【浙江三校联考】浙江三校(新昌浦江富阳)2021届高三第一次联考 数学(高清含答案)
2021年高三数学上学期第一次三校联考试题理
2021年高三数学上学期第一次三校联考试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2．做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则A． B． C． D．2．命题“”的否定是A． B．C． D．3．函数的定义域为A．B． C． D．4．定积分A． B． C． D．5．函数的零点所在的区间为A． B． C． D．6．已知，则的大小关系为A． B． C． D．7．已知命题不等式的解集为，则实数；命题“”是“”的必要不充分条件，则下列命题正确的是A． B． C． D．8．已知，，则下列结论正确的是A．是奇函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是奇函数9．函数的一段大致图象是A B C D10．已知函数对任意都有，的图像关于点对称，且，则A． B． C． D．11．若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数为A． B． C． D．12．定义区间的长度为（），函数（，）的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．= ．14．设函数，则．15．设函数的最大值为，最小值为，则．16．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是．二、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）设：实数满足，：实数满足．（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；（Ⅱ）若其中且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数，为常数，且函数的图象过点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求满足条件的的值．19．（本小题满分12分）已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数满足（其中,）．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）对于函数，当时，,求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，的值为负数，求的取值范围.21．（本小题满分12分），曲线在点处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对于任意的，恒成立，求的范围；（Ⅲ）求证：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．选修4－1：几何证明选讲（本题满分10分）如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点.（Ⅰ）求证：是圆的切线；（Ⅱ）若的半径为，，求的值.23．选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若，求直线的倾斜角的值．24．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）设函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．高三理数第一次联考测试题（参考答案）13． -4 14. 3 15. 2 16.17．（1）由得当时，，即为真时实数的取值范围是. …………2分由，得，即为真时实数的取值范围是.…………4分因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是. …………6分(2)由得，所以，为真时实数的取值范围是. …………8分因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且…………10分所以实数的取值范围为：. …………12分18．解：（1）由已知得，解得．…………3分（2）由（1）知，又，则，即，即，…………6分令，则，即，…………8分又，故，…………10分即，解得．…………12分19．解：（1）因为函数在点处的切线恰好是直线，所以有即…………3分∴∴…………4分（2）依题意得：原命题等价于方程在区间[-2,1]上有两个不同的解。
浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题(含解析)
浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。
1.记全集U =R ，集合{}240A x x =-≥，集合{}22xB x =≥，则()UA B =（）A. [)2+∞，B. ØC. [)12， D. ()12， 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集. 【详解】由240x -≥得2x -≤或2x ≥，由22x ≥得1x ≥，则()[)221UA B =-=+∞，，，，所以()[)12UA B =，，故选C .【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数2-iz 1i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（）A.2 B.2【答案】A【解析】 【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解. 【详解】化简易得13i z 2-=，所以10z 2=，故选A . 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.【详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数2z x y =+经过点()44，时有最大值12，故选B .【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x by a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数a 与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y 轴的交点即可得出b 的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对1a >和01a <<分类讨论，当1a >时，对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知，002bb a>∴-<，A 选项中二次函数图象不符，D 选项符合；当01a <<时，对应B,C:由指数函数图象可知，00,02bb a a<∴->>，则B ，C 选项二次函数图象不符，均不正确，故选D . 【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线ml ，，平面αβ，满足l α⊥，m β⊂，则“l m ”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当l m 时，m α⊥，则可知αβ⊥；反之当αβ⊥时，l 与β中的m 不一定平行，故选A .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量ξ满足下列分布列，当()01p ∈，且不断增大时，（）A. ()E ξ增大，()D ξ增大B. ()E ξ减小，()D ξ减小C. ()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大，()D ξ先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()()()221E p D p p ==-，ξξ，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小.故选C .【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =，则双曲线的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4 3y x =±D. 34yx 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意依次求出,A B 点的坐标，求出直线AB 的方程，联立渐近线求出点M 的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知()2B c b ，，()10A -，，得直线211b AB y xc =++：（），联立渐近线y bx =，得1M b x c b =+-，又2AM MB =，所以1211b b c c b c b ⎛⎫+=- ⎪+-+-⎝⎭，得12c b -=，又221c b -=，所以34b =，所以双曲线的渐近线方程为34y x ，故选D . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时，渐近线方程为by x a=±； 当双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>时，渐近线方程为a y x b =±.8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=，，e 是自然对数的底数，存在m R ∈（） A. 当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先将()f x 的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将(ln 1)x -等价为()x e -，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数(),yg x y m ==的交点，利用以直代曲，可以将()g x 等价看成()()()20iy x e x x =-⋅->，利用“穿针引线”易知12i =，时图象如图，所以当1i =时最多有两个交点，当2i =时最多有三个交点.故选C .【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（）A. ≥≤，βαβγB. ≤≤，βαβγC. ≤≥，βαβγD. ≥≥，βαβγ【答案】B 【解析】 【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点M 作MN AC ⊥于N ，则MN ABC ⊥平面，过点M 作MH BC ⊥于H ，连接NH ，则NH BC ⊥,过点M 作MG AB ⊥于G ，连接NG ，则NG AB ⊥． 所以MBA =∠α，MBN =∠β，MHN =∠γ，sin ,sin ,MG MNBM BMαβ== tan ,tan ,MN MNBN HNβγ== 由MG MN ≥可知≤βα（M 位于1A 处等号成立），由BN NH ≥可知≤βγ（当B 为直角时，等号成立），故选B . 【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】 【分析】 由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
2021届浙江省名校新高考研究联盟高三上学期第一次联考数学试题Word版含答案
2021届浙江省名校新高考研究联盟高三上学期第一次联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|(3)(1)0}, {||1|1}A x x x B x x =-+>=->，则()R C A B =A.[1,0)(2,3]-B.(2,3]C.(,0)(2,)-∞+∞D.(1,0)(2,3)-2. 已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为 A.32 B.3 C.233D.2 3. 已知,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若,,//a b a αββ⊥⊥，则下列命题中正确的是A.b α⊥B.//b αC.αβ⊥D.//αβ 4. 已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2x y +的最大值为A.11B.10C.6D.45. 已知圆C 的方程为22(3)1x y -+=，若y 轴上存在一点A ，使得以A 为圆心，半径为3的圆与圆C 有公共点，则A 的纵坐标可以是A.1B.3-C.5D.7-6. 已知函数2|2|1,0()log ,0x x f x x x +-≤⎧=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是 A.(,4][2,)-∞-+∞ B.[1,2]- C.[4,0)(0,2]- D.[4,2]-7. 已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象A. B.C. D.8. 在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成'A BE ∆，使得点'A在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角'A BE C --的大小为θ，直线','A B A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则A.βαθ<<B.βθα<<C.αθβ<<D.αβθ<< 9. 已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一 个零点属于区间[0,2]”的一个（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，1ln(2)n n n a a a +=+-，则下列说法正确的是 A.2019102a << B. 2019112a << C. 2019312a << D. 2019322a <<二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
《精编》浙江省三校高三数学联考试题 文 新人教A版.doc
2021届浙江省三校高三数学联考卷数学〔文〕试题一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. (1) 计算21ii- 得 ( ▲ ) A ．3i -+ B. 1i -+ C. 1i - D. 22i -+(2) 从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，那么直线y kx b =+不经过第三象限的概率为 ( ▲ ) A ．29 B. 13 C. 49D. 59 (3) 某程序的框图如以下列图，那么运行该程序后输出的B 的值是( ▲ ) A ．63 B ．31 C ．15 D ．7 (4) 假设直线l 不平行于平面a ，且l a ⊄，那么A. a 内的所有直线与l 异面B. a 内不存在与l 平行的直线C. a 内存在唯一的直线与l 平行D. a 内的直线与l 都相交(5) 在圆06222=--+y x y x 内，过点E 〔0，1〕的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为 ( ▲ )A ．25B ．202C ．215D ．102〔6〕在以下区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为〔 ▲ 〕 A.〔14，12〕 B.〔-14，0〕 C.〔0，14 〕 D.〔12，34〕 〔7〕设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,那么( ▲ )A.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称 D.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称〔8〕函数22, 1,(), 1,x ax x f x ax x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 那么“2a ≤-〞是“()f x 在R 上单调递减〞的( ▲ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(9) 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．假设△1MNF 为正三角形，那么该双曲线的离心率为(▲)A ．6B ．3C ．2D ．33(10) 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =. 假设对任意的[,2]x t t ∈+，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，那么实数t 的取值范围是 ( ▲ ) A.[2)+∞， B.[2)+∞， C.(0,2] D.[2,1][2,3]--二．填空题：本大题共7小题，每题4分，总分值28分.(11) 右图是CCTV 青年歌手电视大奖赛上某一位选手得分的茎叶统 计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_______▲ _。
三校新昌中学浦江中学富阳中学2021届高三化学上学期第一次联考试题
浙江省三校(新昌中学、浦江中学、富阳中学）2021届高三化学上学期第一次联考试题可能用到的相对原子质量:H 1 C 12N 14O 16 F 19 Na 23Al 27Si 28P 31S 32Cl 35.5K 39Ca 40Fe 56 Cu 64Zn 65Ag 108 I 127Ba 137一、选择题(本大题共25小题，每小题2分，共50分。
每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．下列物质因水解呈碱性的是A．CaO B．CuSO4C．KClO D．NaOH2．分离乙苯和乙醇，需要用到的仪器是A．B．C．D．3．实验测知K3C60熔融状态下能导电，关于K3C60的分析错误．．的是A．是离子晶体B．是强电解质C．存在两种作用力D．阴阳离子个数比为20∶1 4．下列物质中,化学式能真正表示该物质分子组成的是A．KHCO3 B．S C．H3PO4D．SiO25．下列化学用语表示正确的是A．CF4的球棍模型：B．－CHO的电子式:C．硅元素的原子结构示意图：D．乙醇的结构式:C2H6O6．下列说法不正确的是A．煤是由有机化合物和无机物所组成的复杂的混合物B．石油的催化重整和煤的干馏均可以得到芳香烃C．“可燃冰”是天然气的水合物，外形似冰，易燃烧D．花生油、豆油、羊油和润滑油均属于高级脂肪酸甘油酯7．下列说法正确的是A．C60与C70互为同位素B．异丙苯和苯互为同系物C．H2O与D2O互为同素异形体D．乙醇和乙醚互为同分异构体8。
下列说法不正确的是A．石英是由硅原子和氧原子构成的原子晶体,每个原子的最外层都具有8电子稳定结构B．Na2O是离子晶体，其溶于水生成NaOH的过程中既有离子键的断裂又有共价键的形成C．现代科技已经能够拍到氢键的“照片”,直观地证实了水分子间的氢键是一个水分子中的氢原子与另一个水分子中的氧原子间形成的化学键D．硅晶体熔化与碘化氢分解需克服的化学键相同9．新中国成立70年来，我国在载人飞船、北斗卫星、高铁、5G技术等领域取得了举世瞩目的成就。
2021年高三三校第一次联考(数学文)
2021年高三三校第一次联考（数学文）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x | y=ln （1－x ）}，集合B={y | y=x 2}，则A ∩B = （ ）A ．[0，1]B ．C ．D ．2．复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若平面向量的夹角是180°，且等于 （ ） A ．（－3，6） B ．（3，－6） C ．（6，－3）D ．（－6，3） 4．设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．（1，2）5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的 直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A ．1 B ．C ．D ．6．已知x 、y 满足约束条件的取值范围为（ ） A ．[－2，－1] B ．[－2，1] C ．[－1，2] D ．[1，2]7．已知是周期为2的奇函数，当),25(),52(,lg )(,10f b f a x x f x ===<<设时 （ ） A ． B ． C ． D ．8．动点在圆上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点的轨迹方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 俯视图 第4题图9．函数的图象如图所示， 则y 的表达式为 （ ） A ． B ． C ． D ．10．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可 以构成一个“锯齿形”的数列{a n }：1，3，3，4，6，5，10， …，则a 21的值为 （ ） A ．66 B ．220 C ．78 D ．286 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
2021届浙江省三校(新昌中学 浦江中学 富阳中学)高三上学期第一次联考数学答案
设 ,
由已知,方程 有两个不为0,-1的实根,
当 时, 在 上递增, 至多一个实根,故
在 上递减,在 上递增,
且 ………………………………5分
(ii)由（I）不妨设
要证 ,即证 而 ,
由 在 上递减,在 上递增,且
故只要证 ,又 ,故只要证
可知必有两解 , ,且 ,故对任意 必存在 ,从而存在 .
由②可知 ,从而
当 时, ,从而①式成立；
当 时, , ,从而①式成立；
当 时, , ,从而①式成立；
因此满足②的解 也满足①式,从而对任意 ,都存在这样的点P,使得 所在直线平行于 轴. ………………………………………………………………………………………15分
19. 证明：（1）连接 交于 ,连 ,, 为 中点, 为 中点 , , . ……………6分
（2）
,
,如图建立坐标系,
则
由 得 ,
设面BCF法向量 ,由 可取 ,因此设线面角为 则有 . ………………………………………………15分
20．解答：（Ⅰ）易知 , .
由 可知 ,即 ,令 ,易知 在 上递增, 上递减,且 ,
即证 ,又
即证
设
递增,
即
………………………………………10分
（II）显然 和 均不为该函数零点,令 ,则 的三个交点的横坐标即为三个零点 ,由 ,可知 在 上增,在 上减,在 上增,即 ,所以 ,此时显然有 在 上增,且 , ,故 为唯一负零点,且 .
令 ,则 ,即递增, ,而 ,所以 ,可得 .…………………15分
11.抛物线12. 1， .
13.63；-18014. ,
2021年浙江新昌中学、浦江中学、富阳中学三校第一次联考高三上学期数学试卷-学生用卷
2021年浙江新昌中学、浦江中学、富阳中学三校第一次联考高三上学期数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第1题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第1题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第1题4分已知集合A={x||2x−1|<6}，B={x|2x+13−x⩽0}，则A∩∁R B=（）．A. (−52,−12]∪(3,72)B. (−52,−12)∪[3,72)C. (−12,3]D. (−12,3)2、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第2题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第2题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第2题4分已知a∈R，若a1+i +1+i2（i为虚数单位）是实数，则实数a等于（）．A. 1B. 2C. 32D. 523、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第3题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第3题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第3题4分若{x⩾0 x−2y⩽0x+y−3⩾0，则z=x+3y的最小值是（）．A. 0B. 1C. 5D. 94、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第4题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第4题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第4题4分2020~2021学年10月山东青岛市南区青岛第三十九中学高三上学期月考第4题5分2017~2018学年10月河北邯郸临漳县临漳县第一中学高三上学期月考文科第6题5分设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）．A. 当n⊥α时，"n⊥β”是“α//β”成立的充要条件B. 当m⊂α时，“m⊥β”是“a⊥β”的充分不必要条件C. 当m⊂α时，”n//α”是“m//n”必要不充分条件D. 当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件5、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第5题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第5题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第5题4分2013年上海奉贤区高三一模已知函数y=sinax+b(a>0)的图象如图所示，则函数y=log a(x+b)的图象可能是（）．A.B.C.D.6、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第6题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第6题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第6题4分已知F1，F2是双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=bax对称，则该双曲线C的离心率为（）．A. √52B. √5C. √2D. 27、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第7题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第7题4分 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第7题4分2012年高考真题四川卷理科第12题设函数f(x)=2x −cosx ，{a n }是公差为π8的等差数列，f(a 1)+f(a 2)+⋅⋅⋅+f(a 5)=5π，则[f(a 3)]2−a 1a 5=（ ）．A. 0B. 116π2 C. 18π2D. 1316π28、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第8题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第8题4分 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第8题4分 已知平面向量a →，b →，c →满足：|a →|=2，a →，b →的夹角为60°，且c →=−12a →+tb →(t ∈R )．则|c →|+|c →−a →|的最小值为（ ）．A. √13B. 4C. 2√3D. 9√349、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第9题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第9题4分 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第9题4分袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是 13， 有3次摸到红球即停止．记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，则ξ 的数学期望Eξ=（ ）．A.13181 B.14381 C.433243 D. 59324310、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第10题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第10题4分 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第10题4分定义全集U 的子集A 的特征函数f A (x)={1，x ∈A 0，x ∈∁U A．这里∁U A 表示集合A 在全集U 中的补集．已知A ⊆U ，B ⊆U ，以下结论 不正确．．．的是（ ）． A. 若A ⊆B ，则对于任意x ∈U ，都有f A (x )⩽f B (x )B. 对于任意x ∈U ，都有f ∁U A (x )=1−f A (x )C. 对于任意x ∈U ，都有f A∩B (x )=f A (x )⋅f B (x )D. 对于任意x ∈U ，都有f A∪B (x )=f A (x )+f B (x )二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第11题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第11题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第11题4分在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．已知一个圆锥的高和底面半径都为2，则用与底面呈45°的平面截这个圆锥，得到的曲线是．12、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第12题6分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第12题6分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第12题6分某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是1，则正视图中的x的值是，该几何体的表面积是．13、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第13题6分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第13题6分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第13题6分已知多项式(x2+1)(x−1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a7(x+1)7，则a1+a2+⋯+a7=，a4=．14、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第14题6分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第14题6分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第14题6分(0<θ<π)，则tanθ=，sin2(θ−已知sinθ+cosθ=−713π)=．415、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第15题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第15题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第15题4分2020~2021学年福建福州仓山区福建师范大学附属中学高二上学期期中B卷第14题5分过x−y−2=0上一点P(x0,y0)作直线与x2+y2=1相切于A，B两点．当x0=3时，切线长|PA|为；当|PO|⋅|AB|最小时，x0的值为．16、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第16题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第16题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第16题4分2004年全国高中数学联赛竞赛一试第12题9分在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(−1,2)和N(1,4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为．17、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第17题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第17题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第17题4分)lnx恒成立，则实数a的最小值若对任意x>0，不等式a(e ax+1)⩾2(x+1x为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第18题15分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第18题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第18题15分在①A+C=2B②a+c=2b这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，，试求sinA⋅sinB⋅sinC的范围．19、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第19题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第19题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第19题15分如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F为DE的中点．(1) 求证：BE//平面ACF．(2) 求BE与平面BCF所成角的正弦值．20、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第20题15分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第20题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第20题15分已知数列{a n}的首项a1，前n项之和S n，满足S n=n2+na12，数列{b n}的前n项之和T n，满足(q−1)T n=qb n−1(q>0)，n∈N∗．(1) 若对任意正整数n都有a n⩽b n+1成立，求正数q的取值范围．(2) 当q=2，数列{c n}满足：c n=a n+2S n⋅b n+1，求证：32⩽c1+c2+⋅⋅⋅+c n<2．21、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第21题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第21题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第21题15分已知椭圆Γ:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)左顶点为A，离心率为√32，且过点(√3,12)．(1) 求Γ的方程．(2) 过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P的切线l交Γ于D，E两点，线段DE，PA的中点分别为M，N．求证：对任意p>0，都存在这样的点P，使得MN所在直线平行于y轴．22、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第22题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第22题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第22题15分 已知函数f (x )=e x +ax 2，其中e =2.71828⋯⋯是自然对数的底数．(1) 若g (x )=f (x )x+1(x ≠−1)有三个极值点x 1，x 2，x 3．① 求实数a 的范围．② 求证：x 1+x 2+x 3>−2．(2) 若y =f (x )有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，求证：−√−1a+1<x 1<0．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 A;10 、【答案】 D;11 、【答案】 抛物线;12 、【答案】 1;5+√52+√212; 13 、【答案】 63;−180;14 、【答案】 −512;−119169; 15 、【答案】 3;1;16 、【答案】 1;第11页， 共11页 17 、【答案】 2e ;18 、【答案】 当选①A +C =2B ，sinA ⋅sinB ⋅sinC ∈(0,3√38]； 当选②a +c =2b ，sinA ⋅sinB ⋅sinC ∈(0,3√38]． ;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) √10251．;20 、【答案】 (1) q ⩾√33． ;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x 24+y 2=1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1)① a <−1e 且a ≠−12．② 证明见解析．;(2) 证明见解析．;。
浙江省2021届高三数学第一次联考试题(含解析)
浙江省2021届高三数学第一次联考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（ ） A. [1,0)(2,3]-B. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞D. (1,0)(2,3)-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖， 所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <， 所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（ ）A.2C.3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,a c ==3c e a ==，故选C.【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（ ） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】 【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y满足312(1)xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y=+的最大值为（）A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】B【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y=+的几何意义，当直线2y x z=-+在y 轴上的截距达到最大时，z取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y=+的几何意义，当直线2y x z=-+在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，当直线过点(3,4)A时，其截距最大，所以max23410z=⨯+=，故选B.【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z=-+在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C的方程为22(3)1x y-+=，若y轴上存在一点A，使得以A为圆心、半径为3的圆与圆C有公共点，则A的纵坐标可以是（）A. 1B. –3C. 5D. -7【答案】A 【解析】 【分析】设0(0,)A y ，以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到0y <<【详解】设0(0,)A y，两圆的圆心距d =因为以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，所以313124d -<<+⇒<<，解得0y <<B 、C 、D 不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A. (4][2,)-∞-+∞ B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]-【答案】D 【解析】 【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由2x π=时的函数值，排除C,D ；由2x π=的函数值和322x ππ<<函数值的正负可排除A. 【详解】当2x π=时，(2)ln 20f ππ=>排除C,D ， 当2x π=时，()02f π=，当322x ππ<<时，ln 0,cos 0x x ><， 所以()0f x <排除A, 故选B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（ ）A. βαθ<<B. βθα<<C. αθβ<<D. αβθ<<【答案】D 【解析】 【分析】由折叠前后图象的对比得点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan ,tan ,tan αβθ的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大， 当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=， 因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<， 所以αβθ<<，故选D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的一个（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，再从函数在[0]2，上的零点个数得出相应条件，从而解出+a b 的范围.【详解】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，分为两种情况： （1）函数()f x 在区间[0]2，上只有一个零点0,(0)(2)0,f f ∆>⎧⇔⎨⋅≤⎩2222(0)(2)(42)2424f f b a b b ab b b ab a b a ⋅=++=++=+++- 22()40a b b a =++-≤，即22()4a b a b +≤-又因为240a b ->，所以，a b ≤+≤（2）函数()f x 在[0]2，上有2个零点0,(0)0,(2)420,02,2f b f a b a ∆>⎧⎪=≥⎪⎪⇔⎨=++≥⎪⎪<-<⎪⎩解得：20a b -≤+≤； 综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”⇔20a b -≤+≤或a b ≤+≤所以20a b -≤+≤⇒20a b -≤+≤或a b ≤+≤ 而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（ ） A. 2019102a << B. 2019112a <<C. 2019312a <<D. 2019322a <<【答案】B 【解析】 【分析】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，则'11()1022xf x x x-=-=>--先根据单调性可得1n a <，再利用单调性可得1231012n a a a a <<<<<<<<.【详解】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，由'11()1022xf x x x-=-=>--可得()f x ()0,1单调递增，由'()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列， 如图所示：且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=，211()(0)2a f a f =>>，图象可得1231012n a a a a <<<<<<<<，所以2019112a <<，故选B. 【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____，||z =__________.【答案】 (1). -1 (2). 2 【解析】 【分析】复数z 进行四则运算化简得1i z =--，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1-，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以z 的虚部为1-，22||(1)12z =-+=，故填：1-;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为_____3cm ，表面积为____2cm .【答案】 (1). 233(2). 23 【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积. 【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2， 所以多面体的体积为：1123222112323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3cm ， 表面积为：2212116222(5)()11212232222⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯=2cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则0a =______，2a =_____.【答案】 (1). –2 (2). –154 【解析】 【分析】令0x =得：02a =-，求出两种情况下得到2x 项的系数，再相加得到答案. 【详解】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-； （2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-； 所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】 (1). 326+ (2). 2 【解析】 【分析】在BDE ∆中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB ∆中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出cos CEB ∠，进一步得到cos CED ∠的值.【详解】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒， 所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =，解得：33326sin152321BE ===+⋅-⋅在CEB ∆中，由余弦定理，可得：2222cos CE BE CB BE CB B =+-⋅2242(422)=-=-，所以422CE =-2221cos 22CE BE CB CEB CE BE +-∠==⋅，CEB 60,︒∠=CED CEB BED 45∠=∠-∠=，所以2cos 2CED ∠=326；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A ⋅=种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A ⋅⋅=种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 【答案】1 【解析】 分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k 的关系，从而求得222111k k -的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为2221122221121121212y y k k k x x k x x x x x x -==⇒==-++++，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得||a b -的值.【详解】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==，由3144c a b =+，则(2,)4b C ， 则直线,OB OC 的斜率分别为,28b b， 由两直线的夹角公式可得：3328tan BOC 841282b b b b b b -∠==≤=+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-， 所以||4a b -=，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos cos f x x x x =+． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值. 【答案】(1)1；(2) 4cos 10α= 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值； （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得cos α=. 【详解】解:（1）因为21cos21()cos cos sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 334cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【答案】(1) 证明见解析；10【解析】 【分析】（1）证明直线1BB 垂直CM 所在的平面BCM ，从而证明1BB CM ⊥；（2）以A 为原点，BC 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB =，线面角为θ，可得面1B MC 的一个法向量(23,3,5)n =-，330,,22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入公式sin |cos ,|n BM θ=<>进行求值. 【详解】（1）证明：在Rt ABC ∆中，B 是直角，即BC AB ⊥，平面ABC ⊥平面11AA B B ， 平面ABC平面11AA B B AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面11AA B B AB =，1BC B B ∴⊥.在菱形11AA B B 中，160A AB ︒∠=，连接BM ，1A B 则1A AB ∆是正三角形，∵点M 是1AA 中点，1AA BM ∴⊥. 又11//AA B B ，1BB BM ∴⊥.又BMBC B =，1BB ∴⊥平面BMC1BB MC ∴⊥.（2）作1BG MB ⊥于G ，连结CG ．由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，得到1BC MB ⊥， 又1BG MB ⊥，且BCBG B =，所以1MB ⊥平面BCG .又因为1MB ⊂平面1CMB ，所以1CMB ⊥BCG ， 又平面1CMB 平面BCG CG =,作BH CG ⊥于点H ，则BH ⊥平面1CMB ，则BMH ∠即为所求线面角． 设 2AB BC ==， 由已知得1221302,3,BB BM BG BH ====sinBHBMHBM∠===，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为5．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列{}n a为等差数列，n S是数列{}n a的前n项和，且55a=，36S a=，数列{}n b满足1122(22)2n n na b a b a b n b+++=-+．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令*,nnnac n Nb=∈，证明：122nc c c++<．【答案】(1) n a n=.2nnb=. (2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a=，36S a=得到关于1,a d的方程，得到na n=；利用临差法得到12nnbb-=，得到{}n b是等比数列，从而有2nnb=；（2）利用借位相减法得到12111121222222n n nn n-+++++-=-，易证得不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，11145335a da d a d+=⎧∴⎨+=+⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，∴数列{}n a的通项公式为n a n=.122(22)2n nb b nb n b∴++=-+，当2n≥时，12112(1)(24)2n nb b n b n b--++-=-+11(24)(2)2nn n n b n b n b b --⇒-=-⇒=， 即{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，2n n b ∴=. （2）2n n n n a nc b ==，记121212222n nn S c c c =++=++⋯+， 则1212321222n nS -=++++， 1211112212222222n n n n n S S S -+∴=-=++++-=-<．【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．【答案】(1)22143x y+=. (2) ()2,1【解析】【分析】（1）由题设可知26,13P⎛⎫⎪⎝⎭，又12e=，把,a b均用c表示，并把点26,13P⎛⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c=；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标. 【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知26,1P⎛⎫⎪⎝⎭，228113a b∴+=，又12e=，22811123c c∴+=，可得1c=，椭圆的方程为22143x y+=.（2）设2,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭则切线l的方程为20024x xy x=-代入椭圆方程得：()422300031204xx x x x+-+-=，设()()()112233,,,,,B x yC x y E x y，则()31232223xx xxx+==+，()2200033232443x x xy xx=-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++， 令0y =得()32083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+. 化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a 为实常数，函数2(),(),xf x axg x e x R ==∈．（1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间； （2）设m N *∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，当(]01a ∈，时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立．若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．(2)存在，1m =【解析】【分析】（1）当12a e =时得21()2x h x x e e=+，求导后发现()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，利用导数和零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，再对m 分1m =和1m 两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2x h x x e e =+，1()x h x x e e'=+， ∵()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，∴()h x '在(),1-∞-上负,在()1,-+∞上正， 故()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．（2）设2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+ ()8x F x ax e '=+，()80x F x a e ''=+>，()F x '∴单调递增．又(0)0F '>，0F '⎛ < ⎪ ⎪⎝⎭（也可依据lim ()0x F x '→-∞<）， ∴存在00 x <使得()00F x '=，故()F x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．又∵对于任意*m N ∈存在ln x m >使得()F x m >，又lim ()x F x →-∞→+∞，且有()0(0)1F x F m <=≤，由零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，故[]34,B x x =.()()222()()4x x F x G x ax e ax e -=---，令2()xH x ax e =-，由0a >知()H x 在(,0)-∞上单调递减，∴当0x <时，()()(2 )()0F x G x H x H x -=->又∵m 1≥，3x 和1x 均在各自极值点左侧,结合()F x 单调性可知()()()133F x m G x F x ==<，310x x ∴<<当1m =时，240x x ==， A B ∴⊆成立，故1m =符合题意．当0x >时，2222()()33x x x x F x G x ax e e x e e -=+-≤+-， 令1()2ln P t t t t =--，则22(1)()0t P t t '-=>， ∴当1t >时，()(1)0P t P >=． 在上式中令2x t e =，可得当0x >时，有22x xe e x -->成立， 322x x x e e xe ∴-> 令()2t Q t e t =-，则()2tQ t e '=-， ()(ln2)22ln20Q t Q ∴≥=->，2x e ∴>恒成立. 故有32223x x x e e xe x ->>成立，知当0x >时，()()0F x G x -<又∵()F x ，()G x 在[)0,+∞上单调递增，∴当1m 时，()()()244F x m G x F x ==>，240x x ∴>>，而31 0x x <<，∴此时A B ⊆和B A ⊆均不成立.综上可得存在1m =符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.。
2021届浙江省“山水联盟”高三上学期开学考试数学试题(解析版)
【详解】
（1）
所以 的最小正周期为
（2）由
得 ，
又 ，得 或
所以 的单调增区间为： ，
【点睛】
本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
19．如图，在四棱锥 中， ， ， ， 是 的中点，平面 平面 .
（1）证明： ；
【详解】
（1）由已知可得在直角梯形 中， ，所以 ， ， ，
所以 ，所以 ；
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ；
又 ， ，所以 ，所以 ；
因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；
（2）由（1）得 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ；
所以直线 在平面 中的射影为直线 ，
【详解】
（1）由已知 ， ，所以 是常数列，
，故
设 的公比是 ，由已知得 ，所以
所以 ，故
（2）
累加得：
所以 ，得证.
【点睛】
此题考查数列的通项公式的求法:一是由递推关系求通项公式，二是确定基本量求通项公式；另一方面考查裂项求和，属于中档题.
21．已知抛物线 ： ， 为其焦点，点 在抛物线 上，且 ，过点 作抛物线 的切线 ， 为 上异于点 的一个动点，过点 作直线 交抛物线 于 ， 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 ，求直线 的斜率，并求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 且 .
【解析】（1）根据抛物线定义化简条件得 ，即得结果；
（2）先求 坐标，再求切线 的方程，可设点 坐标，进而设直线 方程，且与抛物线方程联立，结合韦达定理与弦长公式化简 ，解得直线 的斜率，最后根据判别式确定 的取值范围.