概率论与数理统计第三章第三节(概率统计)
概率论与数理统计第三章
二维离散型随机变量的边缘分布密度
设（X,Y）为离散型随机变量，
P( X ai , Y b j ) pij ,
条件分布是一种概率分布，它具有概率 分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率， 具有概率的一切性质.
例如：P ( X xi | Y y j ) 0, i=1,2, …
P( X x
i 1
i
|Y yj) 1
例1 已知（X,Y）的分布密度如下，分别求在 X=1和X=0条件下，Y的分布密度。 Y 1 0 X
若对于不同的(ai,bj)，Z ( X , Y ) 有相同的值，则应取这些相同值对应的概率之和。
例1：设（X,Y）联合概率分布为： X Y -1 2
-1
0
1
2
1/5 3/20 1/10 3/10 1/10 0 1/10 1/20
求X+Y,XY的概率分布。
例2：设（X,Y）相互独立，其分布密度为
常见的二维随机变量的分布
◆均匀分布 设G为平面区域， G的面积为A(0 A ), 若( X , Y )的分布密度为
1 ( x, y ) G A f ( x, y ) 其它 0 则称( X , Y )在G上服从均匀分布。
例2：设（X,Y）在区域G（0≤y≤2x,0 ≤x ≤2)上 服从均匀分布，求 (1)（X,Y）的分布密度、分布函数。 (2)概率P(Y>X2)
一般地，我们称n个随机变量的整体 X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随 机向量.
高等教育出版社《概率论与数理统计统计》第3章
pi j 0, p 1 i j ij
Y X y1 y2
1 11 12
分布列 X 和Y 的 联合分布列 可表示为 表格形式
… yj p1j p2j . . . pij . . .
P ( X xj ) p j
pj 0; p 1 . j j
y
规范性) 0 F( x, y)1 且 ) (, ) 0lim (, y ) 20 (非负性) 即,对任意固定的 y,F(,x, y F是单调不减函数F ( x ,) 1; x, F 对任意固定的 x,F( x, x,)F ( x,) 0, y, F (, y ) 0. y 是单调不减函数, 30 (右连续性)
2. 二维随机变量的分布函数 定义1设(X, Y)是二维随机变量,
x , y R , 二元函数
F ( x,) y ) P{ ( X x ) (Y y ) } P ( X x ,)Y y )
称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数，也称为随机变量 X 与 Y 的 联合分布.
0.375 0.3875 0.2000
3
pi
0.0375
0.3750
0
0.3875
0
0.2000
0
0.0375
0.0375
三、二维连续型随机变量
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y) 随机变量X 的分布函数F(x) 类比 若 f ( x ) 0 若 f ( x, y ) 0 x (-, +) 实数 x, y P87 定义4
xi x y j y { X {iX i }j {Y{ j )i } {Y j } P( , Y } X } P( Y j X i ) P( X i ) F(2, 2) pij
概率论与数理统计03(3)
22. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解: 设X 1, X 2, X 3, X 4为4只电子管的寿命, 它们相互独立, 同分布, 其概率密度为:22202)160(2021)(⨯--⋅=t T e t f π,⎰∞-⨯-==<18022202)160(20121)180(}180{dt t F X f X π ⎰∞--=-======1220160221du e u u t π令 8413.0)2060180(=-Φ=. 设N =min{X 1, X 2, X 3, X 4}, 则P {N >180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180} =P {X >180}4={1-p [X <180]}4=(0.1587)4=0.00063.23. 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到观察值X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, 设它们是相互独立的随机变量且都服从参数σ=2的瑞种分布.(1)求Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数;(2)求P (Z >4).解: 由20题知, X i (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 5)的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他004)(82x e x x f x X , 分布函数为821)(x X ex F --=(x >0).(1) Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数为585m ax )1()]([)(2z e z F z F --== (z ≥0),当z <0时, F max (z )=0.所以Z 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(58m ax 2z z e z F z . (2)P (Z >4)=1-P (Z ≤4)=1-F Z (4)5167.0)1(1)1(1525842=--=--=--e e .24. 设随机变量X , Y 相互独立, 且服从同一分布, 试证明 P (a <min{X , Y }≤b )=[P (X >a )]2-[P (X >b )]2 . 解: 因为X 与Y 相互独立且同分布, 故P (a <min{X , Y }≤b )=P (min{X , Y }≤b )-P (min{X , Y }≤a ) =1-P (min{X , Y }>b )-[1-P (min{X , Y }>a )]=P (min{X , Y }>a )-P (min{X , Y }>b )=P (X >a , Y >a )-P (X >b , Y >b )=P (X >a )P (Y >a )-P (X >b )P (Y >b )=[P (X >a )]2-[P (Y >b )]2 .25. 设X , Y 是相互独立随机变量, 其分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).证明随机变量Z =X +Y 的分布律为∑=-==i k k i q k p i Z P 0)()()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),证明: 因为X 与Y 独立, 且X 与Y 的分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),故Z =X +Y 的分布律为∑==+===ik i Y X k X P i Z P 0) ,()(∑=-===i k k i Y k X P 0) ,(∑=-===i k k i Y P k X P 0)()(∑=-=i k k i q k p 0)()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).26. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~π(λ1), Y ~π(λ2), 证明Z =X +Y ~π(λ1+λ2).证明: 因为X , Y 分别服从参数为λ1, λ2的泊松分布, 故X , Y 的分布律分别为1!)(1λλ-==e k k X P k (λ1>0), 2!)(2λλ-==e r r Y P r (λ2>0), 由25题结论知, Z =X +Y 的分布律为∑=-====i k k i Y P k X P i Z P 0)()()(∑=----⋅=i k k i k e k i e k 02121)!(!λλλλ ∑=-+-⋅-=i k k i k k i k i i e 021)()!(!!!21λλλλ i i e )(!21)(21λλλλ+=+-(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 即Z =X +Y 服从参数为λ1+λ2的泊松分布.27. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~b (n 1, p ), Y ~b (n 2, p ), 证明Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ).证明: Z 的可能取值为0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , 2n , 因为{Z =i }={X +Y =i }={X =0, Y =0}⋃{X =1, Y =i -1}⋃ ⋅⋅⋅ ⋃{X =i , Y =0}, 由于上述并中各事件互不相容, 且X , Y 独立, 则∑=-====ik k i Y k X P i Z P 0) ,()(∑=-===i k k i Y P k X P 0)()(∑=+-----⋅-=i k k i n k i k i n k n k k n p p C p p C 02211)1()1( ∑=--+⋅-=ik k i n k n k n n i C C p p 02121)1( i n i i n n p p C -+-=2)1(21(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , n 1+n 2), 所以 Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ),即Z =X +Y 服从参数为2n , p 的二项分布.提示:上述计算过程中用到了公式i n n ik k i n k n C C C 21210+=-=⋅∑, 这可由比较恒等式2121)1()1()1(n n n n x x x ++=++两边x i 的系数得到.28. 设随机变量(X , Y )的分布律为(1)求P {X =2|Y =2), P (Y =3|X =0);(2)求V =max{X , Y }的分布律;(3)求U =min{X , Y }的分布律;(4)求W =V +U 的分布律.解: (1)由条件概率公式)2()2,2()2|2(======Y P Y X P Y X P 08.005.005.005.003.001.005.0+++++= 2.025.005.0==. 同理 31)0|3(===X Y P . (2)变量V =max{X , Y }.显然V 是一随机变量, 其取值为V : 0, 1, 2, 3, 4, 5. P (V =0)=P (X =0, Y =0)=0,P (V =1)=P (X =1, Y =0)+P (X =1, Y =1)+P (X =0, Y =1) =0.01+0.02+0.01=0.04,P (V =2)=P (X =2, Y =0)+P (X =2, Y =1)+P (X =2, Y =2) +P (Y =2, X =0)+P (Y =2, X =1)=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16, P (V =3)=P (X =3, Y =0)+P (X =3, Y =1)+P (X =3, Y =2)+P (X =3, Y =3)+P(Y=3, X=0)+P(Y=3, X=1)+P(Y=3, X=2),=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P(V=4)=P(X=4,Y=0)+P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P (X=4,Y=3)=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24,P(V=5)=P(X=5,Y=0)+⋅⋅⋅+P(X=5,Y=3)=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28.(3)显然U的取值为0, 1, 2, 3.P(U=0)=P(X=0,Y=0)+⋅⋅⋅+P(X=0,Y=3)+P(Y=0,X=1)+⋅⋅⋅+P(Y=0,X=5)=0.28.同理P(U=1)=0.30,P(U=2)=0.25,P(U=3)=0.17.(4)W=V+U的取值为0, 1,⋅⋅⋅, 8.P(W=0)=P(V=0,U=0)=0,P(W=1)=P(V=0, U=1)+P(V=1,U=0).因为V=max{X,Y}=0又U=min{X,Y}=1不可能上式中的P(V=0,U=1)=0,又P(V=1,U=0)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.2,故P(W=1)=P(V=0, U=1)+P(V=1,U=0)=0.2,P(W=2)=P(V+U=2)=P(V=2, U=0)+P(V=1,U=1)=P(X=2 Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.03+0.01+0.02=0.06,P(W=3)=P(V+U=3)=P(V=3, U=0)+P(V=2,U=1)= P(X=3,Y=0)+P(X=0,Y=3)+P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13, P(W=4)=P(V=4, U=0)+P(V=3,U=1)+P(V=2,U=2)=P(X=4,Y=0)+ P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2 =0.19,P(W=5)=P(V+U=5)=P(V=5, U=0)+P(V=5,U=1)+P(V=3,U=2=P(X=5 Y=0)+P(X=5,Y=1)+P(X=3,Y=2)+P(X=2,Y=3) =0.24,P(W=6)=P(V+U=6)=P(V=5, U=1)+P(V=4,U=2) +P(V=3,U=3)=P(X=5,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=3,Y=3)=0.19,P(W=7)=P(V+U=7)=P(V=5, U=2)+P(V=4,U=3) =P(V=5,U=2)+P(X=4,Y=3)=0.6+0.6=0.12, P(W=8)=P(V+U=8)=P(V=5, U=3)+P(X=5,Y=3)=0.05.。
概率论与数理统计3章
VS
概率密度函数
描述连续随机变量在任意一点处的概率的 函数。
随机变量的期望与方差
期望
方差
数学期望或均值，是随机变量取值的平均数， 反映了随机变量的中心趋势。对于离散随机 变量，期望是所有可能取值的概率与其对应 的值的乘积之和；对于连续随机变量，期望 是积分概率密度函数在定义域内的值。
度量随机变量取值与其期望之间的偏离程度， 即各取值偏离其均值的大小。方差越小，各 取值越接近均值；方差越大，各取值越分散。
03
统计推断
参数估计
01
02
03
04
参数估计方法
根据样本数据，通过适当的方 法估计总体参数的过程。
点估计
用单一数值表示总体参数的估 计值，如算术平均数、中位数
等。
区间估计
给出总体参数的可能取值范围 ，如置信区间。
估计量的评选标准
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
根据样本数据对总体参数作出推断，通过检验假设是 否成立来作出决策。
离散随机变量及其分布
离散概率分布
描述离散随机变量取各个可能值的概率的分布。常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布等。
概率质量函数
描述离散随机变量取每一个可能值的概率的函数。
连续随机变量及其分布
连续概率分布
描述连续随机变量在某个区间内取值的 概率的分布。常见的连续概率分布有正 态分布、均匀分布、指数分布等。
定义
指数平滑法是一种时间序列预测方法，通过计算 时间序列的加权平均值来预测未来的值。
计算公式
指数平滑法的计算公式为`预测值 = α*当前值 + (1-α)*上期预测值`，其中α是平滑系数，取值范 围为0到1。
概率论与数理统计第3讲
3
一般地, 对于A,B两个事件, P(A)>0, 在事件A发 生的条件下事件B发生的概率称为条件概率 条件概率, 条件概率 记为P(B|A).
4
例1 一个家庭中有两个小孩, 已知其中一个是 女孩, 问另一个也是女孩的概率是多少(假定 男生女生是等可能的)? 解 由题意, 样本空间为 Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} A表示事件"其中一个是女孩", B表示事件"两 个都是女孩", 则有 A={(男,女),(女,男),(女,女)} B={(女,女)} 由于事件A已经发生, 所以这时试验的所有可 能结果只有三种, 而事件B包含的基本事件只 占其中的一种, 所以有P(B|A)=1/3.
20
例5 已知某厂家的一批产品共100件, 其中有5 件废品. 为慎重起见, 某采购员对产品进行不 放回的抽样检查, 如果在被他抽查的5件产品 中至少有一件是废品, 则他拒绝购买这一产品. 求采购员拒绝购买这批产品的概率. 解设 Ai={被抽查的第i件产品是废品}, i=1,2,3,4,5, A={采购员拒绝购买}, 5 则 A= A
17
例3 活到50岁的概率为0.90718, 活到51岁的概 率为0.90135. 问现在已经50岁的人, 能够活到 51岁的概率是多少? 解 记A={活到50岁}, B={活到51岁}. 则B⊂A. 因此, AB=B. 要求P(B|A). 因为P(A)=0.90718, P(B)=0.90135, P(AB)=P(B)=0.90135, 从而 P ( AB ) 0.90135 P ( B | A) = = ≈ 0.99357 P ( A) 0.90718 由此可知, 该城市的人在50岁到51岁之间死亡 的概率约为0.00643. 在平均意义下, 该年龄段 中每千个人中约有6.43人死亡. 18
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计课件 第3章3节
1 x 1,
16
0,
其它.
五、二维正态分布
exp{ x } e x
若 ( X,Y ) 的概率密度为
f (x, y)
1
exp{ 1 [(x 1 )2
2 1 2 1 2
2(1 2 )
2 1
2 (x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 ]}, x, y (, )
1 2
0, 其它 .
-1
fY ( y )
f ( x, y )dx
1 1 y2
2
1 y2
dx
1 y2 ,
1 y 1,
0, 当1 y 1时，fY ( y ) 0
其它.
fX Y( x y)
f ( x,y )
2
1 1 y2
,
fY ( y ) 0, 其它 .
1 y2 x
1 y2 ,
f
(
1 x2 ,
例3. 设数X在区间(0,1)上随机地取值, 当观察到
X=x(0<x<1)时, 数Y在区间(x, 1)上随机地取值,
求Y的概率密度.
解:
按题意,
X~fX
(x)
1, 0 x 1, y 0, 其它,
又在X x条件下, Y的条件分布概率密度 1 y=x
1 (1-x), x y 1,
0.004 0.001
P{Y 1|X 1} 0.010 / 0.045 P{Y 2|X 1} 0.005 / 0.045.
用表格形式表示为:
k
0
1
2
P{Y=k|X=1} 6/9 2/9 1/9
例2：(X,Y)的联合分布律为
已知：P(Y 1| X 1) 0.5
茆诗松概率论与数理统计教程课件第三章 (3)
k
i 0
i 1
i!
e 1
2
i k 2
(k i )!
k
e 2
e
1
e k!
k! i k i 1 2 i 0 i! ( k i )!
e ( 1 2 ) k (1 2 ) k!
(1 2 )k ( 1 2 ) e k!
p( x, y )dxdy
| x y| z
dxdy
阴影部分面积
1 1 2 (1 z ) 2 2
2z z 2
所以Z=|X-Y|的密度函数为
pZ ( z ) FZ ' ( z ) 2(1 z ),
0 z 1
对某些常用的简单的函数g, 可利用“分布函数法” 导出pZ(z)和p(x,y)的关系式供我们直接使用.
解: 由题知
1 pX ( x ) e 2
x2 2
1 , pY ( y ) e 2
y2 2
,
x, y
所以由卷积公式有
1 pZ ( z ) pX ( x ) pY ( z x )dx e 2
x2 2
e
( z x )2 2
类似地, 我们可以求得n个独立变量的最大值和最小值的分 布函数.
例五. 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,
连接的方式分别为:(1)串联, (2)并联, (3)备用(当系统 L1损坏时, 系统L2开始工作), 如图所示. 设L1和L2的寿 命分别为X,Y, 其概率密度分别为
e x , x 0 pX ( x ) 0, 其 它
2
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fX (x) fY (y)≠f(x,y). 因此, X与Y不相互独立. 讲评 此题是连续型随机变量的独立性
问题. 在第四章的不相关问题中还要用此题 上页 下页 返回 .
1 1 21 2
21 2 1 2
, 从而ρ = 0.
上页 下页 返回
综上所述, 得到以下的重要结论:
定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与
Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0. 讲评: 随机变量的独立性往往由实际问题确定. 在
独立的情况下, 边缘分布唯一确定联合分布, 这
样就将多维随机变量的问题转化为一维随机变
量的问题. 所以独立性是非常值得重视的概念
之一.
上页 下页 返回
2. n维随机变量的相关理论
关于多个随机变量的有关理论, 可
由二维随机变量的一些概念推广得到. n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数定义 为 F(x1, x2,…, xn)=P{ X1≤x1, X2≤x2, …, Xn≤xn}, 其中x1, x2,…, xn为任意实数. 若存在非负函数f (x1, x2,…, xn), 使得对于 任意实数x1, x2,…, xn有如下的关系:
第三章 多维随机变量及其分布
3.3 随机变量的独立性
第三章 多维随机变量及其分布
3.3 随机变量的独立性
内容简介:随机变量的独立性是研究两个 或几个随机变量之间的影响关系. 独立性是 概率论与数理统计中的一个很重要的概念， 同时也是非常实用的方法, 它是由随机事件 的相互独立性引申而来的. 我们重点学习如 何判定独立性.
试证X与Y相互独立的充要条件是ρ = 0. 证 由例3.1.6知道,边缘概率密度fX(x)和 fY(y)的乘积为
1 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 f X ( x ) fY ( y ) exp . 2 2 2 1 2 2 2 1 1
1 , f ( x, y ) π 0, x y ≤1,
2 2
其它.
问连续型随机变量X与Y是否相互独立?
解 由例3.2.2已知关于Y的边缘概率密度为
2 2 1 y , 1≤y≤1, fY ( y ) π 上页 .下页 0, 其它
返回
由x和y的对称性，得到关于X的边缘概 率密度为
上页 下页 返回
具体地, 对离散型与连续型随机变量的 独立性,可分别用分布律与概率密度描述. 定理1 (1)离散型随机变量X与Y相互独立 的充要条件是对于(X, Y)的所有可能取值(xi, yj), 有 P{X= xi,Y= yj}= P{X= xi}P{Y= yj}, (3.3.1) (2) 连续型随机变量X与Y相互独立的充要 条件是 f (x, y)=fX (x)fY(y)
上页 下页
其中i j=1,2,…. (3.3.2)
返回
几乎处处成立.
例3.3.1 设随机变量(X, Y)的分布律及边缘
分布律如下表：
Y 1 X 0
1 6
1
1 3
1 3
2 3
p.j
1 2
问X与Y是否相互独立？
2 pi.
1 6 1 3
1 2
1
解 因为 P{X=0, Y=1}=
P{X=0, Y=2}=
1 6
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3.3.1 提出问题
(1) 联合分布函数和边缘分布函数 在X与Y独立的情况下关系如何？一般情况下 关系如何? (2) 离散型随机变量与连续型随机变量独 立的充要条件是什么？
3.3.2 预备知识
1.事件的独立性,联合分布律与联合概率 密度,边缘分布律与边缘概律密度；
2.充分必要条件, n重积分及其反常积分 表示. 上页 下页 返回
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= f ( x1 , x2 , xn )dx1dx2 dxn , (3.3.4) 则称f (x1, x2,…, xn)为连续型随机变量(X1, X2,…, Xn)的概率密度. 设(X1, X2,…, Xn)的分布函数F(x1, x2,…, xn) 为已知, 则(X1, X2,…, Xn)的k(1≤k≤n)维边缘 分布函数就随之确定. 例如(X1, X2,…, Xn)关于X1和关于(X1, X2) 的边缘分布函数分别为
= P{X=0}P{Y=1}, = P{X=0}P{Y=2},
1 6
P{X=1, Y=1}=
1 3
= P{X=1}P{Y上页 =1}, 下页
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P{X=1, Y=2}=
1 3
= P{X=1}P{Y=2},
因此 X, Y是相互独立的. 讲评 此题是离散型随机变量的独立性
问题.
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例3.3.2 继续解读例3.2.2：设二维随机 变量(X, Y)的概率密度为
例3.3.3 设(X,Y)是二维正态随机变量, 它的概率密度为
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 1 ( x 1 ) 2 f ( x, y) exp 2 2 2 2 2 1 2 2 2(1 ) 1 2 1 2 1 1
{Y≤y}为两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}
相互独立,相当于下式成立
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成分布函数
Hale Waihona Puke 形F(x,y)=FX(x)FY(y).
定义1 设X,Y是两个随机变量, 其联合分
布函数为F(x, y). 若 F(x, y)= FX(x)FY(y), 则称 随机变量X与Y相互独立.
3.3.3 建立理论与方法应用
随机变量的独立性是概率论与数理统计
中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相
互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B
是相互独立的,当且仅当它们满足
P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性
.
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设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},
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因此, 如果ρ = 0, 则对于所有的
实数x和y, 有 f (x, y)=fX(x)fY(y), 即
X和Y相互独立.
反之, 如果X和Y相互独立,由于f (x,y),
fX(x), fY(y)都是连续函数, 故对于所有的x和y
有
f (x,y)=fX(x)fY(y). 特别地, 令x =μ1, y =μ2, 由上述等式得到