第06-07讲 组合数学——递推关系
数学递推关系问题：解决递推关系
数学递推关系问题：解决递推关系数学中的递推关系是指一个序列中的每一项都可以由前面一项或多项递推出来的关系。
在解决数学递推关系的问题时，我们通常需要确定递推关系的形式，进而找到规律并求解特定项或整个序列的值。
本文将介绍解决递推关系问题的一般方法和常见技巧。
一、确定递推关系的形式对于给定的数学递推关系，我们首先需要确定它的形式。
递推关系的形式可以通过观察序列中的数值规律来确定。
常见的递推关系形式包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
以等差数列为例，递推关系通常可表示为：an = an-1 + d，其中an表示第n项，d表示公差。
通过观察序列中相邻项之间的差值是否恒定，我们就可以判断出递推关系的形式。
对于其他形式的递推关系，也可以通过类似的方法进行确定。
需要注意的是，递推关系的形式不一定是唯一的，可能存在多种可能性。
因此，在确定递推关系的形式时，我们需要仔细观察序列中的数值规律，并进行推断和验证。
二、找到规律求解确定递推关系的形式后，我们就可以利用找到的规律来求解特定项或整个序列的值。
以等差数列为例，如果我们已知了序列的首项a1和公差d，可以通过递推公式an = an-1 + d来求解其他项的值。
例如，要求解第n项的值an，可以通过递推公式反复递推计算得到。
除此之外，还可以借助数学方法和工具求解递推关系问题。
例如，对于等比数列，我们可以通过求解特征方程来找到递推关系的通项公式，进而求解特定项的值。
另外，对于一些特殊的递推关系，可能存在已知的求解方法和技巧。
例如，斐波那契数列的递推关系可以通过矩阵乘法或黄金分割公式求解。
三、举例分析为了更好地理解解决递推关系问题的方法和技巧，我们来看一个具体的例子：求解斐波那契数列的第n项的值。
斐波那契数列是一个经典的递推关系，其递推关系可以表示为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。
为了求解第n项的值Fn，我们可以使用递推公式反复计算。
递推关系解题的关键技巧与应用
递推关系解题的关键技巧与应用递推关系（recurrence relation）是数学中常见的一种关系式，它可以通过前一项或前几项的数值来表示后一项。
在解决问题时，递推关系常常被用于推导出问题中的规律，从而找出解决方法。
本文将介绍递推关系解题的关键技巧以及应用。
一、递推关系解题的关键技巧1. 确定初始条件：在使用递推关系解题时，首先需要确定初始条件。
也就是说，要找到递推关系式中的第一个或前几个数值。
初始条件的确定通常需要根据问题的具体情况来判断。
2. 推导递推关系：通过观察问题中给出的数值和规律，可以尝试推导出递推关系。
这个关系有可能是数列、数表或者其他形式的递推公式。
3. 利用递推关系求解：一旦递推关系确定，就可以利用它来求解问题。
根据递推关系的定义，通过已知的数值逐步推导出后面的数值。
4. 验证解答的正确性：最后，需要验证所得到的解答是否正确。
可以通过递推关系来逐项验证，或者将解答代入原始问题中进行验证。
通过以上技巧的应用，可以更加轻松、高效地解决递推关系问题。
二、递推关系解题的应用递推关系的应用非常广泛，以下是一些常见的例子：1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递推关系问题。
其递推关系式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
可以利用这个递推关系来求解斐波那契数列中的任意项。
2. 阶乘计算：阶乘是另一个常见的递推关系问题。
定义n的阶乘为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1，其中0的阶乘为1。
通过递推关系n! = n * (n-1)!，可以计算出任意非负整数的阶乘。
3. 数字排列组合：在某些排列组合问题中，递推关系也经常被使用。
比如在八皇后问题中，可以通过递推关系来确定皇后在每一行中的位置，从而求解出问题的解。
4. 动态规划问题：动态规划是一种使用递推关系进行求解的方法。
通过将问题分解为子问题，并利用递推关系求解子问题，最终得到原始问题的解。
递推关系知识点总结
递推关系知识点总结一、递推关系的基本概念1.1 递推关系的定义递推关系是一种反映事物发展变化规律的数学模型。
通常来说，递推关系是指数列的前项与后项之间的关系。
例如，斐波那契数列就是一个经典的递推关系，它的递推式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
1.2 递推关系的元素递推关系一般包括以下几个元素：- 初始条件：递推关系的第一个数值，通常是已知的特定值。
- 递推公式：描述数列前后项之间关系的公式，用于计算数列后续项的值。
- 递推方程：将递推公式用代数方式表示的方程。
1.3 递推关系的类型根据递推公式的性质和形式，递推关系可以分为线性递推关系、非线性递推关系、齐次递推关系、非齐次递推关系等类型。
不同类型的递推关系有不同的性质和求解方法。
二、递推关系的性质2.1 线性递推关系的性质线性递推关系具有以下性质：- 线性组合性：若数列{an}与{bn}分别满足递推关系an=an-1+an-2和bn=bn-1+bn-2，则任意常数c1和c2的线性组合{c1an+c2bn}也满足递推关系an=an-1+an-2。
- 独立性：若数列{an}和{bn}都满足递推关系an=an-1+an-2，则其线性组合{an+bn}也满足该递推关系。
2.2 齐次递推关系的性质齐次递推关系是指递推关系的递推式中不包含任何常数项或者其他特殊项。
对于齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2，其中c1和c2是任意常数，n1和n2是特征方程的两个不同实根，那么其特解为包含初始条件的实数数列。
2.3 非齐次递推关系的性质非齐次递推关系是指递推关系的递推式中包含有常数项或者其他特殊项。
对于非齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2+fn，其中cn1^n+cn2^n2是其对应的齐次递推关系的通解，fn是递推式的非齐次项对应的特解。
三、递推关系的求解方法3.1 通项公式法通项公式法是求解递推关系最直接的方法。
[数学]组合数学第7章[递推关系与生成函数]
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递推（递归）关系是计数的一个强有力 的工具，特别是在做算法分析时是必需的， 有大量的递归算法的时间特性体现出递推 关系。递推关系的求解的主要方法包括递 推、母函数、特征方程等方法。
递推关系与求解
§7.1 递推关系与递推求解
[例1]确定平面一般位置上的n个互相交叠的 圆所形成的区域数。所谓互相交叠是指每 两个圆相交在不同的两个点上。
q a1q
n k
n 1
a2 q
n2
... ak q
nk
0
q a1q
k 1
a2 q
k 2
... ak 0
即第一个结论成立。
特征方程解法
由于qi互异，qin都是递推关系的不同解，故 n n n hn c1q1 c2 q2 ... ck qk 也是递推关系的解。对任意的初始值，有 n 0， c1 c2 ... ck b0 n 1， c1q1 c2 q2 ... ck qk b1 2 2 2 n 2， c1q1 c2 q2 ... ck qk b2
特征方程解法
2. 非齐次递推关系 定义1中的bn非零时，形成的非齐次递推关 系的求解可分为几步： (1)求齐次通解； (2)求非齐次关系的一个特解； (3)通解与特解结合。 但求特解没有一般的公式，一些特殊形式 下可以进行如下尝试。
特征方程解法
(1)若bn是n的k次多项式，hn为特解，可尝试： a)hn=r（常数），若bn为d（常数） b)hn=rn+s，若bn=dn+c c)hn=rn2+sn+t，若bn=fn2+dn+c (2)若bn是指数形式，则尝试 hn=多项式dn，若bn=dn
组合数学讲义3章递推关系
组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。
（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。
（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。
（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。
组合数递推公式应用
组合数递推公式应用一、组合数的定义。
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C_n^m，其计算公式为：C_n^m=(n!)/(m!(n - m)!)二、组合数递推公式。
1. 递推公式。
- C_n^m = C_n - 1^m+C_n - 1^m - 1- 推导过程：- 考虑从n个元素中选m个元素的组合情况。
我们可以将这n个元素分成两类，一类是特定的一个元素，设为a，另一类是剩下的n - 1个元素。
- 从n个元素中选m个元素的组合可以分成两种情况：- 不包含元素a的组合，其个数就是从n - 1个元素中选m个元素的组合数，即C_n - 1^m。
- 包含元素a的组合，那么我们只需要从剩下的n - 1个元素中再选m - 1个元素就可以了，其个数为C_n - 1^m - 1。
- 所以C_n^m = C_n - 1^m+C_n - 1^m - 1。
2. 应用场景。
- 计算组合数的值。
- 当n和m较大时，直接用组合数的定义公式计算可能会涉及到较大数的阶乘运算，容易造成计算复杂甚至溢出。
而利用递推公式可以逐步计算组合数。
- 例如，计算C_5^3：- 根据递推公式C_5^3 = C_4^3+C_4^2。
- 计算C_4^3=(4!)/(3!(4 - 3)!)=(4!)/(3!1!)=4。
- 计算C_4^2=(4!)/(2!(4 - 2)!)=(4×3)/(2×1)=6。
- 所以C_5^3 = 4 + 6=10。
- 证明组合恒等式。
- 许多组合恒等式可以通过组合数递推公式来证明。
- 例如，证明C_n^m = C_n^ {n - m}。
- 我们可以用数学归纳法，当n=m时，C_n^m = C_n^ {n - m}=1成立。
- 假设当n = k时，C_k^m = C_k^ {k - m}成立。
- 当n=k + 1时，根据递推公式：- C_k+1^m=C_k^m + C_k^m - 1。
组合数学递推关系
(6.2.4)
如果方程组（6.2.4）有唯一解b'1 , b'2 ,, b'k ，这说明可以找到 这k个常数，使得
解. 考察方程组（6.2.4），它的系数行列式为这是著名的 Vandermonde行列式.因为 q1 , q2 ,, qk 互不相等，所以该行 列式不等于零，这也就是说方程组（6.2.4）有唯一解.
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；
例6.1.1（爬楼梯问题）一个小孩要爬上n阶 楼梯，每次可上一阶或两阶，问上n阶有多 少种上法？ 解：
显然登上1阶台阶有1种方法，登上2台阶有2种方法， f(1）=1，f(2)=2 ,称为递推关系的初始条件。 设有f(n) 种方法，要登上这n阶台阶，最后迈上一个台 阶或两个台阶完成. （1）若最后是迈上一个台阶完成的，则前面登上了n1阶台阶，有f(n-1) 种方法； （2）若最后是迈上两个台阶完成的，则前面登上了n2阶台阶，有f(n-2) 种方法，根据加法原理有递推关系： f(n)=f(n-1)+f(n-2) .
n n 1 n 1 n
例6.2.2
f (n) 2 f (n 1) 3 f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 先求通解，特征方程是： x 2x 3 0
•
关于微分方程求解的已知结论:
1. 对于4次以及4次以下的方程,目前已有代数解法.(在复数 域内求解) 2. 阿贝尔定理: 5次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.
例6.2.1 求Fibonacci数的递推关系
n2 f (n) f (n 1) f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 解：特征方程为x 2 x 1 0, 1 5 1 5 两个特征根分别是：x1 , x2 , 2 2 1 5 n 1 5 n 因此通解f (n) c1 ( ) c2 ( ) 2 2
组合数学第六章递推关系
h(n)＝b’1q1 n＋b’2q2 n＋……＋b’kqk n ＝ ＋ 成立，从而b1q1 n＋b2q2 n＋……＋bkqk n是该递推关系的通 ＋
• 常系数线性齐次递推关系的求解步骤 1. 根据题意求递推关系 2. 利用递推关系得到特征方程 3. 解特征方程，求特征根 解特征方程， 4. 利用特征根写递推关系通解 5. 根据初值确定通解中的系数 6. 给出递推关系的解 • 关于微分方程求解的已知结论: 关于微分方程求解的已知结论 微分方程求解的已知结论
例6.1.2 Fibonacci数列问题是一个古老的数 数列问题是一个古老的数 学问题，是于1202年提出的，问题表述如下: 1202年提出的 学问题，是于1202年提出的，问题表述如下: 把一对兔子（ 雄各一只） 把一对兔子（雌、雄各一只）在某年的 开始放到围栏中， 开始放到围栏中，每个月这对兔子都生出一 对新兔，其中雌、雄各一只。 对新兔，其中雌、雄各一只。由第二个月开 每对新兔每个月也生出一对新兔， 始，每对新兔每个月也生出一对新兔，也是 雄各一只。 雌、雄各一只。问一年后围栏中有多少对兔 这是一个数学模型的形象表示， 子？这是一个数学模型的形象表示，不能真 正用来表示兔子的繁殖规律。 正用来表示兔子的繁殖规律。
方程 xk-c1xk-1-c2xk-2-……-ck=0 • 递推关系的特征根 特征方程的k个根q1 ， q2……qk(可能有重根)，其中qi (i=1,2,……,k)是复数。 • 递推关系的解与特征根的关系？ 递推关系的解与特征根的关系？
引理6.2.1 设q是非零复数.则f(n)=qn是常系数线 引理 性齐次递推关系的解，当且仅当q是它的特征根. 证明 设f(n)=qn是递推关系(6.2.2)的解，即
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；
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定理
r 阶线性常系数非齐次递推关系的通解an是该非齐 次递推关系的一个特解an[p]，加上其相应的齐次 递推关系的通解an[c] [ p] [c ] 即
an an
an
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多项式型非齐次递推关系
一般形式 a c a ... c a p( n) n 1 n 1 r nr
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定义
如果递推关系式1的每个解an[s]都可以选择一组常 数B1’ , B2’ ,…, Br’ 使得
an B 1 m B 2 m ... Br m
' n 1 ' n 2 '
s
n r
' n n n 成立，则称 B1 m1 B'2 m2 ... B'r mr 是递推关系式1的通解，其中：B1’ , B2’ ,…, Br’是 任意常数。
D1
Dn
Dn1
D2
P
D3
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r 阶递推关系的一般形式
an c1 nan1 c2 nan 2 ... cr nan r en 其中：n r , cr 0
若e(n) = 0，称其为齐次递推关系式
若e(n)≠0，称其为非齐次递推关系式
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常系数齐次线性递推关系
一般形式：
an c1an1 c2an 2 ... cr an r 0 其中：r 0 c
特征方程：
（式1）
m r c1m r 1 c2 m r 2 ... c r 0
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指数型非齐次递推关系
一般形式 an c1an ... cr an b n pn 1 r 定理：当b是对应的齐次递推关系的 k 重特征根时 （若b不是特征根，则 k=0） 该非齐次递推关系的一个特解的形式为
[ anp ] b n n k B0 B1n B2 n 2 ... Bl n l
an n n 2 2
例8 10个数字(0~9)和4个运算符(+,-,,) 组成14个 元素，求由其中的n个元素构成的排列组成的算术 表达式的个数（含除数为0的情况） 解： n n 15 65 15 65 an 5 65 5 65 4 65 4 65
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递推关系的建立
例5 用an表示包含偶数个0和偶数个1的n位三进制 序列的个数，用bn表示包含偶数个0和奇数个1的n 位三进制序列的个数，用cn表示包含奇数个0和偶 数个1的n位三进制序列的个数。求关于an, bn, cn (n=1,2...)的递推关系。
an an 1 bn 1 cn 1 n 1 解： bn 3 cn 1 n 1 cn 3 bn 1 a 1,b 1,c 1 1 1 1
当ci(n)=ci时（i =1,2,…,r）称为常系数递推关系
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第6-7讲 递推关系
递推关系的定义 递推关系的建立 递推关系的求解
常系数线性齐次递推关系求解
非齐次递推关系的求解 非线性递推关系的求解 母函数解递推方程
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递推关系的求解
经典解法 母函数解法 迭代法 置换法 归纳法 相加削去法
求解过程
求齐次递推关系的通解 求非齐次递推关系的特解 列出非齐次递推关系的通解形式 根据初始条件确定待定系数
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多项式型非齐次递推关系
例10 an=2an-1+1, a1=1 解： n 2n 1 a
例11 an=an-1+2(n-1), a0=2, 求an =? 解： n n 2 n 2 a
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递推关系的建立
例6 平面上有一点P，它是n个区域D1, D2, ... Dn的 共同交界点，现取k种颜色对n个区域着色，要求 相邻区域着不同的颜色，试求着色方案。
解：
an ( k 2)an1 ( k 1)an 2 a2 k ( k 1), a3 k ( k 1)( k 2)
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课后练习
求n位二进制数最后三位出现010图像的个数。 参考答案：
an 2
n 3
an 2 , a3 1
2 1 1 n an cos n sin n 2 5 2 5 2 10
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H i n B0 m B1 n m ... Bei 1 n
B0 B1 n ... Bei 1 n
而递推关系式1的通解为：
n i
n i
e i 1
e i 1
m
min
n i
an H1 (n) H 2 (n) ... H i (n)
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无重特征根
定理：设m1,…,mr是递推关系式1的r个互不相等的 特征根，则： ' n ' n ' n
an B 1 m1 B 2 m2 ... Br mr
是递推关系式1的通解。
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有重特征根
定理：设m1, m2, …,mi是递推关系式1的全部互不 相等的特征根，其重数分别为e1, e2, …,ei (e1+e2+…+ei = r) 则递推关系式对应mi部分的通解是：
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递推关系的建立
例1 有一个小孩要爬上有n个台阶的楼梯，他一步 可以爬一个台阶或者两个台阶。这个小孩爬上这n 个台阶楼梯的不同方法的数目记作an，求an的递 推关系。 解：
a n a n 1 a n 2
a1 1, a2 2
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a2,1 a3,1 a4,1 1, 对于 n 0 或n 1 或n 4, 有an,1 0
an,k 6an 2,k 1 10an 3,k 1 15an 4,k 1
a2,1 6, a3,1 10, a4,1 15, 对于 n 0 或n 1 或n 4, 有an,1 0
其中， p( n)是n的l 次多项式
定理：当 l 是相应的齐次递推关系的 k 重特征根 时（若 l 不是该齐次递推关系的根时，k = 0）
a
[ p] n
n B0 B1n B2 n ... Bl n
k 2
l
是该非齐次递推关系的一个特解。
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多项式型非齐次递推关系
递推关系的建立
例2 设平面上有n条直线，其中每对直线都相交， 但任意三条直线都不交于一点。这样的n条直线把 平面分成的区域个数记作an，求an的递推关系。 解： a a n
n n 1
a1 2
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递推关系的建立
例3 在信道上传输由a,b,c三个字母组成的长为n的 字符串，若字符串中有两个a连续出现，则信道就 不能传输。令an表示信道可以传输的长为n的字符 串的个数，求an满足的递推关系。 解：a 2a 2a n n 1 n 2
引理1
设m是非零实数或复数，则mn是递推关系式
an c1an1 c2an 2 ... cr an r 0 其中：r 0 c
的解的充要条件是：m是上述递推关系式1的特征 方程的特征根。
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引理2
如果an[1],an[2]都是递推关系式
an c1an1 c2an 2 ... cr an r 0 其中：r 0 c
a1 3, a2 8
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递推关系的建立
例4 把 n 个相同的球放入 k 个不同盒子中，每个 盒子中的球不少于2个又不多于4个。其不同的放 法的数目记作an,k，求an,k的递推关系，如果这n个 球取自3种颜色的球如何？ 解：
a n , k a n 2 , k 1 a n 3 , k 1 a n 4 , k 1
常系数齐次线性递推关系的求解
例9 n阶行列式
2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 . 0 1 2 . . 0 1 . 0 . 0 . 0 . 0 0
d n 2d n1 d n 2
d1 2, d 2 3
dn 1 n
0 1 2n
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举例： 汉诺塔问题
an 2an1 1 a 1块盘子问题 块盘子问题 a1 1 a64 18446744073709551615
n-1
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第6-7讲 递推关系
递推关系的定义 递推关系的建立 递推关系的求解
常系数线性齐次递推关系求解
非齐次递推关系的求解 非线性递推关系的求解 母函数解递推方程
第6-7讲 递推关系
递推关系的定义 递推关系的建立 递推关系的求解
常系数线性齐次递推关系求解
非齐次递推关系的求解 非线性递推关系的求解 母函数解递推方程
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递推关系的定义
定义
对数列{ai | i ≥0}和任意自然数 n，一个关系到an和某些 ai (i <n)的方程，称为递推关系。 初始条件的个数与递推 关系的阶相等 记作 F (a0 , a1 , a2 ,…, an) = 0 初始条件 a0=d0, a1=d1, ..., ak=dk