第40讲 数列最值的求法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】
一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方法要理解并记住.
二、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等. 【方法讲评】
【例1】在等差数列}{n a 中，1,101-==d a ，n S 为}{n a 前n 项和，求n S 的最大值. 【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n 项和可以看作是一个关于n 的二次函数
2n S An Bn =+，利用图像解答.
【反馈检测1】 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围；
（2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由.
【例2】在等比数列{}n a 中，)(0*
N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，3a 与5
a 的等比中项为2.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为S n ，当
n
S S S n +++ 212
1最大时，求n 的值. 【点评】（1）等差数列的通项n a 可以看作是一个关于n 的一个一次函数，画出函数的图像，比较直观地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而得到前多少项的和最大或最小.（2）注意数列{}n a 中，由 于9a 0=，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零”项，以免得出错误的结论. 学.科.网
【例3】已知数列{}n a
中，)n a n N *=∈则在数列{}n a 的前n 项中最小项和最大项分别是
（ ）
A.150,a a
B. 18,a a
C. 89,a a
D.950,a a
【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值.
【反馈检测2】已知等差数列{n a },*
n a N ∈,n S =212)8n a +（.若1
302
n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.
【例4】 已知数列}{n a 的通项公式n
n n a )10
)(
1(+=，)(N n ∈，求}{n a 的最大值. 【点评】（1）数列按照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.（2）判断数列的单调性一般有两种方法，方法一是作差判断，如果
110{}0{}n n n n n n a a a a a a ++->?-
【例5】设单调递增函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对任意的正实数,x y 有：()()()f xy f x f y =+且1()12
f =-．
⑴一个各项均为正数的数列{}n a 满足:()()(1)1n n n f s f a f a =
++-其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式；
⑵在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：
对一切*
n
N ∈成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由． ⑵假设M 存在满足条件，
即n M ≤
对一切
*
n N ∈恒成立．
令()n g n =
，
∴1(1)n g n ++=
，
故(1)1()
g n g n +=
=
>，
(1)()g n g n ∴+>，∴()g n 单调递增，*n N ∴∈，()(1)g n g ≥
=
．
∴0M <≤
【点评】（1）本题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；（2）是选择作差法判断函数的单调性，还是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，如果数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，如果数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.
【反馈检测3】 已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()
1,n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数()123
111
1
(),n
f n n N n a n a n a n a *=
++++
∈++++求函数)(n f 的最小值； （3）设n n
n S a b ,1
=
表示数列{}n b 的前n 项和， 试证明：1231(1),(,2)n n S S S S n S n N n *-++++=-∈≥．
【例6】广州市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元. （1）引进该设备多少年后，开始盈利？ （2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：
第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.
【点评】基本不等式同样可以求数列的最值.如果n 取等时的值不是正整数，可以求它附近的点的函