6、立体几何选择填空题
高考数学试题-立体几何选择填空含答案解析
选填训练4答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 如图，在四面体O −ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则log 3|xyz|等于 ( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】A 解：连结AG ，OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =y =z =13， 则log 3|xyz|=log 3127=−3．2. 在△ABC 中A =30°，AC =4，BC =a ，若△ABC 仅一个解时，则a 的取值范围是( )A. a ≥4B. a =2C. a ≥4或a =2D. 无法确定【答案】C解：当a =ACsin30°=4×12=2时，以C 为圆心，以a =2为半径画弧，与射线AD 只有唯一交点， 此时符合条件的三角形只有一个，当a ⩾4时，以C 为圆心以a 为半径画弧时，在从垂足到A 点之间得不到交点，交点只能在垂足外侧，三角形也是唯一的， ∴a ≥4或a =2，故选C ．3. 设两个向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 满足|e 1⃗⃗⃗ |=2，|e 2⃗⃗⃗ |=1，e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 之间的夹角为60°，若向量2t e 1⃗⃗⃗ +7e 2⃗⃗⃗ 与向量e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是( )A. (−7,−12)B. (−7,−√142)∪(−√142,−12) C. (−7,−√142)D. (−√142,−12)【答案】B解：由题意知(2t e 1⃗⃗⃗ +7e 2⃗⃗⃗ )·(e 1⃗⃗⃗ +t e 2⃗⃗⃗ )<0，即2t 2+15t +7<0，解得−7<t <−12．又由2t ·t −7≠0，得t ≠±√142，∴t ∈(−7,−√142)∪(−√142,−12). 故选B ．4. 已知向量a ⃗ =(1,2)，a ⃗ ·b ⃗ =10，|a ⃗ +b ⃗ |=5√2，b ⃗ 方向上的单位向量为e⃗ ，则向量a ⃗ 在 向量b ⃗ 上的投影向量为( ) A. 12e ⃗ B. 2e ⃗ C.125e⃗ D. 52e⃗ 【答案】B解：由a ⃗ =(1,2)可得：|a ⃗ |=√12+22=√5，由|a ⃗ +b|⃗⃗⃗ =5√2两边平方得：|a ⃗ |2+2a ⃗ ·b ⃗ +|b⃗ |2=(5√2)2=50，即：5+2×10+|b⃗ |2=50，解得：|b ⃗ |=5， 设a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ·b ⃗|a ⃗ |·|b⃗ |=10√5×5=2√55， 所以向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量为：|a ⃗ |cosθ·b⃗ |b ⃗ |=√5×2√55e ⃗ =2e ⃗ ．故选B ．5. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =3,AC =AA 1=4，一只蚂蚁由顶点A 沿棱柱侧面经过棱BB 1爬到顶点C 1，蚂蚁爬行的最短距离为( )A. 4B. 4C.D.+【答案】B解：如图所示，把侧面展开，矩形对角线即为蚂蚁爬行的最短距离，∵AB ⊥AC ，AB =3，AC =AA 1=4，∴BC =√AB 2+AC 2=√32+42=5，由题已知AA 1=CC 1=4，∴蚂蚁爬行的最短距离=√(AB +BC )2+(CC 1)2=√(3+5)2+42=4√5，所以最小值为4√5，故选B ．6.在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )A. B. C. D.【答案】A解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”，设AB的中点为N，因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，AB⊥AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD，又PA⊂侧面PAD，所以AB⊥PA，根据题目条件可知△PAN≌△CBN，∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”，故动点M的轨迹肯定过点D和点N，而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC 的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面ABCD的交线是一直线.故选A．7.如图，直角梯形ABCD，AB//CD，∠ABC=90°，CD=2，AB=BC=1，E是边CD中点，△ADE沿AE翻折成四棱锥D′−ABCE，则点C到平面ABD′距离的最大值为( )A. 12B. √3−1 C. √22D. √63【答案】C解：直角梯形ABCD ，AB//CD ，∠ABC =90°，CD =2，AB =BC =1，E 是边CD 中点，△ADE 沿AE 翻折成四棱锥D′−ABCE ，当D′E ⊥CE 时，点C 到平面ABD′距离取最大值，∵D′E ⊥AE ，CE ∩AE =E ，CE ，AE ⊂平面ABCE ，∴D′E ⊥平面ABCE ， 以E 为原点，EC 为x 轴，EA 为y 轴，ED′为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,1,0)，C(1,0,0)，D′(0,0,1)，B(1,1,0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设平面ABD′的法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅AD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +z =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1,1)，∴点C 到平面ABD′距离的最大值为d =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1√2=√22．故选C ．8. 在△ABC 中，有正弦定理：asinA =bsinB =csinC =定值，这个定值就是△ABC 的外接圆的直径．如图所示，△DEF 中，已知DE =DF ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，记△DEM 的外接圆面积与△DMF 的外接圆面积的比值为λ，那么( )A. λ先变小再变大B. 仅当M 为线段EF 的中点时，λ取得最大值C. λ先变大再变小D. λ是一个定值【答案】D解：设△DEM 的外接圆半径为R 1，△DMF 的外接圆半径为R 2，则由题意，πR 12πR 22=λ，点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)，对于M 的每一个位置，由正弦定理可得R 1=12×DE sin∠DME，R 2=12×DFsin∠DMF ，又DE =DF ，sin∠DME =sin∠DMF ， 可得R 1=R 2，可得λ=1．故选D ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
007——微专题七：立体几何选择填空多选题中档题-解析
微专题七：立体几何选择填空多选题中档题一、单选题1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是11A B 的中点，点P 是侧面11CDD C 上的动点，且MP ∥截面1AB C ，则线段MP 长度的取值范围是（ ）.A ．[2,6]B ．[6,22]C ．[6,23]D ．[6,3]【答案】B 【分析】取CD 的中点为N,1CC 的中点为R,11B C 的中点为H,证明平面MNRH//平面1AB C ,MP ⊂平面MNRH ,线段MP 扫过的图形为MNR ∆,通过证明222MN NR MR =+,说明MRN ∠为直角,得线段MP 长度的取值范围为[],MR MN 即可得解. 【详解】取CD 的中点为N,1CC 的中点为R,11B C 的中点为H,作图如下:由图可知,11//,MB NC MB NC =,所以四边形1MNCB 为平行四边形, 所以1//MN B C ,因为1111//,//MH A C A C AC ,所以//MH AC , 因为1,MNMH M ACB C C ==, 故平面MNRH//平面1AB C ,因为MP ∥截面1AB C ,所以MP ⊂平面MNRH ,线段MP 扫过的图形为MNR ∆,由2AB =知,22,2MN NR ==,在1Rt MC R ∆中,22211MR C R C M =+,即()222156MR =+=,所以6MR =，所以222MN NR MR =+,即MRN ∠为直角,故线段MP 长度的取值范围为[],MR MN ,即6,22⎡⎤⎣⎦,故选:B【点睛】本题考查面面平行的判定定理与性质定理及空间两点间的距离;重点考查转化与化归的思想;属于难度大、抽象型试题.2．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是（ ）A ．25|235t t B ．25|25t t C ．|223t t D ．|222t t【答案】D 【分析】为确定F 点位置，先找过1A 与平面1D AE 平行且与平面11B BCC 相交的平面，分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，可知平面1//A MN 平面1D AE ，故F 在线段MN 上，可知线面角为11A FB ∠，分析其正切值即可求出.【详解】设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接,AG EG ，则G 为BC 的中点. 分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，则11//A M D E ， ∵1A M平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE . ∵1,A M MN 是平面1A MN 内的两条相交直线， ∴平面1//A MN 平面1D AE ，且1//A F 平面1D AE ， 可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点.设直线1A F 与平面11BCC B 所成角为θ，运动点F 并加以观察，可得：当点F 与点M （或N ）重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角等于11A MB ，此时所成角θ达到最小值，满足111tan 2A B B Mθ；当点F 与MN 中点重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角达到最大值，此时111111tan 2222A B A B B FB M θ，∴1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合为|222t t ，故选D.【点睛】本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题.3．如图，PO 是平面α的斜线，O 是斜足，PA α⊥于点A ，BC 是α内过点O 的直线．若POB ∠是锐角，则有（ ）．A ．POC COA ∠>∠B ．POA BOA ∠<∠C ．POC COA ∠<∠D ．POB AOB ∠<∠【答案】C 【解析】【分析】由三余弦定理可得POB AOB ∠>∠，即POC COA ∠<∠，再逐一检验A,B,D 选项即可得解. 【详解】解：由三余弦定理可得：cos cos cos POB POA AOB ∠=∠∠， 又,,POB POA AOB ∠∠∠为锐角，所以cos cos POB AOB ∠<∠， 所以POB AOB ∠>∠，所以POB AOB ππ-∠<-∠， 即POC COA ∠<∠，故C 正确，则选项A 错误， 同理POB AOB ∠>∠，则选项D 错误，又,POA BOA ∠∠大小无法确定，则不能比较大小，即选项B 错误， 故选C.【点睛】本题考查了三余弦定理，属中档题.4．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为A ．22B ．1C 2D ．2【答案】C 【分析】延展平面EFG ，可得截面EFGHOR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，可得1//D P 平面EFGHQR ,再证明平面1//D AC 平面EFGHQR ,可知P 在AC 上时，符合题意，从而得到P 与O 重合时三角形1PBB 的面积最小，进而可得结果. 【详解】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点， 直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，所以1//D P 平面EFGHQR ,由中位线定理可得AC//EF ,EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外， 所以AC //平面EFGHQR ,因为1D P 与AC 在平面1D AC 内相交，所以平面1//D AC 平面EFGHQR ,所以P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， 因为B O 与AC 垂直，所以P 与O 重合时BP 最小， 此时，三角形1PBB 的面积最小，最小值为12222⨯⨯=，故选C.【点睛】 本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.5．已知ABC ∆是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD ∆与Rt BCD ∆）组成的三角形，如左下图所示.其中，45,60CAD BCD ∠=∠=.现将Rt ACD ∆沿斜边AC 进行翻折成1D AC ∆（1D 不在平面ABC 上）.若,M N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD ∆翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）A ．在线段BD 上存在一定点E ，使得EN 的长度是定值B ．点N 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使得直线1AD 与DM 所成角为60D ．对于任意位置，二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A -- 【答案】D 【分析】由题意，可得二面角1D AC B --和二面角1D BC A --有共同的平面角ABC ∠,且另一个面都过点1D ，过点1D 作平面ABC 的垂线，即可得到二面角1D AC B --和二面角1D BC A --的平面角，进而得大小关系即可. 【详解】不妨设1AD =，取AB 中点E ，易知E 落在线段BD 上，且11122EN AD ==, 所以点N 到点E 的距离始终为12，即点N 在以点E 为球心，半径为12的球面上运动， 因此A 、B 选项不正确；对于C 选项，作1//,AP DM AD 可以看成以AC 为轴线，以45为平面角的圆锥的母线，易知1AD 与AP 落在同一个轴截面上时，1PAD ∠ 取得最大值，则1PAD ∠的最大值为60，此时1D 落在平面ABC 上，所以160PAD ∠<，即1AD 与DM 所成的角始终小于60，所以C 选项不正确；对于D 选项，易知二面角1D AC B --为直二面角时，二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A --，当二面角1D AC B --为锐二面角时，如图所示作1D R ⊥平面ABC 与点R ，然后作,RO AC RS BC ⊥⊥分别交,AC BC 于,O S ，则二面角1D AC B --的平面角为1D OR ∠，二面角1D BC A --的平面角为1D SR ∠， 且1111tan ,tan D R D RD OR D SR OR SR∠=∠=，又因为OR SR <，所以11D OR D SR ∠>∠， 所以二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A --，故选D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及空间角的求解，其中解答中正确确定二面角的的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题综合性强，难度大，属于难题，着重考查了空间想象能力，以及分析问题和解答问题的能力.6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P //平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．325(,)42B ．325[,]42C ．5[1,]2D ．5[0,]2【答案】B 【解析】分析：先判断出点P 的位置，确定使得1A P 取得最大值和最小值时点P 的位置，然后再通过计算可求得线段1A P 长度的取值范围．详解：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，∵,,,M N E F 分别为所在棱的中点，则11,MNBC EF BC ，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，∴MN ∥平面AEF ．∵11,AA NE AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形，∴1A N AE ∥，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴1A N ∥平面AEF ，又1A NMN N =，∴平面1A MN ∥平面AEF ．∵P 是侧面11BCC B 内一点，且1A P ∥平面AEF ，∴点P 必在线段MN 上．在11Rt A B M ∆中，2221111151()2A M AB B M ++．同理，在11Rt A B N ∆中，可得15A N =∴1A MN ∆为等腰三角形． 当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长． ∵2222115232()()244AO A M OM =-=-=，115A M A N ==．∴线段1A P 长度的取值范围是325[,]42．故选B ．点睛：本题难度较大，解题时要借助几何图形判断得出使得1A P 取得最值时的点P 的位置，然后再根据勾股定理进行计算． 7．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°【答案】D 【详解】因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.二、多选题8．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥，则直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为64C ．若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM EN = 【答案】ABC 【分析】根据面面垂直的判定，线面夹角的求解办法，以及异面直线的定义，结合面面垂直的性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】 ∵BC CD ⊥，BC DE ⊥，CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，∴BC ⊥平面CDE ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF ､AF ，则EF CD ⊥.∵平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD 平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE ∴EF ⊥平面ABCD ，设EA 与平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，223EF CE CF =-=，225AF AD FD =+=，2222AE EF AF =+=，则6sin 4EF AE θ==，B 项正确； 连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B ､M ､E 确定的面即为平面BDE ，当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈， 又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确；连接FN ，∵FN ⊂平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，∴EF FN ⊥， ∵F ､N 分别为CD ､BD 的中点，则112FN BC ==， 又3EF=，故222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+=，则BM EN ≠，D 项错误. 故选：ABC . 【点睛】本题综合考查面面垂直的判定以及性质、异面直线的定义、线面夹角的求解，属综合困难题.9．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）A ．()1112DA A A B A BC =-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于22AC C ．异面直线AD 与1BC 6D ．若点E 到平面11ACC AEB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以12a BC b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,，12a AB b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =． 因为//DE 平面11ABB A ，则动点E的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确． 对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，12a BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因为2111cos ,6||||a BC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA所成角的余弦值为6，选项C 正确．对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1EF 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A 的，即有12E F EB =，又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.三、填空题10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面γ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当323[,]33x a a ∈时，函数()y f x =的值域为______． 【答案】{}32a【分析】 当323,33x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果. 【详解】当323,33x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，设11HI AC =111B I B C =λ，则1IJ B C =111C I B C =1﹣λ， ∴HI +2a ，∴截面六边形的周长为32a ；故答案为{}32a【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.11．如图，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，则三棱锥A BMN -的体积是__________．【答案】38375R 【分析】 2AB R =，BC R =，5AC R =，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，ABC AMB ∆∽，45AM AC =，类似有45AN AD =，24()5A BMN AMN A BCD ABCV S V S -∆-∆==，由此能求出三棱锥A BMN -的体积． 【详解】 2AB R =，BC R =，5AC R =，半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形， 线段AC ，AD 分别与球面交于点M 、N ，BAM BAC ∴∠=∠，90AMB ABC ∠=∠=︒，ABC AMB ∴∆∆∽，∴AB AC AM AB =，455AM R ∴=， ∴45AM AC =，类似有45AN AD =， ∴2416()525A BMN AMN A BCD ABC V S V S -∆-∆===，∴三棱锥A BMN -的体积： 231613832253475A BMN V R R R -=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：38375R ．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查球、三棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12．如图，已知：在ABC 中，3CA CB ==，3AB =，点F 是BC 边上异于点B ，C 的一个动点，EF AB ⊥于点E ，现沿EF 将BEF 折起到PEF 的位置，使PE AC ⊥，则四棱锥P ACFE -的体积的最大值为________．2 过点D 作CD AB ⊥，由EF AB ⊥可知//EF CD ，进而证明PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P ACFE -的高，设BE PE x ==，通过题设条件分别求出BEF S 和ABC S 的表达式，进而得出ACFE S 四边形的表达式，记四棱锥P ACFE -的体积为(x)V ，由四棱锥的体积公式可得333()418V x x x =-（302x <<），然后利用导数求得(x)V 的最大值即可. 【详解】过点D 作CD AB ⊥，由EF AB ⊥可知//EF CD ，因为EF AB ⊥，所以翻折后PE EF ⊥，所以PE CD ⊥，又PE AC ⊥，AC CD D =，AC ，CD ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P ACFE -的高， 因为3CA CB ==3AB =，CD AB ⊥，所以可得：()22223332CD AC AD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 设BE PE x ==，所以EF BE CD BD =332x =，即3EF x =， 所以2132BEF S BE EF x =⋅=△，又1332ABC S AB CD =⋅=△， 所以2333ACFE S x =四边形，记四棱锥P ACFE -的体积为(x)V ， 所以323334133()34618x V x x x x ⎛⎫=⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭-（302x <<），2()V x x '=，令()0V x '=可得x =或x =（舍去），所以当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时，()0V x '>，()V x '单调递增；当322x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0V x '<，()V x '单调递减，因此当2x =时，(x)V 取得最大值，最大值为24V ⎛= ⎝⎭.故答案为：4. 【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.。
中职立体几何试题及答案
中职立体几何试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 空间中，下列说法正确的是（）。
A. 两条异面直线一定相交B. 两条异面直线一定平行C. 两条异面直线既不相交也不平行D. 两条异面直线可能相交也可能平行答案：C2. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体积为（）。
A. abcB. ab+bc+acC. a+b+cD. a*b*c答案：A3. 一个球的半径为r，其表面积为（）。
A. 4πrB. 4πr²C. 2πrD. 2πr²答案：B4. 一个圆柱的底面半径为r，高为h，其体积为（）。
A. πr²hB. 2πrhC. πr²D. πrh答案：A5. 一个圆锥的底面半径为r，高为h，其体积为（）。
A. πr²hB. 1/3πr²hC. 2πrhD. 1/2πr²h答案：B6. 一个棱锥的底面为正方形，边长为a，高为h，其体积为（）。
A. a²hB. 1/2a²hC. 1/3a²hD. 1/4a²h答案：C7. 一个棱柱的底面为矩形，长为a，宽为b，高为h，其体积为（）。
A. a*b*hB. 2ab*hC. 2a*b*hD. 2ab答案：A8. 一个棱锥的底面为三角形，边长为a，高为h，其体积为（）。
A. 1/2a²hB. 1/3a²hC. 1/4a²hD. 1/6a²h答案：B9. 一个棱柱的底面为三角形，边长为a，高为h，其体积为（）。
A. 1/2a²hB. 1/3a²hC. 1/4a²hD. 1/6a²h答案：B10. 一个棱锥的底面为正五边形，边长为a，高为h，其体积为（）。
A. 1/2a²hB. 1/3a²hC. 1/4a²hD. 1/5a²h答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则其体积为____cm³。
立体几何练习题(答案)解析
∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA1=6.
（1）证明平面BDE∥AO；
（2）求二面角A-EB-D的大小；
（3）求三棱锥O-AA1D体积.
立测试001
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答案
一．选择题：(每题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10．在一个 的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角 ，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11. 如图,E, F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,
沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作
D.给出下列位置关系:①SD⊥面DEF; ②SE⊥面DEF;
由 ， ， ， ，
易得 ， ， ，
，
所以
18．解：（1） 在平面 上的射影 在 上， 面 。
故斜线 在平面 上的射影为 。
又 ， ，又 ，
面
（2）过 作 ，交 于 。
面 ， ， 面 故 的长就是点 到平面 的距离
， 面
在 中， ；
在 中，
在 中，由面积关系，得
（3）连结 ， 面 ， 是 在平面 的射影
其中所有真命题的序号是_______________。
三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）
17．(本小题满分10分)
如图，已知直棱柱 中，
， ， ， ， 是 的中点。
求证：
18．（本小题满分12分）
如图，在矩形 中， ， ，沿对角线 将 折起，使点 移到 点，且 在平面 上的射影 恰好在 上。
高中数学第6章立体几何初步 刻画空间点线面位置关系的公理基本事实123素养作业北师大版必修第二册
第六章 3.1 3.2A组·素养自测一、选择题1．如图所示,下列符号表示错误的是( A )A．l∈αB．P∈/lC．l⊂αD．P∈α[解析]观察图知：P∈/l,P∈α,l⊂α,则l∈α是错误的．2．下面四个说法(其中A、B表示点,a表示直线,α表示平面)：①∵A⊂α,B⊂α,∴AB⊂α；②∵A∈α,B∈/α,∴AB∈/α；③∵A∈/a,a⊂α,∴A∈/α；④∵A∈a,a⊂α,∴A∈α.其中表述方式和推理都正确的结论的序号是( C )A．①④B．②③C．④D．③[解析]①错,应写为A∈α,B∈α；②错,应写为AB⊂/α；③错,推理错误,有可能A∈α；④推理与表述都正确．3．(多选)空间不共线的四点,可以确定平面的个数可能是( BD )A．0 B．1C．2 D．4[解析]若有三点共线,则由直线与直线外一点确定一个平面,得不共线的四点,可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线,则空间不共线的四点,可以确定平面的个数是1或4.故空间不共线的四点,可以确定平面的个数是1或4个．故选BD．4．如图所示,平面α∩β＝l,A、B∈α,C∈β且C∈/l,AB∩l＝R,设过A、B、C三点的平面为γ,则β∩γ等于 ( C )A．直线ACB．直线BCC．直线CRD．以上都不对[解析]由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ＝CR.5．如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是( B )A．A,B,C,D四点中必有三点共线B．A,B,C,D四点中不存在三点共线C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行[解析]两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．6．下列各图均是正六棱柱,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( D )[解析]在选项A、B、C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质,知均有PS∥QR,即在此三个图形中P、Q、R、S共面,故选D．二、填空题7．平面α,β的公共点多于两个则①α,β平行；②α,β至少有一条公共直线；③α,β至少有三个公共点；④α,β至多有一条公共直线．以上四个判断中成立的是②③ .[解析]由条件知,当平面α,β的公共点多于两个时,若所有公共点共线,则α,β相交；若公共点不共线,则α,β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．8．看图填空：(1)AC∩BD＝O；(2)平面AB1∩平面A1C1＝A1B1；(3)平面A1C1CA∩平面AC＝AC；(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝OO1 .9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,下列说法正确的是 (2)(3)(4) (填序号)．(1)直线AC1在平面CC1B1B内．(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．(3)由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1．(4)由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一个平面．[解析](1)错误．如图所示,点A∈/平面CC1B1B,所以直线AC1⊂/平面CC1B1B．(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C,O∈直线BD⊂平面BB1D1D,O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C,O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．(3)(4)都正确,因为AD∥B1C1且AD＝B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以A,B1,C1,D共面．三、解答题10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD 的交线并说明理由．[解析]如图,在平面AA1D1D内,延长D1F,因为D1F与DA不平行,因此D1F与DA必相交于一点,设为P,则P∈FD1,P∈AD．又因为D1F⊂平面BED1F,DA⊂平面ACD,所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD．所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD),即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,所以连接PB,PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线．B组·素养提升一、选择题1．空间中四点可确定的平面有( D )A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个[解析]当四个点在同一条直线上时,经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时,可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时,确定一个平面；当其中三点共线于l,另一点不在直线l上时,也确定一个平面,故选D．2．(多选)设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个结论,其中正确的结论是( CD )A．P∈a,P∈α⇒a⊂αB．a∩b＝P,b⊂β⇒a⊂βC．a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂αD．α∩β＝b,P∈α,P∈β⇒P∈b[解析]当a∩α＝P时,P∈a,P∈α,但a⊂/α,∴A错；a∩β＝P时,B错；如图∵a∥b,P∈b,∴P∈/a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故C 正确；两个平面的公共点必在其交线上,故D正确,故选CD．3．经过同一直线上的3个点的平面( C )A．有且只有1个B．有且只有3个C．有无数个D．只有0个[解析]因3个点在同一条直线,所以经过该直线的平面都满足条件,故选C．4．(多选)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是( ABC )A．C1,M,O三点共线B．C1,M,O,C四点共面C．C1,O,A,M四点共面D．D1,D,O,M四点共面[解析]连接A1C1,AC,则AC∩BD＝O,A1C∩平面C1BD＝M,所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以选项A,B,C均正确,D不正确．二、填空题5．若直线l与平面α相交于点O,A、B∈l,C、D∈α,且AC∥BD,则O、C、D三点的位置关系是共线 .[解析]∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β＝直线CD．∵l ∩α＝O ,∴O ∈α.又∵O ∈AB ⊂β,∴O ∈直线CD ,∴O 、C 、D 三点共线．6．给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确结论的个数是 0 .[解析] 如图所示,在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中,AD 与A ′B ′都与直线AA ′相交,但是直线AD 与A ′B ′不在同一平面内,故①错误；在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中,直线AB ,AD ,AA ′两两相交,但是这三条直线不在同一平面内,故②错误；当两个平面相交时,两个平面可有无数个公共点,只有当两个平面有三个不共线的公共点时,两个平面才重合,故③错误；两两平行的三条直线也可能在同一平面内,故④错误．综上可知,正确结论的个数是0.三、解答题7.如图所示,在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是AA 1,D 1C 1的中点,过D ,M ,N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ,求线段PB 1的长．[解析] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ,连接NE ,则NE 即为直线l 的位置．(2)∵M 为AA 1的中点,AD ∥ED 1, ∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a .∵A 1P ∥D 1N ,且D 1N ＝12a ,∴A 1P ＝12D 1N ＝14a ,于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a .8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 为AB 的中点,F 为AA 1的中点,求证：(1)E ,C ,D 1,F 四点共面； (2)CE ,D 1F ,DA 三线共点． [解析] (1)分别连接EF ,A 1B ,D 1C , ∵E ,F 分别是AB 和AA 1的中点, ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ,∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形, ∴A 1B ∥CD 1,从而EF ∥CD 1．EF 与CD 1确定一个平面．∴E ,F ,D 1,C 四点共面． (2)∵EF 綊12CD 1,∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P , ∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ,P ∈D 1F ,∴P ∈平面AA 1D 1D ． 又CE ⊂平面ABCD ,P ∈EC ,∴P ∈平面ABCD , 即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝直线AD ,∴P ∈直线AD (公理3),∴直线CE ,D 1F ,DA 三线共点．。
立体几何考察试题及答案
立体几何考察试题及答案一、选择题1. 若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内任意直线的关系是（）。
A. 相交B. 平行C. 异面D. 垂直答案：D2. 已知一个正四面体的棱长为a，求其体积。
A. \( \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \)B. \( \frac{a^3 \sqrt{2}}{6} \)C. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{12} \)D. \( \frac{a^3 \sqrt{3}}{6} \)答案：C二、填空题1. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其对角线的长度为 \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \)。
2. 一个球的半径为r，则其表面积为 \( 4\pi r^2 \)。
三、解答题1. 已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，求其体积。
解：圆锥的体积公式为 \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)。
答：圆锥的体积为 \( \frac{1}{3}\pi r^2 h \)。
2. 已知一个圆柱的底面半径为r，高为h，求其侧面积。
解：圆柱的侧面积公式为 \( A = 2\pi rh \)。
答：圆柱的侧面积为 \( 2\pi rh \)。
四、证明题1. 证明：若直线l与平面α内的两条直线m和n都垂直，则直线l与平面α垂直。
证明：设直线m和n在平面α内的交点为O，由于直线l与m、n都垂直，根据直线与平面垂直的判定定理，直线l与平面α垂直。
答：直线l与平面α垂直。
2. 证明：若两个平面α和β的交线为l，直线m在平面α内且与l平行，直线n在平面β内且与l平行，则直线m与直线n平行。
证明：设直线m与直线n的交点为P，由于m在平面α内且与l平行，n在平面β内且与l平行，根据平面与平面平行的性质，直线m与直线n平行。
答：直线m与直线n平行。
立体几何试题及答案
立体几何试题一、选择题： 1．下列命题中正确命题的个数是（ ）⑴ 三点确定一个平面 ⑵ 若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内,则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内 ⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形A.0B.1C.2 D 。
3 答案：A 2．已知异面直线a 和b 所成的角为︒50，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是︒30的直线条数有且仅有 （ ） A 。
1条 B 。
2条 C 。
3条 D 。
4条 答案：B 3．已知直线⊥l 平面α,直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是 （ ） （1) 若βα//，则m l ⊥ (2） 若βα⊥,则m l //（3） 若m l //，则βα⊥ （4) 若m l ⊥,则βα//A.（3)与（4）B.（1)与（3）C.（2）与(4)D.（1）与(2) 答案:B 4．已知m 、n 为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =βα ，则l （ ）A.与m 、n 都相交B.与m 、n 中至少一条相交C.与m 、n 都不相交D.至多与m 、n 中的一条相交答案：B5．设集合A=｛直线}，B=｛平面}，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈,则下列命题中的真命题是（ ) A. c a b a b c ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// B.c a c b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥C. c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫ D 。
c a b c b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//答案：A6．已知a 、b 为异面直线,点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AC=AD,BC=BD,则直线a 、b所成的角为 ( ） A 。
︒90 B 。
︒60 C 。
︒45 D 。
︒30 答案：A7．下列四个命题中正确命题的个数是（ )有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱各侧面都是正方形的四棱柱是正方体底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥A.1个B.2个C.3个D 。
新教材高中数学第6章立体几何初步4平行关系 直线与平面平行素养作业北师大版必修第二册
第六章 4.1A 组·素养自测一、选择题1．若l ∥α,m ⊂α,则l 与m 的关系是( D ) A ．l ∥m B ．l 与m 异面 C ．l 与m 相交D ．l 与m 无公共点[解析] l 与α无公共点,∴l 与m 无公共点． 2．下列结论：①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行； ②过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行； ③如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行． 其中正确结论的个数为( B ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①中,直线可能与平面相交,故①错；②是正确的；③中,一条直线与平面平行,则它与平面内的直线平行或异面,故③错．3．如图所示,在空间四边形ABCD 中,点E ,F 分别为边AB ,AD 上的点,且AEEB ＝AFFD ＝14,又点H ,G 分别为BC ,CD 的中点,则( B )A ．BD ∥平面EFGH ,且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ,且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ,且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ,且四边形EFGH 是平行四边形 [解析] 由AE EB ＝AF FD ＝14知,EF ∥BD ,且EF ＝15BD ,又∵EF ⊂/平面BCD ,BD ⊂平面BCD ,∴EF ∥平面BCD ,又点H ,G 分别为BC ,CD 的中点, ∴HG ∥BD 且HG ＝12BD ,∴EF∥HG且EF≠HG,故选B．4.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH 分别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是( A )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面[解析]由长方体性质知：EF∥平面ABCD,∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD＝GH,∴EF∥GH.又∵EF∥AB,∴GH∥AB．5．(多选)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是( BCD )[解析]B选项中,AB∥MQ,且AB⊂/平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ；C选项中,AB ∥MQ,且AB⊂/平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ；D选项中,AB∥NQ,且AB⊂/平面MNQ,NQ ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ.故选BCD．6.如图,已知S为四边形ABCD外一点,G、H分别为SB、BD上的点,若GH∥平面SCD,则( B )A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能[解析]∵GH∥平面SCD,GH⊂平面SBD,平面SBD∩平面SCD＝SD,∴GH∥SD．二、填空题7．如图,在五面体FEABCD中,四边形CDEF为矩形,M、N分别是BF、BC的中点,则MN与平面ADE的位置关系是平行 .[解析]∵M、N分别是BF、BC的中点,∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形,∴CF∥DE,∴MN ∥DE.又MN⊂/平面ADE,DE⊂平面ADE,∴MN∥平面ADE.8．已知直线b,平面α,有以下条件：①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公共点；④b不在α内,且与α内的一条直线平行．其中能推出b∥α的条件有②③④ .(把你认为正确的序号都填上)[解析]①中b可能在α内,不符合；②和③是直线与平面平行的定义,④是直线与平面平行的判定定理,都能推出b∥α.9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与A1C1的位置关系是平行 .[解析]∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AC⊂平面ABCD,∴AC∥平面A1B1C1D1．又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l,∴AC∥l,又∵AC∥A1C1,∴l∥A1C1．三、解答题10．如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,S,E,G分别是B1D1,BC,SC的中点．求证：直线EG ∥平面BDD 1B 1．[解析] 如图所示,连接SB ． ∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点, ∴EG ∥SB ．又∵SB ⊂平面BDD 1B 1,EG ⊂/平面BDD 1B 1, ∴直线EG ∥平面BDD 1B 1．B 组·素养提升一、选择题1．如图,在三棱锥S －ABC 中,E 、F 分别是SB 、SC 上的点,且EF ∥平面ABC ,则( B )A ．EF 与BC 相交B ．EF ∥BC C ．EF 与BC 异面D ．以上均有可能[解析] ∵EF ⊂平面SBC ,EF ∥平面ABC ,平面SBC ∩平面ABC ＝BC ,∴EF ∥BC ． 2．不同直线m 、n 和不同平面α、β,给出下列结论： ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；②⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ,n 异面．其中错误的结论有( C ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ∵α∥β,∴α与β没有公共点． 又∵m ⊂α,∴m 与β没有公共点,∴m ∥β,故①正确,②③错误．3.如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AM ＝2MA 1,BN ＝2NB 1,过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ,AC 于点E ,F ,则( B )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE[解析] ∵在□AA 1B 1B 中,AM ＝2MA 1,BN ＝2NB 1,∴AM 綊BN ,∴MN 綊AB ．又MN ⊂/平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,∴MN ∥平面ABC ．又MN ⊂平面MNEF ,平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ,∴MN ∥EF ,∴EF ∥AB ,显然在△ABC 中EF ≠AB ,∴EF ≠MN ,∴四边形MNEF 为梯形．故选B ．二、填空题4.如图,四边形ABCD 是空间四边形,E ,F ,G ,H 分别是四边上的点,它们共面,且AC ∥平面EFGH ,BD ∥平面EFGH ,AC ＝m ,BD ＝n ,则当四边形EFGH 是菱形时,AE EB ＝ m n .[解析] ∵AC ∥平面EFGH , ∴EF ∥AC ,HG ∥AC ,∴EF ＝HG ＝BEABm . 同理,EH ＝FG ＝AE AB n ,∴BE AB m ＝AE ABn , ∴AEEB ＝m n .5.如图所示,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D 为AA 1中点,点P 在侧面BCC 1B 1上运动,当点P 满足条件 P 是CC 1中点(答案不唯一) 时,A 1P ∥平面BCD ．[解析] 如图,取CC 1中点P ,连接A 1P .∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D为AA1中点,点P在侧面BCC1B1上运动,∴当点P是CC1中点时,A1P∥CD．∵A1P⊂/平面BCD,CD⊂平面BCD,∴A1P∥平面BCD．三、解答题6．如图,在三棱台DEF－ABC中,由AB＝2DE,G,H分别为AC,BC的中点．求证：BD∥平面FGH.[证明]如图,连接DG,CD,设CD∩GF＝O,连接OH.在三棱台DEF－ABC中,由AB＝2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC且DF＝GC,所以四边形DFCG为平行四边形,则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD．因为OH⊂平面FGH,BD⊂/平面FGH,所以BD∥平面FGH.7．如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C．[解析]由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,且A1B1＝AB＝DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1C∥A1D．又A1D⊂平面A1DFE,B1C⊂/平面A1DFE,于是B1C∥平面A1DFE.又B1C⊂平面B1CD1,平面A1DFE ∩平面B1CD1＝EF,所以EF∥B1C．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
六、立体几何选择填空题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（）A ．5B ．4C ．D ．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,BD cm CD ==，则这个二面角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒3．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）4．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A（B （C （D ）345．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正 方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（） A ．13BC D6．如图所示，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝PD.则棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值是（ ）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:37．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°; ④AB 与CD 所成的角为60°.其中错误．．的结论是 A ．① B ．② C ．③D ．④8．如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )9．如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形， 若∠A 1AB=∠A 1AD=60º，且A 1A=3，则A 1C 的长为（）AB ．C D10．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是()．B. C. 2311．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2 的等边三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角为( )． A. 6π B. 4π C.3π D. 2π12．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1A B 上存在 一点P 使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为 （）A．2 B．2C．2 D13、如图1，已知点E 、F 、G 分别是棱长为a 的正方体ABCD －A 1 B 1C l D 1的棱AA 1、BB 1、DD 1的中点，点M 、N 、P 、Q 分别在线段AG 、 CF 、BE 、C 1D 1上运动，当以M 、N 、P 、Q 为顶点的三棱锥Q －PMN 的俯视图是如图2所示的正方形时，则点Q 到PMN 的距离为__________．\14、在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为 .15、设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记11D PD B＝λ.当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是________．16、如图所示为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个结论：①点M 到AB； ②三棱锥C －DNE 的体积是16； ③AB 与EF 所成的角是2π.其中正确结论的序号是________．17、正方体1111ABCD A B C D -中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1//A F 平面1D AE ,若正方体1111ABCD A B C D -的棱长是2,则F 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段长是________.18、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，则下列四个命题：①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A —D 1PC 的体积不变；②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线BC 1上运动时，二面角P —AD 1—C 的大小不变； ④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点， 则M 点的轨迹是过D 1点的直线D 1A 1。
其中真命题的编号是 。
19、如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 上或其内部运动，且使MN ⊥AC.对于下列命题：①点M 可以与点H 重合；②点M 可以与点F 重合；③点M 可以在线段FH 上；④点M 可以与点E 重合．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．20、在正三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，下列结论：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中正确结论的序号是________．21、如图所示，记正方体1111-ABCD A B C D 的中心为O ，面11B BCC 的中心为E ，11B C的中点为.F 则空间四边形1D OEF在该正方体各个面上的投影可能是 ．（把你认为正确命题的序号填写在答题纸上）22、若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） ①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线．ABCD1B 1C 1D 1A EFO五、立体几何选择填空题1． 【答案】D试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D,PE ==选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征． 2． 【答案】B试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,B D A C θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222C D D B B A A CD B B A A C D B B A D B A C B AA C =++=+++⋅+⋅+⋅ 而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B.3． 【答案】A 试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中1cos 3C AC ∠==.在AOP ∆中OA =,设(,0AP x x =≤≤,由余弦定理可得22221222362OP x x x x ⎛=+-⋅=-+ ⎝⎭,所以1OP =.所以()12fxx =+.故选A.4 【答案】D. 试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为345． 【答案】B试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥ 又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PEPF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，31,,2PE PF EF =====所以2223122cos 33212EPF ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,sin EPF ∠==所以113sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=11233PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯=三棱锥三棱锥 所以应选B.6．【答案】C设AB ＝a.由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝.易证PQ ⊥面DCQ ，而PQ ＝，△DCQ 的面积为，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1:1，选C. 7．【答案】B 试题分析:如图，①取AC 中点E ，连接DE,BE,DEB ,,,,面⊥∴=⋂⊥⊥∴==AC E BE DE AC BE AC DE BC AB DC AD , 故AC ⊥BD ，①正确：②显然，DC AD AC 22==，△ACD 不是等边三角形，④取CD 的中点H,取BC 中点F ，连接ＥＨ，ＦＨ，则ＥＨ＝ＦＨ＝ＥＦ，EFH ∆是等边三角形，故AB 与CD 所成的角为60°③由④知AB 与平面BCD 所成的角为60°考点：直线与平面垂直的判定，两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角 8．【答案】D【解析】在A 图中分别连接PS,QR,易证PS ∥QR,∴P,S, R,Q 共面.在B 图中过P,Q,R,S 可作一正六边形,如图,故P,Q,R,S 四点共面.在C 图中分别连接PQ,RS,易证PQ ∥RS,∴P,Q,R,S 共面.D 图中PS 与RQ 为异面直线, ∴P,Q,R,S 四点不共面,故选D. 9． 【答案】A试题分析：法一：因为A A A ++=++=111， 所以A ∙+∙+∙+++=22A 2A A 11222121，即590cos 112120cos 112120cos 12119C A 21=︒⨯⨯⨯+︒⨯⨯⨯+︒⨯⨯+++=， 故51=C A 。