组合数学 3.3常系数线性非齐次递推关系
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线性常系数递推关系
A B(n 1) r n xn , n0
C Dn r n xn, n0
因此通项表达式为： an C Dn r n ,
其中常数C, D可以利用初始条件来确定。
例如，若已知a0, a1，则 a0 C, a1 (C D)r D a1 r a0.
例1 求解递推关系：
an an-1 12an-2 0, a0 3, a1 26.
类似的，令母函数为G(x)=a0+a1x+a2x2+…，则
xk (ak C1ak1 C2ak2 L Cka0 ) 0 xk1 (ak1 C1ak C2ak1 L Cka1 ) 0
LL
__________ __________ ________ xn(an C1an1 C2an2 L Ckank) 0
L (an ban-1 can-2) xn ...
a0 (a1 ba0)x.
因此有
G(x)
a0 (a1 1 bx
ba0 ) cx 2
x
.
与分母相对应的方程 x2+bx+c=0 称为特征方程，它
的根
b b2 4c
r 1,2
2
称为特征根。
这样G(x)可以表示为：
G(x)
a0 (a1
1 1x 1 2x
1 k x
A1 (1 x)n A2 (2 x)n L Ak (k x)n
n0
n0
n0
( A11n
A2
n 2
L
Ak
n k
)
x
n
,
n0
因此通项表达式为：
an
A11n
A2
n 2
L
Ak
n k
组合数学(第二版)递推关系
递推关系
其次,证明an 是通解.若给定一组初始条件
可以仿照齐次方程通解的证明方法,证得相应于条件式 (3.2.11)的解一定可以表示为式 (3.2.10)的形式.
关于 的求法已经解决,这里的主要问题是求式(3.2.2) 的特解an * .遗憾的是寻求特 解还没有一般通用的方法.然而, 当非齐次线性递推关系的自由项f(n)比较简单时,采用 下面的 待定系数法比较方便.
递推关系 【例 3.4.2】 棋盘染色问题:给一个具有1行n 列的1×n
棋盘(见图3.4.1)的每一个 方块涂以红、蓝二色之一,要求相 邻的两块不能都染成红色,设不同的染法共有an 种,试 求an.
图 3.4.1 1×n 棋盘
递推关系
递推关系
【例3.4.3】 交替子集问题:有限整数集合Sn={1,2,…,n} 的一个子集称为交替的, 如果按上升次序列出其元素时,排列 方式为奇、偶、奇、偶、…….例如{1,4,7,8}和 {3,4,11}都是, 而{2,3,4,5}则不是.令gn表示交替子集的数目(其中包括空集), 证明
且有gn=Fn+2.
递推关系
证 显然,g1=2,对应S1 的交替子集为⌀和{1}.g2=3,对应S2 的交替子集为⌀、 {1}、{1,2}.
将Sn 的所有子集分为两部分: (1)Sn-1={1,2,…,n-1}的所有子集; (2)Sn-1的每一个子集加入元素n 后所得子集. 例如,n=4,S4={1,2,3,4}的所有子集划分为两类,即 (1)⌀、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}; (2){4}、{1,4}、{2,4}、{3,4}、{1,2,4}、{1,3,4}、 {2,3,4}、{1,2,3,4}.
用升阶法求常系数非齐次线性递推关系的特解
用升阶法求常系数非齐次线性递推关系的特解黄纯洁【摘要】This article makes use of the sequence difference, and transforms the invariable coefficient number of times different linear recursion sequence to the coefficient inhomogeneous linear difference equation （ qo （qo△k＋i＋q1△k＋i-1…＋qk△i）an=△if（n）, The fourf（n）=gm （n）,f（n）=qngm（n）,f（n）=qngm（n）cosβn,f（n）=qkgm（n）sinβn） are discussed under constant coefficient inho-mogeneous linear difference equation, thus obtains the special solutions of coefficient inhomogeneous linear recursion sequence, which is called the method of increasing order.%利用数列的差分算子和移位算子，将常系数非齐次线性递推关系转化成为常系数非齐次线性差分方程（qo△k＋i＋q1△k＋i-1…＋qk△i）an=△if （n），并将f（n）=gm（n），f（n）=qngm（n），f（n）=qngm（n）cosβn，f（n）=qkgm（n）sinβn）这四种类型的常系数非齐次递推关系转化为相应的差分方程，从而得到求常系数非齐次线性递推关系特解的简易方法——升阶法。
【期刊名称】《广东石油化工学院学报》【年(卷),期】2011(021)006【总页数】4页(P67-69,74)【关键词】差分方程;差分算子;移位算子;特解【作者】黄纯洁【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广东广州510631【正文语种】中文【中图分类】O175.70 引言设k阶常系数非齐次线性递推关系形式为p0an+k+p1an+k-1+…+pkan=f(n)(p0,pk≠0),(1)。
组合数学递推关系
(6.2.4)
如果方程组（6.2.4）有唯一解b'1 , b'2 ,, b'k ，这说明可以找到 这k个常数，使得
解. 考察方程组（6.2.4），它的系数行列式为这是著名的 Vandermonde行列式.因为 q1 , q2 ,, qk 互不相等，所以该行 列式不等于零，这也就是说方程组（6.2.4）有唯一解.
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；
例6.1.1（爬楼梯问题）一个小孩要爬上n阶 楼梯，每次可上一阶或两阶，问上n阶有多 少种上法？ 解：
显然登上1阶台阶有1种方法，登上2台阶有2种方法， f(1）=1，f(2)=2 ,称为递推关系的初始条件。 设有f(n) 种方法，要登上这n阶台阶，最后迈上一个台 阶或两个台阶完成. （1）若最后是迈上一个台阶完成的，则前面登上了n1阶台阶，有f(n-1) 种方法； （2）若最后是迈上两个台阶完成的，则前面登上了n2阶台阶，有f(n-2) 种方法，根据加法原理有递推关系： f(n)=f(n-1)+f(n-2) .
n n 1 n 1 n
例6.2.2
f (n) 2 f (n 1) 3 f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 先求通解，特征方程是： x 2x 3 0
•
关于微分方程求解的已知结论:
1. 对于4次以及4次以下的方程,目前已有代数解法.(在复数 域内求解) 2. 阿贝尔定理: 5次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.
例6.2.1 求Fibonacci数的递推关系
n2 f (n) f (n 1) f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 解：特征方程为x 2 x 1 0, 1 5 1 5 两个特征根分别是：x1 , x2 , 2 2 1 5 n 1 5 n 因此通解f (n) c1 ( ) c2 ( ) 2 2
线性常系数非齐次递推关系共54页文档
—马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
线性常系数非齐次递推关系
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
线性常系数非齐次递推关系
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
3.3常系数线性非齐次递推关系
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F1(n)＋F2(n)
3.3.2 举例
a n 3a n 1 3 2 n 4n 例3.3.3 解递归 a 1 1
()
解(1)相伴齐次递推关系an＝3an-1 (☆)
(☆)的特征方程x－3＝0 (☆)的特征根 x＝3
根，所以得(＊)的一个特解形如
an＝n1(p1n＋p0)1n(p1,p0为待定系数) 代入a1＝1，a2＝3得
p1 p 0 1 2(2 p1 p 0) 3
1 p0 2 p 1 1 2
3.3.2 举例
故得(＊)的一个特解
1( 1 an＝n 2
3.3.2 举例
例3.3.1 解递归 a n a n 1 n
a 1 1
()
解(1)相伴齐次递推关系an＝an-1 (☆) (☆)的特征方程x－1＝0 (☆)的特征根 x＝1
(☆)的通解an＝a×1n＝a(a为任意常数)
3.3.2 举例
(2)由于F(n)＝n＝n×1n且s＝1是(☆)的1重
3.3.2 举例
(3) (＊)的通解
an＝a×3n－6×2n＋2n＋3(a为任意常数) (4)代入a1＝8得a＝5。故求得递归的解 an＝5×3n－6×2n＋2n＋3
作 业
1)1条直线将平面划分为2个部分，2条直线将 平面最多划分为4个部分， …，则n条直线 将平面最多划分为几个部分? 2)小兔子慧慧有12棵萝卜，它每天至少要吃1 棵，则当萝卜吃完之后，不同的吃萝卜的 情形有多少种？ 3)有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点， 小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确 定的不同直线最少有多少条？
常系数非齐次线性方程
05
常系数非齐次线性方程的数值解法的
应用实例
物理问题模拟
热传导方程
常系数非齐次线性方程可以用于描述一维热 传导过程，通过数值解法可以模拟温度随时 间变化的规律，预测物体在给定初始条件和 边界条件下的温度分布。
波动方程
在物理学中，波动方程也是一类常系数非齐 次线性方程，数值解法可以用于模拟波的传 播、反射、干涉等现象，如声波、电磁波等。
稳定性
当方程的解在时间趋于无穷大时，解的振幅趋于零，即解是 稳定的。
不稳定性
当方程的解在时间趋于无穷大时，解的振幅不趋于零，即解 是不稳定的。
解的振动性与非振动性
振动性
解在时间变化过程中呈现周期性变化 ，即解是振动的。
非振动性
解在时间变化过程中不呈现周期性变 化，即解是非振动的。
解的收敛性与发散性
步长与精度控制
总结词
在数值求解常系数非齐次线性方程时， 步长和精度是两个重要的控制参数，它 们直接影响到求解的精度和稳定性。
VS
详细描述
步长是每一步迭代的长度，过大的步长可 能导致求解不稳定或误差累积，过小的步 长则可能导致计算量过大。精度控制则是 设定求解的误差范围，以确定迭代何时停 止。在选择步长和精度时，需要根据具体 问题进行分析和试验，以找到合适的参数 设置。
收敛性
当时间趋于某一特定值时，解的振幅趋于零，即解是收敛的。
发散性
当时间趋于某一特定值时，解的振幅不趋于零，即解是发散的。
04
常系数非齐次线性方程的数值解法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是数值求解常系数非齐次线性方程的经典方法之一，其基本思想是通过迭代逼近方程的解。
详细描述
欧拉方法是一种简单的数值求解常微分方程的方法，其基本思想是利用已知的初值来逐步逼近方程的解。在每一 步迭代中，根据前一步的解和方程的导数来计算下一步的解。欧拉方法简单易懂，但精度较低，迭代收敛速度较 慢。
组合数学(哈工大 第五章)
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任世军 (哈尔滨工业大学)
组合数学 递推关系
December 22, 2014
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递推关系
. Definition . 设{an } 为一序列， 把该序列中an 和它前面几个ai (0 ≤ i ≤ n) 关联起来的 方程称做一个递推关系（递归关系）。 .
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Example
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任世军 (哈尔滨ember 22, 2014
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递推关系
. . 在一个平面上有一个圆和n 条直线， 这些直线中的每一条在圆内都同其他 的直线相交。如果没有多于三条的直线相交于一点， 试问这些直线将圆分 成多少个不同区域？ . 解: 设这n 条直线将圆分成的区域数为an ， 如果有n − 1 条直线将圆分 成an−1 个区域， 那么再加入第n 条直线与在圆内的其他n − 1 条直线相 交。显然， 这条直线在圆内被分成n 条线段， 而每条线段又将第n 条直线 在圆内经过的区域分成两个区域。这样， 加入第n 条直线后， 圆内就增加 了n 个区域。 而对于n = 0， 显然有a0 = 1， 于是对于每个整数 n， 可以建立 如下带初值的递推关系 a0 = 1, a1 = 2, an = an−1 + n
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3.3.2 举例
(2)由于F(n)＝1＝1×1n且s＝1是(☆)的0重 根，所以得(＊)的一个特解形如 an＝n0×p×1n ＝p(p为待定系数) 代入(＊)得p＝－1 故得(＊)的一个特解an＝－1
3.3.2 举例
(3) (＊)的通解 an＝a×2n－1(a为任意常数)
代入a1＝1得a＝1 (4)求得递归的解an＝2n－1
an＝n1(p1n＋p0)1n(p1,p0为待定系数)
代入a1＝1，a2＝3得
p1 p0 1 2(2 p1 p0) 3
p0
1 2
p1
1 2
3.3.2 举例
故得(＊)的一个特解
an＝n1(
1 2
n＋
1 2
)1n ＝ 1
2
n2＋ 1
2
n
(3) (＊)的通解
an＝a＋
1 2
n2＋
1 2
n
3.3.2 举例
定理3.3.3若an＝x(n)和an＝y(n)分别是递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F1(n) an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F2(n) 的解，其中c1,c2,…,ck(ck≠0)是实数常数，F1(n)与 F1(n)是只依赖于n且不恒为0的函数， 则an＝x(n)＋y(n)为递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F1(n)＋F2(n) 的解
3.3.2 举例
例3.3.1 解递归 an an1 n ()
a1
1
解(1)相伴齐次递推关系an＝an-1 (☆) (☆)的特征方程x－1＝0
(☆)的特征根 x＝1
(☆)的通解an＝a×1n＝a(a为任意常数)
3.3.2 举例
(2)由于F(n)＝n＝n×1n且s＝1是(☆)的1重
根，所以得(＊)的一个特解形如
3.3.1 非其次递推关系
定理3.3.2 设常系数线性非齐次递推关 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k ＋F(n)
其中c1,c2,…,ck是实数常数，ck≠0； 且F(n)＝(btnt＋bt-1nt-1＋…＋b1n ＋b0)Sn 其中b1,b2,…,bt和S是实数常数。 当S是相伴的线性齐次递推关系的特征方程的 m(m≥0)重根时，存在一个下述形式的特解： an＝nm(ptnt＋pt-1nt-1＋…＋p1n＋p0)Sn 其中p1,p2,…,pt为待定系数。
3.3.2 举例
例3.3.3 解递归 an 3an1 3 2n 4n ()
a1 1
解(1)相伴齐次递推关系an＝3an-1 (☆) (☆)的特征方程x－3＝0 (☆)的特征根 x＝3 (☆)的通解an＝a×3n(a为任意常数)
3.3.2 举例
(2)分别求an＝3an-1＋3×2n (◇) an＝3an-1－4n (△)的一个特解
(◇)的一个特解形如b×2n (b为常数) 将其代入(◇)得b＝－6 故求得(◇)的一个特解an＝－6×2n
类似求得(△)的一个特解an＝2n＋3 故求得(＊)的一个特解an ＝－6×2n＋(＊)的通解 an＝a×3n－6×2n＋2n＋3(a为任意常数)
(4)代入a1＝8得a＝5。故求得递归的解 an＝5×3n－6×2n＋2n＋3
(a为任意常数)
代入a1＝1得a＝0
(4)求得递归的解an＝
1 2
n2＋
1 2
n
3.3.2 举例
例3.3.2 解Hanoi问题的递归，即
an 2an1 1 ()
a1
1
解(1)相伴齐次递推关系an＝2an-1 (☆)
(☆)的特征方程x－2＝0
(☆)的特征根 x＝2
(☆)的通解an＝a×2n(a为任意常数)
相伴的齐次递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.3.2)
3.3.1 非其次递推关系
定理3.3.1
若an＝x(n)为递推关系
(3.3.1)相伴的齐次递推关系(3.3.2)的通
解， an＝y(n)为递推关系(3.3.1)的一个 特解，则an＝x(n) ＋y(n)为递推关系 (3.3.1)的通解。
3.3常系数线性非其次递推关系 3.3.1 非其次递推关系 3.3.2 举例
3.3.1 非其次递推关系
常系数线性非其次递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k ＋F(n) (3.3.1) 其中c1,c2,…,ck是实数常数，ck≠0； F(n)是只依赖于n且不恒为0的函数。