第六章_波动方程
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波动方程的标准形式
波动方程的标准形式
波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。
波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。
在实际应用中，波动方程的标准形式经常需要结合边界条件和初值条件来求解。
例如，对于一维的弦波振动问题，可以在波动方程中加入弦的边界条件和初始位移等条件来求解波动的形状和传播速度。
波动方程_精品文档
u
l
=
=
12
50
600
s
=
1
(
)
υ
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为：
u = 600m/s 。试写出波动方程。
=
5m
A
24m
l
=
从波形图中可知：
ω
=
π
2
=
π
50
(
)
rad.
s
1
υ
原点处质点的振动方程为：
波动方程为：
y
0
2
π
由旋转矢量法：
u
l
=
=
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
1.时间推迟方法
x
x
u
y
o
P
·
A
已知振源（波源）的振动方程为：
振源的振动状态从0点以传播速度u传送到P 点，显然时间要落后：
´
u
x
＝
t
u
x
j
=
t
+
cos
(
)
A
ω
－
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
´
t
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
－
P
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
＝
0
l
=
=
12
50
600
s
=
1
(
)
υ
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为：
u = 600m/s 。试写出波动方程。
=
5m
A
24m
l
=
从波形图中可知：
ω
=
π
2
=
π
50
(
)
rad.
s
1
υ
原点处质点的振动方程为：
波动方程为：
y
0
2
π
由旋转矢量法：
u
l
=
=
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
1.时间推迟方法
x
x
u
y
o
P
·
A
已知振源（波源）的振动方程为：
振源的振动状态从0点以传播速度u传送到P 点，显然时间要落后：
´
u
x
＝
t
u
x
j
=
t
+
cos
(
)
A
ω
－
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
´
t
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
－
P
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
＝
0
波动方程PPT课件
Q
P
波函数:
y
=A
cos ω
(t－
x -x0
u
)+j
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
l =uT
ω =2Tπ
平面简谐波波动方程的标准像
必
y
=A
cos ω
(t－
x
u
)
+j
做
须 牢
y
=A cos
2π(
t T
－
x
l
) +j
题 对
记
y
=A
cos ω
(
t－
x -x0
u
)+j
l
x
o
· A P
x
j P
=-
2π
l
x
+j
x
j P
=-
2π uT
x +j
=-ω
x u
+j
l =uT
ω =2Tπ
y =A cos(ω t +j )
P
P
=A cos (ω t －ω
x
u
)
+j
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
波波
函 数
动 方 程
y
=A
cos ω
x
x
任何复杂的波都可以看成是由若干个频率不同简谐波叠 加而成到的，所以研究简谐波仍具有特别重要的意义。
波动方程的一般表达式求波长
波动方程的一般表达式求波长波动方程是描述波动现象的一种数学模型，它可以用来描述各种不同类型的波，包括机械波、电磁波等。
其一般形式可以表示为：y(x,t) = A sin(kx - ωt + φ)其中，y是波的位移，x是空间坐标，t是时间，A是振幅，k是波数，ω是角频率，φ是相位常数。
我们可以从这个表达式中推导出波的性质，包括波长。
首先，波速v定义为波传播的距离与时间的比值，即v = Δx/Δt。
对于波动方程，我们可以观察到波传播的距离Δx与时间Δt的关系为Δx = λ，即波长。
将波动方程写为y(x,t) = A sin(kx - ωt + φ)，我们可以看到波动方程中的x和t都是以k和ω为系数的，而y(x,t)是一个周期性变化的函数。
因此，我们可以得到：kx - ωt + φ = 2πn其中，n是一个整数，表示波在位移y(x,t)上的周期性变化。
设n 为0，我们可以得到：kx - ωt + φ = 0由此，我们可以解出x和t之间的关系：x = ωt/k - φ/k这表明，在波传播过程中，当t增加时，x也会增加，它们的关系由k和ω的比值决定。
这个比值就是波的速度v，即v = ω/k。
将波速v代入Δx = λ中，我们可以得到：λ = vΔt这就是波的波长，它是波在一个周期内传播的距离。
综上所述，波的波长可以由波速和一个周期的时间Δt计算得到，其一般表达式为：λ = vΔt其中，v是波速，Δt是一个周期的时间。
需要注意的是，以上推导只是对一维情况的波动方程而言，对于二维和三维的波动方程，波长的定义和计算方法会有所不同。
在这种情况下，波长被定义为波在传播方向上的距离。
总结起来，波动方程的一般表达式可以用来描述波动现象，其中波长是波动方程中的一个重要参数，它可以通过波速和一个周期的时间来计算。
大学物理-波动方程
感谢观看
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
流体力学第六章2011(流体波动)
研究波动主要在于求解各种表征波动的参数
及其形成机制。
12
y A coskx t
（1）振幅A：质点离平衡位置的最大距离位移，反映了波 动所具有的能量大小。
（2）周期T：完成一次全振动所需要时间（质点振动），
或波向前传播一个波长距离所需时间（波动）。 频率 f ：单位时间内的振动次数。 T=1/f
同样，为了求得
h( x, t ) A sin k ( x ct )
u ，仍作如下假设：
u B sin k ( x ct )
不难求得：B
g A H
，于是最后有：
u B sin k ( x ct )
g A sin k ( x ct ) H
这就是水面重力波的流速场。
x
41
于是，最终可以将气压梯度力项表示为：
1 p 1 h 1 h g 1 x g 1 x 2 x 2 2
也就是说，在这种情况下，仍然可以采用受扰后的界面 坡度来表示流体压力的水平梯度。
流体2
重力水面波
界面波
24
一、水面（表面）重力波
h x, t
考虑一维水面波(水渠波)。 假设水面平静时水面高度 为H为一常数。 z
h x, t
H x
一旦给水面一个小的扰动，水面将不会再保持平静的状态 ，而要发生起伏不平的变化，水面高度 h 将随空间位置和 时间而变化，即：
h x, t H h x, t
13
（3）波长 L ：波动在一个周期中传播的距离，固定时
刻相邻的两同位相质点间的距离。
L
L
14
（4）位相：表示流体波动状态的物理量。
流体力学第六章2011(流体波动)
h h u u h 0 t x x
du 1 p dt 2 x
关键问题：上层流体的影响--主要是压力梯度项处理
40
在下层流体中，压力梯度力项为：
1 p 1 1 lim ( pB p ) A 2 x 2 x0 x
1 1 lim ( pB p ) A x 0 x 2
du 1 p dt x
27
垂直方向近似满足静力平衡， z 流体压力可近似地表示为：
p0 z
p( x, z, t ) gh( x, t ) z p0
有：
h x, t - z
x
1 p h g x x
流体压力梯度力可用自由表面高度的梯度来表示。
H
x
37
二、上轻下重流体间的界面波
上面所讨论的水面重力波，确切地将，它是空气和 水之间的流体界面波，只是在讨论问题的时候经常 不考虑空气而已。
下面讨论的上轻下重的流体间的界面波。
38
上轻下重的流体间的界面波:
上层流体
1
2
研究对象 下层流体
1 2
39
根据前面的讨论，对于这样的波动，考虑下层 流体作为研究对象，满足如下的方程组：
9
波动的划分
这里依据波动与振动的关系，对波动进行划分： 纵波：流体质点振动方向与传播的方向一致。如声波。
波动
横波：振动方向与传播方向垂直(垂直和水平横波)。
垂直横波：垂直方向振动，水平方向传播，如重力波。 水平横波：水平方向振动（南北振动），水平方向传播 （东西传播），例如大气长波。
10
500hPa 多 年 平 均 冬 季 高度场。粗实线为5个 型 指 数 与 局 地 500hPa 高度相关系数的±0.6 等 值 线 。 （ Wallace
大学物理波动方程波动能量
• 不同波长、相同振幅 反向波的叠加 不同波长、
ch6
4.平均能流密度 平均能流密度 质元不断从前一质元接收能量， 质元不断从前一质元接收能量，又向后一质元传 递能量 ⇒ 波动是一种能量传递方式 ⇒ 能量流 平均能流密度：单位时间内通过垂直于波线方向的 平均能流密度： 单位面积的平均能量
1 I = w u = ρ ω 2 A2 u 2
单位： 单位：W/m2
ch6Βιβλιοθήκη §6-5 驻波一、驻波的形成和特点
1.驻波的形成 驻波的形成 • 相干波：频率相同、振动方向相同、有固定相 相干波：频率相同、振动方向相同、 位差的两个波源所发出的简谐波 • 干涉：在两相干波交叠处，有些地方波加强而 干涉：在两相干波交叠处， 有些地方波减弱的现象 •两列振幅相同、传播方向相反的相干波的叠加 两列振幅相同 传播方向相反的相干波的叠加 两列振幅相同、 y2 = Acos(ω t + kx) y1 = Acos(ω t − kx)
波腹与波节间距 λ/4 • 相位分布 同一段内各质元相位相同 每一波节两侧的质元相位相反
4
处不振动， 处不振动，相邻波节间 距
2
ch6
• 能量分布 Ep↓ Ek↑ Ep↓ 势能→动能 势能 动能 能量由波节向波腹流动 瞬时位移为0， 势能为 ， 瞬时位移为 ， 势能为0， 动能最大。 动能最大。 Ek↓ Ep↑ Ep↑ 动能→势能 动能 势能 能量由波腹向波节流动
ch6
的声波 • 次声波 10－4 < ν < 20Hz的声波 特点：衰减小， 特点：衰减小，可用于远距离传播 次声波的波源 大气湍流、火山爆发、地震、 大气湍流、火山爆发、地震、陨 石落地、雷暴、 石落地、雷暴、磁暴等大规模自 然活动中，都有次声波产生。 然活动中，都有次声波产生。 次声波的用途 科学研究： 科学研究： 研究地球、海洋、大气等大规模运动； ①研究地球、海洋、大气等大规模运动；② 对自然灾害性事件（如火山爆发、地震等） 对自然灾害性事件（如火山爆发、地震等） 进行预报，深入认识自然规律。 进行预报，深入认识自然规律。 军事应用： 军事应用： 军事侦察； 次声波有杀伤性。 ①军事侦察；②次声波有杀伤性。
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一、波动方程
7.2.3 一维势垒的简单讨论 粒子在I区，具有能量E>0。各区 的势垒如下，求粒子在各区出现 的几率。
0 (0<x<x1) [I区] V＝
V2>E (x1<x<x2) [II区]
0 (x>x2) [III区]
一、波动方程 列出此问题的薛定谔方程：
2 d 2u V x u Eu 2 2m dx d 2u 2m 2 V E u 2 dx
此方程比较难解，令 x,
2
2
(1)
mk 2
4
那么
d 2u 2mE mk 2 2 2 2 4 u 0 2 d
(2)
一、波动方程 令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么 2化简为：
d 2u 2 u 0, 2 d
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
px i x
所以动量px可以用算符 i 来表示。同理有 x
p y i y
pz i z
一、波动方程
那么
p p p p 2 2 2 x y z 2 2
2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
波函数两边取对t的偏导
i E , t
所以E的算符是 E i 源自t E i t一、波动方程
薛定谔方程的理解与意义：
波函数
（ r ）和 E 分别代表粒子的微观状态 （它的平方就是粒子在空间出现的概 率）和对应的能量。
薛定谔 (Erwin
Schrodinger,1887-1961)
d 2u 2mE 2mE 2 2 u k u; k 2 dx x 2 设ue 那么 u " u 代入上式
u k u;
2 2
ik
ikx
故
u Ae
ikx
Be
u C cos kx D sin kx
2式就是绿色区域的通解。
(2)
2 2 H V (r ) 哈密顿算符 2m
如果H中不包含时间，即V(r)不含t：
(r , t ) u( x, y, z) f (t )
i df 1 2 2 分离坐标和时间： u Vu u 2m f dt
一、波动方程
上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，要相等，只能等 于一个常数E，那么右边：
2
n
(6)
一、波动方程
Hn(φ)
n Hn(φ)
0
A0
1
A1(φ)
2
A2(1-2φ2)
3
A3(3φ-2φ2)
4
A4(3-12φ2+4φ4)
一、波动方程
方程5是满足波函数条件的本征函数。为了使函数满足有限条件， 演算中必须有λ＝2n+1，n是整数。由4式：
2E 2n 1 1 1 E n n h , 2 2
2mE 2E m 2E 2 2 (3，4) k
2 是振
其中 k m 2 是简谐振子的角频率， 动频率。
方程3的解是：
1 2 2
u( ) H n ( )e
其中 H n ( ) 是厄米多项式：
n
(5)
d 2 H n ( ) (1) e e n d
p i
得算符方程：
作用在能量 E 2 动量关系式： 2
作用在波函数A(r,t) 1 2 2 A 上即得波动方程 2 2 c t
c 克莱因-戈尔登方程，描述自由介子，不能描述氢原子。
p m c
2
2 2
1 2mc 2 2 ( ) 2 2 c t h
代表力学量的算符
一个力学量可以用一个算符来表示，下面是薛定谔方程中 常用的算符：
0e
2 i p r Et h
0e
i px x p y y pz z Et
波函数两边取对x的偏导
i px x p x i x
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν，最低能级是 hν/ 2 而不是0！ 许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的 能量子是一份一份的，每一份的能量为hν，这就是普朗克假 设的物理本质。
一、波动方程
在红色区域V＝∞，1式写为：
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx
设ue
x
, u " 2u
2 2
，代入上式
u u;
故
x
u Ae 1
a 当 x 2 a 当 x 2
B1e
x
p是动量算符，而α 和β 是4³4矩阵 由这个哈密顿量给出的薛定谔方程称为狄拉克方程，它是狄拉克 在1928年提出来的。狄拉克用它不仅算出了氢原子能级的精细结 构，并且解释了电子的自旋角动量和固有磁矩，还进一步语言了 正电子的存在。 薛定谔与狄拉克因波动方程的提出同获1933年诺贝尔物理学奖。
一、波动方程
u A1 0 B1 0 u A1 B1 0 0
u0
一、波动方程
再来考虑绿色区域的2式：
u C cos kx D sin kx
根据波函数连续条件，在 x a 2 处，绿区红区u的取值 应该一样，由于红区u＝0，故绿区的u也是0，那么
(2)
内容复习
德布罗意波 光谱 里德伯公式
玻尔理论的三个假设
氢原子r，E 的公式
文化物理
南京航空航天 大学理学院 朱岩
yzhu@ /phyandart/
德拜：德布罗意波只有波动理论，没有波 动方程，太肤浅了。
第七章
• • • • 波动方程 轨道角动量 电子自旋 量子数及元素周期表
n＝2，4，6 …
一、波动方程
的值应该为0，故
n u C cos x a n u D sin x a
n＝1，3，5 … n＝2，4，6 …
一、波动方程
验证：
势阱中的驻波只能如图所示，有：
6 5 4 3 2 1
2 2a n n a n 1, 2,3,... n 1, 2,3,...
设u＝eβx，则u”＝β2 u，那么
k2
2m V E
u k u,
2 2 2
k2
B2e
k2 x
u2 A2e
k2 x
（3）
2，3两式第一项都表示从左向右运动的粒子，第二项则是经 过边界反射后从右向左运动的粒子。
一、波动方程
在III区，V＝0：
d 2u 2mE 2 u k 3 u, 2 2 dx
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4：
3-4：
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
7.2.1 一维无限深势阱 定义一维势阱： a a V＝0 当 x
2
2
a a x 或者 x V＝∞ 当 2 2
求解能量为 E （有限）的粒 子的运动状态就需要求解定 态薛定谔方程：
Hu Eu 2 2u Vu Eu 2 2m x
(1)
一、波动方程 先解绿色区域的方程，此时V＝0，式1成为：
2
一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系：
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成： i H t
ka 2 D sin 0 2 ka (0,1, 2,...) 2
(5)
a
(1,3,5,...)
k
a
(0, 2, 4,...)
(6)
5，6两式合并：
2mE k n a 2 2 2 En 2 2ma
n 0,1, 2,... n 1, 2,3,...
(7)
一、波动方程
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表 示为：关于位置x 和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置 的距离）满足：
u 2 2 c u 2 t
2
u(x,t)
x
这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c 为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力 不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具）上，波速可以慢到1米/秒
i df E f dt
f f 0e
iE t
u ( x, y, z )e
iE t
E就是系统的能量。E为常数的状态称为定态。ψ ψ *＝uu*，所以 发现粒子的几率与时间无关。