初中八年级数学培优训练(奥数)专题12心中有数
中考数学培优难题 全优专题 含答案 解析 12：数学思想方法之归纳探讨
中考数学培优难题全优专题一、根据数的排列或运算规律归纳：典型例题：例1. （星课堂广东肇庆3分）观察下列一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 ▲ ． 【答案】2k2k+1。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律：分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，∴第k 个数分子是2k ，分母是2k+1。
∴这一组数的第k 个数是2k2k+1。
例2. （星课堂福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是 ▲ ．【答案】900。
【考点】分类归纳（数字变化类）。
【分析】寻找规律：上面是1，2 ，3，4，…；左下是1，4=22，9=32，16=42，…； 右下是：左下数字减上面数字差的平方：（1－1）2，（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，… ∴a=（36－6）2=900。
例3. （星课堂湖北恩施4分）观察数表根据表中数的排列规律，则B+D=▲ ．【答案】23。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最上而的一个数字，∴1+4+3=B，1+7+D+10+1=34。
∴B=8，D=15。
∴B+D=8+15=23。
例4. （星课堂四川巴中3分）观察下面一列数：1，－2，3，－4，5，－6，……，根据你发现的规律，第星课堂个数是▲【答案】－星课堂。
【考点】分类归纳（数字的变化类）。
【分析】∵1，－2，3，－4，5，－6，…规律为绝对值是连续的自然数，第奇数个数是正数，第偶数个数是负数，∴第星课堂个数是：－星课堂。
例5. （星课堂辽宁丹东3分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有▲ 个五角星.【答案】120。
【考点】分类归纳（图形的变化类）。
【分析】寻找规律：不难发现，第1个图形有3=22－1个小五角星；第2个图形有8=32－1个小五角星；第3个图形有15=42－1个小五角星；…第n个图形有（n＋1）2－1个小五角星。
八年级数学竞赛专题训练12 心中有数(附答案)
（江苏竞赛试题）
3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
所以应确定_______去参加射击比赛.
4.在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3， ，6，4，若这组数据
分数
50
60
70
80
90
100
人数
三（3）
2
5
10
13
14
6
三（4）
4
4
16
2
12
12
请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.
解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，故我们应多想几套方案.
能力训练
A级
1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：
例题与求解
【例l】在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分）.请观察图形，并回答下列问题：
（1）该班有________名学生.
（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________.
（3）请估算该班这次测验的平均成绩.
（黄冈市中考试题）
A．20 B．28 C．72 D．78
（台湾省中考试题）
9.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：
【例3】某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：
人教版八年级数学上册培优辅导笔记 奥数升级(人教版)
1第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l 2的垂线.⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cmABC D EF AB C DEF PQ R A B CE F OE A ACD O （第1题图）1 4 32 （第2题图）ABOl 2l 1202 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.F B A O CD E C D B A EO B ACDO A BA E DC F E BAD 1 4 2 3 6 53【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． ABDCHＧ EF7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 2 3 4 56 1 2 3 4甲 1 A B C 2 3 4 56 7 A B C DOA B D E FCABCDE A B CD EF 1 2404．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF .【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a 1,a 2,…，a 2010,如果a 1⊥a 2,a 2∥a 3，a 3⊥a 4，a 4∥a 5……那么a 1与a 2010的位置关系是 . 03．已知n （n ＞2）个点P 1，P 2，P 3…Pn .在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S 2＝1，S 3＝3，S 4＝6，∴S 5＝10…则Sn ＝ . 演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ） A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DAC C ．∠ACF 是α的余角 D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ）A ．∠AMFB ．∠BMFC ．∠ENCD ．∠END03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD＞BDA ．0B ． 2C ．4D ．6A B C D E Fl 1l 2 l 3 l 4 l 5 l 6图⑴ l 1l 2l 3l 4 l 5l 6 图⑵ A EB C F D A BC DFEMN α第1题图 第2题图A B D C第4题图505．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ） A ．4cm B ．5cm C ．小于4cm D ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81A CD EBABC DEF12A BCDEF第14题图6培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ A BCD EFa b AB C7CB A D⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A ＝38°，求∠C 的度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC的度数为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________EABDα12 C F（第3题图）321l 1l 2（第2题图）（第1题图） EDCBAE A FG D C B8 D A 2 E 1 B C02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数. 【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】 因果转化，综合运用. 逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3. 证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） 【变式题组】 01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行）∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义）【变式题组】 01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．AB C D O EF A EB C （第1题图） （第2题图） B A M C D N P （第3题图） C DA BE F13 2G B 3 C A 1D 2EF （第1题图）A2 C F3 E D 1 B（第2题图） O / α O θ βB3 1 A B G DC E9B F E ACD α β P B C D A∠P ＝α＋β3 21 γ4 ψ D α βE B C AFH 02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF .3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°BAPCAC CDAA PCBD PBPD BD⑴⑵⑶⑷A D MCN E B FED21 A B C10F γ Dα β E B CAF DE B C A B CAA ′ lB ′C ′D B CA西30° A 【变式题组】 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ） A ． ∠β＝∠α＋∠γ B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形A /B /C /. 【变式题组】 01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形. 02．如图,已知三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC 与△A /B /C /的重叠部分的面积. 03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米） 演练巩固 反馈提高 01．如图，由A 测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°D 5 3 8A F CB E B B / AA / C C /C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①②B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.DAB CEDB CED AB CED AB CEA B CP.P.P.P.⑴⑵⑶⑷150°120°DBCE湖21ABEF4P231A BEFC D12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？15．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC各边都被分成五等分，这样在△ABC内能与△DEF完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC内由△DEF平移得到的三角形共有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着BO方向匀速滚来，运动员立即从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）03．如图，长方体的长AB＝4cm，宽BC＝3cm，高AA1＝2cm. 将AC平移到A1C1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长为b）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到CB1AA1C1D1BD.B.O. AFADECBF E B A CG D 封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF . ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.FEBACGD 100°A 2B 2 A 3 B 3 B 4 A 4 A 1 B 1 草地草地A 1B 2⑵B 1A 2B 2A 1B 1 A 3 B 3A 2⑴⑶⑷⑸F E B A C OBD CF AE10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲 实 数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝±a ，其中a 的平方根为x ＝a 叫做a 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x ＝3a ．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2n a ≥0（n 为正整数），a ≥0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值． 【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m 是小于152+的最大整数，则m 的平方根是____． 03．9的立方根是____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足()2242342a b a b a -+++-+=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2 【解法指导】若()23a b -有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0a ≥3∵()2242342a b a b a -+++-+=输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数A B CD∴()2242342a b a b a -+++-+=，∴()2230b a b ++-=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l ．在实数范围内，等式223a a b ----+＝0成立，则a b ＝____． 02．若()2930a b -+-=，则ab的平方根是____． 03．（天津）若x 、y 为实数，且220x y ++-=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2 04．已知x 是实数，则1x x x πππ--+-+的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足123a b b -+=+．求a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵123a b b -+=+，∴ 123a b b -=⎧⎪⎨=⎪⎩即112a b b -=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b 的平方根为：255a b ±+=±=±．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n 是有理数，且（5＋2）m ＋(3－25)n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a 为17−2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17−2 −2＝17−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6． 【变式题组】01．若3＋5的小数部分是a ，3−5的小数部分是b ，则a ＋b 的值为____． 02．5的整数部分为a ，小数部分为b ，则（5＋a ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高 0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设3a =-，b ＝ －2，52c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与364- C ．4与364 D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ． －a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____． 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b+-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____． 12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a <7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a *b ＝()()22a ba b aba b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．16．已知整数x 、y 满足x ＋2y ＝50，求x 、y ．17．已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b ＝315a - ＋153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2与533x y --互为相反数，求22x y +的值．培优升级 奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 0 02．（黄冈竞赛）代数式x ＋1x -＋2x -的最小值是( )A ．0B ． 1＋2C ．1D ． 2 03．代数式53x +−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋b 3＝21−53，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____． 06．已知实数a 满足20092010a a a -+-=，则a − 20092＝_______．m 满足关系式3523199199x y m x y m x y x y +--++-=-+--，试确定m 的值．08．（全国联赛）若a 、b 满足35a b +＝7，S ＝23a b -，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y ＋231x a -=-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a ＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．。
第十二章全等三角形、等腰三角形(培优卷1) 八年级数学人教版上册
人教版2021-2022年八年级上册数学全等三角形、等腰三角形（培优卷1）1．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE＝BF；（2）求∠BPC的度数．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．4．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？5．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，F为BC边上的两点，CF ＝DB，连接AD，过点C作CE⊥AD于点G，交AB于点E，连接EF．（1）若∠DAB＝15°，AD＝6，求线段GD的长度；（2）求证：∠EFB＝∠CDA；（3）若∠FEB＝75°，试找出AG，CE，EF之间的数量关系，直接写出结论．6．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．（1）如图1，DE与AC交于点P，观察并猜想BD与DP的数量关系：．（2）如图2，DE与CA延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（3）若DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请画出图形并写出你的结论，无需证明．7．【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．∴DE＝EC．∴AC＝AE+EC＝AB+BD．【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝2，则三角形DEC的周长为．【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．【类比猜想】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．8．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．9．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE．10．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF ＝AE，连接BE，EF．（1）求证：BE＝EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11．如图，已知BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．12．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是；（2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF ＝45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为，△EFC的周长为；（3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，且EG＝2，GF＝3，则△AEF的面积为．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ADC＝90°，AD∥BC．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）如图，点E在BC上，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF，点F在正方形ABCD 的内部，连接DF，求证：DF平分∠ADC；（3）在（2）的条件下，延长EF交CD的延长线于点H，延长DF交AE于点M，连接CM交EF于点N，过点E作EG∥AF交DC的延长线于点G，若∠BGE+2∠FEC＝135°，DH＝1，求线段MN的长．14．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．15.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．16.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．。
人教版八年级数学上册第12章 全等三角形 全章双基培优练习
第12章全等三角形全章双基培优练习一．选择题1．若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（）A．3 B．4 C．1或3 D．3或52．如图，△ABC≌△CDA，∠B＝65°，则∠ADC的度数为（）A．85°B．65°C．30°D．45°3．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论错误的是（）A．∠BAC＝∠B B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．∠B＝∠C4．如图所示，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，B、D、E在同一直线上，∠1＝22°，∠2＝30°，求∠3的度数（）A．42°B．52°C．62°D．72°5．如图，点A，E，F，D在同一直线上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝DF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对6．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（）个．A．9 B．10 C．11 D．127．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4．若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为（）A．34 B．17 C．8.5 D．49．如图，在五边形ABCDE中，对角线AC＝AD，AB＝DE，BC＝EA，∠CAD＝65°，∠B＝110°，则∠BAE的大小是（）A．135°B．125°C．115°D．105°10．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且满足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，则∠FDE的度数为（）A．75°B．80°C．65°D．95°11．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB＝50°，∠ACB′＝100°，则∠ACA′的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．40°12．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（）A．2α+β＝180°B．2β﹣α＝145°C．α+β＝135°D．β﹣α＝60°二．填空题13．如图，已知△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF＝14．如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC边上的点，EF∥BC，点D在BC边上，连接DE、DF，请你添加一个条件，使△BED≌△FDE．15．如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝°．16．如图，在△ABC和△DBC中，∠A＝40°，AB＝AC＝2，∠BDC＝140°，BD＝CD，以点D 为顶点作∠MDN＝70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为．三．解答题17．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD ＝∠CDE．（1）如图1，求证：BD＝CE；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE 相等的角（∠ADE除外）．18．已知，在△ABC中，AC＝BC．分别过A，B点作互相平行的直线AM和BN．过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．（1）如图1．若CD＝CE．求∠ABE的大小；（2）如图2．∠ABC＝∠DEB＝60°．求证：AD+DC＝BE．19．已知：如图，∠ACB＝∠DCE，AC＝BC，CD＝CE，AD交BC于点F，连结BE．（1）求证：△ACD≌△BCE．（2）延长AD交BE于点H，若∠ACB＝30°，求∠BHF的度数．20．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．（1）如图1，∠C＝90°，∠B＝45°，点E在边AB上，AE＝AC，请直接写出图中所有与BE相等的线段．（2）如图2，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求证：AB＝AC+CD．21．如图，AE＝AD，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于O．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2，连接BC、AO，请直接写出图2中所有的全等三角形（除△ABE≌△ACD外）．22．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，∵△DEF的周长为奇数，∴EF的长为奇数，D、当EF＝3或5时，符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理，故本选项正确；A、当EF＝3时，由选项D知，此选项错误；B、当EF＝4时，不符合EF为奇数，故本选项错误；C、当EF＝1或3时，其中1无法构成三角形，故本选项错误；故选：D．2．解：∵△ABC≌△CDA，∴∠ADC＝∠B＝65°，故选：B．3．解：∵AB＝AC，BD＝DC，AD＝AD，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故B，C，D正确，故选：A．4．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠1＝∠CAE，且AD＝AE，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ABD＝∠2＝30°，∴∠3＝∠2+∠ABD＝52°，故选：B．5．解：∵AE＝DF，∴AE+EF＝DF+EF，∴AF＝DE，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，在△BAF和△CDE中，，∴△BAF≌△CDE（SAS），在△BAE和△CDF中，，∴△BAE≌△CDF（SAS），∴BE＝CF，∠AEB＝∠DFC，∴∠BEF＝∠CFE，在△BEF和△CFE中，，∴△BEF≌△CFE（SAS），即全等三角形有3对，故选：C．6．解：如图示2×3排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形，所以共有12个全等三角形，除去△DEF外有11个与△DEF全等的三角形：△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△WBI，△QBI，△CKR，△KRW，△CGR，△KIW．故选：C．7．解：∵点O为∠CAB与∠ACB的平分线的交点，∴点O在∠ACB的角平分线上，∴点O为△ABC的内心，过O作OP⊥AB，连接OB，S△ABC＝＝OP•（AB+BC+AC），又∵AC＝5，BC＝4，△ABC为直角三角形，∠B＝90°∴AB＝3，∴×3×4＝•OP（3+4+5），解得：OP＝1．故选：A．8．解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD＝4，∴S△ABC ＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝AB•OE+BC•OD+AC•OF＝×4×（AB+BC+AC）＝×4×17＝34．故选：A．9．解：∵AC＝AD，AB＝DE，BC＝EA，∴△ABC≌△DEA（SSS）∴∠BCA＝∠DAE，∵∠B+∠BAC+∠BCA＝180°，且∠B＝110°，∴∠BAC+∠BCA＝70°，∴∠BAC+∠DAE＝70°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAD+∠DAE＝135°，故选：A．10．解：∵∠B＝∠C，∠A＝50°∴∠B＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°，∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180°∴∠FDB＝85°在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE＝30°，又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°，∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°．故选：C．11．解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACA′＝∠BCB′，∵∠A′CB＝50°，∠ACB′＝100°，∴∠ACA′＝∠BCB′＝（100°﹣50°）＝25°．故选：B．12．解：延长C′D交AC于M，如图，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，∵C′D∥B′E，∴∠AEB′＝∠C′MC，∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+∠B′＝180°﹣3α，∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B'＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α，即：2α+β＝180°．故选：A．二．填空题（共4小题）13．证明：∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，且BD＝CE，BE＝CF，∴△BED≌△CFE（SAS）∴∠EFC＝∠BED，∵∠BEF＝∠EFC+∠C＝∠BED+∠DEF，∴∠DEF＝∠C＝70°，故答案为：70°．14．解：由题意：DE＝ED，∠DEF＝∠EDB，∴根据SAS可以添加DB＝EF，根据AAS，ASA可以添加∠BED＝∠EDF或DF∥AB或∠B＝∠EFD，故答案为BD＝EF（或∠BED＝∠EDF或DF∥AB或∠B＝∠EFD）15．解：∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝68°．故答案为68．16．解：延长AC至E，使CE＝BM，连接DE．∵BD＝CD，且∠BDC＝140°，∴∠DBC＝∠DCB＝20°，∵∠A＝40°，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，同理可得∠NCD＝90°，∴∠ECD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，在△BDM和△CDE中，，∴△BDM≌△CDE（SAS），∴MD＝ED，∠MDB＝∠EDC，∴∠MDE＝∠BDC＝140°，∵∠MDN＝70°，∴∠EDN＝70°＝∠MDN，在△MDN和△EDN中，，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝EN＝CN+CE，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+CN+CE+AN＝AM+AN+CN+BM＝AB+AC＝4；故答案为：4．三．解答题（共6小题）17．解：（1）在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．18．（1）解：如图1，延长AC交BN于点F，∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，，∴△ADC≌△FEC（AAS），∴AC＝FC，∵AC＝BC，∴BC＝AC＝FC＝AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABE＝90°；（2）证明：如图2，在EB上截取EH＝EC，连CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等边三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC与△HCB中，，∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD，即AD+DC＝BE．19．证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB+∠DCB＝∠DCE+∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠A＝∠B，∵∠BFH＝∠AFC，∴∠BHF＝∠ACB，∴∠BHF＝30°．20．解：（1）与BE相等的线段是DE和DC，理由：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD，在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD（SAS），∴DE＝DC，∠DEA＝∠C＝90°，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴BE＝DE＝DC，即与BE相等的线段是DE和DC；（2）在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD为△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD，在在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠C＝∠AED，CD＝ED，∵∠C＝2∠B，∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB，∴EB＝CD，∵AB＝AE+EB，∴AB＝AC+CD．21．（1）证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB＝AC；（2）解：∵AD＝AE，∴BD＝CE，而△ABE≌△ACD，∴CD＝BE，∵BD＝CE，CD＝BE，BC＝CB，∴△BDC≌△CEB（SSS）；∴∠BCD＝∠EBC，∴OB＝OC，∴OD＝OE，而∠BOD＝∠COE，∴△DOB≌△EOC（SAS）；∵AB＝AC，∠ABO＝∠ACO，BO＝CO，∴△AOB≌△AOC（SAS）；∵AD＝AE，OD＝OE，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（SSS）．22．解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝，移动的时间为：÷3＝秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝BC，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm，移动的时间为：÷3＝秒，故答案为：或；（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s，③当点P在AC上，如图②﹣3所示：此时，AP＝5，AQ＝4，∴点Q移动的速度为4÷（5÷3）＝cm/s，④当点P在AB上，如图②﹣4所示：此时，AP＝5，AQ＝4，即，点P移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，∴点Q移动的速度为32÷（31÷3）＝cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速为cm/s或cm/s或cm/s或cm/s．。
八年级数学培优专题12
八年级数学下册培优探究十二
1、如图，梯形ABCD中．AB∥CD。
且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点。
EF与BD相交于点M。
(1)求证：△EDM∽△FBM； (2)若DB＝9，求BM。
2、已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示。
（1）请说明图（1）中①、②两段函数图象的实际意义。
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图（2）中的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果。
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量y（kg）与零售价x（元）之间的函数关系为反比列函数关系，如图(3)所示，该经销商拟每日售出不低于64kg该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计每日进货和销售的
方案，使得日获得的利润z（元）最大。
初二数学奥数练习题及答案
初二数学奥数练习题及答案本文将提供一些适合初二学生的数学奥数练习题及答案，旨在帮助学生巩固数学知识和提高解题能力。
以下是具体的练习题和解析：1. 题目：某校初二年级有1000名学生，其中男生人数占总人数的60%。
求该校初二年级男生和女生的人数各是多少？解析：首先计算出男生人数为1000 × 60% = 600人。
然后用总人数减去男生人数即可得到女生人数，即1000 - 600 = 400人。
所以该校初二年级男生人数为600人，女生人数为400人。
2. 题目：已知一个正方形的边长为x，求该正方形的周长和面积。
解析：正方形的周长等于4边长，所以周长为4x。
正方形的面积等于边长的平方，所以面积为x^2。
因此，该正方形的周长为4x，面积为x^2。
3. 题目：解方程2x + 5 = 17。
解析：将方程转化为x的形式，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。
然后除以2，得到x = 6。
所以方程的解为x = 6。
4. 题目：如果a:b = 3:4，且b:c = 2:5，求a:c。
解析：根据比例关系，可以得到a:b:c = 3:4:(4/5)。
将比例中的b的分母与c的分子相乘，得到a:c = 3:(4/5) × (2/5) = 6/25。
所以a:c = 6:25。
5. 题目：已知sinθ = 1/2，求cosθ的值。
解析：根据三角函数的定义，sinθ = 对边/斜边。
已知sinθ = 1/2，可以得到对边为1，斜边为2。
根据勾股定理，可以得到邻边的长度为√(2^2 - 1^2) = √3。
所以cosθ = 邻边/斜边= √3/2。
6. 题目：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
解析：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。
已知直角边分别为3和4，可以得到斜边的平方为3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25。
所以斜边的长度为5。
通过以上的练习题，可以帮助初二学生巩固数学知识，并提高解题能力。
人教版 八年级数学 第12章 全等三角形 培优训练 (含答案)
人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练一、选择题1. 下列各组的两个图形属于全等图形的是()2. 如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE相交于点M，则∠DCE等于()A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB3. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是()A．HL B．ASA C．SSS D．SAS4. 根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是()A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°5. 如图,点A在点O的北偏西30°的方向上,AB⊥OA,垂足为A.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是()A.点O在点A的南偏东60°方向上B.点B在点A的北偏东30°方向上C.点B在点O的北偏东60°方向上D.点B在点O的北偏东30°方向上6. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()7. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.则下列说法中正确的是()A.小惠的作法正确，小雷的作法错误B.小雷的作法正确，小惠的作法错误C.两人的作法都正确D.两人的作法都错误8. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧与AB，AC分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=°.10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件：____________．11. 如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则∠B＝________°.12. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD 的面积之比是________．13. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．14. 如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD ＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．16. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC =2，则S△ABC=.三、解答题17. 育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．18. 如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上.若AD=16，BC=10，求AB的长.19. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，P是对角线AC上除A，C外的任意一点．求证：∠ABP ＝∠ADP.20. 如图，已知AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，过点E 的直线分别交AP，BC于点D，C.求证：AD＋BC＝AB.21. (1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE.(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝CA，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，则结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE＝∠B.故选A.3. 【答案】A4. 【答案】C[解析] 对于选项A来说，AB＋BC<AC，不能画出△ABC；对于选项B来说，可画出△ABC为锐角三角形或者钝角三角形；对于选项C来说，已知两边及其夹角，△ABC是唯一的；对于选项D来说，△ABC的形状可确定，但大小不确定．5. 【答案】D[解析] 如图,由题意知∠AOD=30°,∠COD=90°,∴∠AOC=120°.由作图可知,OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠DOB=30°.∴点B在点O的北偏东30°方向上.6. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2，∠B=∠C，∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.7. 【答案】A[解析] AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.8. 【答案】B[解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.二、填空题9. 【答案】125[解析] 由题意可得AD平分∠CAB.∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°.∴∠CAD=∠BAD=35°.∴∠ADB=180°-20°-35°=125°.10. 【答案】AB ＝AC11. 【答案】20[解析] 如图，过点D 作射线AF.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△BAD ≌△CAD(SSS)． ∴∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C.∵∠BDF ＝∠B ＋∠BAD ，∠CDF ＝∠C ＋∠CAD ， ∴∠BDF ＋∠CDF ＝∠B ＋∠BAD ＋∠C ＋∠CAD ， 即∠BDC ＝∠B ＋∠C ＋∠BAC. ∵∠BAC ＝80°，∠BDC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝20°.12. 【答案】4∶3【解析】如解图，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则S△ABDS△ACD ＝12AB·h12AC·h＝43.13. 【答案】70【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．14. 【答案】两直线平行，内错角相等SAS全等三角形的对应角相等内错角相等，两直线平行15. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB ＝AE＋EB＝AB.16. 【答案】7[解析] 过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G ，连接AP.∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，∴PF=PG=PE=2.∵S△BPC=2，∴BC·2=2，解得BC=2.∵△ABC的周长为11，∴AC+AB=11-2=9.∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.三、解答题17. 【答案】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF. ∵AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，∴S △ABC ＝12×20×10＝12×20·DE ＋12×10·DF ，解得DE ＝203(m)．∴△ACD 的面积＝12×10×203＝1003(m 2)，△ABD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)．故一串红的种植面积为2003 m 2，鸡冠花的种植面积为1003 m 2.18. 【答案】解:∵△ACF ≌△DBE ，∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD.∵AD=16，BC=10，∴AB=CD=(AD-BC )=3.19. 【答案】证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，CB ＝CD ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠BAP ＝∠DAP.在△BAP 和△DAP 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DAP ，AP ＝AP ， ∴△BAP ≌△DAP.∴∠ABP ＝∠ADP.20. 【答案】证明：如图，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF.∵AE 平分∠PAB ，∴∠DAE ＝∠FAE.在△DAE 和△FAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AF ，∠DAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△DAE ≌△FAE(SAS)．∴∠AFE ＝∠ADE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＋∠C ＝180°.又∵∠AFE ＋∠EFB ＝180°，∴∠EFB ＝∠C.∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF ＝∠EBC.在△BEF 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠EFB ＝∠C ，∠EBF ＝∠EBC ，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(AAS)．∴BF ＝BC.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB.21. 【答案】解：(1)证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， ∴∠BDA ＝∠AEC ＝90°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°. ∴∠CAE ＝∠ABD.在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ，AB ＝CA ，∴△ADB ≌△CEA(AAS)．∴BD ＝AE ，AD ＝CE.∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE.(2)成立．证明：∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠EAC ＝180°－α. ∴∠DBA ＝∠EAC.在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠DBA ＝∠EAC ，∠BDA ＝∠AEC ，AB ＝CA ，∴△ADB ≌△CEA(AAS)．∴BD ＝AE ，AD ＝CE.∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE.。
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初中八年级数学培优训练（奥数）专题12心中有数阅读与思考现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体重、考试成绩，都与数字有关•“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法例题与求解【例I】在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分loo分）.请观察图形，并回答下列问题：（1） _______________ 该班有名学生.（2） ____________________________________ 69.5~79.5这一组的频数是，频率是.（3）请估算该班这次测验的平均成绩.（黄冈市中考试题）解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息•【例2】某学生通过先求x与y的平均值，再求得数与z的平均值来计算x，y，z三个数的平均数当x y z时，这个学生的最后得数是（）A •正确的B.总小于A C.总大于AD.有时小于A，有时等于AE.有时大于A，有时等于A（第二届美国中学生邀请赛试题）解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小【例3】某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min 的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于105次的同学占96% ；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4：17 : 15.根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少•（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值.（安徽省中考试题）解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题（每组数据含左端点值不含右端点值）【例4】编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹1珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加-，篮子B中弹珠号41码数的平均数也等于原平均数加•问原来在篮子A中有多少个弹珠？4（第十六届江苏竞赛试题）解题思路：用字母分别表示篮子A, B中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解【例5】某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n （n=0,1, 2，…，15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？问这个表至少统计了多少人？（全国初中数学联赛试题）解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方程（组）、不等式（组）等知识方法求解•【例6】一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下:请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由• 解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手•本题因未说明从何种角度来考虑, 故我们应多想几套方案•能力训练A级1 •大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到吨） ___________________ 吨（大连市中考试题）2. 某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分.得分的部分情况如下表所示：101615 14 13 12 11次第五次第四次第三次第二次第一次学生有 （江苏竞赛试题）（包头市中考试题）的平均数是（7. 为了了解某区九年级 7 000名学生，从中抽查了 500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的 是（ ）A . 7 000名学生是总体B .每个学生是个体C . 500名学生是样本D .样本容量为 50058. 已知1~99中有49个偶数，从这49个偶数中取出48个数，其平均数为49 ，则未取的数字是（ ）12A. 20B . 28C . 72D . 78（台湾省中考试题）9. 甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：（1） 分别求出两人得分的平均数与方差；（2） 根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价人数7 5 43 41已知该班学生中，至少得 3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为 3分，那么该班人.3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶甲：7868659 10 7乙：957876867所以应确定 ________ 去参加射击比赛.4•在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位:的平均数是5，则这组数据的中位数是 ___________10次, 4命中的环数如下: 件）分别是: 件•5， 7， 3， X ， 6, 4,若这组数据5.如果一组数据X i ， X 2，X 3，X 4，X 5的平均数是X ，则另一组数据 X i ，X 2 1，X 3 2，X 4 3，X 5 4A. XB.C. XD. x 106. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是 件数的平均数为a ，众数为b ，中位数为c ， A. a b c B. b c a45， 那么（ C. a50， 75，50, )c b（天津市中考试题）20，30，50，80，20，30.设这些零D. b a c（宁夏中考试题）得分乙；（安徽省中考试题）10. 某校要从九年级（1）班和（2）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的女生身高如下：（单位:厘米）（1）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170（2）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167（1）补充完成下面的统计分析表（2 ）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取（2013宁夏回族自治区中考试题）11. 为估计一次性木质筷子的用量，2011年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本•这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.（1）通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）；（2）2013年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子 2.42盒.求该县2012年、2013年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2012年该县饭店数、全年营业天数均与2011年相同）；（3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07 m3，求该县2013年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅？计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g，所用木材的密度为0.5 X 103kg/m3；（4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来.12. 由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分.每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分，最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低（第十九届江苏省竞赛试题）之差都不大于3.设各运动员的得分总和分别为G，c2，…，c12，且c1 c2C12，求C l的最大值.（第十九届江苏省竞赛试题）1.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查， 现有三种调查方案：A 、 测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B 、 查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C 、 在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出 10名男生，然后测量他们的身高•问：（1） 为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合 理，为什么？ 答：选 __________ ;理由： __________________________________________________________________________ （2） 下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：人数、\^级 身高（Cm p''''''^；^ 七年级八年级九年级总计 （频数）143~153 12 3 0153~163 18 9 6163~17324 33 39173~1836 15 12183~1933（注：每组可含最低值，不含最高值）① 根据表中的数据填写表中的空格； ② 根据填写的数据绘制频数分布直方图.100 90 75 60 45 30 15（上海市中考试题）2.数据 a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8个数51015202015105其中a 1, a 2, a 3，…，a *是从小到大排列的两位数，且每个两位数与它的反序数（ 12的反序数是21）之和都为完全平方数，样本的方差是人数143153163173183193（辽宁锦州市竞赛试题）3. 五名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米，前两名的平均身高为c，后三名的平均身高为d，则电丄与比较（）22A.a b大B.c d大C.两者相等D.无法确定22（“五羊杯”邀请赛试题）4.已知数据X1, X2 , X3的平均数为a , y , y, y3的平均数为b , 则数据2X1 3y1, 2X2 3y2 ,2x3 3y3的平均数为（)A. 2a 3bB.2a bC. 6a 9bD. 2a b（全国初中数学竞赛试题）5. 小林拟将1, 2,…，n这n个数输入电脑，求平均数•当他认为输入完毕时，电脑显示只输入（n 1）个5数，平均数为35万，假设这（n 1）个数输入无误，则漏输入的一个数是（）A.10B. 53C. 56D. 67（江苏省竞赛试题）6. 如图，△ ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120m m,高AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上.设该矩形的长QM=y mm,宽MN=x mm .3（1）求证：y 120 x ；2（2）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于t的一元二次方程t2 10 pt 200q 0的两个根，而p、q的值又恰好分别是a , 10, 12, 13, b这5个数据的众数与平均数，试求a与b的值.（广西壮族自治区中考试题）7. 某班参加一次智力竞赛，共a , b , c三道题，每题或者得满分或者得0分.其中题a满分20分，b、c题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的（全国初中数学联赛试题）有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20,问这个班的平均成绩是多少.（全国初中数学联赛试题）&元旦联欢会某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小敏测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：（1 ）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？9. 某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1〜10中的正整数）.（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？（山东省中考试题）10. “中国梦”关乎每个人的幸福生活•为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品•现将参赛的50请根据上表提供的信息，解答下列问题：（1） ________________________ 表中的x的值为______ , y的值为;（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1, A2, A3,…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和（2013年成都市中考试题）A2的概率.（2013年成都市中考试题）。