立体几何选填题资料讲解

立体几何 选填题一、选择题1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+2．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m3．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.162C.54183+162183+4．设直线,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ）A.//,//,m n m n αβ⊥B.//,,//m n m n αβ⊥C.,//,m n m n αβ⊥⊥D. ,,//m n m n αβ⊥⊥5．已知,αβ是两个不同的平面，,m n 为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（ ）A ．若αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥，则m α⊥B ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβC ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D ．若//m α，//n β，//m n ，则//αβ6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．2 8．已知两个不同的平面a ，β和两条不重合的直线m ，n ，则下列四个命题中不正确的是（ ）A ．若//m n ，m a ⊥，则n a ⊥B ．若m a ⊥，m β⊥，则//a βC ．若m a ⊥，//m n ，n β⊂，则a β⊥D ．若//m a ，a n β=I ，则//m n9．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）10．已知直线m ⊂平面β，直线l 平面α，则下列结论中错误的是（ ）A ．若l β⊥，则//m αB ．若//l m ，则αβ⊥C ．若//αβ，则l m ⊥D ．若αβ⊥，则//l m11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．103B ．163C ．5D ．10 12．下列命题正确的是（ ）A ．两两相交的三条直线可确定一个平面B ．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行C ．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D ．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线13．某椎体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）A ．33B ．17C ．41D ．4215．已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB PC ===，2AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．3πC ．2πD ．2π 16．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面//α平面β，则平面α内任意一条直线//m 平面β；③若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面β； ④若平面α内的三点A ，B ，C 到平面β的距离相等，则//αβ．其中正确命题的个数为（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．317．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C ABD -的正视图与府视图如右图所示，则侧视图的面积为（ ）A ．12B 2C 2D ．1418．下列命题中正确的个数是（ ）①过异面直线a ，b 外一点P 有且只有一个平面与a ，b 都平行；②异面直线a ，b 在平面内的射影相互垂直，则a b ⊥；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④直线a ，b 分别在平面α，β内，且a b ⊥，则αβ⊥．A ．0B ．1C ．2D ．319．某几何体三视图如图，则该几何体体积是（ ）A ．4B ．43C ．83D ．2 20．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，点M 是侧面11ABB A 内的一点，若MC 与平面ABC 所成的角为30︒，MC 与平面11ACC A 所成的角也为30︒，则MC 与平面11BCC B 所成的角正弦值为（ ）A ．12B ．2 C.3 D ．3 二、填空题 21．将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高 AD 折成直二面角 B AD C --， 则三棱锥B ACD - 的外接球的表面积为__________.22．若动圆M 与圆1C ：22(4)2x y ++=外切，且与圆2C ：22(4)2x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程 ．23．设正三棱柱'''ABC A B C -中，'2AA =，23AB =，则该正三棱柱外接球的表面积是 ．24．若过定点()1,0M -且斜率为k 的直线与圆22:450C x x y ++-=在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是____________．25．已知点(),p x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为_________26．如图是某几何体的三视图，正视图和侧视图为直角三角形，俯视图是等边三角形，则该几何体外接球的表面积为____________.27．已知边长为3的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积 ．28．已知三棱锥A BCD -中，213AB CD ==，41BC AD ==，61AC BD ==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 .29．如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -最终，O 为底面正方形的重心，,M N 分别为侧棱,PA PB 的中点，有下列结论：①//PC 平面OMN ；②平面//PCD 平面OMN ；③OM PA ⊥；④直线PD 与直线MN 所成角的大小为90o .其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）30．已知ABC ∆的三个顶点在以O 为球心的球面上，且22,1,3AB BC AC ===，三棱锥O ABC -的体积为66，则球O 的表面积为__________. 31．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如下图所示，则该几何体的体积是______32．若点P 在圆221:(4)(2)9C x y -+-=上，点Q 在圆222:(2)(1)4C x y +++=上，则PQ 的最小值是 ．33．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥ABC S -中，M 是SC 的中点，且SB AM ⊥，底面边长22=AB ，则其外接球的表面积为 .34．已知在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，且点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ．35．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,3AB AC BC ===D E 、分别是1AC 和1BB 的中点，则直线DE 与平面11BB C C 所成的角为 .β，γ两两垂直且交于一点O，若空间有一点P到这三个平面的距离分别36．平面α，是3、4、12则点P到点O的距离为________．立体几何选填题参考答案1．D 试题分析：由三视图可知该几何体为半个圆柱，底面圆的半径为1，高为2，所以表面积为21221234S πππ=⨯+⨯+⨯⨯=+2．A 试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂可得αβ⊥考点：空间线面平行垂直的判定与性质3．D 试题分析：由三视图可知该几何体为正方体去掉一个顶点后的几何图形，表面积由三个正方形，三个等腰直角三角形及一个边长为的正三角形构成，所以面积为162+ 考点：三视图及几何体表面积4．D 试题分析：由,m n αβ⊥⊥可知向量,m n u r r 分别为连个平面的法向量，所以由向量的知识可知当,m n u r r 平行时可得到//αβ 考点：空间线面平行垂直的判定与性质5．C 试题分析：A 中,m α可能平行，相交或直线在平面内；B 中两平面可能平行可能相交；C 中由面面垂直的判定可知结论正确；D 中两平面可能平行可能相交考点：空间线面垂直平行的判定与性质6．C 试题分析：由三视图可知该几何体是一四棱锥，底面是长和宽分别为4和1的矩形，高为1，则其体积为1441133V ⨯⨯⨯=＝,故选C ． 【方法点晴】本题主要考查三视图，属于较易题型．应注意把握三个视图的位置和尺寸：主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方；主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称．8．D 试题分析：对于A ，∵m α⊥，∴直线m 与平面α所成角为90︒，∵m n P ，∴n 与平面α所成角，等于m 与平面α所成角，∴n 与平面α所成的角也是90︒，即“n α⊥ ”成立，故A 正确；对于B ，若m α⊥，m β⊥，则经过m 作平面γ，设a γα⋂=，b γβ⋂=，∵a α⊂，b β⊂，∴在平面γ内，m a ⊥且m b ⊥，可得a 、b 是平行直线，∵a β⊄，b β⊂，a b P ，∴a βP ，经过m 再作平面θ，设c θα⋂=，d θβ⋂=，用同样的方法可以证出c βP ，∵a 、c 是平面α内的相交直线，∴αβP ，故B 正确；对于C ，∵m α⊥，m n P ，∴n α⊥，又∵n β⊂，∴αβ⊥，故C 正确；对于D ，m αP ，n αβ⋂=，当直线m 在平面β内时，m n P 成立，但题设中没有m β⊂这一条，故D 不正确，故选D.考点：平面的基本性质及推论. 【方法点睛】本题以命题判断真假为例，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，以及平面与平面的平行、垂直的判定定理等知识点，属于基础题；根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到A 项正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到B 项正确；根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到C 项正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可得D 项是错误的．由此可得正确答案.9．C 试题分析：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由侧视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2，故其主视图为直角边长为2的等腰直角三角形，且中间有一虚线，故选C ． 考点：三视图.10．D试题分析：A 项,由l β⊥,可知//αβ,又,//m m αα⊂∴,故A 正确； B 项,因为//,,l m l m αα⊥∴⊥,又,m βαβ⊂∴⊥,故B 正确；C 项,//,,l l αβαβ⊥∴⊥Q ,又,m l m β⊂∴⊥,故C 正确；D 项,因为αβ⊥,可知l m 与平 行,相交,异面,所以D 错误.综上可知应选D.考点：线面垂直,面面垂直的性质定理和判定定理.11．B 试题分析：正方体挖去一个四棱锥，体积为：31622231-222=⨯⨯⨯⨯⨯.故选B. 考点：三视图求体积.【方法点睛】三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．12．C 试题分析：A.三线交于一点时不一定在一个平面，故A 不正确；B.正四棱锥中，侧面和底面所成角相等但不平行，故B 不正确；C.直线和平面的位置关系只能是在面内或面外，因为直线经过平面外一点，故不在面内，必在面外，在面外包括平行和相交，故C 正确；D.可以交于一点，则共面，故D 不正确.考点：直线和平面的位置关系；平面和平面的位置关系.13【答案】C 试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面ABCD 边长为4，侧面PAD ⊥平面ABCD ，点P 在底面的射影为E ，所以,1,4,4PE AD DE AE PE ⊥===,所以225PA PE AE =+=,2241PB PE BE =+=,2233PC PE CE =+=,2217PD PE DE =+=,底面边长为4，所以最长的棱长为41，故选C.考点：简单几何体的三视图． 15．B 试题分析：由题意得，AC 为截面圆的直径，且3AC =，设球心到平面ABC 的距离为d ，设球的半径为R ，因为1PA PB PC ===，2AB =，所以PA PB ⊥,因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为22，由勾股定理可得22222312()()()22R d d =+=+-，解得30,4d R ==，所以球的表面积为234434S R πππ==⨯=，故选B ．考点：球的组合体及球的表面积的计算． 16．B 试题分析：互相平行的两条直线在同一个平面内的射影是互相平行的两条直线或是同一条直线，或是两个点，故①不正确；若平面αP 平面β，由面面平行的性质可得平面α内任意一条直线m P 平面β，故②正确；若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，只有当平面α⊥平面β时，才有直线n ⊥平面β，故③不正确；若平面α内的三点,,A B C 到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故④不正确，故选B.考点：1、线面关系的判定与性质；2、面面关系的判定与性质.【方法点晴】本题主要考查线面关系的判定与性质、面面关系的判定与性质，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.17．D 试题分析：取BD 的中点E ，连接,CE AE ，因为平面ABD ⊥平面CBD ，所以CE AE ⊥，所以CEA ∆是三棱锥的侧视图，因为2BD =，所以22CE AE ==，所以CEA ∆的面积为12212224S =⨯⨯=，故选B ． 考点：空间几何体的三视图．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图及其应用，其中解答中涉及到几何体的三视图的应用，几何体的侧面积公式，以及线面位置关系的判定与应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中牢记几何体的三视图的规则，得出原几何体的形状是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．18．A试题分析：①此命题不正确，当过点P 与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时，此时找不到一个过P 的平面与两条异面直线都平行，不正确；②本命题用图形说明，如图，三棱锥P ABC -中，侧棱PB 垂直于底面，,PA PC 两线在底面上的投影垂直，D 为棱PB 上一点，而异面直线,PA DC 两线不垂直，不正确；③四边相等的四边形也可以是空间四边形，不正确；④直线a ，b 分别在平面,αβ内，且a b ⊥，则,αβ不一定垂直，不正确.故选A ．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．【方法点睛】通过列举反例说明命题不正确．本题考查命题真假的判断，考查了空间中直线与直线之间的位置关系，线面位置关系，两异面直线的关系，面面位置关系等，正确解答本题，关键是要有着较好的空间立体感知能力，能对命题所涉及的问题找到恰当的模型做载体进行判断．本题是训练空间感知能力的一道好题，属于中档题．19．B试题分析：几何体为一个三棱锥，如图,2222,,AB AC DO AB AC DO ABC ===⊥⊥，，面，体积是11222423323D ABC ABC d S -∆⨯⨯⨯=⨯⨯=,选B ．考点：三视图 【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．20．B 试题分析：以MC 为对角线作长方体，设MC 与平面11BCC B 所成的角为 α，则222sin sin 30sin 301α+︒+︒=，故2sin α=.选B. 考点：线面角21．5π 试题分析：外接球半径22225211(3)452R R S R ππ=++⇒=⇒==． 考点：外接球. 22．)2(114222≥=-x y x 试题分析：设动圆M 的半径为r ，则由已知2||1+=r MC ，2||2-=r MC ， ||1MC ∴22||2=-MC .又)0,4(),0,4(21C C -，O D C B A228||21>=C C .根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以)0,4(),0,4(21C C -为焦点的双曲线的右支.4,2==c a Θ，14222=-=∴a c b .∴点M 的轨迹方程是 )2(114222≥=-x y x . 考点：定义法求轨迹方程.【思路点睛】本题考查的是求轨迹方程，求有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线，椭圆，双曲线，抛物线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．23．20π试题分析：因为该三棱柱为正三棱柱，所以底面为正三角形，底面三角形外接圆的直径为2324sin 603AB r ===︒，即2r =，所以该三棱柱外接球的半径222212152AA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以该三棱柱外接球的表面积为2420S R ππ==.考点：1.正三棱柱的性质；2.球的切接问题.【名师点睛】本题考查正三棱柱的性质与球的切接问题，属中档题；球与旋转体的组合，通常通过作出它的轴截面解题；球与多面体的组合，通常通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.24．()0,5 试题分析：圆心()2,0-，半径为3，画出图象如下图所示，由图可知，斜率的取值范围为()0,MA k ，令0x =代入圆的方程，求得()0,5,5MA A k =，所以()0,5k ∈.考点：直线与圆的位置关系.【思路点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法.首先求出圆心和半径，画出圆的图像，根据题意，直线和圆交于第一象限，也就是斜率的取值范围在()0,MA k 直线.A 是圆与y 轴的交点，故令0x =代入圆后，可求得纵坐标，由于交点在第一象限，所以坐标取正数，由此求得实数k 的取值范围.25．2【解析】试题分析：圆C ：2220x y y +-=的圆心（0，1），半径是r=1， 由圆的性质知：S 四边形PACB =2S △PBC ，四边形PACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值S=1= 12rd （d 是切线长）∴d 最小值=2 圆心到直线的距离就是PC 的最小值，2221251k +==+，∵k ＞0，∴k=2 考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式26．193π 试题分析:如图,设球的半径为R ,则22222)22332()22332()1(⨯⨯+=⨯⨯+-=d d R ,解之得21=d ,故1219912412=+=R ,所以球的面积319121934ππ=⨯=S ,应填答案193π. 考点：三视图的识读及球的表面积公式的运用.【易错点晴】本题考查的是三视图与原几何体的形状的转化问题.解答时先依据题设中提供的三视图,将其换元为立体几何中的简单几何体,再依据几何体的形状求其体积.在这道题中,从三视图所提供的图形信息中可以推知这是一个底面为等边三角形高为1=h 的三棱锥.解答本题的难点是先依据题设中提供的信息确定底面的形状及高,进而依据球心距及球半径的关系建立方程组求出球的半径1219=R ,运用球面面积公式求解.27．28π 试题分析：如图所示，ο120=∠AFC ，ο60=∠AFE ，33223=⨯=AF ，∴23,233==EF AE ，设x O O ='，∵2='B O ，1='F O ，∴由勾股定理可得22222331234⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x R ，∴72=R ，∴四面体的外接球的表面积为ππ2842=R ，故答案为π28．考点：（1）球内接多面体；（2）球的表面积和体积.28．77π 试题分析：因为该三棱锥的对棱两两相等，所以可构造长、宽、高分别是6,4,5的长方形，如图所示，三棱锥A BCD -的外接球即为所构造的长方体的外接球，所M D B C A O d R以所求外接球的半径3616257722R ++==，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为227744772S R πππ⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为π77.考点：球的表面积、体积.【方法点晴】本题主要考查了几何体的外接球以及球的表面积计算，由该三棱锥的对棱两两相等，将三棱锥的外接圆构造成长方体的外接圆是解决本题的关键所在，对空间想象能力要求较高，难度中档；在正方体与球的组合体中常见的有三种形式：1、正方体的各个定点均在球面上，球的直径即为正方体的体对角线；2、正方体的个面与球相切，球的直径即为棱长；3、球与正方体的各条棱相切，球的直径即为面对角线.29．①②③试题分析：如图，连接AC ，易得//PC OM ，所以//PC 平面OMN ，结论①正确.同理//PD ON ，所以平面//PCD 平面OMN ，结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以22222AB BC PA PC AC +=+=，所以PC PA ⊥，又//PC OM ，所以OM PA ⊥，结论③正确.由于,M N 分别为侧棱,PA PB 的中点，所以//MN AB ，又四边形ABCD 为正方形，所以//AB CD ，所以直线PD 与直线MN 所成的角即为直线PD 与直线CD 所成的角，为PDC ∠，知三角形PDC 为等边三角形，所以60PDC ∠=o ，故④错误，故答案为①②③ .考点：（1）线面平行的判定；（2）面面平行的判定；（3）线线垂直的判定.【方法点晴】本题考查了线面平行的判定、面面平行的判定以及线线垂直的判定和异面直线所成的角等，对空间想象能力要求较高，难度较大；常见证明线线平行的方式有：1、利用三角形中位线得到平行；2、构造平行四边形得到平行；3、利用面面平行等；在该题中证明平行利用的是中位线，垂直利用的是勾股定理；求异面直线所成角的简单步骤即：“作，证，求”.30．12π 试题分析：在ABC ∆中，22,1,3AB BC AC ===，由勾股定理可知斜边AC 的中点O '就是ABC ∆的外接球圆的圆心，因为三棱锥O ABC -的体积为6，所以116221326OO '⨯⨯⨯⨯=，所以3OO '=，所以93344R =+=，球O 的表面积为2412R ππ=.考点：球的表面积的求解.31．470【解析】 试题分析：该几何体是长方体上截了一个三棱锥，如图， 该几何体的体积470656213110510=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V . 考点：1.三视图；2.几何体的体积和表面积.32．553-【解析】易知圆221:(4)(2)9C x y -+-=的圆心坐标为)2,4(1C ，半径为3=r ；圆4)1()2(:222=+++y x C 的圆心坐标为)1,2(2--C ，半径为2=R .r R C C d +=+>==3245||21Θ，∴两圆的位置关系是外离，又点P 在圆1C 上，点Q 在圆2C 上，则PQ 的最小值为553)(-=+-r R d ．33．π12 试题分析：设O 为S 在底面ABC 的投影，则O 为等边三角形ABC 的中心，∵⊥SO 平面ABC ，⊂AC 平面ABC ，∴SO AC ⊥，又AC BO ⊥，∴⊥AC 平面SBO ，∵⊂SB 平面SBO ，∴AC SB ⊥，又SB AM ⊥，⊂AM 平面SAC ，⊂AC 平面SAC ，A AC AM =I ，∴⊥SB 平面SAC ，同理可证⊥SC 平面SAB ．∴SA ，SB ，SC 两两垂直．∵SOC ≌≌∆∆∆SOB SOA ，∴SC SB SA ==，∵22=AB ，∴2===SC SB SA ．设外接球球心为N ，则N 在SO 上．∵3622332=⨯=AB BO ．∴33222=-=BO SB SO ，设外接球半径为r ，则r r SO NO -=-=332，r NB =，∵222NB ON OB =+，∴2233238r r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，解得3=r ．∴外接球的表面积ππ1234=⨯=S ．故答案为：π12． 考点：（1）棱柱、棱锥、棱台的体积；（2）球的表面积和体积.【方法点睛】本题考查了正棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，属于中档题．设棱锥的高为SO ，则由正三角形中心的性质可得OB AC ⊥，SO AC ⊥，于是⊥AC 平面SBO ，得AC SB ⊥，结合AM SB ⊥可证⊥SB 平面SAC ，同理得出SA ，SB ，SC 两两垂直，从而求得侧棱长，外接球的球心N 在直线SO 上，设r BN SN ==，则r SO ON -=，利用勾股定理列方程解出r ．34．60︒ 【解析】如图，取BC 的中点E ，连接DE 、AE 、AD .依题意知三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，易得⊥AE 平面C C BB 11，故ADE ∠为AD 与平面C C BB 11所成的角．设各棱长为1，则23=AE ，21=DE ，从而32123tan ===∠DEAE ADE ，则60ADE ∠=︒．35．6π 试题分析：取AC 中点F ，则//,DF BE DF BE =，∴//DE BF ，∴BF 与平面11BB C C 所成的角为所求，1,3,2AB BC AC ===Q ，∴AB BG ⊥，又1AB BB ⊥，∴11AB BB C C ⊥平面，作//GF AB 交BC 于G ，则11GF BB C C ⊥平面，∴FBG ∠为直线BF 与平面11BB C C 所成的角，由条件知13,2BG BC ==1122GF AB ==，∴3tan GF FBG BG ∠==，∴6FBG π∠=. 考点：线面角.【思路点晴】过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条直线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的（这条线与原直线的夹角的余角线面）即为夹角，夹角范围：0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.在解答题目的过程中，首先将线面角作出来，一般是利用平面的垂线来作角.作出角后，利用解直角三角形来求角的某个三角函数值.36．13 试题分析：由题意得，点P 到点O 的距离为222341213++=，故填：13.考点：立体几何中的距离.。