 翻折后,点B 落在边AD 的三等分点G 处,则EG 等于_______.（48732425或） （如果把条件“三等分点”改为“中点”又该怎么做呢？答案：45）4.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=8，AD=12，点E 是AD 的中点，点F 是AB 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在的直线折叠，得到△A ′EF ，连接A ′B ，若△A ′FB 为直角三角形，则AF 的长为_________（6或3）5.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠B=30°，AB=4，点M ，N 分别是边AB ，BC 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点始终落在边AC 上，若△MNB ′为直角三角形，则BN 的长为_______.（3343或）6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=10，D 是BC 的中点，E 是AC 上一动点，将△CDE 沿DE 折叠到△C ′DE ，连接AC ′，当△AEC ′时直角三角形时，AE 的长为_________（7326或）7.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=4，点F 为BC 边的中点，点E 为AB 边上一动点，将△ADE 沿ED 折叠，点A 的对应点为点A ′，则A ′F 的最小值为__________（4-102）8.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D 是线段BC 上一动点，把△ABD 沿直线AD 翻折，点B 的对应点为点B ′,连接B ′C ，当△B ′CD 为直角三角形时，BD 的长为________（251或）9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，P是AB上的一动点，PE⊥AC于E，沿PE将∠A折叠，点A的对应点为D，若△BPD是直角三角形，则PA=_________（2或4）10.(2013河南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，求BE的长。
中考数学专题复习《四边形的折叠问题》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《四边形的折叠问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图所示 在长方形ABCD 中 610AD AB ==， 若将长方形ABCD 沿DE 折叠 使点C 落在AB 边上的点F 处 则线段CE 的长为（ ）A ．13B ．1730C ．103D ．102．如图 在ABCD 中 将ADC △沿AC 折叠后 点D 恰好落在DC 延长线上的点E 处．若=60B ∠︒ 1AB = 则ABCD 的周长为( )A ．4B ．43C ．6D ．33．如图 在ABC 中 已知8AB = 点DE 、分别在边AC AB 、上 现将ADE 沿直线DE 折叠 使点A 恰好落在点F 处 若将线段BC 向左平移刚好可以与线段EF 重合 连接CF 若215BC CF += 则2BC CF -的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．如图 矩形ABCD 中 3AB = 4BC = 点E 是BC 边上一点 连接AE 把B ∠沿AE折叠 使点B 落在点B '处 当CEB '为直角三角形时 BE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．3或1.55．如图 将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后 若170=︒∠ 则2∠的度数为（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒6．如图 在平面直角坐标中 矩形ABCD 的边5,:1:4AD OA OD == 将矩形ABCD 沿直线OE 折叠到如图所示的位置 线段1OD 恰好经过点B 点C 落在y 轴的点1C 位置 点E 的坐标是（ ）A ．()1,2B ．1,2C ．)1,2D ．()12 7．如图 在平面直角坐标系中 已个纸片OACB 顶点10006A B （，），（，）点P 为BC 边上的动点 将OBP 沿OP 折叠得到OPD 连接CD AD 、．则下列结论中：①当45BOP ∠=︒时 四边形OBPD 为正方形 ①当30BOP ∠=︒时 OAD 的面积为15 ①当P 在运动过程中CD 的最小值为5 ①当OD AD ⊥时 2BP =．其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图 把一张长方形纸片沿对角线折叠 若30EDF ∠= 则长方形纸片的长宽比为( )A ．2：1B 2：1C 31D ．23二 填空题9．在平行四边形ABCD 中 点E F 在BC 边上 把ABE 沿直线AE 折叠 CDF 沿直线DF 折叠 使点B C 落在对角线AC 上的点G 处 若110AGD ∠=︒ 则B ∠的度数为 ．10．如图 点O 是矩形ABCD 的中心 E 是边AB 上的点 沿CE 折叠后 点B 恰好与点O 重合 若9BC = 则折痕CE 长度为 ．11．如图 将长方形ABCD 沿EF 折叠得到两个全等的小长方形 1210AB BC ==，， 点G 在AB 上运动 当点 A 关于DG 的对称点A '落在右侧长方形BCEF 内部(含边界)时 则AG 的长度 m 的取值范围为 ．12．如图 菱形ABCD 的边5AB = 高4CE = F 是边CD 上一动点 将四边形AEFD 沿直线EF 折叠 A 点的对应点为P 当CP 的长度最小时 CF 的长为 ．13．如图 把正方形纸片ABCD 进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF 连接CE 将CB 折叠到CE 上 点B 对应点H 得折痕CG ．那么AG BG= ．三 解答题14．如图1 点E 为矩形ABCD 边BC 上一点 且CE CD = 把ABE 沿着AE 折叠 点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上．(1)求证：≌AFD DCE(2)如图2 延长CF 交AE 于点G 交AB 于点H ．①求证：GE DF GF CD ⋅=⋅①求:GH GA 的值．15．如图 沿折痕AE 折叠矩形ABCD 的一边 使点D 落在BC 边上一点F 处．若6AB = 且ABF △的面积为24 则：(1)BF 的长为_______________(2)BC 的长为________________(3)求EC 的长．16．如图1 已知长方形纸片ABCD 点E 在边AD 上 F 为AB 上的一个动点 G 为DC 上的一个动点 将长方形ABCD 沿直线EF EG 、折叠 点A D 、的对应点分别是点A '和点D ．(1)如图2 当点A '落在ED 上时 求FEG ∠的度数(2)如图3 若54A ED ''∠=︒ 求FEG ∠的度数(3)如图4 若10A ED ''∠=︒ 求FEG ∠的度数(4)若A ED n ''∠=︒直接写出FEG ∠的度数（用含n 的代数式表示）17．如图 在Rt ABC △中 90BAC ∠=︒ 30C ∠=︒ 点D 是ABC 外一点连接AD BD将ABD △沿DB 折叠使点A 落在边BC 上的点1A 处 连接1A D 若1A D AC ⊥．(1)求证：四边形1ABA D 是菱形(2)连接1AA DC 若2AB = 求四边形1ADCA 的面积．18．综合探究：如图 四边形ABCD 是正方形 点M 在边AD 上 直线MN AB ∥．将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 MN 与BD 交于点P 连接AP A P ' A P '交CD 与点F ．(1)连接PC 猜想PC 与PA '的数量关系为________ A PC '∠=________°(2)连接B D ' CA ' 两线段交于点O 移动直线MN 若CD 平分PCA '∠ 求证：CP B D '∥(3)移动直线MN 若6=BC 2B C '= 直接写出PAD ∠的度数．参考答案：1．C2．C3．B4．D5．D6．D7．C8．C9．75︒10．11．10103m ≤≤ 12．41314．（1）解：证明：CD CE =CDE ∴为等腰直角三角形45CDE FDA ︒∴∠=∠= ABE 沿AE 折叠得到AEF △ 且四边形ABCD 是矩形 AB AF CD ∴== 90AFE AFD B ∠=∠=∠=︒ 在AFD △与ECD 中AFD ECD CDE FDA AF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AFD DCE ∴≌．（2）①证明：AFD DCE ≌△△AD DE ∴= AF DF DC CE ===()11804567.52DCF DFC ∴∠=∠=︒-︒=︒ 45DEC ∠=︒ 180135BED DEC167.52AEF AEB BEF ∴∠=∠=∠=︒ GEF DCF ∴∠=∠ GFE DFC ∠=∠GEF DCF ∴∽GE GF DC DF∴= GE DF GF CD ∴⋅=⋅．①在Rt CED 中 45CDE ∠=︒DE ∴=DF DC CE ==)()2121EF DE DF CD CE ∴=-== 21EF CE ∴ 由①知：67.5BEA DFC ∠=∠=︒18067.5112.5EFC GEC ∴∠=∠=︒-︒=︒ECF GCE ∠=∠CEG CFE ∴△∽△21GE EF GC CE∴==． 15．（1）由矩形的性质可得：90B C ∠=∠=︒ 6AB CD == ABF △的面积为24 ①1242ABF S AB BF =⨯⨯= ①24224286BF AB ⨯⨯=== 故答案为：8（2）在（1）中已得8BF =由矩形的性质可得：90B C ∠=∠=︒ 6AB CD == AD BC = 由折叠的性质可得：AF AD BC == 由勾股定理可得：22228610BC AF BF AB =++= 故答案为：10（3）由（1）（2）可得2CF BC BF =-=根据折叠的性质有：EF DE =设CE x = 则6EF DE x ==-在Rt CEF △中 222CE CF EF +=即()22226x x +=- 解得83x = 即83CE =．16．（1）解：由翻折得：12A EF AEA ''∠=∠ 12D EG DED ''∠=∠ ①180AEA DED ''∠+∠=︒ ①()111809022FEG A EF D EG AEA DED ''''∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒（2）解：由 (1) 知12A EF AEA ''∠=∠ 12D EG DED ''∠=∠ ①54A ED ''∠=︒①126AEA DED ''∠+∠=︒①()1632A EF D EG AEA DED ''''∠+∠=⨯∠+∠=︒ ①5463117FEG A ED A EF D EG ''''∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒ （3）解：①10A ED ''∠=︒ ①()()11180109522A EF D EG AEA DED ''''∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒ ①951085FEG A EF D EG A ED ''''∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒ （4）解：如图3 ①A ED n ''∠=︒①()180180AEA DED A ED n ''''∠+∠=︒-∠=-︒ ①2A EF AEA ''∠=∠ 2D EG DED ''∠=∠ ①1802n A EF D EG ︒-︒''∠+∠= ①18018022n n FEG A EF D EG A ED n ︒-︒︒+︒''''∠=∠+∠+∠=+︒= 如图4 ①180AEA DED A ED ''''∠+∠-∠=︒ ''A ED n ∠=︒ ①180AEA DED n ''∠+∠=︒+︒①2A EF AEA ''∠=∠ 2D EG DED ''∠=∠ ①1802n A EF D EG ︒+︒''∠+∠= ①18018022n n FEG A EF D EG A ED n ︒+︒︒-︒''''∠=∠+∠-∠=-︒= 综上 FEG ∠的度数为1802n ︒+︒或 1802n ︒-︒． 17．（1）证明：如图1 连接1AA 设1A D 交AC 于点E由折叠的性质得：1AB A B = 1AD A D =90BAC ∠=︒ 30C ∠=︒903060ABC ∴∠=︒-︒=︒1ABA ∴是等边三角形1AB AA ∴= 160BAA ∠=︒11906030CAA BAC BAA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1A D AC ⊥190AEA ∴∠=︒1903060AA D ∴∠=︒-︒=︒∴1AA D △是等边三角形1AD AA ∴=11AB A B AD A D ∴===∴四边形1ABA D 是菱形（2）解：如图2由（1）可知 四边形1ABA D 是菱形 12A D AB ∴==90BAC ∠=︒ 30ACB ∠=︒24BC AB ∴==22224223AC BC AB ∴--1A D AC ⊥∴四边形1ADCA 的面积=1AA C ADC S S + 111111232232222AC A E AC DE AC A D =⋅+⋅=⋅=⨯= 18．（1）解：①四边形ABCD 是正方形 ①AB BC CD DA === 90BAD ABC BCD CDA ∠∠∠∠====︒ 四边形ABCD 是轴对称图形 BD 所在直线是其一条对称轴①45ADP ∠=︒ PA PC = PAM PCF ∠∠= ①MN AB ∥①90PMD BAD ∠∠==︒①MN AD ⊥18090A DF CDA '∠=︒-∠=︒①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①MN AA '⊥①点A D A '三点共线同理：点B C B '三点共线①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①PA PA '= PA D PAM PCF '∠=∠=∠ 90CB A B A D ABC BAD ''''∠=∠=∠=∠=︒ ①PC PA '=①90A DF '∠=︒ 180A DF PA M DFA PCF PFC A PC ''''∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ PA M PCF '∠=∠ DFA PFC '∠=∠ ①90A D A PC F '∠=︒'∠=故答案为：PC PA '= 90（2）证明：由（1）得PC PA '= 90A PC '∠=︒ ①45PCA PA C ''∠=∠=︒①CD 平分PCA '∠①22.5OCD PCD ∠=∠=︒①90CB A B A D ''''∠=∠=︒ 90A DF '∠=︒ ①四边形A B CD ''是矩形①OA OD OB OC ''===①ODC OCD ∠∠==22.5︒①45A ODC O A OD PC CD ''∠=︒=∠+∠=∠ ①CP B D '∥（3）解：如图 在AN 上取一点N 使得AN =①四边形A B CD ''是矩形 ①2,A D B C ''=①将正方形沿MN 折叠 点A 落在A '处 点B 落在点B '处 ①MN 垂直平分AA ' ①62MA MA +'== 90PMD PMN ∠∠==︒ ①MN AM AN =-=6232662+-=①45PDM ∠=︒ ①904545MPD PDM ∠∠=︒-︒=︒= ①PM DM AD AM ==-62626+-==①在Rt PMN 中6232tan 326PM PNM MN -∠===-①30PNM ∠=︒ ①262N PN PM A === ①PAD APN ∠∠==130152⨯︒=︒．。
中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论、存在性问题》测试卷(附带答案)
中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论存在性问题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一 单选题1．如图 ABC 中 90A ∠= 7AB = 24AC = 点D 为边AC 上一点 将ABC 沿BD 折叠后 点A 的对应点A '恰好落在BC 边上 则线段AD 的长为（ ）A ．407B ．214C ．16825D ．3262．如图是一张直角三角形纸片 已知6AC = 10AB = 将纸片沿AD 折叠 使点C 落在AB 边上的点C '处 则折痕AD 长为（ ）．A ．5B ．35C ．3D ．323．已知2OA = 2OB = 将AOB 沿着某直线CD 折叠后如图所示 CD 与x 轴交于点C 与AB 交于点D 则点C 坐标是（ ）A ．()0.4,0B ．()0.5,0C ．()0.6,0D ．()0.7,04．如图 长方形纸片ABCD 中 6AB = 18AD = 将此长方形纸片折叠 使点D 与点B 重合 点C 落在点H 的位置 折痕为EF 则ABE 的面积为（ ）A ．6B ．18C ．24D ．485．如图 在平行四边形ABCD 中 60B ∠=︒ 4AB = 6AD = E 是AB 边的中点 F 是线段BC 上的动点 将EBF 沿EF 所在直线折叠得到EB F ' 连接B D ' 则B D '的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．2D ．26．将长方形纸片ABCD 如图折叠 B C 两点恰好重合在AD 边上的同一点P 处折痕分别是MH NG 若90MPN ∠=︒ 3PM = 5MN = 分别记PHM PNG PMN 的面积为1S 2S 3S 则1S 2S 3S 之间的数量关系是 ( )A ．312S S S =+B ．312322S S S =+C ．32155S S S =-D ．2123S S S =-7．如图 直角ABC 中 90C ∠=︒ 3AC = 4BC = 将ABC 沿AB 折叠得ABD △ 点C 的对应点为点D 则点D 到BC 的距离为（ ）A ．125B ．245C ．9625D ．125或245 8．如图 在Rt ABC △纸片中 9043A AB AC ∠=︒==，， 将Rt ABC △纸片按图示方式折叠 使点A 恰好落在斜边BC 上的点E 处 BD 为折痕 则下列四个结论：①BD 平分ABC ∠①AD DE = ①DE EC = ①DEC 的周长为4 其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二 填空题9．如图 Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30B ∠=︒ 4AC = 点P 为AB 上一个动点 以PC 为轴折叠APC △得到QPC 点A 的对应点为点Q 当点Q 落在ABC 内部（不包括边）上时 AP 的取值范围为 .10．如图 在平面直角坐标系中 长方形ABCO 的边OC OA 、分别在x 轴 y 轴上 3AB = 点E 在边BC 上 将长方形ABCO 沿AE 折叠 若点B 的对应点F 恰好是边OC 的三等分点 则点E 的坐标是 ．11．如图 有一个直角三角形纸片 两直角边18cm AC = 24cm BC = 现将直角边AC 沿直线AD 折叠 使它落在斜边AB 上 且与AE 重合 则BD = cm ．12．已知直线l 为长方形ABCD 的对称轴 5AD = 6AB = 点E 为射线DC 上一个动点 把ADE 沿直线AE 折叠 点D 的对应点D 恰好落在对称轴l 上．则点D 到边CD 的距离是 ．13．如图 把长方形ABCD 沿直线BD 向上折叠 使点C 落在C '的位置上 BC '交AD 于E 已知4CD = 8BC = 则EC D '的面积为 ．三 解答题14．如图是一张直角三角形ABC 纸片 90C ∠=︒ 6AC = 8BC =．(1)在图1中 将直角边AC 沿AD 折叠 使点C 落在斜边AB 上的点E 处 求CD 的长(2)在图2中 将BFG 沿FG 折叠 使点B 与点A 重合 求BF 的长．15．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用 如图 将一张长方形纸片ABCD 放在平面直角坐标系中 点A 与原点O 重合 顶点B D 分别在x 轴 y 轴上 P 为边CD 上一动点 连接BP 将BCP 沿BP 折叠 点C 落在点C '处．(1)若4AB = 3AD = 如图1 连接BD 当点C '在线段BD 上时 求点P 的坐标．(2)在（1）的条件下如图2 当点P 与点D 重合时 沿BD 将BCD △折叠得BC D '△ DC '与x 轴交于E 点 求BDE 的面积．(3)若8AB = 4BC = 当ADC '为等腰三角形时 求点P 的坐标．16．如图1 ABC 中 90,BAC AB AC ∠=︒= D E 是直线BC 上两动点 且45DAE =︒∠．探究线段BD DE EC 三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2 将ABD △沿AD 折叠 得ADF △ 连接EF 看能否将三条线段转化到一个三角形中 …请你参照小明的思路 探究并解决下列问题：(1)猜想BD DE EC 三条线段之间的数量关系 并证明(2)如图3 当动点E 在线段BC 上 动点D 运动在线段CB 延长线上时 其它条件不变 （1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．17．已知ABC CDE △≌△ 且90B D ∠=∠=︒ 把ABC 和CDE 拼成如图所示的形状 使点B C D 在同一条直线上 若4AB = 3DE =．(1)求AE 的长(2)将ABC 沿AC 折叠 点B 落在点F 处 延长AF 与CE 相交于点G 求FG 的长．18．如图 在ABC 中 90C ∠=︒ 把ABC 沿直线DE 折叠 使ADE 与BDE 重合．(1)若38A ∠=︒ 则CBD ∠的度数为________(2)若6AC = 4BC = 求AD 的长(3)当(0)AB m m ABC =>，△的面积为24m +时 求BCD △的周长．（用含m 的代数式表示）参考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．C7．C8．C9．234AP <<10．25⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭11．1512．1或9/9或113．614．(1)3CD = (2)254BF15．(1)点P 的坐标为5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)7516(3)当ADC '为等腰三角形时 点P 的坐标为()44，或4⎫⎪⎪⎝⎭．16．(1)222DE BD EC =+(2)不变 222DE BD EC =+17．(1)AE =(2)9418．(1)14︒ (2)133AD =(3)BCD △的周长为4m +．。
`中考一轮复习9折叠问题
专题：折叠问题教学目标1、矩形折叠问题是中考的热门考点，综合性强，知识面广，需多角度思考；2、隐圆问题难度比较大，需耐心学习。
知识点1、矩形折叠问题：对应边相等、对应角相等、等腰三角形、假设未知数、假设单位1；2、折叠隐圆问题：属于定点定长的隐圆；3、折叠圆问题：同一个圆周角所对弧相等、弦相等。
经典例题例1、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（1﹣，2）例2、如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF＝AB，则∠DAF＝度．举一反三1．如图，矩形ABCD的边AB＝4，点E是边BC上的一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在边CD 上的点B'处，若△AB'D与△B'EC的面积之比为4：1，则AD的长为（）A．B．C．D．52．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为．3．如图，在矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝2，AB＝5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，求D点的坐标．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AD边上一动点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′恰好落在矩形ABCD的对角线上，则AE的长为．5．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（8，0），点B（0，6），点P在BC 边上从点B运动到点C（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B'和折痕OP．（1）如图①，连接CB'，当CB'长度最小时，求点P的坐标；（2）①如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB'上，得点C'和折痕PQ，请问AQ的长度有没有最小值，若有，诸求出这个最小值以及此时点P的坐标；若无，请说明理由．②请直接写出点Q的运动路径长．例3、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在A'处，连接A'C，若F，G分别为A'C，BC的中点，则FG的最小值为（）A．2 B．C．D．1举一反三1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是．3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的最小值是．4．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是．例4、以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）A．B．C．D．4举一反三1．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若AC＝10，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．D．2，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若2．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝7∠ACB＝60°，则弦AC的长为．3．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝8，将弧AB沿弦AB翻折后恰好经过弦AC的中点D，则弦BC的长为．作业1、如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为BC上一点（不与B，C重合），将△BEF沿EF所在的直线折叠，得到△GEF，连接AG．当AG＝EG时，的值是（）A．1 B．C．D．。
2024年中考数学压轴突破【几何中的折叠】题型汇编(解析版)
几何中的折叠问题一、单选题1如图，在菱形ABCD中，AD=5，tan B=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B 、C ，当∠BEB =90°时，则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，C 作C F⊥AD于F，HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°，∠EDC=∠EDC =45°，△CHD≌△DFC ，C F= HD=5，【C作CH⊥AD于H，C 作C F⊥AD于F，由已知AD=5，tan B=2，=2，∴CD=5，tan∠CDH=HCHD∴设HD=x，HC=2x，∴在Rt△HDC中HC2+HD2=CD2，2x2+x2=52，解得x=5，∴HD=5，HC=25，由折叠可知∠BED=∠B ED，∠EDC=∠EDC ，CD=C D∵∠BEB =90°，∴∠BED=∠B ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°，∴∠CDH +C DF =90°，∵∠CDH +∠HCD =90°，∴∠C DF =∠HCD ，∴△CHD ≌△DFC ，∴C F =HD =5，∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°．2如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l 与BC 交于点P ，且点P 到AB 的距离为3cm ，点Q 为AC 上任意一点，则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得：PA 为∠BAC 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，∴PA 为∠BAC 的角平分线，∵点Q 为AC 上任意一点，∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．3如图，在▱ABCD 中，BC =8,AB =AC =45，点E 为BC 边上一点，BE =6，点F 是AB 边上的动点，将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，点B 的对应点为点G ，连接DE ，有下列4个结论：①tan B =2；②DE =10；③当GE ⊥BC 时，EF =32；④若点G 恰好落在线段DE 上时，则AF BF=13．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，利用三线和一以及正切的定义，求出tan B ，即可判断①；过点D 作DK ⊥BC 于点K ，利用勾股定理求出DE ，判断②；过点F 作FM ⊥BC 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，设EM =FM =x ，三角函数求出BM 的长，利用BE =BM +EM ，求出x 的值，进而求出EF 的长，判断③；证明△AND ∽△CNE ，推出∠ENC =∠ECN ，根据折叠的性质，推出EF ∥CA ，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．【详解】解：①过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC =8,AB =AC =45，∴BH =12BC =4，∴AH =AB 2-BH 2=8，∴tan B =AHBH=2；故①正确；②过点D 作DK ⊥BC 于点K ，则：四边形AHKD 为矩形，∴DK =AH =8，HK =AD =BC =8，∵BE =6，∴CE =2，∵CH =12BC =4，∴CK =4，∴EK =CE +CK =6，∴DE =EK 2+DK 2=10；故②正确；③过点F 作FM ⊥BC 于点M ，∵GE ⊥BC ，∴∠BEG =90°，∵翻折，∴∠BEF =∠GEF =45°，∴∠EFM =∠BEF =45°，∴EM =FM ，设EM =FM =x ，∵tan B =FMBM =2，∴BM =12FM =12x ，∴BE =BM +EM =12x +x =6，∴x =4，∴EM =FM =4，∴EF =2EM =42；故③错误；④当点G 恰好落在线段DE 上时，如图：设AC 与DE 交于点N ，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△AND ∽△CNE ，∴EN DN =CE AD=28=14，∴EN DE =15，∴EN =15DE =2=CE ，∴∠ENC =∠ECN ，∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ，∵翻折，∴∠BEN =2∠BEF ，∴∠BEF =∠ECN ，∴EF ∥AC ，∴AF BF =CE BE=26=13；故④正确，综上：正确的是①②④；故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．4如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，连接CD ，若∠ABC =α0°<α<45° ，则下列式子正确的是()A.sin α=BCABB.sin α=CD ABC.cos α=AD BDD.cos α=CD BC【答案】B【分析】连AC ，由AB 是⊙O 的直径，可知∠ACB =90°，由折叠，AC和CD所在的圆为等圆，可推得AC =CD ，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD =∠ABC ，∴AC和CD所对的圆周角相等，∴AC=CD，∴AC =CD ，在Rt △ACB 中，sin α=AC AB =CDAB，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．5如图，在平面直角坐标系中，OA 在x 轴正半轴上，OC 在y 轴正半轴上，以OA ，OC 为边构造矩形OABC ，点B 的坐标为8,6 ，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在CD 上，则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m ,-32m +6 ，在Rt △EMF 中，再利用勾股定理得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：∵点B 的坐标为8,6 ，四边形OABC 是矩形，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，∴C 0,6 ，D 4,0 ，E 4,6 ，由折叠的性质可得：EF =BE =4，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则6=b 4k +b =0 ，解得：k =-32b =6，∴直线CD 的解析式为y =-32x +6，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m,-32m+6，则MF=CN=6--32m+6=32m，EM=4-m，在Rt△EMF中，EM2+MF2=EF2，∴4-m2+32m2=42，解得：m=3213或m=0(不合题意，舍去)，当m=3213时，y=-32×3213+6=3013，∴点F的坐标为3213,30 13，故选：A．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．6综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A ，折痕为DP，连接A B，若AB=2，BC =3，则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，AD=A D=3，可得A E=A D2-DE2=32，AF=2-32=12，再利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，AB=2，BC=3，∴EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，由折叠可得：AD=A D=3，∴A E=A D2-DE2=32，∴A F=2-32=12，∴tan ∠A BF =1232=33.故选A【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ，折痕为EF ，此时，点C 折叠至点C ．下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时，D E ⊥AP C.当AE =18-65时，△AD E 是等腰三角形 D.sin ∠DAP =45【答案】C【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，∴BP =12BC =32，∠B =90°，∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52，∴cos ∠BAP =AB AP=252=45，故A 正确；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45，故D 正确；设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，sin ∠DAP =45，∵D E ⊥AP ，∴sin ∠DAP =D E AE=x 3-x =45，解得x =43，∴AE =AD -DE =3-x =53，故B 正确；当D E =AE 时，∴x =3-x ，解得x =32；此时D ,A 重合，三角形不存在，不符合题意；当D E =AD 时，过点D 作D N ⊥AD 于点N ，则AN =NE ；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，D E =AD =x ，∴AN AD=AN x =35，解得AN =35x ；∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ，解得x =1511；∴AE =65×1511=1811；当AE =AD 时，过点D 作D H ⊥AD 于点H ，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD =AD -DE =3-x ，∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ，AH =AD cos ∠DAP =353-x ，∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ，根据勾股定理，得HE 2+D H 2=D E 2，∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12；∴AE =3-x =15-65；综上所述，AE =15-65或AE =1811，故C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．8如图，AB 为半圆O 的直径，点O 为圆心，点C 是弧上的一点，沿CB 为折痕折叠BC交AB 于点M ，连接CM ，若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM )，则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，∴BMAB =5-12，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴DMAC =BMAB=5-12，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°，∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PG，AH=BE，CD=3，则BC的长为．【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接PF ，设BC =2x ，AH =BE=a ，证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，求得FA =FG =FD =x ，由折叠的性质求得BE =12x ，在Rt △ABE中，利用勾股定理列式计算，即可求解．【详解】解：连接PF ，设BC =2x ，AH =BE =a ，由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ，∠G =∠FAP =90°，AB =CD =3，AD =BC ，∵PA =PG ，PF =PF ，∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ，由矩形的性质知：AD ∥BC ∴∠AFE =∠FEC ，折叠的性质知：∠FEA =∠FEC ，∴∠FEA =∠AFE ，∴AE =FA =x ，由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ，∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ，∴a =12x ，即BE =12x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+12x 2=x 2，解得x =23，∴BC =2x =43，故答案为：4310如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，M 为AD 的中点，N 为BC 边上一动点，把矩形沿MN 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA '并延长交射线CD 于点P ，交MN 于点O ，当N 恰好运动到BC 的三等分点处时，CP 的长为．【答案】1或5【分析】分两种情况：①当CN =2BN 时．过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形；②当BN =2CN 时，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．【详解】解：①当CN =2BN 时．如图1，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =2．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AM -AG =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°，∵∠MAO +∠APD =90°，∠MAO +∠AMO =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∵∠NGM =∠ADP =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD -DP =1．②当BN =2CN 时，如图2，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =4．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AG -AM =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°，∠MAO +∠APD =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∠ADP =∠NGM =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD +DP =5．综上，CP 的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．11如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点(不与端点重合)，连接BE ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，连接并延长EF ，BF 分别交BC ，CD 于G ，H 两点.若BA =6，BC =8，FH =CH ，则AE 的长为．【答案】92【分析】连接GH ，证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，可得FG =CG ，设FG =CG =x ，在Rt △BFG 中，有62+x 2=(8-x )2，可解得CG =FG =74，知BG =254，由矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，得∠AEB =∠FEB ，可得∠FEB =∠EBG ，EG =BG =254，故EF =EG -FG =92，从而得到AE =92．【详解】连接GH ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°，∴∠GFH =90°=∠C ，∵GH =GH ,FH =CH ，∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，∴FG =CG ，设FG =CG =x ，则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中，BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2，解得：x =74，∴CG =FG =74，∴BG =8-x =25x，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴∠AEB =∠FEB ，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠EBG ，∴∠FEB =∠EBG ，∴EG =BG =254，∴AE =92，故答案为：92．【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．13如图，在矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，E 是AB 的中点，F 是线段BC 上的一点，连接EF ，把△BEF 沿EF 折叠，使点B 落在点G 处，连接DG ，BG 的延长线交线段CD 于点H ．给出下列判断：①∠BAC =30°；②△EBF ∽△BCH ；③当∠EGD =90°时，DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3；⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上，BG 的长度是3或33；其中正确的是．(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ，可判断②正确；推出点D 、G 、F 三点共线，证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，可判断③正确；当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，由于F 是线段BC 上的一点，不存在D 、G 、E 三点共线，可判断④不正确；证明△BGE 是等边三角形，可判断⑤．【详解】解：连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，∴tan ∠ACD =AD CD=236=33，∴∠ACD =30°，∴∠BAC =30°，故①正确；由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线，∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ，∴∠HBC =∠BEF ，∴△EBF ∽△BCH ，故②正确；由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°，∵∠EGD =90°，∴点D 、G 、F 三点共线，连接DE ，在Rt △EAD 和Rt △EGD 中，AE =BE =EG ，DE =DE ，∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，∴DG =AD =23，故③正确；∵AE =BE =EG ，∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心，3为半径的圆上，DE =23 2+32=21，∴当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，但F 是线段BC 上的一点，∴D 、G 、E 三点不可能共线，故④不正确；当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，由折叠的性质知BE =EG ，∵E 是AB 的中点，由①知∠BAC =30°，∴BE =EG =EA ，∠BAC =∠EGA =30°，∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG 的长度是3；由于F 是线段BC 上的一点，则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A 重合，连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F，且BG=BF．(1)若∠AEB=55°，则∠GBF=；(2)若AB=3，BC=4，则ED=．【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°，∠BFG=∠DEF=70°，利用BG=BF，可得答案；(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，可得CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，则∠DEG=∠DGE，设DE=DG=x，而BD=32+42=5，则BG=BF=5-x，CF=4-5-x=1，再求解EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4 =x-1，EQ=x-x-1-x，AF=10-4+x，利用cos∠BFA=cos∠FEQ，再建立方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=55°，结合折叠可得：∠AEB=∠A EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴BD=32+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，∴EQ=x-x-1=1，∴EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4-x，∴AF =10-4+x，∵∠QEF=∠BFA ，∴cos∠BFA =cos∠FEQ，∴EQEF=A FBF，∴110=10-4+x5-x，解得：x=5-10，经检验符合题意；∴DE=5-10．故答案为：5-10．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．三、解答题15综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图(1)，正方形纸片ABCD，点E是BC边上(点E不与点B，C重合)任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图(2)所示；操作二：将图(2)沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图(3)所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图(4)所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点(填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图(5)，连接AN，改变点E在BC上的位置，(填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照(1)中的方式操作，得到图(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图(6)，BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN =23，理由见解析；②BE=2或165．【分析】(1)①E的对称点为E ，BF⊥EE ，MF⊥EE ，即可判断；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性质得AM=AD，等量代换得AB=AM，与AB>AM矛盾，即可得证；(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；当N在AD上时，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性质即可求解．【详解】(1)解：①E的对称点为E ，∴BF⊥EE ，MF⊥EE ，∴B、F、M共线，故答案为：在；②由①知：B、F、M共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中，∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC，∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案为：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中，∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，∴AB =AM 与AB >AM 矛盾，故假设不成立，所以答案为：不存在；(2)解：①BE CN=23，理由如下：由(1)中的②得：∠BAE =∠CBN ，∠ABE =∠C =90°，∴△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC=23；②当N 在CD 上时，CN =CD -DN =3，由①知：△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC =23，∴BE =23CN =2，当N 在AD 上时，AN =AD -DN =5，∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ，∠ABE =∠BAN =90°，∴△ABE ∽△NAB ，∴BE AB =AB AN ，∴BE 4=45，∴BE =165，综上所述：BE =2或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．16在矩形ABCD 中，AD =2AB =8，点P 是边CD 上的一个动点，将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC ．(1)如图1，当点P 与点D 重合时，BC ′与AD 交于点E ，求BE 的长度；(2)当点P 为CD 的三等分点时，直线BC ′与直线AD 相交于点E ，求DE 的长度；(3)如图2，取AB 中点F ，连接DF ，若点C ′恰好落在DF 边上时，试判断四边形BFDP 的形状，并说明理由．【答案】(1)BE 的长度为5；(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等，对角相等)，以及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE，设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；(2)设DE=m,则AE=m+8，设BE交CD于G，可证得△AEB∽△CBG，得出CGAB =BCAE，即CG4=8m+8，求得CG=32m+8，分两种情况：当PC=13CD=43时，当PC=23CD=83时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；(3)由中点定义可得AF=BF，过点C 作C M∥AD交AB于点M，过点F作FN⊥BC 于点N，由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC，可证得△FC M∽△FDA，得出FMAF=C MAD，再证得△BFN∽△BC M，进而推出FM=FN，利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP，再由平行线的判定定理可得DF∥BP，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形．【点睛】点睛片段【详解】(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠DBC ，∴∠ADB=∠DBC ，即∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，∴(8-x)2+42=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=m，则AE=m+8，设BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，CD=AB=4，AD∥BC，∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，∴CG AB =BCAE，即CG4=8m+8，∴CG=32m+8，当PC=13CD=43时，BP=BC2+PC2=82+432=4373，连接CC ，过点C 作C H⊥CD于点H，如图，∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ，∴CC ⊥BP，△BPC ≌△BPC，∴S四边形BCPC =2S△BPC，∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC，即12×4373CC =2×12×8×43，∴CC =163737，∵∠C CH +∠BPC =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∴∠C CH =∠PBC ，∵∠CHC =∠BCP =90°，∴△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 43=CH 8=1637374373，∴C H =1637，CH =9637，∵∠C HG =∠EDG =90°，∴C H ∥AE ，∴∠GC ′H =∠AEB ，∴△C GH ∽△EBA ，∴GH AB =C H AE ，即GH 4=1637m +8，∴GH =6437(m +8)，∵CH +GH =CG ，∴9637+6437(m +8)=32m +8，解得：m =113，经检验，m =113是该方程的解，∴DE =113；当PC =23CD =83时，BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103，连接CC ，过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，作C G ⊥AD 于点G ，如图，同理可得：CC =8105，同理△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 83=CH 8=81058103，∴C H =85，CH =245，∴DH =CH -CD =245-4=45，∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°，∴四边形DGC H 是矩形，∴C G =DH =45，DG =C H =85，∵∠C GE =∠A =90°，∠C EG =∠BEA ，∴△C EG ∽△BEA ，∴EG AE =C G AB =454=15，∴AE =5EG ，∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325，∴5EG +EG =325，∴EG =1615，∴DE =DG +EG =85+1615=83，综上所述，DE 的长度为113或83；(3)四边形BFDP 是平行四边形，理由如下：∵点F 是AB 的中点，∴AF =BF ，过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，如图，则∠FC M =∠ADF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ,AB ∥CD ，∴C M ∥BC ，∴∠BC M =∠C BC ，由翻折得：∠C BP =∠CBP =12∠C BC ，BC =BC =8，∵C M ∥AD ，∴△FC M ∽△FDA ，∴FM AF =C M AD ，∴FM BF =C MBC ，∵∠BNF =∠BMC =90°，∠FBN =∠C BM ，∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ，∴FM BF =FN BF ，∴FM =FN ，又∵FM ⊥C M ，FN ⊥C B ，∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ，∴∠BC F =∠C BP ，∴DF ∥BP ，∴四边形BFDP 是平行四边形．17矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 为对角线AC 上一点，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AC 交边BC 于点G ，将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ，连接HG ．(1)如图1，若点H 落在边BC 上，求证：AH =CH ；(2)如图2，若A ，H ，G 三点在同一条直线上，求HG 的长；(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ，即可解决问题；(2)结合(1)的方法AG =CG ，解Rt △AEG ，Rt △HEG 分别求得EG ,HG ；(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG =EH ，②当EG =HG ，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到，∴∠HAC =∠DAE ，∴∠HAC =∠ACH ，∴AH =CH ；(2)∵矩形ABCD 中，AB =6,AD =8．∴AC =10.当A ，H ，G 三点在同一条直线上时，∠EHG =90°．同(1)可得AG =CG ．又∵EG ⊥AC ，∴AE =12AC =5．∵∠AEH +∠HEG =90°，∠AEH +∠HAE =90°，∴∠HEG =∠HAC =∠CAD ．∵在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AE =34，∴EG =34AE =154．∵在Rt △HEG 中，sin ∠HEG =HG EG =35，∴HG =35EG =94．(3)①若EH =EG ，如图3①设EF =EH =EG =x ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥CD ，∴△AEF ∽△ACD ，∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ，∴AH =AF =43x ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，EH =EH ，∴△AHE ≌△CGE AAS ，∴AH =CE ，∴43x =10-53x ，∴x =103∴EF =103．②若HG =GE ，如图3②．(图3②)过点G 作GM ⊥HE ，设EF =a ,∵EC =10-53a ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，∴△AHE ∽△CGE ，∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ，∵∠GME =∠EHA ，∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ，∴△MGE ∽△HEA ，∴ME AH =EG AE ，∵AH AE =AD AC =45，∴AH =45AE ，∴ME =45EG =45152-54a =6-a ，∴HE =2ME =12-2a =EF ，∴12-2a =a ，∴a =4，∴EF =4，综上，EF =103或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．18综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B 处，连接 B C，如图1，请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠，使点B落在EF上的点P处，连接PD，如图2，猜想∠APD的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A ，连接PA ，BA ，AC，如图3，求∠PA B的度数．【答案】初步尝试：∠AEB =∠ECB ；能力提升：猜想：∠APD=60°，理由见解析；拓展延伸：∠PA B=15°【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出∠BB C=90°，推出AE∥CB ，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证△AFP≌△DFP SAS，从而证明△APD是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C、AA ，由(2)得△APD是等边三角形，进而得出∠PDC=30°，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得∠PAC=15°，∠ACP=30°，由对称性质得：AC=A C，∠ACP=∠A CP=30°，证明△AA B≌△CA B SSS，得到∠CA B=30°，再由∠CA P=∠CAP=15°，即可求出∠PA B的度数．【详解】解：初步尝试：∠AEB =∠ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，∴BE=CE=BE ，∴∠EBB =∠EB B，∠ECB =∠EB C，∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°，∴∠BB C=90°，即BB ⊥CB ，∴AE∥CB ，∴∠AEB=∠ECB ，∴∠AEB =∠ECB ；解：能力提升：猜想：∠APD=60°，理由如下：理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，由折叠性质可得：AF =DF ，EF ⊥AD ，AB =AP ，在△AFP 和△DFP 中，AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP，∴△AFP ≌△DFP SAS ，∴AP =PD ，∴AP =AD =PD ，∴△APD 是等边三角形，∴∠APD =60°；解：拓展延伸：如图，连接A C 、AA ，由(2)得△APD 是等边三角形，∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°，AP =DP =AD ，∵∠ADC =90°，∴∠PDC =30°，又∵PD =AD =DC ，∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°，∠DAC =∠DCA =45°，∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°，∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°，由对称性质得：AC =A C ，∠ACP =∠A CP =30°，∴∠ACA =60°，∴△ACA 是等边三角形，在△AA B 与△CA B 中，A A =A CA B =A B AB =BC，∴△AA B ≌△CA B SSS ，∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°，又∵∠CA P =∠CAP =15°，∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．19综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD 对折，使得点A ，D 重合，点B ，C 重合，折痕为EF ，展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片，点A 的对应点为点N ，折痕为BM ． (1)如图(1)若AB =BC ，则当点N 落在EF 上时，BF 和BN 的数量关系是，∠NBF 的度数为．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M ．当点M 落在CD上时，如图(2)，设BN，BM 分别交EF于点J，K．若DM =4，请求出三角形BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M ，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2-3，12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN，60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得：AB=BN，BF=CF=12BC，根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°，由直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BM ，证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，可知AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，得△BFJ是等腰直角三角形，再证明四边形ABCD是正方形，分别计算BF=FJ=12BC=2+2，JK=2，由三角形面积公式可得结论；(3)如图(3)，过点P作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1，由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1，BN=BP=AB=2，∠NBP=∠ABN，设PL=x，则M L=2x，M P=3x，根据NL=233=NM +M L，列方程可解答．【详解】(1)解：由折叠得：AB=BN，BF=CF，∠BFN=90°，∵AB=BC，∴BF=12BN，∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，故答案为：BF=12BN，60°；(2)由折叠得：BM=BM ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，∴AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ，∴∠FBJ=45°，∴△BFJ是等腰直角三角形，∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴DM=DM =4，∴MM =42，∵AM=MN=M N=CM ，∴CM =22，∴BC =CD =4+22，∴BF =FC =2+2，∵FK ∥CM ，∴BK =KM ，∴FK =12CM =2，∵△BFJ 是等腰直角三角形，∴BF =FJ =12BC =2+2，∴JK =2+2-2=2，∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2；(3)如图，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥CD 于H ，∵PC =PD ，∴DH =CH =12CD =12AB =1，∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°，∵四边形PGCH 是矩形，∴PG =CH =1，由折叠得：BN =BP =AB =2，∠NBP =∠ABN ，Rt △BPG 中，∠PBG =30°，∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°，延长NM ，BP 交于L ，Rt △BNL 中，BN =2，∠NBL =30°，∴NL =2×33=233，Rt △M PL 中，∠M LP =90°-30°=60°，∴∠PM L =30°，设PL =x ，则M L =2x ，M P =3x ，∵NL =233=NM +M L ，∴3x +2x =233，∴x =433-2，∴AM =3x =3×433-2 =4-23．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．20综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ，再沿DE 折叠，点A 落在点F 处，把纸片展平，延长DF ，与BC 交点为G ．。
中考数学几何图形折叠试题典题及解答
中考数学几何图形折叠试题典题及解答一、选择题1.德州市如图,四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF．若CD＝6,则AF等于A．4B．3C．4D．82.江西省如图,将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,若∠DBC＝°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中45°的角虚线也视为角的边有A．6个B．5个C．4个D．3个3.乐山市如图,把矩形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的P点处,若∠FPH＝90°,PF＝8, PH＝6,则矩形ABCD的边BC长为Ａ．20 Ｂ．22Ｃ．24 Ｄ．304.绵阳市当身边没有量角器时,怎样得到一些特定度数的角呢动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图,已知矩形ABCD,我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：1以点A所在直线为折痕,折叠纸片,使点B落在AD上,折痕与BC交于E；2将纸片展平后,再一次折叠纸片,以E所在直线为折痕,使点A落在BC上,折痕EF交AD于F．则∠AFE =A．60° B．° C．72° D．75°5. 绍兴市学习了平行线后,小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的如图1～4 .从图中可知,小敏画平行线的依据有①两直线平行,同位角相等；②两直线平行,内错角相等；③同位角相等,两直线平行；④内错角相等,两直线平行．A．①② B．②③C．③④D．①④6.贵阳市如图6-1所示,将长为20cm,宽为2cm的长方形白纸条,折成图6-2所示的图形并在其一面着色,则着色部分的面积为A．34cm2 B．36cm2C．38cm2 D．40cm2二、填空题7.成都市如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在C′,D′的位置上,EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°,那么∠BEG °．8. 苏州市如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,则∠A的大小等于______ ______度．三、解答题9.荆门市如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O0,0,A4,0,C0,3,点P是OA边上的动点与点O、A不重合．现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合．设Px,0,E0,y,求y关于x的函数关系式,并求y的最大值；如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；在2的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以P E为直角边的直角三角形若不存在,说明理由；若存在,求出点Q的坐标．10. 济宁市如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗如果相似给出证明,如不相似请说明理由；如果沿直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上为什么11.威海市如图,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥CD,AD＝BC．翻折纸片AB CD,使点A与点C重合,折痕为EF．已知CE⊥AB．1求证：EF∥BD；2若AB＝7,CD＝3,求线段EF的长．12. 烟台市生活中,有人喜欢把传送的便条折成形状,折叠过程是这样的阴影部分表示纸条的反面：如果由信纸折成的长方形纸条图①长为2 6 cm,宽为xcm,分别回答下列问题：为了保证能折成图④的形状即纸条两端均超出点P,试求x 的取值范围．2如果不但要折成图④的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P的长度相等,即最终图形是轴对称图形,试求在开始折叠时起点M与点A的距离用x表示．13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF．1求证：△ABE≌△AD′F；2连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形证明你的结论．14.孝感市在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开如图1；第二步：再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN如图2.请解答以下问题：1如图2,若延长MN交BC于P,△BMP是什么三角形请证明你的结论．2在图2中,若AB=a,BC=b,a、b满足什么关系,才能在矩形纸片ABCD上剪出符合1中结论的三角形纸片BM P3设矩形ABCD的边AB=2,BC=4,并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx,当∠M′BC=60°时,求k的值.此时,将△ABM′沿BM′折叠,点A是否落在EF上E、F分别为AB、CD中点为什么15.邵阳市如图①,△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿着一条直线折叠后,使点A与点C重合图②．1在图①中画出折痕所在的直线l．设直线l与AB,AC分别相交于点D,E,连结CD．画图工具不限,不要求写画法2请你找出完成问题1后所得到的图形中的等腰三角形．不要求证明16.济宁市如图,先把一矩形ABCD纸片对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上,得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上,得折痕PQ.求证：△PBE∽△QAB；你认为△PBE和△BAE相似吗如果相似给出证明,如补相似请说明理由；3如果直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上为什么17.临安市如图,△OAB 是边长为的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴正方向上,将△OAB 折叠,使点A落在边OB上,记为A′,折痕为EF.1当A′E18.南宁市如图,在锐角△ABC中,BC=9,AH⊥BC于点H,且AH=6,点D为AB 边上的任意一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E．设△ADE的高AF为x0＜x＜6,以DE为折线将△ADE翻折,所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上．1分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时,y与x的函数关系式；2当x取何值时,y的值最大最大值是多少19.宁夏回族自治区如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,连结AE．证明：1BF=DF；2AE∥BD．参考答案一、二、°三、9. 解：1由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°,∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴.即．∴．且当x=2时,y 有最大值．由已知,△PAB、△POE均为等腰直角三角形,可得P1,0,E0, 1,B4,3．……6分设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c,则∴y=．由2知∠EPB=90°,即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1,与y轴交于点0,－1．将PB向上平移2个单位则过点E0,1,∴该直线为y=x＋1．由得∴Q5,6．故该抛物线上存在两点Q4,3、5,6满足条件．10. 证明：1∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°,∠PBE＋∠PEB＝90°,∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB＝90°,∴△PBE～△QAB.2∵△PBE～△QAB,∴∵BQ＝PB,∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°,∴△PBE～△BAE.3点A能叠在直线EC上.由2得,∠AEB＝∠CEB,∴EC 和折痕AE重合.11. 解：1证明：过C点作CH∥BD,交AB的延长线于点H；连结AC,交EF于点K,则AK＝CK．∵AB∥CD,∴BH＝CD,BD＝CH．∵AD＝BC,∴AC＝BD＝CH．∵CE⊥AB,∴AE＝EH．∴EK是△AHC的中位线．∴EK∥CH．∴EF∥BD．2解：由1得BH∥CD,EF∥BD,∴∠AEF＝∠ABD．∵AB＝7,CD＝3,∴AH＝10．∵AE＝CE,AE＝EH,∴AE＝CE＝EH＝5.∵CE⊥AB,∴CH＝5＝BD．∵∠EAF＝∠BAD,∠AEF＝∠ABD,∴△AFE∽△ADB．∴.∴．12. 解：1由折纸过程知0＜5x＜26,,0＜x ＜. 2图④为轴对称图形,∴AM ＝.即点M与点A的距离是1 3－xcm.13. 证明：⑴由折叠可知：∠D＝∠D′,CD＝AD′,∠C＝∠D′AE．∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B＝∠D,AB＝CD,∠C＝∠BAD．∴∠B＝∠D′,AB＝AD′,∠D′AE＝∠BAD,即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△AD′F．⑵四边形AECF是菱形．由折叠可知AE＝EC,∠4＝∠5．∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC．∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE．∵AE＝EC, ∴AF＝EC．又∵AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形．∵AF＝AE,∴四边形AECF是菱形．14. 解：1△BMP是等边三角形.证明：连结AN.∵EF垂直平分AB,∴AN = BN.由折叠知 AB = BN ,∴AN = AB = BN, ∴△ABN为等边三角形.∴∠ABN =60°. ∴∠PBN =30°.又∵∠ABM =∠NBM =30°,∠BNM =∠A =90°.∴∠BPN =60°.∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°.∴∠BMP =60°∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°.∴△BMP为等边三角形 .2要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP,则BC ≥BP.在Rt△BNP中, BN = BA =a,∠PBN =30°,∴BP =. ∴b≥. ∴a≤b .∴当a≤b时,在矩形上能剪出这样的等边△BM P.3∵∠M′BC =60°, ∴∠ABM′=90°－60°=30°.在Rt△ABM′中,tan ∠ABM′ =. ∴tan30°= . ∴AM′ =.∴M′,2. 代入y=kx中 ,得k==.设△ABM′沿BM′折叠后,点A落在矩形ABCD内的点为A′.过A′作AH ⊥BC交BC于H.∵△A′BM′ ≌△ABM′, ∴∠A′BM′=∠ABM′=3 0°, A′B = AB =2.∴∠A′BH＝∠M′BH－∠A′BM′=30°.在Rt△A′BH 中,A′H =A′B =1 ,BH=,∴.∴A'落在EF上.图2图315.解：1如图.等腰三角形DAC.16.1证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°-90°＝90°,∠PBE＋∠PEB＝90°,∴∠ABQ＝∠PEB.又∵∠BPE＝∠AQB,∴△PBE∽△QAB.2∵△PBE∽△QAB,∴.∵BQ＝PB,∴.又∵∠ABE＝∠BPE＝90°,∴△PBE～△BAE.3点A能折叠在直线EC上.由2得,∠AEB＝∠CEB,∴EC和折痕AE重合.17. 解：1由已知可得∠A'OE=60o , A'E=AE.由A′E设A′的坐标为0,b,则AE=A'E=b,OE=2b.∵b+2b=2+,∴b=1.∴A'、E的坐标分别是0,1与,1.2因为A'、E在抛物线上,所以所以函数关系式为y=.由=0得,.与x轴的两个交点坐标分别是-,0与,0. 3不可能使△A'EF成为直角三角形.∵∠FA'E=∠FAE=60o,若△A'EF成为直角三角形,只能是∠A'EF=90o或∠A'FE=90o.若∠A'EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A'、E、A 三点共线,O与A重合,与已知矛盾.同理若∠A'FE=90o也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形.18. 解：1①当0＜x≤3时,由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图101,重叠部分为△A'ED.∵DE∥BC,∴∠ADE＝∠B,∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.∴. ∴,即.又∵FA'=FA=x,∴y=DE·A'F=·x·x.∴0＜x≤3.②当3＜x＜6时,由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外,如图102,重叠部分为梯形EDPQ.∵FH＝6－AF＝6－x,A'H＝A'F－FH＝x-6-x=2x-6,又∵DE∥PQ,∴△A'PQ∽△A'DE.∴.∴∴.2当0＜x≤3时,y 的最大值；当3＜x＜6时,由,可知当x=4时,y的最大值y2=9.∵y1＜y2,∴当x=4时,y有最大值y最大＝9．19. 证明：1能正确说明∠ADB=∠EBD或△ABF≌△ED F,∴BF=DF.2能得出∠AEB=∠DBE或∠EAD=∠BDA,∴AE∥BD.。
中考数学中的折叠问题精选全文
精选全中考数学中的折叠问题文完整版（可编辑修改）近年来，在各地中考数学命题时，十分重视对图形语言、文字语音、符号语言的理解运用及相互之间的关系，相互之间的转化能力以及动手操作能力的考查。
这样，图形的折叠问题就成为一个亮点，有关翻折的考题日趋增加。
翻折问题的解决方法，抓住翻折后与翻折的图形是以折痕为轴的轴对称图形这一关键，并运用代数方程，一般均可求得。
下面我们以中考题为例，谈谈翻折问题的几例类型及解法，供大家参考。
一、以矩形为母体的翻折这种类型最多，以折痕的不同位置又可分下面几种：1、沿对角线翻折例1、(2000年山西省)已知：如图1，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C 落在C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积。
分析：因为BD是对称轴，∴∠CBD=∠C’BD，又AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，得：∠C’BD=∠ADB，∴ED=EB设ED=x，∴AD=8-x在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即42+(8-x)2=x2，∴x=5，∴ED=EB=5又BD=∴S△BED==10方法2：过E作EF⊥BD，垂足F，在得到BE=5，BD=4后，在Rt△BEF中，EF=，得S△BED=BD×EF=×4×=10方法3：∵Rt△BEF∽Rt△BDC’，∴EF：DC’=BF：BC’，得EF==(以下略)2、沿一直线翻折，使一顶点落在对边上例2、(2000年山东省)已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4：5，E是AB 上一点，沿CE将△EBC向上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，如图2，则tg∠DCF=______。
A、B、C、D、分析：因为CF=CB，∴CF：CD=5：4，得CD：DF=4：3，∴tg∠DCF==，应选(A)。
例3、(1998年台州市)如图3，矩形ABCD的长、宽分别为5和3，将顶点C 折过来，使它落在AB上的C’点(DE为折痕)，那么阴影部分的面积是______。
中考数学折叠,旋转问题专题含答案
【经典例题1】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC 折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（）A．6B．C．2D．4【解析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故选：A．练习1-3在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）【解析】（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．旋转类【经典例题2】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=45∘. 计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2，当点C1在线段CA的延长线上时。
中考折叠问题(原创)
05月26日 教案+习题中考折叠问题1、中考中折叠问题每年必考。
有时出现在选择填空，有时候出现在压轴题。
2、折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；3、考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；4、解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。
5、轴对称性质——①折线是对称轴，折线两边图形全等②对应点连线垂直对称轴③对应边平行或交点在对称轴上。
ABC 的边AB 、BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在B 1处，DB 1、EB 1分别交边AC 于点F 、G ．若∠ADF=80°，则∠CGE= ．例2．（2011·贺州）把一张矩形纸片ABCD 按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕为EF ．若BF ＝4，FC ＝2，则∠DEF 的度数是_ ．例3．（2011昭通，8，3）如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点处，折痕为EF ，若，那么∠ABE 的度数为 ____________C '︒='∠125C EF ABC EF A’D (B )例4. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB=4，BC=5，则tan ∠AFE 的值为（ ） A ．43 B.35C ．34 D ．45例5.如图．将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE 、BF ，则∠EBF 的大小为 ( ) A.15° B.30° C. 45° D.60°例6、（2011•广元）如图，M 为矩形纸片ABCD 的边AD 的中点，将纸片沿BM 、CM 折叠，使点A 落在A 1处，点D 落在D 1处．若∠A 1MD1=40°，则∠BMC 的度数为 ．例1、（2011•河北）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A 、B 、2C 、3D 、4例2.如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， 6AB =， ∠BCA=90°在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的 一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则 D Ｅ的长度为 () A.6B.3C.D.例3、（2011•衡阳）如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC 折叠，使点CA E DCFC'BAC D与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为 ．例4．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片 使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为( )A .3B .4C .5D .6 例5、（2011•泸州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ′，折痕为BE ，则EC 的长度是（ A 、 B 、 C 、 D 、例6．将长8 cm ，宽4 cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长等于 cm ． 例7.如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ） （A ） （B ）（C ） （D ）6例8、（2011•潼南县）如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，将△BCD 沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，DC=5cm ，则点D 到斜边AB 的距离是 cm ．例9、（2011•巴彦淖尔）如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在C ′处，连接BC ′，那么BC ′的长为 ．例10．将一块直角三角形纸片ABC 折叠，使点A 与点C 重合， 展开后平铺在桌面上（如图所示）．若∠C ＝90°，BC ＝8cm ， 则折痕DE 的长度是 cm ．例11、（2011•天水）如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD 边落322323B C在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则CF 的长为（ ）A 、6B 、4C 、2D 、1例12．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝CE ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B 1重合，则AC ＝cm ． ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是．例1.如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE 。
中考几何——折叠专项
中考几何——折叠专项【一，折叠与平行线性质结合求角度】1．如图，矩形纸片ABCD ，M 为AD 边的中点将纸片沿BM 、CM 折叠，使A 点落在1A 处，D 点落在1D 处，若130∠=︒，则(BMC ∠= )A ．75︒B ．150︒C ．120︒D ．105︒2．将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若35ABC ∠=︒，则DBE ∠的度数为( )A ．55︒B ．50︒C ．45︒D ．60︒3．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EC ，ED 为折痕，折叠后点A '，B '，E 在同一直线上，则CED ∠的度数为( )A ．75︒B ．95︒C ．90︒D ．60︒4．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠( )A ．若132∠=∠，则1108∠=︒B ．若122∠=∠，则198∠=︒C ．若12∠=∠，则155∠=︒D ．若1122∠=∠，则140∠=︒5．如图，将对边平行的纸带按如图所示进行折叠，已知165∠=︒，则2∠的大小为( )A ．115︒B ．65︒C ．55︒D ．50︒6．如图①，在长方形ABCD 中，E 点在AD 上，并且30ABE ∠=︒，分别以BE 、CE 为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中AED n ∠=︒，则BCE ∠的度数为( )度．A ．602n+ B ．60n +C ．302n +D ．30n +7．小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），AOB∠的度数是．8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A与点A'重合（点A在BC边上），点∠+∠=︒．B落在点B'的位置上，若40∠'=︒，则12DEA9．如图1，长方形ABCD沿着直线DE和EF折叠，使得AB的对应点A'，B'和点E在同一条直线上．（1）求DEF∠的度数；（2）如图2，若再次沿着直线EM和EN折叠使得A、B的对应点A''、B''分别落在DE和EF上，34∠的度数．∠=︒，求BENAEM10．如图a是长方形纸带（提示：//)AD BC，将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c．（1）若20DEF ∠=︒，则图b 中EGB ∠= ，CFG ∠= ； （2）若20DEF ∠=︒，则图c 中EFC ∠= ； （3）若DEF α∠=，把图c 中EFC ∠用α表示为 ；（4）若继续按EF 折叠成图d ，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFG ∠，整个过程共折叠了9次，问图a 中DEF ∠的度数是 ．【二.折叠和三角形内角和，外角和结合求角度】1．如图，三角形纸片ABC 中，80A ∠=︒，60B ∠=︒，将纸片的角折叠，使点C 落在ABC ∆内，若30α∠=︒，则β∠的度数是( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒2．如图，65A ∠=︒，75B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC ∆外，若218∠=︒，则1∠的度数为( )A ．50︒B ．98︒C ．75︒D ．80︒3．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆外的A '处，折痕为DE ．如果A α∠=，CEA β∠'=，BDA γ'∠=，那么α，β，γ三个角的关系是 ．4．如图，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处，且A B '平分ABC ∠，A C '平分ACB ∠，若1288∠+∠=︒，则BA C '∠的度数是 ．5．将纸片ABC ∆沿DE 折叠使点A 落在A '处的位置．（1）如果A '落在四边形BCDE 的内部（如图1)，A ∠'与12∠+∠之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A '落在四边形BCDE 的外部（如图2)，这时A ∠'与1∠、2∠之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．6．动手操作：一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点A'处．观察猜想（1）如图1，若40∠+∠=︒；∠=︒，则12A若55∠+∠=︒；∠=︒，则12A若A n∠+∠=︒．∠=︒，则12探索证明：（2）利用图1，探索1∠、2∠与A∠有怎样的关系？请说明理由．拓展应用（3）如图2，把ABC∠，若12108∠+∠=︒，利∠，CA'平分ACB∆折叠后，BA'平分ABC用（2）中结论求BAC∠'的度数．【三.折叠和勾股定理结合求边长】1．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1 B．43C．32D．22．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点B落在点B'处，其中9AB=，6BC=，则FC'的长为()A．103B．4 C．4.5 D．53．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边6AB=，8BC=，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD=．4.如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D/落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为5.如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D ’，点C 落在C ’处.若AB=6，AD ’=2，则折痕MN 的长为 .6．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折叠后得到AFE ∆，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若1CG GB k =，则ADAB= 用含k 的代数式表示）．7．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，10BC =，点E 在CD 上，将BCE ∆沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将ABG ∆沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，①45EBG ∠=︒；②DEF ABG ∆∆∽；③32ABG FGH S S ∆∆=；④AG DF FG +=．则下列结论正确的有( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △A B G =S △F G H ；④AG+DF=FG ．其中正确的是．9.如图，长方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ，连接EF ．若AB=6，BC=8，则DF 的长为( )10.如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为多少？【四.折叠综合证明类型题】FEDB CA1.综合与实践：折纸中的数学数学活动课上，老师组织各学习小组同学动手操作，大胆猜想并加以验证．动手操作：如图，将长与宽的比是2：1 的矩形纸片ABCD 对折，使得点B 与点A 重合，点C 与点D 重合，然后展开，得到折痕EF，BC 边上存在一点G，将角B 沿GH 折叠，点B落到AD 边上的点B′处，点B 在AB 边上；将角C 沿GD 折叠，点C 恰好落到B′G 上的点C′处，HG 和DG 分别交EF 于点M 和点N，B′G 交EF 于点O，连接B′M，B′N．提出猜想：①“希望”小组猜想：HG⊥DG；②“奋斗”小组猜想：B′N⊥DG；③“创新”小组猜想：四边形B′MGN 是矩形．独立思考：（1）请你验证上述学习小组猜想的三个结论；（写出解答过程）（2）假如你是该课堂的一名成员，请你在现有图形中，找出一个和四边形B′MGN 面积相等的四边形．（直接写出其名称，不必证明）2.探究学习：矩形折纸中的数学动手操作：如图1，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AB=3cm，AD=4cm，点E,F 分别在AD，BC 边上，连接BE,DF,且BE∥DF。
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（第18题图）AC B 折叠问题折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。
轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。
1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10° 3、（2009年日照市）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.55、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 为 ．6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903B A C A B M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．7、(2009宁夏) 如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，将ADC △沿AC 边所在的直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ．求证：EC AB ∥．A图3BM C 第2题图 A'BD AC E C B A D8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在A M N △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？9、（2009恩施市）如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设D E x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．（1）用x 表示ADE △的面积；（2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？提示：相似、二次函数10、（2009年天津市）EA 'DBCABC ABC NM A已知一个直角三角形纸片O A B ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；提示：画出图形，图中性质 △ACD ≌△BCD,△BDC ∽△BOA,BC=AC（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围； 提示：画图，△COB ＇中由勾股定理得出函数关系式，由x 取值范围确定y 范围。
（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．提示：画图，△COB ＇∽△BOA11、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60° 特殊图形四边形BNPM 为菱形； 第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似的△BNQ ，再判断是否在对称轴上。
12、（2009年浙江省湖州市）已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线12y x a=-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ；(2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.13、(2009成都)如图，将矩形ABCD 沿BE折叠，若∠CBA ′=30°则∠BEA ′=_____．第（2）题 备用图 （第12题）（17题）CDC'ABEC14、（2009年凉山州）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C'处，BC'交AD于E，则下列结论不一定成立的是（）A．AD BC'=B．EBD EDB∠=∠C．ABE CBD△∽△D．sinAEABEED∠=15、（2009年衡阳市）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A．1 B．34C．23D．216、（2009东营）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）（A）70°（B）65°（C）50°（D）25°17、（2009年淄博市）矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）A．8 B．11C．4 D．5218、（09四川绵阳）如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD= 4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC =（）A．1:3 B．3:8 C．8:27 D．7:2519、（2009仙桃）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）．A、3B、2C、3D、3220、（2009年佳木斯）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.AB CDEA′A BCDEEDBC′F CD′A21、（2009年鄂州市）如图27所示，将矩形OABC 沿AE 折叠，使点O 恰好落在BC 上F 处，以CF 为边作正方形CFGH ，延长BC 至M ，使CM ＝｜CF —EO ｜，再以CM 、CO 为边作矩形CMNO(1)试比较EO 、EC 的大小，并说明理由 (2)令；四边形四边形CNMN CFGHS S m，请问m 是否为定值？若是，请求出m 的值；若不是，请说明理由 (3)在(2)的条件下，若CO ＝1，CE ＝31，Q 为AE 上一点且QF ＝32，抛物线y ＝mx 2+bx+c 经过C 、Q 两点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线y ＝mx 2+bx+c 与线段AB 交于点P ，试问在直线BC 上是否存在点K ，使得以P 、B 、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在，请求直线KP 与y 轴的交点T 的坐标?若不存在，请说明理由。
22、（2009年湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm23、(2009年温州)如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA 恰好与⊙0相切于点A ′(△EF A ′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长F A ′交CD 边于点G ，则A ′G 的长是24、（2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N = ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则A ′N = （用含有n 的式子表示）25、（2009山西省太原市）问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值．类比归纳 在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM BN 的值等于 ； 若1CE CDn =（n 为整数），则AM BN的值等于 ．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点CD ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）CN E方法指导： 为了求得AMBN的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）A B C D E F M图（1）A BCDEFMNDA CB A '26、（2009年哈尔滨）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A ´处，若∠A ´BC ＝20°，则∠A ´BD 的度数为（ ）． （A ）15°（B ）20°（C ）25°（D ）30°27、(2009年抚顺市)如图所示，已知：Rt ABC △中，90ACB ∠=°．（1）尺规作图：作BAC ∠的平分线AM交BC 于点D （只保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，将Rt ABC△沿某条直线折叠，使点A 与点D 重合，折痕EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，连接DE DF 、，再展回到原图形，得到四边形AEDF ．①试判断四边形AEDF 的形状，并证明；②若84AC CD ==，，求四边形AEDF 的周长和BD 的长．折叠问题折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。