离散--组合数学递推关系与生成函数剖析
离散数学中的递归函数和生成函数
离散数学作为数学的一个分支，研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在离散数学中，递归函数和生成函数是两个重要的概念。
递归函数是离散数学中常用的一种定义函数的方法，而生成函数则是离散数学中描述数列的一种方法。
首先，我们来了解一下递归函数。
递归函数是一种在定义中使用了函数自身的函数。
它在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
在离散数学中，递归函数可以用来定义数列和组合数等对象。
一个典型的递归函数定义形式是：f(n)=g(n, f(n-1), f(n-2), ...)。
其中，g是一个表达式，描述了函数f在不同输入下的计算规则。
递归函数的定义可以帮助我们理解问题的本质，并能够用简洁的方式描述复杂的数学对象。
例如，斐波那契数列就可以通过递归函数进行定义。
斐波那契数列的定义是：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>1)。
通过递归函数，我们可以很容易地计算出任意位置的斐波那契数值。
而生成函数是另一种在离散数学中常用的方法，用来描述数列的方法。
生成函数是一个形如F(x)=a0+a1x+a2x^2+...的函数，其中ai表示数列中第i项的系数。
生成函数的主要作用是将数列转化为一个多项式函数，从而使得数列的求和、乘法和递推等操作可以通过多项式函数的运算来实现。
生成函数的优势在于它提供了一种统一的框架，能够将不同的数列问题转化为多项式的运算。
例如，如果我们要求斐波那契数列的每一项的和，我们可以通过斐波那契数列的生成函数F(x)=1/(1-x-x^2)来实现。
我们只需要将生成函数展开为多项式，再对多项式进行求和操作，就可以得到斐波那契数列的和。
递归函数和生成函数在离散数学中的应用非常广泛。
它们能够描述很多复杂的数学结构和问题，并能够通过一些简单的规则进行计算。
递归函数和生成函数的使用可以大大简化数学问题的求解过程，提高计算效率。
总结起来，离散数学中的递归函数和生成函数是两个非常重要的概念。
[数学]组合数学第7章[递推关系与生成函数]
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递推（递归）关系是计数的一个强有力 的工具，特别是在做算法分析时是必需的， 有大量的递归算法的时间特性体现出递推 关系。递推关系的求解的主要方法包括递 推、母函数、特征方程等方法。
递推关系与求解
§7.1 递推关系与递推求解
[例1]确定平面一般位置上的n个互相交叠的 圆所形成的区域数。所谓互相交叠是指每 两个圆相交在不同的两个点上。
q a1q
n k
n 1
a2 q
n2
... ak q
nk
0
q a1q
k 1
a2 q
k 2
... ak 0
即第一个结论成立。
特征方程解法
由于qi互异，qin都是递推关系的不同解，故 n n n hn c1q1 c2 q2 ... ck qk 也是递推关系的解。对任意的初始值，有 n 0， c1 c2 ... ck b0 n 1， c1q1 c2 q2 ... ck qk b1 2 2 2 n 2， c1q1 c2 q2 ... ck qk b2
特征方程解法
2. 非齐次递推关系 定义1中的bn非零时，形成的非齐次递推关 系的求解可分为几步： (1)求齐次通解； (2)求非齐次关系的一个特解； (3)通解与特解结合。 但求特解没有一般的公式，一些特殊形式 下可以进行如下尝试。
特征方程解法
(1)若bn是n的k次多项式，hn为特解，可尝试： a)hn=r（常数），若bn为d（常数） b)hn=rn+s，若bn=dn+c c)hn=rn2+sn+t，若bn=fn2+dn+c (2)若bn是指数形式，则尝试 hn=多项式dn，若bn=dn
离散数学中的数列与递推关系
离散数学中的数列与递推关系是数学中重要的概念和研究领域之一。
数列是一系列按照一定规律排列的数字或对象的集合，而递推关系描述了数列中每个元素与前一或多个元素之间的关系。
通过研究数列和递推关系，我们可以深入理解数学中的规律和模式，解决各种实际问题，以及在计算机科学、密码学、算法设计等领域中应用一系列的数学方法。
数列是按一定规律排列的一组数值或对象的集合。
数列中的每个元素称为数列的项，用一般形式a_n表示。
数列中的元素可以是整数、有理数、实数或复数，也可以是几何图形、数学公式等。
在数学中，常见的数列包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
等差数列是指一个数列中，相邻两个数之间的差值保持恒定的数列。
设首项为a_1，公差为d，那么该数列的通项公式可以表示为a_n = a_1 + (n - 1)d。
例如，{2, 5, 8, 11, 14, ...}就是一个等差数列，其中首项为2，公差为3。
等比数列是指一个数列中，相邻两个数之间的比值保持恒定的数列。
设首项为a_1，公比为q，那么该数列的通项公式可以表示为a_n = a_1 * q^(n - 1)。
例如，{1, 3, 9, 27, ...}就是一个等比数列，其中首项为1，公比为3。
斐波那契数列是指一个数列中，每个数都是前两个数之和的数列。
设首项为a_1和a_2，那么该数列的通项公式可以表示为a_n = a_(n-1) + a_(n-2)。
例如，{1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}就是一个斐波那契数列，其中首项为1和1。
除了以上常见的数列之外，还存在一些特殊的数列，如调和数列、二项式系数数列等。
调和数列是指数列中的每个数都是其前一个数的倒数的和。
二项式系数数列是指数列中每个数都是组合数的形式，表示从n个元素中取m个元素的组合数。
这些特殊的数列在数学和实际问题中起着重要的作用。
数列与递推关系的关系密切。
递推关系描述了数列中每个元素与前一或多个元素之间的关系。
组合数学讲义3章递推关系
组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。
（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。
（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。
（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。
第06-07讲 组合数学——递推关系
定理
r 阶线性常系数非齐次递推关系的通解an是该非齐 次递推关系的一个特解an[p]，加上其相应的齐次 递推关系的通解an[c] [ p] [c ] 即
an an
an
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多项式型非齐次递推关系
一般形式 a c a ... c a p( n) n 1 n 1 r nr
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定义
如果递推关系式1的每个解an[s]都可以选择一组常 数B1’ , B2’ ,…, Br’ 使得
an B 1 m B 2 m ... Br m
' n 1 ' n 2 '
s
n r
' n n n 成立，则称 B1 m1 B'2 m2 ... B'r mr 是递推关系式1的通解，其中：B1’ , B2’ ,…, Br’是 任意常数。
D1
Dn
Dn1
D2
P
D3
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r 阶递推关系的一般形式
an c1 nan1 c2 nan 2 ... cr nan r en 其中：n r , cr 0
若e(n) = 0，称其为齐次递推关系式
若e(n)≠0，称其为非齐次递推关系式
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常系数齐次线性递推关系
一般形式：
an c1an1 c2an 2 ... cr an r 0 其中：r 0 c
特征方程：
（式1）
m r c1m r 1 c2 m r 2 ... c r 0
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离散数学中的递归关系与递推方程研究
离散数学中的递归关系与递推方程研究离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的结构和离散的对象。
在离散数学中，递归关系和递推方程是两个重要的概念，它们在数学推理和问题求解中起到了关键的作用。
本文将介绍递归关系和递推方程的概念、性质以及它们在离散数学中的应用。
一、递归关系的定义与性质递归关系是指一个数列中的每一项都可以由前面的一项或多项推导出来的关系。
通常，递归关系可以用一个或多个递归式来表示。
比如，斐波那契数列就是一个著名的递归关系，其递归式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。
递归关系具有以下性质：1. 初始条件：递归关系中必须给出一些初始条件，以确定递归过程的起点。
2. 递归式：递归关系中的递归式用于描述如何由前面的项推导出当前项。
3. 终止条件：递归关系必须有一个终止条件，以确定递归过程的终点。
二、递推方程的定义与性质递推方程是指一个数列中的每一项都可以由前面的一项或多项通过某个确定的运算得到的方程。
通常，递推方程可以用一个或多个初始条件和一个递推式来表示。
比如，阶乘数列就是一个典型的递推方程，其递推式为n! = n * (n-1)!，其中0! = 1。
递推方程具有以下性质：1. 初始条件：递推方程中必须给出一些初始条件，以确定递推过程的起点。
2. 递推式：递推方程中的递推式用于描述如何由前面的项通过某种运算得到当前项。
3. 终止条件：递推方程必须有一个终止条件，以确定递推过程的终点。
三、递归关系与递推方程的联系与区别虽然递归关系和递推方程都描述了数列中的每一项与前面项的关系，但它们在表达方式和求解方法上存在一些区别。
首先，递归关系是通过递归式来定义的，而递推方程是通过递推式来定义的。
递归关系更加直观，可以清晰地看出数列中每一项与前面项的关系，而递推方程更加抽象，需要通过递推式来推导出数列中的每一项。
其次，递归关系通常需要给出初始条件和终止条件，以确定递归过程的起点和终点，而递推方程通常需要给出初始条件和递推式，以确定递推过程的起点和如何由前面的项得到当前项。
chap7递推关系生成函数
-------(1) -------(2)
指数生成函数(EGF)
序列h0,h1,h2,…的指数生成函数定义为
g
(e )
( x ) h0 h1
x 1!
h2
x
2
2!
hk
x
k
k!
例. 排列数序列 P(n,0), P(n,1), …, P(n,n)的EGF是 g(e)(x) = ( 1+x )n . 对比组合数序列C(n,0), C(n,1), …, C(n,n)的GF是 g(x) = ( 1+x )n . 注: hk = 指数生成函数的k次项系数k!
除多项式外,经常用到的函数还有:
1 1 x
1 (1 x ) 1
2
1 x x
2
( 1 x )( 1 x ) 1 2 x 3 x
2
n k 1 n (1 x ) x k (1 x ) k 1 n0
第一部分小结
Fibonacci数列 线性常系数齐次递推关系的求解 线性常系数非齐次关系的求解
转移矩阵
对于线性齐次常系数递推关系, 以4阶为例 hn - a1 hn-1 - a2 hn-2 - a3 hn-3 … - a4 hn-4 = 0 我们有如下计算的hn方法,
hn a 1 hn 1 1 h 0 n2 hn 3 0 a2 0 1 0 a3 0 0 1 a 4 hn 1 a 1 0 hn 2 1 h 0 0 n3 0 hn 4 0
5b
4 r 0
x ) (
r
第22章 递推关系与生成函数
解:
23
第22章 递推关系与生成函数
(3) 解: 注意到
1,2,3, (n 1),
f ( x) 1 2x 3x nx
2
n 1
1 1 x x 2 x3 x n 1 x
子集数为
f (n 2)
.由加法原理得:
f (n) f (n 1) f (n 2)
17
第22章 递推关系与生成函数
§22.2 生成函数
• 生成函数是可重复排列和组合问题中处理 特殊约束的一个方便工具.
18
第22章 递推关系与生成函数
生成函数
例：有红球两个，白球、黄球各一个，试 求有多少种不同的组合方案，假设两个红球没 有区别。
ak x
k k
0
(22.2)
称为(22.1)式的特征方程.
10
第22章 递推关系与生成函数
设 q1, q2 ,, qk 是(22.1)式的特征方程的根, n n ck qk (1)若 qi q j , i j ，则 H (n) c1 q1n c2 q2 是任意常数; 是递推关系(22.1)式的通解,其中 ci (i 1, 2,, k ) (2)若
将{1,2,3,, n} 的所有子集分为两部分,一部分为
{1,2,3,, n 1} 的所有子集, 另一部分是由
{1,2,3,, n 1} 的每一个子集加进元素
n 以后得到的子集.
第一部分的交替子集为 f (n 1) ,第二部分中的交替子集 正好同 {1,2,, n 2} 的交替子集是对应的.事实上,定义
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第四部分
组合数学
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例 映上函数(满射)的个数
设A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn}. 令 Pi 表示 bi 不在函数值域 中的性质 (1≤i≤n), N(Pi)表示满足性质Pi的函数的数量, N(Pi’) 表示不满足性质Pi的函数的数量. 注意到一个函数是满射当且仅当没有性质Pi (1≤i≤n). 则
第四部分
组合数学
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多重集的r组合
第四部分
组合数学
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指数生成函数
序列
的指数生成函数
第四部分
组合数学
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多重集的r排列
第四部分
组合数学
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正整数拆分: 无序
将给定的正整数N表示成若干个无序的正整数之和 不允许重复 允许重复
定理 N允许重复无序拆分成至多 r 个数的方案数 = N允许重复无序拆分成不大于正整数 r 的方案数
第四部分
组合数学
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正整数拆分: 有序
将给定的正整数N表示成若干个有序的正整数之和
定理 将N允许重复地有序拆分成 r 个部分的方案数为 C(N－1,r－1)
推论 将对N做任意重复的有序拆分的方案数为2N-1
不允许重复有序拆分: 先进行不允许重复无序拆分; 将拆分后各部分做全排列
第四部分
组合数学
对应的组合问题 将n恰好无序拆分成m部分 将n无序拆分成t个部分(t≤m) x1+x2+…+xm=n正整数解 x1+x2+…+xm=n非负整数解 第二类Stirling数 第二类Stirling数性质 第二类Stirling数性质 乘法法则
第四部分
组合数学
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映上函数计数与第二类Stirling数
从m元集A到n元集B的映上函数可以如下产生: 把A中的m个元素恰好分配到n个相同的盒子中;
每个盒子中的元素都对应相同的函数值, 将B中 元素分配给n个盒子
放球问题小结
球标 盒标 允空 放球方法数 否否 否 否否 是 否是 否 否是 是 是否 否 是否 是 是是 否 是是 是
第i个人的左边, 有(n-1)*s(n-1,k)种方法
第四部分
组合数学
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第二类Stirling数
n元集定义k个等价类的方法数; n个人分成k组的方法 数; n个不同的球恰好放入k个相同的盒子的方法数
根据第n个人是否单独构成一个组, 分两类处理: 第一类: 前n-1个人构成k-1个非空组, 有S(n-1,k-1)种方法; 第二类: 前n-1个人构成k个非空组, 第n个人加入任意一 个组中, 有k*S(n-1,k)种方法
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第一类Stirling数
n元集分作k个环排列的方法数; n个人分成k组, 每组内 再按特定顺序围圈的分组方法数
根据第n个人是否单独构成环排列, 分两类处理:
第一类: n单独可以构成一个环排列; 前n-1个人构成k-1个 非空环排列, 有s(n-1,k-1)种方法
第二类: 前n-1个人构成k个非空环排列, 而第n个人插入
离散数学
第四部分 组合数学
递推关系
序列与递归定义
第四部分
组合数学
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k阶常系数线性齐次递推关系
第四部分
组合数学
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k阶常系数线性非齐次递推关系
第四部分
组合数学
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
生成函数
序列
的生成函数
第四部分
组合数学
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不定方程解的个数: 基本模型
第四部分
组合数学
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不定方程解的个数: 扩展模型