随机现象及其统计规律性
王松桂、程维虎等-概率论与数理统计(第三版)科学出版社第1章
再如:
测量一件物体的长度，由于仪器或观测 者受到环境的影响，每次测量的结果可能有 差异，但多次测量结果的平均值随着测量次 数的增加而逐渐稳定在常数，并且各测量值 大多落在此常数附近，离常数越远的测量值 出现的可能性越小。
概率论与数理统计的研究内容
随机现象具有偶然性一面，也有必然性一 面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观 测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必 然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观 测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律 性”。
当试验次数 n充分大时，事件的频率总在 一个定值附近摆动，而且，试验次数越多， 一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率 的稳定性。
频率在一定程度上反映了事件在一次试 验中发生的可能性大小。尽管每进行一连 n次 试验，所得到的频率可能各不相同,但只要 n 足当大，频率就会非常接近一个固定值—— 概率。
特别地，称Ω-A为 A 的对 立事件(或 A的逆事件、补 事件)等，记成 A 。
A就是 A不发生。
例1(续)：A1={1}, B ={2,4,6},于是
A1 {2,3,4,5,6} B {1,3,5}
II. 事件的运算法则(与集合运算法则相同)
交换律: A∪B=B∪A，AB=BA； 结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，
随机现象的特点
• 对随机现象进行观察 、观测或测量，每次 出现的结果是多个可能结果中的一个， “每次结果都是 不可预知的”； 但“所有 可能的结果是已知的”。
• 在一定条件下对随机现象进行大量重复观 测后就会发现：随机现象的发生具有统计 规律性。
例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别
炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)， 但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。 如：命中率等。
概率论与数理统计 第一章1.1随机事件
事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组 设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其 满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果 是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一 个事件 ， 它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的 事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发 生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知， 初看似乎 毫无规律. 然而人们发现 同一随机现象大量重 其每种可能的结果 出现的频率具有 复出现时，
稳定性， 从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究 随机现象统计规律性 的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需 对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象
概率论与数理统计
28
概率的性质
1 P( ) 0
2
A, B互斥（即AB ）
P( A U B) P( A) P( B)
一般地，
Ai Aj (i, j 1, 2,L n, i j )
P UAi P( Ai ). i 1 i 1
29
问题：如何对随机现象进行研究？
5
§1.1.1 随机试验
对随机现象进行的观察或试验称为随机试验，简称为 试验。 随机试验的三个特点:
1.可以在相同条件下重复进行； 2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果的取值范围； 3.试验前不能确定会出现哪一个结果。
6
§1.1.2
样本空间与随机事件
在下图中，用Ω表示一个试验的所有可能的
15
Ω A
A
6. 对立（互逆）的事件：如果 AB＝ , ， 且AB＝,则称A与B为互逆事件，记作 B= A
如果A，B是任意两事件，则有
AA ,
A A ,
A B AB,
A A.
3) A B A ( B A)
注意对立事件与互斥的区别.
16
7.完备事件组 若事件A1,A2,„An为两两互不相容的事件， 并且
P(C) [P( AC) P(BC) P( ABC)]
0.3 (0.08 0.05 0.03) 0.2
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1 例 设 A、B 为两个随机事件 ,且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2
1 A 与 B 互斥 ;
用不同的记号，可写为 (A+B)C=AC+BC (AB)+C=(A+C)(B+C)
随机现象及其统计规律性
随机试验结果外在表现为随机现象或偶然现象．
的盒子中随机摸球，可能摸出 任何随机试验至少有两个可能结果．
务系统(例如超市、火车站、
黑球，也可能摸出白球； 1随机现象及其统计规律性
1、确定性试验和随机试验 ◆随机现象是本门课程的研究对象． ◎在没有外力作用的条件下，作等速直线运动 的物体继续作等速直线运动； ◎新生婴儿的性别，可能是男孩，也可能是女孩； ◎将一笔资金用于 ，其收益分为好、
◆随机现象是本门课程的研究对象．
*
14
二、统计规律
举例1 新生婴儿性别是男是女，在试验之前无 法确定，完全是随机的、偶然的、甚至可以用杂 乱无章来形容．但是，实践告诉我们，重复做这 个试验，当试验次数相当大时，新生男孩的比例 逐渐稳定于1/2．出现这个事实是完全可以理解 的，因为生男生女“机会”均等．难怪我们并不 担心将来某一天男女比例会严重失调．
*
10
◎将一笔资金用于 ，其收益分为好、 一般、差，出现各种结果皆有可能；
◎掷一枚骰子，可能掷出点1，也可能掷出点2， …，还可能 掷出点6；
◎未来一段时间内来到一个服
务系统(例如超市、火车站、
取款机等)的顾客数，可能是0
个，也可能是1个，…，还可能是1000个， …；
*
11
◎射击时弹着点与靶心的距离； ◎某种型号电视机的寿命．
*
15
举例2 一个地区的年降雨量虽然是随机的， 有旱涝之分，但能够几乎肯定的是，如果连 续考察若干年，其年均降雨量只能在某一个 较小范围内变化．
*
16
随机现象是不是没有规律可言? 否！
任何随机试验至少有两个可能结果．
在随机试验的所有可能结果中，单就一次随机 试验而言，可能出现这种结果，也可能出现那种结 果，但“大数次”地重复这个试验，其结果会遵循 某种规律性．也就是说，偶然中蕴藏着必然．
概率论与数理统计
一、事件的频率与概率
次数， µ n ( A ) : 事件 A 在 n 次可重复试验中出现的 次数，
称为 A 在 n 次试验中出现的频数
频率—— f n ( A) = 频率
µ n ( A)
n
.
频率有如下性质： 频率有如下性质：
1. 非负性：对任何事件 A，有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1 非负性：
掷一骰子， 如： A =“掷一骰子，点数小于 4”， B =“掷一骰子，点数小于 5”， 掷一骰子， 则A ⊂ B.
显然对任何事件 A，有 Φ ⊂ A ⊂ Ω⊂ A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A = B .
2.事件的和（并） 事件的和（
两个事件 A, B 中至少有一个发生 (属于A或属于 B的样本点 构成的集合 )，称为事件 A 与 B 的和(并 ), 记作 A + B 或 A ∪ B .
显然， 显然，事件 A 与 A 可以构成一个完备事件 组
类似地，称可列个事件 A1 , A2 , L , An， 构成一个 L 类似地， 完备事件组， 完备事件组，如果满足 ：
(1)
( 2)
Ai A j = Φ
(i ≠ j )
∑A
i
i
=Ω
律 事件运算满足下列运算 ：
(1) 交换律 A + B = B + A AB = BA
设袋中有红, 黄各一球, 例: 设袋中有红,白,黄各一球,有放回抽取三 取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球, ),每次取一球 次(取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球,试 说明下列各组事件是否相容?若不相容, 说明下列各组事件是否相容?若不相容,说明是否 对立? 对立? 三次抽取, 三次抽取, (1) A=“三次抽取,颜色全不同”,B=“三次抽取, = 三次抽取 颜色全不同” = 三次抽取 相容 颜色不全同” 颜色不全同” (2) A=“三次抽取,颜色全同”,B=“三次抽取, 三次抽取, 三次抽取, = 三次抽取 颜色全同” = 三次抽取 颜色不全同” 颜色不全同” 不相容， 不相容，对立 三次抽取, 三次抽取, (3) A=“三次抽取,无红色球”,B=“三次抽取, = 三次抽取 无红色球” = 三次抽取 无黄色球” 无黄色球” 相容 三次抽取, (4) A=“三次抽取,无红色球也无黄色”, = 三次抽取 无红色球也无黄色” B=“三次抽取, 无白色球” 不相容，不对立 三次抽取, = 三次抽取 无白色球” 不相容，
究随机现象的统计规律性的数学理论和方法-随机数学简介
随机数学简介随机数学是描述和研究随机现象的统计规律性的数学理论和方法随机现象是最早被关注的一种不确定现象。
数学家在400多年前开始研究赌博现象，由此形成了概率的早期概念乃至古典概率论(大部分同学在本科学过古典概率论)，一批数学家对此作出了贡献。
到19世纪末，数学的发展要求对古典概率论的逻辑基础（象微积分一样）作出严格化。
做出概率严格化第一步的有伯恩斯坦，布雷尔等人，尤其是布雷尔，作为测度论的奠基者，首先指出将测度论方法引入概率论的重要性。
布雷尔的工作激起了数学家沿着这一新方向探索的行动。
其中，原苏联数学家哥尔莫戈罗夫在上世纪30年代前后的工作最杰出，他推导了弱大数定理和强大数定理的最一般的结果，在这些研究中，与可测函数论的类比起了极重要的作用，这成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。
由此，现代概率论与随机过程理论建立在一个坚实的基础上。
直到上世纪60年代，第二种不确定现象——模糊现象才被认识到并系统地加以研究，形成了模糊数学。
不确定数学和确定数学（又称为经典数学）在逻辑上存在两大区别：一是经典数学属于{0， 1}二值逻辑，而不确定数学则属于[0，1]无限逻辑；二是确定数学满足形式逻辑的四大定律，而不确定数学不满足其中的排中律。
随着数学和整个科学的现代化进程，具有种种不确定性的现象不断发现，从而发展成有关的理论。
例如，混沌理论，耗散理论，非线性理论，计算复杂性中的P = ？NP问题等，它们的共同逻辑特征都不属于典型的形式逻辑范畴，“四大定律”不完全满足。
现在统称这些领域为复杂性数学。
这样，不确定数学现在包括随机数学，模糊数学和复杂性数学。
我们在研究生数学课程体系中集中安排了随机数学的几门重要课程。
随机数学一般被认为由概率论，随机过程，数理统计，时间序列分析，多元统计分析等分支组成（它们自己分成程度不同的课程），这些分支还与其它学科结合，构成了很多应用性很强的学科，如随机运筹学等，包括排队论，Markov 决策论，库存论等。
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.
下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1,X2, …是相互独立的随机 变量序列，它们都有有限的方差， 并且方差有共同的上界，即 D(Xi)
近于1.
请看演示 切比雪夫不等式和大数定律
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理.
定理2（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2， i=1,2,…,
则对任给 >0,
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi
| } 1
设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
ε> 0， lim P{| Sn p | } 1
n
n
或 lim P{| Sn p | } 0
n
n
任给ε>0， lim P{| Sn p | } 0
n
n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数
≤K，i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
切比雪夫
lim
n
P{|
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi)
|
}1
证明切比雪夫大数定律主要的数学 工具是切比雪夫不等式.
设随机变量X有期望E(X)和方差 2，
则对于任给 >0,
P{|
X
概率论与数理统计总结1
三Байду номын сангаас 事件间的关系与运算
1. 包含关系: 若事件发生必然导致事件发生 B A或A B 2. 相等关系: A B 且B A 3. 事件的和 ( A B ) :A 与 B 至少有一个发生构成的事件 4. 事件的积 ( A B , 或AB) : A与B 同时发生构成的事件 5.互不相容事件（互斥事件） ：A 与 B 不能同时发生，即 AB=
二. 条件概率
在实际问题中， 常常需要计算在某个事件 B 已发生的条件下,， 另一个事件 A 发生的概率 。 在概率论中，称此概率为事件 B 已发生的条件下事件 A 发生的条件概率，记为 P( A | B ) 。 一般地，因为增加了“事件 B 已发生”的条件，所以 P( A | B ) P ( A) 。
下面举例引出条件概率的定义. 例 1 某工厂有职工 500 人，男女各占一半，男女职工中技术优秀的分别为 40 人与 10 人。 现从中人选一名职工，试问： (1) 该职工为技术优秀的概率是多少? (2) 已知选出的是女职工,她为技术优秀的概率是多少? 解 设 A 表示选出的职工为技术优秀的事件， B 表示选出的是女职工的事件。 40 10 1 (1) P( A) 500 10 10 1 (2) P( A | B ) 250 25 显然， P( A) P( A | B) 。这是因为限制在 B 已发生的条件下求 A 的概率的缘故。 10 10 500 P( AB) 另外，可由 P( A | B ) 250 250 P( B ) 500 推得一般情况下条件概率的定义. 设实验的基本事件总数为 n ，事件 B 所包含的基本事件数为 m B ， 事件 AB 所包含的基本事件数为 m B ，则有
i 1 i 1 n n
数学中的概率与统计揭秘随机事件的规律与趋势
数学中的概率与统计揭秘随机事件的规律与趋势数学中的概率与统计学是一门研究随机事件的规律与趋势的学科，它在各个领域具有广泛的应用。
通过概率与统计的方法，我们可以揭示事物背后的规律，做出科学决策，并为未来的发展提供依据。
本文将探讨数学中的概率与统计，并揭秘随机事件的规律与趋势。
一、概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，它介于0和1之间。
0表示不可能事件，1表示必然事件，其他数值表示事件发生的可能性大小。
概率可以通过实验、经验或数学推导得到。
例如，掷硬币的结果是正面或反面，两种结果的概率都是0.5。
二、概率的计算方法1.古典概型：对于等可能发生的事件，可以用古典概型来计算概率。
例如，一枚骰子的点数有6个可能结果，每个结果的概率都是1/6。
2.几何概型：对于连续随机事件，可以用几何概型计算概率。
例如，某地每天的降雨量服从正态分布，我们可以通过计算曲线下的面积来得到某个降雨量区间的概率。
3.条件概率：当事件A的发生受到其他事件B的影响时，我们可以通过条件概率来计算事件A在已知B发生的情况下的概率。
例如，在试卷成绩已知的情况下，计算学生得到A的概率。
三、统计学的基本概念统计学是研究数据收集、分析和解释的学科。
它通过对样本进行推断，来获取总体的信息。
统计学在科学研究、社会调查和商业决策中起着重要的作用。
1.总体和样本：总体是指研究对象的整体，样本是从总体中选取的一部分。
通过对样本进行统计分析，我们可以推断总体的特征。
2.描述统计学和推断统计学：描述统计学用来描述数据的集中趋势和离散程度。
推断统计学则利用样本数据来推断总体的特征，并给出估计值和置信区间。
3.参数和统计量：在统计学中，总体的特征称为参数，样本的特征称为统计量。
通过统计量估计参数可以帮助我们了解总体的特征。
四、概率与统计的应用概率与统计学广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学、工程技术和医学健康等。
1.自然科学：在物理学、化学和生物学等领域，概率与统计学可以用来分析实验数据，验证科学假设，揭示事物的规律。
概率论与数理统计(经管类)复习要点 第1章 随机事件与概率
第一章随机事件与概率1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。
随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。
统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。
（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。
（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。
2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。
在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。
样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。
样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。
3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。
事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。
基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。
两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。
空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
4. 随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作B⊃A，A⊂B。
①φ⊂A⊂Ω②若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记作A=B。
事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B 是同一事件的不同表述。
（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。
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概率论与数理统计——研究随机 现象的统计规律的一门数学学科．
2015年5月14日星期四9时 36分22秒 18
2015年5月14日星期四9时 36分22秒
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举例2 一个地区的年降雨量虽然是随机的， 有旱涝之分，但能够几乎肯定的是，如果连 续考察若干年，其年均降雨量只能在某一个 较小范围内变化．
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随机现象是不是没有规律可言?
任何随机试验至少有两个可能结果．
否！
2015年5月14日星期四9时 36分22秒 10
◎将一笔资金用于投资，其收益分为好、 一般、差，出现各种结果皆有可能； ◎掷一枚骰子，可能掷出点1，也可能掷出点2， …，还可能 掷出点6； ◎未来一段时间内来到一个服 务系统(例如超市、火车站、 取款机等)的顾客数，可能是0
个，也可能是1个，…，还可能是1000个， …；
确定性．
◎早晨，太阳从东方升起；
2015年5月14日星期四9时 36分22秒
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◎太阳系中的地球绕太阳旋转；
◎在没有外力作用的条件下，作等速直线运动 的物体继续作等速直线运动；
2015年5月14日星期四9时 36分22秒
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◎市场经济条件下，商品供过于求，其价格下降；
◎在一个标准大气压下，水在100℃时沸腾，在 0℃时开始结冰，在90℃时处于液态；
2015年5月14日星期四9时 36分22秒 11
◎射击时弹着点与靶心的距离；
◎某种型号电视机的寿命．
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◇随机试验的三个特点
1º 重复性 2º 明确性 可以在相同的条件 下重复进行； 所有可能结果在试 验之前就明确可知； 3º 随机性 每次试验的结果是不确定的、偶然 的或者说是随机的．
《概率论与数理统计》
袁德美 安军 陶宝
高等教育出版社
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概率论古老而年轻
说它古老，是因为早在公元前1400年， 古埃及人 为了忘记饥饿，经常聚集在一起玩一 种类似于今天掷骰子的游戏； 到17世纪，以掷 骰子作为赌博方式在许多欧洲国家的贵族之间 非常盛行，这是概率论产生的源动力．
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第 1 章
随机事件与概率
2015年5月14日星期四9时 36分22秒
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§1.1随机现象及其统计规律性
EN D
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一、确定性现象和随机现象
1、确定性试验和随机试验
在社会生产和科学实践中，经常进行各种 试验，这些试验可分为两种类型：确定性试验 和随机试验． 确定性试验：其结果具有唯一性、必然性或
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2
1654年费马与帕斯卡通信中关于分赌注问
题的讨论被公认为是概率论诞生的标志，从那
以后进入相对快速发展的时期． 说它年轻，是因为直到上世纪三十年代概 率的公理化体系建立之后，概率论才算是一门 严谨的数学学科． 今天，全世界范围内绝大多数专业的大学 生都要学习这门课程．
在随机试验的所有可能结果中，单就一次随机 试验而言，可能出现这种结果，也可能出现那种结 果，但“大数次”地重复这个试验，其结果会遵循 某种规律性．也就是说，偶然中蕴藏着必然．
在本门课程中，称这种隐藏在随机现 象背后的客观规律为统计规律．
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概率论与数理统计是研究什么的？
2015年5月14日星期四9时 36分22秒
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◎捏在手中的苹果，如果手一松，苹果一定会往
下掉；
◎化学实验和物理实验都是确定性试验．
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随机试验：其结果具有不确定性、偶然性或
随机性． ◎新生婴儿的性别，可能是 男孩，也可能是女孩； ◎从一个混装有黑白两种颜色球 的盒子中随机摸球，可能摸出 黑球，也可能摸出白球； ◎抛掷一枚硬币（约定带币值的那面为正面）， 可能正面朝上，也可能反面朝上；
二、统计规律
举例1 新生婴儿性别是男是女，在试验之前无 法确定，完全是随机的、偶然的、甚至可以用杂 乱无章来形容．但是，实践告诉我们，重复做这 个试验，当试验次数相当大时，新生男孩的比例 逐渐稳定于1/2．出现这个事实是完全可以理解 的，因为生男生女“机会”均等．难怪我们并不 担心将来某一天男女比例会严重失调．
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◆从现在起，本门课程中提及的试验，如
果没有特别声明，均指随机试验． ２、确定性现象试验和随机现象
确定性试验结果外在表现为确定性现象或必然现象； 随机试验结果外在表现为随机现象或偶然现象．
◆随机现象是本门程的研究对象．
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