2018年秋高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点课时分层作业22

课时分层作业(二十二) 方程的根与函数的零点
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．函数y ＝x 2
－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2
D ．3
C [因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2
－4＝0，所以b ＝±2.] 2．函数f (x )＝2x
－1x
的零点所在的区间是( )
【导学号：37102351】
A ．(1，＋∞)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，13 B [由f (x )＝2x
－1x
，得
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝212
－2<0，f (1)＝2－1＝1>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0. ∴零点所在区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1.] 3．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
－1，x ≤1，
1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )
A.1
2，0 B ．－2,0 C.12
D ．0
D [当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x
－1＝0，所以x ＝0；当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝12，
不成立，所以函数的零点为0，选D.]
4．函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上的零点( )
【导学号：37102352】
A ．至多有一个
B ．有一个或两个
C ．有且仅有一个
D ．一个也没有
C [若a ＝0，则f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 是一次函数，由已知f (1)·f (2)<0，得只有一个零点；若a ≠0，则f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则应有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．] 5．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(a ，b )和(b ，c )内
D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内
C [∵a <b <c ，
∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0，
f (b )＝(b －c )(b －a )<0， f (c )＝(c －a )(c －b )>0，
∴f (x )的零点在分别位于(a ，b )和(b ，c )内．] 二、填空题 6．函数f (x )＝
x －x
x －3
的零点是________.
【导学号：37102353】
1 [令f (x )＝0，即
x －x
x －3
＝0，即x －1＝0或ln x ＝0，∴x ＝1，故函数f (x )的零点为1.]
7．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的根，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 2 [令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增，
∵f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0， ∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.]
8．函数f (x )＝x 2
－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是________.
【导学号：37102354】
(－3,0) [函数f (x )＝x 2
－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知
⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，f ，f
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
8＋a >0，
a <0，
a <0，3＋a >0，
解得－3<a <0.]
三、解答题
9．判断函数f (x )＝ln x ＋x 2
－3的零点的个数．
[解] 法一(图象法)：函数对应的方程为ln x ＋x 2
－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2
的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y ＝3－x 2
与y ＝ln x 的图象只有一个交点，从而ln x ＋x 2
－3＝0有
一个根，
即函数y ＝ln x ＋x 2
－3有一个零点．
法二(判定定理法)：由于f (1)＝ln 1＋12
－3＝－2<0，
f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f (1)·f (2)<0，又f (x )＝ln x ＋x 2
－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点， 又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
10．若函数f (x )＝ax 2
－x －1有且仅有一个负零点，求实数a 的取值范围.
【导学号：37102355】
[解] ①当a ＝0时，由f (x )＝－x －1＝0得x ＝－1，符合题意；
②当a >0时，函数f (x )＝ax 2
－x －1为开口向上的抛物线，且f (0)＝－1<0，对称轴x ＝12a >0，所以f (x )必
有一个负实根，符合题意；
③当a <0时，x ＝12a <0，f (0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝－1
4，
此时f (x )＝－14x 2－x －1＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋12
＝0， 所以x ＝－2，符合题意．综上所述a 的取值范围是a ≥0或a ＝－1
4
.
[冲A 挑战练]
1．若函数f (x )＝x 2
－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2
－ax －1的零点是( ) A ．－1和1
6
B ．1和－1
6
C.12和13
D ．－1
2
和 3
B [∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2＋3＝a ，2×3＝b ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝6，
∴g (x )＝6x 2
－5x －1，
∴g (x )的零点为1和－1
6
，故选B.]
2．（2018·全国卷Ⅰ）9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
e x
，x ≤0，
ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a
的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)
D ．[1，＋∞)
C [函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2
个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y
＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示， 由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.]
3．若方程|x 2
－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是
________．
(0,4) [由|x 2
－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2
－4x |，作出函数y ＝|x 2
－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2
－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.]
4．已知函数f (x )＝3x
＋x ，g (x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.
【导学号：37102357】
a ＜
b ＜
c [画出函数y ＝3x ，y ＝log 3x ，y ＝－x ，y ＝－2的图象，如图所示
观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]
5．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
[解](1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，
即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．。