2021届高三新题数学9月(适用新高考)专题二十 统计与统计案例(原卷版)
2020-2021学年福清西山学校高中部高三9月月考数学试题及答案
A． 为偶函数B． 在（1，2）上单调递增
C． 在[2016，2020]上恰有三个零点D． 的最大值为2
12.已知函数f(x)＝e|x|sinx，下列说法正确的是（ ）
A.f(x)是周期为2π的奇函数 B.f(x)在(－ ， )上为增函数
C.f(x)在(－10π，10π)内有21个极值点
D.f(x)≥ax在[0， ]上恒成立的充要条件是a≤1
四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（满分10分）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，__________，且 ， ？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
令hБайду номын сангаасx） （x＞0），则h′（x） ，
令k（x）＝1﹣x2﹣lnx（x＞0），
则当x＞0时，k′（x）＝﹣2x 0，所以k（x）在（0，+∞）上为减函数．--------8分
又k′（1）＝0，
所以在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．
当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0
所以f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0．+∞）内是增函数，
所以x＝0是函数f（x）的极小值同时也是最小值点，立---------------7分
即f（x）min＝f（0）＝l﹣a，
高三数学9月学情调研考试试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学9月学情调研考试试题〔含解析〕 参考公式：柱体的体积公式：V=Sh ，其中S 为为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积公式：343V R π=，其中R 为球体的半径. 一、填空题：(请将答案写在答题卡相应位置．)()f x =的定义域是【答案】[1,)+∞【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足101x x -≥∴≥，因此定义域为[1,)+∞ 考点：函数定义域z 满足(2)1z i i -=+〔i 是虚数单位〕，那么复数z 的模是________．【解析】【详解】(2)1z i i -=+，z =.3.某算法的流程图如下列图，那么物出的n 的值是_______．【答案】4【解析】【分析】循环代入n p 、的值，直到10p >时输出p 的值.【详解】第一次循环：2,5n p ==；第二次循环：3,10n p ==；第三次循环，4,17n p ==，此时满足10p >可退出循环得：4n =.【点睛】此题考察程序框图循环构造中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理方法：〔1〕逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；〔2〕根据循环构造中的特殊形式简化运算.4.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下列图，其中成绩分组区间是：[40，50〕，［50，60)，［60，70)，［70，80〕，［80，90〕，［90，100〕，那么图中x 的值是_______【解析】【分析】根据频率和为1来计算x 的值.【详解】因为(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，所以0.018x =.【点睛】此题考察频率分布直方图中频率总和为1这一知识点，难度较易.5.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性一样，那么这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______ 【答案】23【解析】【分析】甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率.【详解】甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有23A =6种，总的可能情况有339⨯=种，那么概率62=93P =. 【点睛】此题考察古典概型的概率计算，难度较易.古典概型的概率计算公式为：P =待求事件包含的基本事件个数可能出现的事件总数. cm ，高为4cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗〕，那么该钢球的半径为_______cm【答案】3【解析】【分析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可.【详解】圆柱体积：=94=36V ππ⨯⨯圆柱，球的体积：34=3V r π球，所以34363r ππ=，解得3r =.【点睛】圆柱的体积公式：2V r h π=；球的体积公式：343V r π=.xoy 中，假设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，那么该双曲线的离心率为______．【解析】【分析】根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值.【详解】由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以tan 303b a =︒=，那么3c e a ===. 【点睛】此题考察双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候假设涉及到几何图形，可借助几何图形的特点去分析问题.()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，那么当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为_______． 【答案】［－1，2］【解析】【分析】 先根据最小正周期求出ω的值，再利用给定区间分析函数()f x 的最值. 【详解】因为2||T ππω==，所以2ω=，那么()2sin(2)6f x x π=-； 又[0,]2x π∈，所以5(2)[,]666x πππ-∈-， 那么max ()2sin 22f x π==，min ()2sin()16f x π=-=-. 所以()f x 的值域为：[1,2]-.【点睛】此题考察三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间D 上的值域：先分析x D ∈时，x ωϕ+的范围，再根据sin y x =的单调性求解()f x 的值域.α满足tan 〔α＋4π〕＝3tanα＋1，那么tan 2α的值是_____．【答案】34【解析】【分析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算2tan α的值. 【详解】由题意可知：1tan 3tan 11tan ααα+=+-，那么1tan 3α=或者tan 0α=〔舍，α为锐角〕，那么22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--. 【点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan21tan ααα=-. ()1||x f x x =+，那么不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为____． 【答案】〔1，＋∞〕【解析】【分析】先分析()f x 奇偶性，再分析()f x 单调性，然后将不等式转化为自变量间的关系，计算出解集.【详解】()f x 的定义域为R ，关于原点对称且()()1||x f x f x x -=-=-+，所以()f x 是奇函数； 又因为0x>时1()111x f x x x ==-++是增函数，所以()f x 在R 上是增函数； 因为(3)(2)0f x f x -+>，所以(3)(2)f x f x ->-且(2)(2)f x f x -=-，那么有32x x ->-，故1x >，即(1,)x ∈+∞.【点睛】解关于函数值的不等式，一般可先考虑函数的奇偶性〔注意定义域〕和单调性，将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系，然后求解出对应解集.11.等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，假设存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有nk S S ≤恒成立，那么k 的值是_______．【答案】20【解析】【分析】先根据条件求解出n S 的表达式，然后分析n S 取最大值时对应n 的值即为k 的值.【详解】因为1474399a a a a ++==，所以433a =；因为2585393a a a a ++==，所以531a =；那么5431332d a a =-=-=-，14339a a d =-=， 所以221(1)40(20)4002n n n S a n d n n n -=+=-+=--+，那么20n =时，n S 有最大值，即20k =.【点睛】〔1〕等差数列性质：假设2m n p q c +=+=，那么2m n p q c a a a a a +=+=； 〔2〕等差数列{}n a 中，假设10,0a d ><，那么n S 有最大值；假设10,0a d <>，那么n S 有最小值. △ABC 中，点P 是边AB 的中点，CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝23π，那么CP CA 的值是______． 【答案】6【解析】【分析】 现根据中点对应的向量关系求解出CB 的长度，然后再将CPCA 化简到可利用||||CA CB 、直接进展计算即可. 【详解】如下列图，1()2CP CA CB =+，那么22211()||||4344CP CA CB CB CB =+=-+=，所以||2CB =；又2111()||8(2)6222CP CA CA CB CA CA CB CA =+=+=+-=. 【点睛】几何图形中的向量问题，一定要先分析图形找到其中的数量关系；其次就是对待求式子的分析，将其变为可以用量直接进展计算的形式.解决这类问题，这里还有另一种常用的方法：坐标法，已坐标的方式去考虑各个量之间关系.xoy 中，圆M:22()(2)4x a y a -+-=，圆N ：22(2)(1)4x y -++=，假设圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公一共点，那么实数a 的取值范围为________．【答案】［－2，2］【解析】【分析】可将问题转化为圆M 的半径增加1后与圆N 有交点，然后利用圆心距计算即可.【详解】根据题意可知：圆22()(2)9x a y a -+-=与圆22(2)(1)4x y -++=有交点，那么5≤，得24a ≤，即[2,2]a ∈-.【点睛】解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比方针对一些“存在〞“恒成立〞问题，一般只需要根据条件找到临界条件即可进展计算求解.32()31f x x x =-+，2211,0()1,04x x g x x x x ⎧-+⎪=⎨--≤⎪⎩＞.假设函数[]()y g f x a =-有6个零点〔互不一样〕，那么实数a 的取值范围为______．【答案】〔34，2〕 【解析】【分析】分别画出()f x 、()g x 的图象，采用换元法令()f x t =，考虑()g t a =中t 的取值可使()f x t =有6个解时对应的a 的取值范围.【详解】作出()f x 、()g x 图象如下：因为()g x a =至多有两解，()f x t =至多有三解，那么()g x a =有两解时()f x t =有6解； 且(0)1f =，(2)3f =-，所以()f x t =有三解时(3,1)t ∈-；当3t =-时，3(3)4a g =-=，当1t =时，(1)2a g ==， 故3(,2)4a ∈时，[]()y g f x a =-有6个零点. 【点睛】涉及到分段函数的零点问题时，一定记得使用数形结合思想；函数零点或者者方成根问题中，出现了复合函数，换元法也是很常规的手段，此时就需要结合多个函数图象来分析问题.二、解答题。
2021届高考数学(理)一轮专题重组卷：第一部分专题二十统计、统计案例
专题二十统计、统计案例本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·陕西榆林二中模拟)某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为()A．①系统抽样，②分层抽样B．①分层抽样，②系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样D．①分层抽样，②简单随机抽样答案 C解析由随机抽样的特征可知，①为等距抽样，是系统抽样；②是简单随机抽样，故选C.2．(2019·湖南六校联考)对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[100,120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案 C解析甲同学的成绩折线图有较好的对称性，最高130分，平均成绩低于130分，①错误；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[100,120]内，②正确；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，具有正相关，③正确；乙同学在连续九次测验中第四次，第七次成绩较上一次有退步，故④不正确，故选C.3．(2019·贵阳监测)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是()A．15 B．18 C．20 D．25答案 A解析根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，∵频数是40，∴样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，∴成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.4．(2019·成都市高三第二次诊断性检测)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．故选C.5．(2019·上海市复旦附中模拟)一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是()A．5800 B．6000 C．6200 D．6400答案 D解析∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200,5300,5500,6100,6500,6600，∴当另外两名员工的工资都不超过5300时，中位数为5300＋55002＝5400，当另外两名员工的工资都不小于6500时，中位数为6100＋65002＝6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.故选D.6．(2019·河南省名校联考)如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过21%的为()A．腾讯与百度的访问量所占比例之和B．网易与搜狗的访问量所占比例之和C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和D．新浪与小说的访问量所占比例之和答案 B解析由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%，不超过21%，故选B.7．(2019·济南模拟)随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是()A．该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B．该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C．该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D．该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍答案 C解析2018年食品消费占0.2,2014年食品消费占0.4，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以两年的食品消费额相当，故A错误.2018年教育医疗消费占0.2,2014年教育医疗消费占0.2，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年教育医疗消费额是2014年的两倍，故B错误.2018年休闲旅游消费占0.25,2014年休闲旅游消费占0.1，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年休闲旅游的消费额是2014年的五倍，故C正确.2018年生活用品消费占0.3,2014年生活用品消费占0.15，因2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，所以2018年生活用品消费额是2014年的四倍，故D错误．故选C.8．(2019·日照二模)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多答案 D解析由题图易知互联网行业从业人员90后占56%，A正确；仅90后从事技术岗位的人数占总人数比为0.56×0.396＝0.22176超过20%，B正确；90后从事运营岗位的人数占总人数比为0.56×0.17＝0.0952>0.03，C正确；90后从事技术岗位的人数占总人数比为0.56×0.396＝0.22176<0.41，而题中未给出80后从事互联网行业岗位分布情况，故D不一定正确．9．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是() A．中位数B．平均数C．方差D．极差答案 A解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A.10．(2019·新疆高三一模)在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：“该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为连续10天，每天新增加疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是()A．甲地总体均值为3，中位数为4B ．乙地总体均值为2，总体方差大于0C ．丙地中位数为3，众数为3D ．丁地总体均值为2，总体方差为3答案 D解析 由于平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，A 不正确；当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，B 不正确；中位数和众数也不能限制某一天的病例超过7人，C 不正确；当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就超过3，D 正确．故选D.11．(2019·沈阳市东北育才学校高三一模)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x －甲、x －乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A.x －甲<x －乙，σ甲<σ乙B.x －甲<x －乙，σ甲>σ乙C.x －甲>x －乙，σ甲<σ乙D.x －甲>x －乙，σ甲>σ乙答案 C解析 甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲、乙两名同学成绩的平均数分别为x －甲，x －乙，标准差分别为σ甲，σ乙，由折线图得x －甲>x －乙，σ甲<σ乙．故选C.12．(2019·南阳市一中第九次目标考试)为考察A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图．根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是()A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A，B对该疾病均没有预防效果答案 B解析由题图可得服用药物A的患病人数少于服用药物B的患病人数，而服用药物A的未患病人数多于服用药物B的未患病人数，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·江苏省海安高级中学月考)为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有________辆．答案80解析由频率分布直方图得，时速在区间[40,60)内的汽车的频率为(0.01＋0.03)×10＝0.4.∴时速在区间[40,60)内的汽车有0.4×200＝80(辆)．14．(2019·湖北名校4月模拟)某学校从编号依次为01,02，…，90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14,23，则该样本中来自第四组的学生的编号为________．答案32解析样本间隔为23－14＝9，则第一个编号为5，第四个编号为23＋9＝32.15．(2019·兰州二模)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示．现要从中抽取50名职工作样本，若采用分层抽样方法，则40～50岁年龄段应抽取________人．答案15解析40～50岁年龄段应抽取50×30%＝15人．16．(2019·北京模拟)如图是某地区2002年至2018年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2002年至2018年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y^＝－30.4＋13.5t；根据2012年至2018年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t.利用这两个模型，该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值分别为________，________；并且可以判断利用模型________得到的预测值更可靠．答案226.1(亿元)256.5(亿元)②^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)，解析①y^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)；②y当年份为2018时，对于模型①：t＝17，y^＝－30.4＋13.5×17＝199.1(亿元)，对于模型②：t＝7，y^＝99＋17.5×7＝221.5(亿元)，所以②的准确度较高，①偏差较大，所以选择模型②得到的预测值更可靠．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·徐州联考)某人在甲、乙两社区各经营一个小商品店，他记录了连续25天的营业额(单位：拾元)，结果用茎叶图表示如下图．(1)根据茎叶图，对甲、乙两店的营业额作比较，写出两个统计结论；(2)若从两店营业额超过3300元的天中随机抽取4天作进一步分析，设抽到甲店的天数为X，求X的均值．解(1)由茎叶图可以得到如下结论：①乙店营业额的平均数大于甲店营业额的平均数．②甲店营业额较乙店营业额更分散．(或：乙店营业额较甲店营业额更集中(稳定)．甲店营业额分散程度比乙店营业额的分散程度更大)③甲店营业额的中位数为3070元，乙店营业额的中位数为3180元．④乙店营业额基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)．甲店营业额除一个特殊值(3520)外，也大致对称，其分布较均匀．(2)由茎叶图可知，两店营业额超过3300元的共有10天，其中，甲店有4天，乙店有6天．由题意得X可能的取值为0,1,2,3,4，P (X ＝0)＝C 46C 410＝114，P (X ＝1)＝C 36C 14C 410＝821， P (X ＝2)＝C 26C 24C 410＝37，P (X ＝3)＝C 16C 34C 410＝435， P (X ＝4)＝C 44C 410＝1210. 于是，X 的概率分布列如下：X0 1 2 3 4 P 114 821 37 435 1210故X 的均值E (X )＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝5635.18．(本小题满分12分)(2019·广西联考)某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销售量y (单位：万件)之间的关系如表：x1 2 3 4 y 12 28 42 56(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据(1)中的散点图拟合y 与x 的回归模型，并用相关系数加以说明；(3)建立y 关于x 的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？参考数据： ∑4i ＝1 (y i －y －)2≈32.7，5≈2.24，∑4i ＝1x i y i ＝418. 参考公式：相关系数r ＝∑n i ＝1(x i －x －)(y i －y －)∑n i ＝1 (x i －x －)2∑n i ＝1 (y i －y －)2，回归方程y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^＝∑ni ＝1(x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑ni ＝1x 2i －n x－2，a ^＝y －－b^x －.解 (1)作出的散点图如图：(2)由(1)散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得，x －＝52，y －＝692，∑4i ＝1x i y i ＝418,∑4i ＝1(y i －y －)2≈32.7，∑4i ＝1x 2i ＝30，∑4i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －＝418－4×52×692＝73，∑4i ＝1(x i －x －)2＝∑4i ＝1x 2i －4x －2＝30－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝5≈2.24，∴r ＝∑4i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑4i ＝1(x i －x －)2∑4i ＝1(y i －y －)2≈732.24×32.7≈0.9966.∵y 与x 的相关系数近似为0.9966，说明y 与x 的线性相关程度相当强， ∴可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(3)由(2)知x －＝52，y －＝692，∑4i ＝1x i y i ＝418，∑4i ＝1x 2i ＝30，∴b^＝∑4i ＝1x i y i －4x －y－∑4i ＝1x 2i －4x－2＝735，a ^＝y －－b ^x －＝692－735×52＝－2.故y 关于x 的回归直线方程为y ^＝735x －2， 当x ＝5时，y ^＝735×5－2＝71， ∴预测第5年的销售量约为71万件．19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15， 故a ＝0.35，b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.20．(本小题满分12分)(2019·晋江模拟)中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道．某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的主要购物方式进行问卷调查．现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如下图表：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下7540岁或40岁以上55总计(1)0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？(2)用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者中抽取5名进行座谈．设抽到的消费者中40岁以下的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)临界值表：P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.0050.001k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828解0.3)＝120人，40或40岁以上的消费者有80人，故根据数据完成列联表如下：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下 75 45 120 40岁或40岁以上25 55 80 总计1001002002K 2＝200×(75×55－25×45)2120×80×100×100＝754＝18.75>10.828.故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关．(2)从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，其中40岁以下的有6人，40岁或40岁以上的有2人，从这8名消费者中抽取5名进行座谈，设抽到的消费者中40岁以下的人数为X ，则X 的可能取值为3,4,5且P (X ＝3)＝C 22C 36C 58＝2056＝514，P (X ＝4)＝C 12C 46C 58＝3056＝1528，P (X ＝5)＝C 02C 56C 58＝656＝328，则X 的分布列为X 3 4 5 P5141528328E (X )＝3×514＋4×1528＋5×328＝154＝3.75. 故X 的数学期望为3.75.21．(本小题满分12分)(2019·昆明模拟)某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y (单位：万只)与相应年份x (序号)的数据表和散点图(如图所示)，根据散点图，发现y 与x 有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数z (单位：个)关于x 的回归方程z ^＝－2x ＋30.(2)试估计：①该县第一年养殖山羊多少万只？②到第几年，该县养殖山羊的数量与第1年相比减少了？参考统计量：∑9i ＝1(x i －x －)2＝60，∑9i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝12.附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝βu ＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u －)(v i －v －)∑ni ＝1(u i －u －)2，α^＝v －－β^u －.解 (1)设y 关于x 的线性回归方程为y ＝bx ＋a ， x －＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋99＝5，y －＝1.2＋1.5＋1.6＋1.6＋1.8＋2.5＋2.5＋2.6＋2.79＝2，b^＝∑9i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑9i ＝1 (x i －x －)2＝1260＝0.2，a^＝2－0.2×5＝1. 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.2x ＋1.(2)估计第x 年山羊养殖的只数为z ^·y ^＝(0.2x ＋1)·(－2x ＋30)＝－0.4x 2＋4x ＋30. 令x ＝1，则－0.4＋4＋30＝33.6， 故该县第一年养殖山羊约33.6万只． 由题意，得－0.4x 2＋4x ＋30<33.6，整理得 (x －9)(x －1)>0，解得x >9或x <1(舍去)，所以到第10年该县养殖山羊的数量相比第1年减少了．22．(本小题满分12分)(2019·北京东城一模)改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值(单位：亿元)，折线图为体育产业年增长率(%)．(1)从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；(2)从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？(结论不要求证明)解(1)设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，故P(A)＝410＝25.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，且2007年至2016年10年中有6年年增长率没超过20%，所以P(X＝0)＝C36C310＝16，P(X＝1)＝C14C26C310＝12，P(X＝2)＝C24C16C310＝310，P(X＝3)＝C34C310＝130.所以X的分布列为X 0123P 1612310130故X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.(3)从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高三数学上学期9月教学质量统测试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校、2021届高三数学上学期9月教学质量统测试题文〔含解析〕本卷须知：2.全部答案在答题卡上完成，答在本套试题卷上无效；3.在在考试完毕之后以后，将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题给出的四个选项里面，有且只有一项符合题目要求。
{}2|230A x x x =+-=，{3,1,1,3}B =--，那么A B =A.{1,3}- B.{1,3}--C.{1,3}-D.{1,3}【答案】A 【解析】 【分析】 先化简集合A ，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为{}{}2|2303,1=+-==-A x x x ，{3,1,1,3}B =--，所以{1,3}=-A B .应选A【点睛】此题主要考察集合的交集运算，熟记概念即可，属于根底题型. 2.11ii+=- A.-1 B.i -C.1D.i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，可直接得出结果.【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+. 应选D【点睛】此题主要考察复数的除法运算，熟记除法运算法那么即可，属于根底题型.{}n a 中，13463,38a a a a +=+=，那么其公比为 A.12-B.12C.2D.4【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合题中条件，即可得出结果.【详解】因为在等比数列{}n a 中，13463,38a a a a +=+=， 所以346138+==+a a q a a ，解得2q.应选C【点睛】此题主要考察等比数列的根本量的运算，熟记等比数列的性质即可，属于根底题型.4.1sin 3α=〔α为第二象限角〕，那么cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.46- B.26 C.46+ D.46【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出22cos 3α=-，再由两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】因为α为第二象限角，1sin 3α=，所以22cos 3α=-，因此2221224cos cos cos sin sin 44423326πππααα-⎛⎫-=+=-⨯+⨯=⎪⎝⎭. 应选D【点睛】此题主要考察三角恒等变换，给值求值的问题，熟记两角差的余弦公式即可，属于常考题型.1111ABCD A B C D -中，以下几种说法正确的选项是〔〕A.11AC AD ⊥B.11D C AB ⊥C.1AC 与DC 成45︒角D.11A C 与1B C 成60︒角【答案】D 【解析】 试题分析：直线11A C 与1B C 是异面直线，而1B C ∥，所以即为11A C 与1B C 所成的角．显然三角形是等边三角型，所以．应选D ．同时可以判断其它选项是错误的．考点：异面直线所成的角及其是否垂直的问题．ˆybx a =+，那么 x3 4 5 6 y43A.0,0a b >>B.0,0ab ><C.0,0a b <<D.0,0a b <> 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归直线的函数特征，结合题中数据，即可判断出结果. 【详解】由表中数据可得，随着x 的增大，y 越来越小，所以0b <；又3x =时， 4.5y =，所以当0x =时，必有ˆ 4.50=>>ya . 应选B【点睛】此题主要考察回归直线的函数特征，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型. 7.执行如下列图的程序框图，当15p =时，那么输出的n 值是A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】执行程序框图如下： 输入：15p =，初始值：1,0n S ==，第一步：015=<S ，进入循环体，0021S =+=，112n =+=； 第二步：115=<S ，进入循环体，1123S =+=，213n =+=； 第三步：315=<S ，进入循环体，2327S =+=，314n =+=； 第四步：715=<S，进入循环体，37215S =+=，415n =+=；第五步：1515==S ，完毕循环，输出5n =；应选C【点睛】此题主要考察循环程序框图输出的结果，逐步执行框图，即可得出结果.3()x xe ef x x --=的局部图象大致是A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先由奇偶性的定义，判断3()x xe ef x x --=为偶函数，排除CD ，再由特殊值验证，即可得出结果.【详解】因为3()x xe ef x x --=，所以33()()-----===-x x x xe e e ef x f x x x， 所以3()x xe ef x x --=为偶函数，排除CD ；又222232(28)----==e e e ef ，666366216(6)----==e e e e f ，所以6442642(6)531 2.7121627278121(2)27---+-+==>>=>-++e e f e e e e f所以(6)(2)>f f ，排除B应选A【点睛】此题主要考察函数图像的识别，熟记函数奇偶性，以及特殊值的方法判断即可，属于常考题型.()sin 22f x x x =+的图像向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，那么()g x 的单调递减区间是A.3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B.,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.2,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】先将()f x 化为2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得到()2sin 2=-g x x ，再由正弦函数的增区间，即可得出结果.【详解】因为()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将其图像向左平移3π个单位长度，得到()2sin 22sin 233ππ⎛⎫⎛⎫=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x x x ，由222,22ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，得,44ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ， 所以()g x 的单调递减区间是,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦应选B【点睛】此题主要考察三角函数的单调区间，熟记三角函数的平移原那么，以及正弦函数的单调性即可，属于常考题型.ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，那么BF =〔〕A.1324AD AB - B.3142AB AD - C.4132AB AD - D.1324AB AD + 【答案】A 【解析】 【分析】 先由F 为AE 的中点，得到1122=+BF BA BE ，再由E 为CD 的中点，结合平面向量根本定理，即可得出结果. 【详解】因为F 为AE 的中点，所以1111122222=+=-++BFBA BE AB BC CE ， 又在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，所以1111111322222424=-++=-+-=-BF AB BC CE AB AD AB AD AB .应选A【点睛】此题主要考察用基底表示向量，熟记平面向量的根本定理即可，属于常考题型.33(0)()log (0)x x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，假设()0f x a -=有三个不同的实数根，那么实数a 的取值范围是A.01a <<B.01a <≤C.01a ≤<D.01a ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】先作出函数的图像，()0f x a -=有三个不同的实数根，化为函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，结合图像，即可得出结果.【详解】作出函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩图像如下：又()0f x a -=有三个不同的实数根，所以函数33(0)()log (0)xx f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩与直线y a =有三个交点，由图像可得：01a <≤. 应选B【点睛】此题主要考察根据函数零点的个数求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的性质，利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，12(,0),(,0)F c F c -分别是双曲线的左右焦点，I 为12PF F ∆的内心，假设12123∆∆∆=+IPF IF F IPF S S S ，那么双曲线的离心率为A.6D.3【答案】B 【解析】 【分析】先设圆I 与12PF F ∆的三边12F F ，1PF ，2PF 相切于点E ，F ，G ，连接IE ，IF ，IG ，用内切圆半径表示出12IF F ∆，1∆IPF ，2∆IPF的面积，再由12123∆∆∆=+IPF IF F IPF S S S ，结合双曲线的定义，即可得出结果.【详解】如图，设圆I 与12PF F ∆的三边12F F ，1PF ，2PF 相切于点E ，F ，G ，连接IE ，IF ，IG ，那么12⊥IE F F ，1⊥IF PF ，2⊥IG PF ，它们分别是12IF F ∆，1∆IPF ，2∆IPF 的高，所以1111122∆=⋅=⋅IPFS PF IF PF r ，2221122∆=⋅=⋅IPF S PF IG PF r ，1212121122∆=⋅=⋅F IF S F F IE F F r ，其中r 为12PF F ∆的内切圆半径；因为12123∆∆∆=+IPF IF F IPF SS S ，所以11221122⋅=⋅+⋅PF r F r PF r ，所以1212-=PF PF F ，由双曲线的定义可得：23=a，因此双曲线的离心率为==ce a. 应选B【点睛】此题主要考察求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。
高三数学9月阶段性考试试题含解析试题
四校联考2021届高三数学9月阶段性考试试题〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.假设“01x <<〞是“()()20x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦〞的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. []1,0- B. ()1,0-C. (][),01,-∞⋃+∞ D. (][),10,-∞-⋃+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：记{}{}|01,|2A x x B x a x a =<<=≤≤+，因为p 是q 的充分而不必要条件，所以A ÜB ，所以0,{21a a ≤+≥，解得10a -≤≤.应选A.考点：充分条件、必要条件、充要条件.【方法点睛】集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：{}|()A x p x =成立，q ：{}|()B x q x =成立，那么：①假设A B ⊆，那么p 是q 的充分条件；假设A ÜB 时，那么p 是q 的充分不必要条件；②假设B A ⊆，那么p 是q 的必要条件；假设B ÜA 时，那么p 是q 的必要不充分条件；③假设A B ⊆且B A ⊆，即A B =时，那么p 是q 的充要条件.此题考察充分条件、必要条件、充要条件的判断，其中分别求出满足A ÜB 的a 的取值范围是解答此题的关键.属于根底题.x ，y 满足不等式组021003530x y x y x y ⎧-≥⎪--≤⎨⎪+-≥⎩那么2x ＋y 的最大值是A. 11B. 23C. 26D. 30【答案】D 【解析】【详解】满足不等式组021003530x y x y x y ⎧-≥⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,可行域如下图，设2z x y =+,即2y x z =-+，平移直线，由图象可知当直线经过点D 时， 直线2y x z =-+的截距最大，此时最大，由02100x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得1010x y =⎧⎨=⎩，即(10,10)D ，代入得230z x y =+=，所以最大值为30，应选D.点评：此题考察的知识点是简单的线性规划，其中角点法是解答线性规划小题最常用的方法，一定要纯熟掌握．3.以下命题中错误的选项是〔 〕A. 假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l γ⊥B. 假如平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC. 假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD. 假如平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的断定定理，与面面垂直的性质定理判断即可。
2021届百万联考高三9月联考数学试题(解析版)
2021届百万联考高三9月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}2x x ≥- C ．{}16x x <≤ D ．{}6x x ≥-【答案】C【解析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数1iz i=+，则=z （ ） A ．1122i + B ．1122i -C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简z ，由此求得z . 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i ⋅-+====+++⋅-，则1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数，考查运算求解能力.3．某年1月25日至2月12日某旅游景区A 及其里面的特色景点a 累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（）A．1月29日景区A累计参观人次中特色景点a占比超过了1 3B．2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了9700人次C．2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率大于特色景点a累计参观人次的增长率D．2月8日至2月10日景区A累计参观人次的增长率小于2月6日到2月8日的增长率【答案】D【解析】根据折线图逐个计算各选项中的数据，从而得到正确的选项.【详解】1月29日景区A累计参观人次中特色景点a的占比为1717152513<=，故A错误；2月4日至2月10日特色景点a累计参观人次增加了980060003800-=人次，故B 错误；2月6日至2月8日特色景点a累计参观人次的增长率为0.880.7470.7437-=，2月6日至2月8日景区A累计参观人次的增长率为1.88 1.67211.67167-=，因为7212137111167=>，所以C错误；2月8日至2月10日景区A累计参观人次的增长率为2.09 1.88211.88188-=，因为2121188167<，所以D正确.故选：D.【点睛】本题考查统计图表及其应用，考查学生的数据处理能力和计算能力，本题属于基础题.4．“23sin sin cos 20ααα--=”是“tan 2α=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先解方程，再根据解的情况可判断两者之间的条件关系. 【详解】因为23sin sin cos 20ααα--=，所以22sin sin cos 2cos 0αααα--=，即()()sin 2cos sin cos 0αααα-+=，sin 2cos 0αα-=或sin cos 0αα+=，若cos 0α=，则sin 0α=，这与22sin cos 1αα+=矛盾，故cos 0α≠，所以tan 2α=或tan 1α=-，故“23sin sin cos 20ααα--=是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变换与必要不充分条件，考查推理论证能力和运算求解能力，本题属于基础题. 5．函数()22sin 1x f x x -=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断出()f x 为偶函数，然后结合06x π<<时，()f x 为负数，确定正确选项. 【详解】因为()()()222sin 12sin 1x x f x f x x x ----===-，所以()f x 是偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称，排除C ，D ；当06x π<<时，()0f x <，排除B.故选：A 【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.6．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，则AE =（ ）A ．3142AD AF + B ．1122AD AF + C ．1324AD AF +D ．12AD AF +【答案】A【解析】根据平面向量的加法法则运算可得解. 【详解】由题意可得12AE AD DE AD AB =+=+，12AB AF FB AF AD =+=-， 则3142AE AD AF =+. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力.属于基础题.7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（ ）A ．37B ．47C ．314D ．1114【答案】A【解析】由从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，得到基本事件的个数为28C 种，这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 种，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有2828C =种，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有234C 12=， 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率123287P ==. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算，以及组合的概念及组合数的计算，其中解答中正确理解题意，根据组合数的计算公式求得基本事件的总数及所求事件所含有的基本事件的个数是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，延长AF ，交双曲线C 于点M ，若2MF AF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A．B ．73CD ．3【答案】B【解析】设AF m =，结合已知条件和双曲线的定义求得MF ，AF '，MF '，利用余弦定理列方程，解方程求得,a c ，由此求得离心率. 【详解】如图，设双曲线C 的左焦点为F '，连接AF '，BF '.设AF m =，则2MF m =，2AF a m '=+，22MF a m '=+.由双曲线的对称性可知四边形AFBF '是平行四边形，且60F AF '∠=︒，则2222222cos 2cos FF AF AF AF AF F AF MF AM AF AM AF F AM⎧=+-⋅⋅∠⎪⎨=+-⋅''''''⋅∠''⎪⎩，即()()()()()()222222422223232c m a m m a ma m m a m m a m⎧=++-+⎪⎨+=++-+⎪⎩，解得310710a mc m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故73cea==. 故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力.二、多选题9．下列不等式不一定成立的是（）A．若a b>，则22a b>B．若0a b>>，则b b ma a m+<+C．若4ab=，则4a b+≥D．若22ac bc>，则a b>【答案】ABC【解析】利用不等式的性质，用排除法逐项排除.【详解】对于A，当1a=-，2b=-时，22a b<，故A不一定成立；对于B，()()()()()b a m a b m b a mb b ma a m a a m a a m+-+-+-==+++，因为0a b>>，所以0b a-<，当0a m+>，0m<时，()()0b a ma a m->+，即b b ma a m+>+，故B不一定成立；对于C ，当0a <，0b <时，4a b +≤-，故C 不一定成立； 对于D ，因为22ac bc >，所以20c >，所以a b >，故D 一定成立. 故选：ABC. 【点睛】本题考查不等式的性质，考查推理论证能力.10．已知,M N 是函数())2cos 04f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴的两个不同的交点，若MN 的最小值是4π，则（ ） A ．2ω=B ．()f x 在5,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．()f x 在[]0,3π上有6个零点 【答案】AC【解析】根据题设条件，结合三角函数的图象与性质，求得函数()2cos 24f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，由三角函数的图象与性质，可得min 1||4MN T =，即1244ππω⨯=，解得2ω=，则()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由()222,4k x k k Z ππππ-≤+≤∈，解得()5,88k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 当0k =时，588x ππ-≤≤-， 因为55,0,888πππ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在5,08π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调， 由()2,4x k k Z ππ+=∈，解得(),28k x k Z ππ=-∈， 即()f x 的对称轴方程是(),28k x k Z ππ=-∈， 当0k =时，8x π=-，则()f x 的图象关于直线8x π=-对称，因为[0,3]x π∈，所以252,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由()0f x =，即2cos(2)42x π+=，可得244x ππ+=，7915172325,,,,,444444ππππππ， 即37110,,,,2,,3444x ππππππ=，故()f x 在[]0,3π上有7个零点. 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据题意求得函数的解析式，熟练应用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理论证能力，属于中档试题.11．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ） A ．PD ⊥平面ABCD B ．//PD 平面ACE C ．2PB AE = D ．PC AE ⊥【答案】BC【解析】对于A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误.对于B ，根据//OE PD 可得//PD 平面ACE ，故B 正确.对于C ，根据侧面PAD ⊥平面ABCD ，可推得AB PA ⊥，从而可得2PB AE =，故C 正确.对于D ，通过计算可知，只有PD ⊥平面ABCD ，才能得到PC AE ⊥，故D 错误. 【详解】如图，对于A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误.对于B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.对于C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.对于D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点，所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==，则1122EF PC ===AF ==.因为EF AE ⊥，所以AE ==PB =.因为2PD =，PB =，BD =222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了平面与平面垂直的性质定理，空间两点之间的距离，考查空间想象能力与推理论证能力.属于基础题.12．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（2）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列结论正确的是（ ）A ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =B ．直线:33l y x =-+在点()1,0P 处“切过曲线32:32C y x x =-+ C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:x C y xe =D ．直线33212:2l y x e e =-+在点32323,2P e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处“切过”曲线ln : x C y x = 【答案】ABD【解析】分别求得曲线的导数，可得切线的斜率，得到切线方程，分别判断切点附近曲线的是否在直线两侧， 即可得到结论. 【详解】对于A ，由sin y x =，得cos y x '=，则01x y ='=从而可得曲线sin y x =在点()0,0P 处的切线为y x =. 当02x π-<<时，sin x x <，当02x π<<时，sin x x >，则曲线sin y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，故A 正确.对于B ，由3232y x x =-+，得236y x x '=-，则13x y ='=-，从而可得曲线3232y x x =-+在点()1,0P 处的切线为33y x =-+.因为()()33232331x x x x -+--+=-，故当1x <时，323233x x x -+<-+，当1x >时，323233x x x -+>-+， 则曲线3232y x x =-+在点()1,0P 附近位于直线l 的两侧，故B 正确.对于C ，由x y xe =，得()1xy x e '=+，则01x y ='=，从而可得曲线x y xe =在点()0,0P 的切线为y x =.因为()10xxy xe x x e =-=-≥，所以x xe x ≥，则曲线xy xe =在点()0,0P 附近位于直线l 的同侧，故C 错误.对于D ，由ln x y x =得21ln x y x -'=，则32312x e y e ==-'，从而可得曲线ln x y x=在点32323,2P e e ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭处的切线为332122y x e e =-+.令()33212ln 2x x F e ex x -+-=，则320F e ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()3211ln 2x e F x x ---'=， ()3211ln 2x e x g x ---=，故33223311ln =02e e e e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭---且()232ln g x x x -'=， 当320x e <<时，()0g x '>；当32x e >时，()0g x '<，故()g x 在320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，故在320,e ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0g x <，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x <故()0F x '<当且仅当32x e =时等号成立，故当320x e <<时，()0F x >，当32x e >时，()0F x <， 故当32x e<时，33212ln 2e e x x x -+>，当32x e >，33212ln 2e e x x x -+<，则曲线ln xy x =在点32323,2P e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭附近位于直线l 的两侧，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查新定义的理解，考查转化思想与抽象思维能力，考查运算能力，属于综合题题.三、填空题13．若抛物线()2:20C y px p =>的焦点在直线:230l x y +-=上，则p =______.【答案】6【解析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数p 的值. 【详解】由题意可得抛物线C 的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则302p -=，解得6p.故答案为：6. 【点睛】本题考查利用抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 14．若()202022020012202012x a a x a x a x +=++++，则32020122320202222a a a a -+-++=______. 【答案】1-【解析】令()()202012f x x =+，利用赋值法可得()32020122320201022222a a a a f f ⎛⎫-+-++=-- ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】 令()()202012f x x =+，则()001a f ==，320201202320201022222a a a a a f ⎛⎫-+-++=-= ⎪⎝⎭，因此，()320201223202010122222a a a a f f ⎛⎫-+-++=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用赋值法计算项的系数和，考查计算能力，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()23log 1f x x x =++，若()5f m ≥，则m 的取值范围是______. 【答案】](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣【解析】根据函数的奇偶性和对数函数的性质，得到函数()f x 在()0,∞+和(),0-∞上单调递增，且()25f =，()25f -=-，结合不等式()5f m ≥，即可求解. 【详解】由题意，当0x >时，()()23log 1f x x x =++，根据对数函数的性质，可得()f x 在()0,∞+上单调递增，且()25f =，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()25f -=-， 又由()5f m ≥，即()5f m ≥或()5f m ≤-，所以2m ≥或2m ≤-. 即实数m 的取值范围是](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣. 【点睛】本题主要考查了函数基本性质的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，以及函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四、双空题16．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为144，点P 是正方形1111D C B A 的中心，点,,,,P A B C D 都在球O 的球面上，其中球心O 在长方体1111ABCD A B C D -的内部.已知球O 的半径为R ，球心O 到底面ABCD 的距离为2R，则R =______.过AB 的中点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是______. 【答案】4 6π【解析】根据长方体1111ABCD A B C D -的体积可求得4R =，分析可知，当OE ⊥截面时，截面面积达到最小，根据勾股定理求出OE =r =用圆的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知正方形ABCD 的对角线长为=，则正方形ABCD ，故长方体1111ABCD A B C D -的体积为2314422R⎛⎫= ⎪ ⨯⎪⎝⎭，解得4R =.当OE ⊥截面时，截面面积达到最小，此时OE ==则截面圆的半径r ==故截面圆的面积为26r ππ=. 故答案为：4；6π. 【点睛】本题考查简单几何体及其外接球，考查空间想象能力，考查了长方体的体积公式，属于基础题五、解答题17．在①18a =-，27a =-，()11,n n a ka n k ++=+∈∈N R ；②若{}n a 为等差数列，且36a =-，72a =；③设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()211722n S n n n +=-∈N 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在数列{}n a 中，______.记123n n T a a a a =++++，求20T .【答案】选择①，102；选择②，102；选择③，102.【解析】若选择①，由递推公式求出通项公式；若选择②，有等差数列的性质求通项公式；若选择③，由1n n n a S S -=-求出数列通项公式，再根据通项公式得出()()()()2012389101120T a a a a a a a a =-+-+-++-+++++()()12389101120a a a a a a a a =-+++++++++由等差数列前n 项和的求法即可求解.【详解】 若选择①，因为11n n a ka +=+，所以211a ka =+，即817k -+=-，解得1k =， 则11n n a a +-=，从而数列{}n a 是首项为-8，公差为1的等差数列， 故()119n a a n d n =+-=-； 若选择②，因为36a =-，72a =-，所以126a d +=-，162a d +=-， 解得18a =-，1d =， 故()119n a a n d n =+-=-； 若选择③，因为211722n S n n =-，所以11117822a S ==-=-， 当2n ≥时，()()2211171191192222n S n n n n -=---=-+， 则()192n n n a S S n n -=-=-≥， 因为18a =也满足上式，所以9n a n =-. 由0n a ≥，得9n ≥故()()()()2012389101120T a a a a a a a a =-+-+-++-+++++()()12389101120a a a a a a a a =-+++++++++()()8180111222--⨯+⨯=-+102=.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，以及等差数列的性质，考查学生的运算求解能力，和逻辑思维能力.18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22cos 32BB =. （1）求角B ；（2）若D 是AC 的中点，且b =BD =ABC 的周长.【答案】（1）3B π=；（2）周长为10+【解析】（1）根据22cos32B B +=，化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解；（2）分别在ABD △和BCD 中，应用余弦定理，结合cos cos 0ADB BDC ∠+∠=，求得2252a c +=，再在ABC 中，再结合余弦定理求得a c +的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为22cos 32BB =，可得cos 13B B +=. 所以2sin 26B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0B π<<，所以62B ππ+=，所以3B π=.（2）因为D 为AC 的中点，所以AD CD ==在ABD △中，因为AD =BD =2cosADB ∠=.在BCD 中，因为CD =BD =2cosBDC ∠=因为ADB BDC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB BDC ∠+∠=， 即227197190c a +-++-=，即2252a c += ①在ABC 中，由余弦定理可得222b a c ac =+-，即24ac =②联立①②，解得10a c +==.故ABC 的周长为10a b c ++=+【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC 是等边三角形，PA PB =.（1）证明：AB PC ⊥.（2）若7PA PC =23AB =A PC B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（237. 【解析】（1）要证明AB PC ⊥，只需证明AB ⊥平面PCD ，将证明线线垂直转化为证明线面垂直，即可求得答案；（2）以D 为原点，DB ，DC 的方向分别为,x y 轴的正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面PBC 的法向量n 和平面PAC 的法向量m ，根据cos ,n m n m n m⋅=，即可求得答案.【详解】取AB 的中点D ，连接PD ，CD .PA PB =， ∴AB PD ⊥.底面ABC 是等边三角形，∴AC BC =， ∴AB CD ⊥PD CD D ⋂=，∴AB ⊥平面PCD .PC ⊂平面PCD ， ∴AB PC ⊥.（2）由（1）可知AB ⊥平面PCD ，则以D 为原点，DB ，DC 的方向分别为,x y 轴的正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴的正方向，建立的空间直角坐标系D xyz -.23AB =7AP =，∴3AD BD ==∴3CD =，732PD =-=.则4971cos 2232PDC ∠+-==⨯⨯，从而(3P ，()3,0,0A -，)3,0,0B，()0,3,0C ，故(0,2,3PC =-，)3,3,0AC =，()3,3,0BC =-.设平面PBC 的法向量为()111,,n x y z =，则1111230330n PC y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令13x =，得()3,3,2n =--， 设平面PAC 的法向量为()222,,m x y z =，则2222230330m PC y z m BC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令23x =，得()3,3,2m = 从而9341cos ,448n m n m n m⋅--===⨯.故二面角A PC B --的正弦值为378. 【点睛】本题主要考查了异面直线垂直和二面角的余弦值，解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的证法和向量法求二面角的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是12，且椭圆C 经过点33,2P ⎫⎪⎪⎭，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2MF FN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（220y ±+=. 【解析】（1）依题意得到方程组222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得即可； （2）设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由2MF FN =，可得122y y -=，从而求出参数的值， 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .由题意可得222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得24a =，23b =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -当直线l 的斜率为0时，()2,0M -，()20N ，或()20M ，，()2,0N -， 此时2MF FN ≠，不符合题意.当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y .联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则1212229,63434y y y y m m m ==-+++， 因为2MF FN =，所以122y y -=.从而1222634my y y m +=-=+，21221222269,23434m y y y y y y m m +=-==-=-++， 则2226923434m m m ⎛⎫-⨯=- ⎪++⎝⎭，解得m =.故直线l 20y ±=. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.21．生活垃圾分类工作是一项复杂的系统工程，须坚持“政府推动､部门联运､全面发动､全民参与”原则.某小学班主任为了让本班学生能够分清干垃圾和湿垃圾，展开了“垃圾分类我最行”的有奖竞答活动.班主任将本班学生分为,A B 两组，规定每组抢到答题权且答对一题得1分，未抢到答题权或抢到答题权且答错得0分，将每组得分分别逐次累加，当其中一组得分比另一组得分多3分或六道题目全部答完时，有奖竞答活动结束，得分多的一组的每一位学生都将获得奖品一份.设每组每一道题答对的概率均为23，A 组学生抢到答题权的概率为12. （1）在答完三题后，求A 组得3分的概率；（2）设活动结束时总共答了X 道题，求X 的分布列及其数学期望()E X . 【答案】（1）127；（2）分布列答案见解析，数学期望509. 【解析】（1）算出A 组得1分的概率后可得答完3题后A 组得3分的概率.（2）X 的可能取值为3，4，5，6，利用二项分布可求X 的分布列，再利用公式可求数学期望. 【详解】（1）由题意可知每道题A 组得1分的概率为121233⨯=， 故答完3题后，A 组得3分的概率311327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）由A 组学生抢到答题权的概率为12，可知B 组学生抢到答题权的概率为11122-=， 则每道题的答题结果有以下三种： ①A 组得1分，B 组得0分，此时的概率为121233⨯=；②A 组得0分，B 组得1分，此时的概率为121233⨯=； ③A 组得0分，B 组得0分，此时的概率为1111333--=. 由题意可知X 的可能取值为3，4，5，6.()31232327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()223111242C 33327P X ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()224231411111252C C 3333327P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()2227612727279P X ==---=， 则X 的分布列为故222750345627272799EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等）. 22．已知函数()()21x f x e a x ex =---. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 参考数据： 2.72e ≈，ln 20.69≈.【答案】（1）减区间为(),1-∞，增区间为()1,+∞；（2）(],1-∞.【解析】（1）当0a =时，求得()xf x e e '=-，分析导数的符号变化，由此可求得函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）由()00f ≥可得1a ≤，可得出()()21xf x e x ex ≥---，构造函数()()21x g x e x ex =---，利用导数证明出()0g x ≥对一切0x ≥恒成立，由此可求得实数a 的取值范围.第 1 页 共 6 页 【详解】（1）当0a =时，()x f x e ex =-，则()xf x e e '=-. 令()0f x '<，得1x <；令()0f x '>，得1x >.故函数()y f x =的单调递减区间为(),1-∞，调递增区间为()1,+∞；（2）因为当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，且()10f =，由()010f a =-≥，可得1a ≤.因为1a ≤，所以()()()2211x x f x e a x ex e x ex =---≥---，设()()21x g x e x ex =---，则()()21x g x e x e '=---. 设()()()21x h x g x e x e '==---，则()2xh x e '=-. 令()0h x '>，得ln 2x >；令()0h x '<，得0ln 2x <<.故函数()y h x =在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，因为()()0030h g e '==->，()()ln 2ln 242ln 20h g e '==--<，()()110h g '==，所以存在()00,ln 2x ∈，使()00g x '=.当00x x <<或1x >时，()0g x '>；当01x x <<时，()0g x '<.则函数()y g x =在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 因为()()010g g ==，所以()0g x ≥对一切的0x ≥恒成立.故a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。
2021届高考9月份联考试题理科数学试卷附答案解析
2021届普通高中教育教学质量监测考试全国卷理科数学注意事项：1 .本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3 .全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4 .本试卷满分150分，测试时间120分钟。
5 .考试范画：必修1〜5,选修2 — 1, 2-2, 2—3。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
1.若 z=2—L 则区一zl= A3 B.2 C. VTO D.V262,若集合 A={xly=k )g3(x2—3x-18)}, B={-5, -2, 2, 5, 7),则 AAB = A.{—2, 2, 5}B.{-5, 7}C.{-5, -2, 7}D.{-5, 5, 7)3.我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图(1)为北京某宫殿建筑，图(2)为该宫殿某一 “柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1,则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为94•已知抛物线G ： y2=6x 上的点M 到焦点F 的距离为一,若点N 在Cz ： (x+2)2+y 2=l ・ 2则点M 到点N 距离的最小值为A.A /26-1B.>/43-1C.V33-1D.25.根据散点图可知，变量x, y 呈现非线性关系。
为了进行线性回归分析，设u=21ny, v=(2x -3)2,利用最小二乘法，得到线性回归方程u=-1v+2,则3B.变量y 的估计值的最小值为eA.变量y 的估计值的最大值为e图⑴ 图⑵A.9TT +9+9 B.18 兀+18 点 +9 C.18 兀+18& +18D.18TT +91 + 18C 变量y 的估计值的最大值为e 2 D.变量y 的估计值的最小值为e 26,函数f(x)=h]2x —x3的图象在点(1, f(L))处的切线方程为 2 25 3 5 c — 1 1 、1 A. y = — x--B. y = — —x + 2C. y = —x--D. y = --x44 44447,已知函数 f(x)=3cos(sx+<p)(3>0),若 f (一二)=3, f( —)=0,则 3 的最小值为3 31 3 A.-B.-C.2D.3248 .(3x-2)2(x-2)6的展开式中，X”的系数为 A.O B.4320C.480D.38409 .已知圆C 过点(1, 3), (0, 2), (7, -5),直线/： 12x-5y —1=0与圆C 交于M, N 两点, 则 IMNI = A.3B.4C.6D.8 10・已知角a 的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1, m),其中m>0：若tan2a12 rll—,则 cos(2a+ni7i) = 6「 口A.— —B.— —131311 .已知三棱锥S-ABC 中，ZiSBC 为等腰直角三角形，ZBSC=ZABC = 90°, ZBAC=2Z BCA, D, E, F 分别为线段AB, BC, AC 的中点，则直线SA, SB, AC, SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有A.1条B.2条 C3条 D.4条e x212.已知函数f(x)= — —m(h]x+x+ —)恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为 x x11 1 c c 1 eA.(-8, _] B,(一，+8) C.(一，-)U (- , 4-oo)D .(—8, —]U(—，+8)222 332 3第n 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
新高考数学复习专题-专题二十 统计与统计案例(原卷版)
专题二十 统计与统计案例一、单选题1．（2021·河南高二月考（文））有下列四个命题：（ ） ①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ③若数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为1，则12x ，22x ，…2n x 的平均数为2； ④对分类变量x 与y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握越大．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2021·全国高二课时练习）若由一个22⨯列联表中的数据计算得2 4.013K =，那么有（ ）把握认为两个变量有关系.20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．95%B ．97.5%C ．99%D ．99.9%第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题3．（2021·广东汕头市·高三一模）为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A ”、“B ”、“C ”三个等级，,A B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如表所示：等级ABC频数 100 75 25（表二）合格品 次品 合计 甲 80 乙 5 合计在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），并判断是否有99.5%的把握认为产品的合格率与技术升级有关？（2）每件玩具的生产成本为20元，,A B 等级产品的出厂单价分别为m 元、40元．若甲生产线抽检的玩具中有35件为A 等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，则A 等级产品的出产单价为多少元？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k3.841 5.024 6.635 7.879 10.8284．（2021·河南高二月考（文））某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下22⨯列联表：积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计 学习积极性高 18725 学习积极性一般ab25 总计cd50如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225． （1）求a ，b ，c ，d 的值．（2）试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.8285．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表： 土地使用面积x （单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间y （单位：月）911142620并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民 140 60 女性村民40（1）求相关系数r 的大小（精确到0.01），并判断管理时间y 与土地使用面积x 的线性相关程度；（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？参考公式：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：()20P K k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82848522.02≈．6．（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表：综合评价成绩（单位：分） [40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)频数 510151055赞成人数4812431（1）请根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答：是否有95%的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？综合评价成绩小于80分的人数综合评价成绩不小于80分的人数合计赞成 不赞成 合计（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在[60，70)，[70，80)的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在[60，70)的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：P()20Kk ≥0.10 0.050.010 0.005 k 02.7063.8416.6357.8797．（2021·全国高三月考（理））某购物网站统计了,A B 两款手机在2020年7月至11月的总销售量y （单位：百部），得到以下数据： 月份x 7 8 9 10 11 销售量y100120110120200（Ⅰ）已知销售量y 与月份x 满足线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程，ˆˆˆybx a =+，并预测12月的手机销售量； （Ⅱ）网站数据分析人员发现：,A B 两款手机11月的销售量与顾客性别有关.请填写下面的22⨯列联表，并判断能否有超过99.5%的把握认为“,A B 两款手机11月的销售量与顾客性别有关”？男性顾客女性顾客合计A 款销售量90B 款销售量50合计90参考公式：()()()121niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-， ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.010 0.005 0.0010k6.6357.879 10.8288．（2021·湖北高三月考）近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y (单位：cm)与一定范围内的温度x (单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用y a x =+dy c x=+建立y 关于x 的回归方程，令s x =，1t x=得到如下数据： xyst10.15109.943.040.16113ni ii s y s y =-⋅∑ 13113i ii t yt y =-⋅∑1322113ik ss =-∑1322113ii tt =-∑1322113ii yy =-∑13.94 -2.1 11.67 0.21 21.22且(i s ，i y )与(i t ，i y )(i ＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为1r ，2r ，且2r ＝﹣0.9953． （1）用相关系数说明哪种模型建立y 与x 的回归方程更合适； （2）根据（1）的结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知蕲艾的利润z 与x 、y 的关系为1202z y x =-，当x 为何值时，z 的预报值最大．参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，247.637415.7365，对于一组数据(i u ，i v )(i ＝1，2，3，…，n )，其回归直线方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni i i nii u vnu v unuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=-，相关系数222211ni i nniii i u vnu vr unu vnv==-⋅=-⋅-∑∑∑．9．（2021·辽宁高三期末（文））2019年4月，中国电信公布了2019年的终端洞察报告，其中，国产手机品牌表现抢眼，统治地位不容置疑.在2018年6—11月上市的新机中，用户最满意机型与用户推荐机型的项目中国产手机优势明显，华为及荣耀手机分别占据不同价位段的榜单第一，OPPO ､vivo ､小米､魅族均有机型占据榜单.在用户满意机型调研项目中，曾经位于神坛地位的苹果手机也仅仅只有iPhoneXR 一款位列第三.最满意度机型TOP3 中国电信大于3500 2500-3499 1500-2499 1000-1499 1000元以下 第一名华为P30 ProvivoiQoo荣耀9X Vivo Z5x华为畅享9e第二名三星S10+荣耀20Pro红米K20ProOPPO A9红米7第三名iPhone XRVivo X27化为 麦芒8华为畅享9plus中兴BladeA7 （1）从上表中“华为(不含荣耀)”和“iPhoneXR ”的5个机型中任取2个，求这两个机型都是华为的概率；（2）测试数据源于消费者的反馈，从反馈信息中随机抽取500个“华为畅享9plus ”消费者，其中来自城市300个，来自农村200个，统计他们对“华为畅想9plus ”的满意情况如下：满意不满意城市 270 30 农村17030根据上表数据，问是否有95%的把握认为消费者是否满意与城市用户还是农村用户有关？(附：()()()()()22n ad bc X a b c d a c b d -=++++；当2 3.841X >时，有95%的把握说事件A与B 有关；当2 6.635X >时，有99%的把握说事件A 与B 有关；当2 3.841X ≤时，认为事件A 与B 是无关的)10．（2021·全国高三其他模拟）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策的引导与社会观念的转变，大学生的创业意识与就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数i y （单位：万元）与时间i t （单位：年）的数据，列表如下：i t1 2 3 4 5i y2.4 2.7 4.1 6.4 7.9（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若0.75r>，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为25，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．（ⅰ）某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得100元现金奖励的概率（ⅱ）某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择方案一返回200元现金，还是选择方案二参加四次抽奖？说明理由．附：相关系数公式：()()()()()()1122221111nnii i ii i nnnniiiii i i i tt y y t yntyr tt yy tt yy ======---=----∑∑∑∑∑∑，参考数据：56.957.547≈，5185.2i i i t y ==∑，()52110i i t t =-=∑，()52122.78i i y y =-∑11．（2021·全国高三其他模拟）人均可支配收入是反映一个地区居民收入水平和城市经济发展水平的重要指标，并且对人均消费水平有重大影响，下图是根据国家统计局发布的《2020年上半年居民收入和消费支出情况》绘制的，是我国31个省（区、市）2020年上半年人均可支配收入x （单位：元）与人均消费支出y （单位：元）的散点图．（1）由散点图可以看出，可以用线性回归模型ˆˆybx a =+拟合人均消费支出y 与人均可支配收入x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的线性回归方程（精确到0.01）；（3）根据（2）的结论，规定半年人均盈余（人均可支配收入-人均消费支出）不低于4620元的省（区、市）达到阶段小康的标准，则估计达到阶段小康标准的省（区、市）的半年人均可支配收入至少为多少元？ 参考数据：xy()3121=-∑ii xx()()311=--∑ii i xx y y()3121=-∑ii xx()3121=-∑ii yy15500 9632 1412000000 683900000 38000 18400参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 12．（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））某校高二生物研究性学习小组的同学们为了研究当地某种昆虫的产卵数与温度的变化关系，他们收集了一只该种昆虫在温度C x ︒时相对应产卵数个数为y 的8组数据，为了对数据进行分析，他们绘制了如下散点图：（1）根据散点图，甲、乙两位同学分别用y bx a =+和z dx c =+（其中ln z y =）两种模型进行回归分析，试判断这两位同学得到的回归方程中，哪一个的相关指数2R 更接近1；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结论选定上述两个模型中更适宜作为对昆虫产卵数与温度变化关系进行回归分析的模型，并利用下表中数据，计算该模型的回归方程： （方程表示为()y f x =的形式，数据计算结果保留两位小数） xyz81i ii x y =∑81i i i x z =∑821ii x=∑26 72 3.3 11871 757 5722（3）据测算，若只此种昆虫的产卵数超过4e ，则会发生虫害.研究性学习小组的同学通过查阅气象资料得知近期当地温度维持在25C ︒左右，试利用（2）中的回归方程预测近期当地是否会发生虫害.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,nl i i ni i u v nuvv u unu βαβ==-==--∑∑. 13．（2021·全国高三月考（文））2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功.某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组; [)[)[]30,40,40,50,,90,100⋯，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估计这100名学生测试分数的中位数；（2）把分数不低于80分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关： 男生 女生 优秀 不优秀附：20()P K k ≥0.050 0.010 0.0010k 3.841 6.635 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ （3）对于样本中分数在[)[]80,90,90,100的人数，学校准备按比例从这2组中抽取12人，在从这12人中随机抽取3人参与学校有关的宣传活动，记这3人分数不低于90分的学生数为,X 求X 的分布列.14．（2021·江西高三其他模拟（文））某疫苗进行安全性临床试验.该疫苗安全性的一个重要指标是：注射疫苗后人体血液中的高铁血红蛋白（MetHb ）的含量（以下简称为“M 含量”）不超过1%，则为阴性，认为受试者出现血症.若一批受试者的M 含量平均数不超过0.65%，出现血症的被测试者的比例不超过5%，同时满足这两个条件则认为该疫苗在M 含量指标上是“安全的”；否则为“不安全”.现有男、女志愿者各200名接受了该疫苗注射.经数据整理，制得频率分布直方图如图.（注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表.）（1）请说明该疫苗在M 含量指标上的安全性；（2）按照性别分层抽样，随机抽取50名志愿者进行M 含量的检测，其中女性志愿者被检测出阳性的恰好1人.请利用样本估计总体的思想，完成这400名志愿者的22⨯列联表，并判断是否有超过95%的把握认为，注射该疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关？性别 阴性阳性男 女 合计阳性 阴性合计附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.()2P K k≥0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.82815．（2021·全国高三专题练习（文））在关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的统计图表：（Ⅰ）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄；（Ⅱ）根据所给的数据，完成下面的列联表：是否佩戴头盔年龄是否[)20,40[]40,70（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82816．（2021·全国高三专题练习（文））针对偏远地区因交通不便､消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如下表：人均可支配年收入(元)电商扶贫年度总投入(万元)(5000，10000] (10000，15000] (15000，20000] (0，500] 5 3 2(500，1000] 3 21 6(1000，3000) 2 34 24（1）估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；（2）根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.人均可支配年收入≤10000元人均可支配年收入>10000元电商扶贫年度总投入不超过1000万电商扶贫年度总投入超过1000万附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k ≥0.050 0.01 0.005 k3.8416.6357.87917．（2021·全国高三专题练习（文））为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）： 男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170 女：165 166 156 170 163 162 158 153 169 172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值；（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h （单位：厘米），将男、女生身高不低于h 和低于h 的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高.采用分层抽样的方法从以上男生中抽取5人作为样本.若从样本中任取2人，试求恰有1人身高属于正常的概率.()20P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.8415.0246.6357.879 10.828参照公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 18．（2021·全国高三专题练习（文））某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：未感染病毒感染病毒 总计未注射疫苗 a 60 m 注射疫苗 b30 n总计11090200从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为5. （1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. ()2P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k3.8415.0246.6357.87910.82819．（2021·全国高三专题练习（文））某研究部门为了研究气温变化与患流感人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查得到如下列表：(附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++)高于22.5C ︒ 不高于22.5C ︒ 合计 患流感2025不患流感15合计50（1）对上述22⨯列联表进行填空，并判断是否有99%的把握认为患流感与温度有关，说明你的理由；（2）为了了解患流感与年龄的关系，已知某地患有流感的老年､中年､青年的人数分别为108人，72人，36人.按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是中年人的概率.()2>0.10 0.05 0.025 0.01 P K kk 2.701 3.841 5.024 6.63520．（2021·山东德州市·高三一模）2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如下表所示：（表一）了解情况Y N人数140 60（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），并判断是否有99％的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系;（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为1P，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为2P ．试求出1P 与2P ，并比较1P 与2P 的大小． 附：临界值参考表的参考公式()20p K K ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010K 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++） 21．（2021·吉林长春市·高三二模（理））随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中x 表示开设网店数量，y 表示这x 个分店的年销售额总和），现已知55118850,2000i ii i i x yy ====∑∑，求解下列问题；（1）经判断，可利用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求解y 关于x 的回归方程； （2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w （单位：万元）满足25140w y x =--，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．参考公式；线性回归方程y bx a =+，其中515221,i ii ii x y nx ya y bxb xnx==-=-=-∑∑22．（2021·河南高三月考（文））2020年初，新冠病毒肆虐．疫情期间，停课不停教学，各学校以网课形式进行教学．教育局抽样对某所学校的高三1000名学生某一周每天学习时间以及考试进行了调查，得如下频数分布表 学习时间（分钟） [)7,7.5[)7.5,8[)8,8.5[)8.5,9[)9,9.5[]9.5,10人数160190200180150120从1000名学生中抽取50名学生，调查学习时间与成绩的关系，得如下二阶列联表学习时间9小时以上（含9小时）学习时间9小时以下合计总分600分以上（含600分） 7 3 10 总分600分以下 17 23 40 合计242650（1）求出第一星期这1000名学生学习时间的中位数；（2）为了解学生们的学习状况，一次考试结束，从全年级随机抽取50人根据学习时间的多少和成绩的是否优秀列成以下列联表计算说明：有没有90%的把握认为总分600分以上和学习时间超过9小时有关附公式及表如下：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K K ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82823．（2021·全国高三专题练习）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据()(),1,2,,20i i x y i =⋅⋅⋅，其中i x 和i y 分别表示第i 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得20180i i x ==∑，2014000i i y ==∑，()202180i i x x=-=∑，()20218000ii y y =-=∑，()()201700i ii x xy y =--=∑.（1）请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求y 关于x 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,i i x y i n =⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.24．（2021·全国高三专题练习（文））随着冬季的到来，是否应该自觉佩戴口罩成为了人们热议的一个话题.为了调查佩戴口罩的态度与性别是否具有相关性，研究人员作出相应调查，并统计数据如表所示： 认为冬季佩戴口罩十分必要 认为冬季佩戴口罩没有必要 男性 300 200 女性150150（1）判断是否有99.9%的把握认为佩戴口罩的态度与性别有关？（2）若按照分层抽样的方法从男性中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰有1人认为冬季佩戴口罩十分必要的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.82825．（2021·全国高三专题练习）在新型冠状病毒疫情期间，某高中学校实施线上教学，为了解线上教学的效果，随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分(满分100分)，记低于80的评分为“效果一般”，不低于80分为“效果较好”．（1）请补充完整22⨯列联表；通过计算判断，有没有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关？效果一般效果较好合计男20女1555合计（2）用（1）中列联表的数据估计全校线上教学的效果，用频率估计概率．从该校学生中任意抽取3人，记所抽取的3人中线上教学“效果较好”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附表及公式：()2P K k0.150.100.050.0250.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635其中()()()()()22n ad bcka b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．26．（2021·全国高三专题练习）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为710；其中对商品和服务均为好评的有80次（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望.()20P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）27．（2021·全国高三专题练习）某校高一年级进行安全知识竞赛（满分为100分），所有学生的成绩都不低于75分，从中抽取100名学生的成绩进行分组调研，第一组[)75,80，第二组[)80,85，，第五组[]95,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图.（1）若竞赛成绩不低于85分为优秀，低于85分为非优秀，且成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25，请判断是否有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关；（2）用分层抽样方法，在成绩不低于85的学生中抽取6人，再从这6人中随机选3人发言谈体会，设这3人中成绩在[)85,90的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.01 0.0050k2.7063.841 5.024 6.635 7.87928．（2021·全国高三专题练习）支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据： 每周使用支付宝次数 1 2 3 4 5 6及以上 40岁及以下人数 3 3 4 8 7 30 40岁以上人数 4 5 6 6 4 20 合计7810141150（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？不喜欢使用支付宝 喜欢使用支付宝 合计 40岁及以下人数 40岁以上人数 合计（2）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付宝达人”中，随机抽取3名用户.①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率；②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X (单位：元)，求X 的数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82829．（2021·全国高三专题练习）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有。
福建省福清西山学校高中部2021届高三9月月考数学试题含答案
福清西山学校高中部2020-2021学年9月月考高三数学试卷一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）1.已知集合A ＝{x |x 2﹣5x +4＜0，x ∈Z }，B ＝{m ，2}，若A ⊆B ，则m ＝（ ） A ．5B ．3C ．2D ．12.设复数()1z bi b R =+∈且234z i =-+，则z 的虚部为（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-3..已知8.0log 3=a ，8.03=b ，1.23.0=c ，则（ ）A ．c ab a <<B ．c a ab <<C ．c b ac <<D ．b ac c << 4.如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于（ ）A ．1BC BA 2-+B ．1BC BA 2--C ．1BC BA 2- D ．1BC BA 2+ 5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若41012222a a a ++=，则14S =（ ） A. 56B. 66C. 77D. 786．已知0sin cos =+αα，则=+αααcos sin 2cos 2（ ）A.2B.21C. 21-D. 21±7.函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（ ） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈）8．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有成立，且()22f e =，则不等式()2xxf x e >的解集是（ ）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法不正确的是（ ）A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降10．由函数()f x sinx =的图象得到函数()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）A ．先将()f x sinx =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移个12π单位长度 B ．先将()f x sinx =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 C ．先将()f x sinx =的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）D ．先将()f x sinx =的图象向左平移12π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，关于函数()()()||g x f x f x =+，下列说法正确的是（ ） A ．()g x 为偶函数B ．()g x 在（1，2）上单调递增.C ．()g x 在[2016，2020]上恰有三个零点D ．()g x 的最大值为2 12.已知函数f(x)＝e |x|sinx ，下列说法正确的是（ ）A.f(x)是周期为2π的奇函数B.f(x)在(－4π，34π)上为增函数C.f(x)在(－10π，10π)内有21个极值点D.f(x)≥ax 在[0，4π]上恒成立的充要条件是a ≤1三、填空题（每题5分，满分20分。
2021届卓越联盟新高考省份高三9月份检测数学试题(解析版)(1)
2021届卓越联盟新高考省份高三9月份检测数学试题一、单选题1.若全集U={1,2,3,4}, " = {1,2}, N = {2,3},则《知)4以%)=()A. {4}B. {1,2,3}C. {2}D. {1,3,4} 【答案】A【解析】根据集合的运算法则运算即可.【详解】因为全集。
={1,2,3,4}, M={1,2}, N = {2,3},所以LM = {3,4}, ” = {1,4},则（。
加用（。
%）={4}.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，属于简单题.2.已知1为虚数单位，若色（。
£用为纯虚数，则实数。
的值为（）a + i1 1A. 2B. -2C. -D.--2 2 【答案】B【解析】先由更数的除法运算，化简上上」，再由纯虚数的概念，即可得出结果. a + i【详解】(l + 2z)(a-z) a + 2 +(2”l)i+ a2 +1又上吆（awR）为纯虚数，所以。
+ 2 = 0,即。
=一2. a + i故选：B.【点睛】本题主要考查由更数类型求参数，考查复数的运算，属于基础题型.3.将函数y = 2sin12x-gj图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变,则所得函数图象的解析式为（）【答案】D【解析】根据三角函数的伸缩变换原则，可直接得出结果.【详解】函数y = 2sm(2x-g)图象上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变,乃所得函数图像的解析式为y = 2sin x--. \ ')故选：D.【点睛】本题主要考查求三角函数图像变换后的解析式，属于基础题型.4.已知点4(0,3), 6(3,2),向量云= (—6,2),则向量而与记()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【答案】D【解析】由向量的坐标运算法则计算出而，再判断而与正的关系.【详解】而=(3,-1) = 一^/，所以向量丽芳与何平行且反向.故选：D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及向量垂直、共线的判断，属于简单题.5.若f(x)是偶函数且在［0,+8)上为增函数，又"—2) = 1,则不等式/(工一1)<1的解集为()A. {止1cx<3}B. 或x>3}C. {小<-1 或0cx〈3}D. {x|x>l或一3vx〈0}【答案】A【解析】利用函数y = /(x)为偶函数将所求不等式变形为f(卜一力</(2),利用该函数在区间［0,+s)上的单调性可得出卜―1| <2 ,解此不等式即可得解.【详解】由于函数y = f(x)为偶函数，则〃2)= 〃-2)= 1,且函数y = /(x)在［0,+8)上为增函数,由/(x-i)vi,可得〃卜一1|)</(2), /.|x-l|<2,即一2vx—lv2,解得一l<x<3.因此，不等式的解集为{止l<x<3}.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题.6.股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某只股票, 在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，则该股民在这只股票上的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况【答案】B【解析】根据题中条件，直接计算，即可得出结果.【详解】由题意，该股民在经历了3次跌停，又经历了3次涨停后，股票价格为原来的(1 —0.1)3 (1 + 0.1)3 = 0.993、0.97 ,即略有节损；故选：B.【点睛】本题主要考查指数运算，属于基础题型.7.已知A(—3,o), 3是圆/+。
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专题二十 统计与统计案例一、单选题1．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ≥，1x ，2x ，……，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线215y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．-1 B ．0C ．12D ．1二、多选题2．（2020·江苏省丰县中学期末）某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算2K 的观测值 5.059k ≈，则可以推断出（ ）附：A ．该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为23； B ．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意； C ．有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异； D ．有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异.第II 卷（非选择题）三、解答题3．（2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考（文））微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中0090的人使用微信，其中每天使用微信时间少于一小时的有60人，其余的员工每天使用微信时间不少于一小时，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中0075是青年人.若规定：每天使用微信时间不少于一小时为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. （1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，完成22⨯列联表：（2）由列联表中所得数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”？22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++4．（2020·江苏泰州·期末）某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x ，y 的数据如下：（1）已知销售量x 和销售量y 大致满足线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+； （2）根据上述数据计算是否有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关．参考公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-；()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 临界值表：5．（2020·江西其他（文））针对某新型病毒，某科研机构已研发出甲､乙两种疫苗，为比较两种疫苗的效果，选取100名志愿者，将他们随机分成两组，每组50人.第一组志愿者注射甲种疫苗，第二组志愿者注射乙种疫苗，经过一段时间后，对这100名志愿者进行该新型病毒抗体检测，发现有110的志愿者未产生该新型病毒抗体，在未产生该新型病毒抗体的志愿者中，注射甲种疫苗的志愿者占15.（1）根据题中数据，完成列联表；（2）根据（1）中的列联表，判断能否有95%的把握认为甲､乙两种疫苗的效果有差异.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：6．（2020·山东省邹城市第一中学月考）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x,求x的分布列及数学期望．参考公式：1()()ni xx y y r --=∑22(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++．临界值表：25.2≈7．（2020·湖南湘潭·其他（理））近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数()BodyMessIndex,BMI 来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22kg BMI m =体重单位：身高单位：.中国成人的BMI 数值标准为：BMI 18.4≤为偏瘦；18.5BMI 23.9≤≤为正常；24BMI 27.9≤≤为偏胖；BMI 28≥为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1~8)的身高()cm x 和体重()kg y 数据，并计算得到他们的BMI 值（精确到0.1)如表：（1）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI 值为“正常”员工的人数为X ．求X 的分布列及数学期望．（2）某调查机构分析发现公司员工的身高()cm x 和体重()kg y 之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为0.5ˆˆyx a =+，且根据回归方程预估一名身高为180cm 的员工体重为71kg ．计算得到的其他数据如下170,x =．189920ni i i x y ==∑（i ）求ˆa的值及表格中8名员工体重的平均值y ； （ii ）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg ，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm 的员工的体重．（附：对于一组数据()1,x y ，2(x ，2)y ，(n x ⋯，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，)ˆˆay bx =-． 8．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他（文））某研究部门为了研究气温变化与患新冠肺炎人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查；得到如下列表：（附()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++）（1）是否有99%的把握认为患新冠肺炎与温度有关，说明你的理由；（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为54人，36人，18人.按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是老年人的概率.9．（2021·云南五华·昆明一中其他（文））某地六月份30天的日最高气温的统计表如下：由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.8.（1）求Y，Z的值；（2）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，已知该地区某种商品在六月份“高温天气”有2天“旺销”，“非高温天气”有6天“不旺销”，根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与该商品“旺销”有关？说明理由.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++10．（2020·甘肃省会宁县第四中学期末（理））为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100km/h的有25人.（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关.（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++11．（2020·安徽期末（文））某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成．该省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？（2）利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取5名参加学校交流活动，从中选派2名家长发言，求恰好有1名城镇居民的概率．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．12．（2020·江苏镇江·期末）学生学习的自律性很重要.某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到22⨯列联表的部分数据如下表：（1）补全22⨯列联表中的数据；（2）判断是否有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关.参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.13．（2020·湖北期中）在新型冠状病毒的疫苗研发过程中，某科研所利用独立性检验的方法调查接种疫苗A 对预防新型冠状病毒是否有效，对200只动物进行试验.一周后，发现接种疫苗A且未患病的有64只，接种疫苗A且患病的有36只，未接种疫苗A且患病的有44只.（1）将下列2×2列联表补全，并画在答题卡上.（2）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为接种疫苗A对实验动物预防新型冠状病毒有效？附：参考公式和参考数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.14．（2020·内蒙古集宁一中期末（理））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有多少的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.15．（2020·江苏扬州·期末）新冠肺炎疫情防控时期，各级各类学校纷纷组织师生开展了“停课不停学”活动，为了解班级线上学习情况，某位班主任老师进行了有关调查研究.（1）从班级随机选出5名同学，对比研究了线上学习前后两次数学考试成绩，如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程；参考公式：在线性回归方程y bx a =+，()()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xn x====---==--∑∑∑∑，a y bx =-（2）针对全班45名同学（25名女生，20名男生）的线上学习满意度调查中，女姓满意率为80%，男生满意率为75%，填写下面列联表，判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为线上学习满意度与学生性别有关？参考公式和数据：()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P x k k ≥四、填空题16．（2020·海南枫叶国际学校期中）某设备的使用年限x与所支出的维修费用y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为 1.3y x a =+，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费约为__________万元．。