组合数学 第二章母函数与递推关系题目
组合数学(引论)
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
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一、一组、合组数合学数简学介简介
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总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
母函数与递推关系习题
母函数与递推关系习题1、 有n 阶台阶，一人从下往上走，每次走一或两级，求他走这n 级台阶的方法数。
2、 {1,2,3,}n S n = 的一个子集为交替的：如果按递增次序列出该子集的元素时，它们的奇偶性为：奇、偶、奇、偶、 。
空集也算作交替的。
求n S 的交替自己的树木。
3、 某人有n 元钱，他一天买一样东西，或一元钱的甲、或二元钱的乙、或二元钱的丙，问他用完这n 元钱有多少种方法？4、 求{,,}S a b c =∞⋅的n 排列数，要求在排列中a 与a 不相邻。
5、 设40nn i a i ==∑，0n ≥，求n a 。
6、 求1003102-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
7、 平面上有n 条直线，其中任意两条都相交于一点，但没有三条相交于同一点，求这n 条直线将平面分成的区域数。
8、 空间中有n 个平面，其中任意两个都有唯一交线，任意三个都有唯一一个交点，但没有四个相交于同一点。
求这n 个平面将空间分成的区域数。
9、 在平面上画一个圆，然后再依次画n 条与圆都相交的直线，其中当k 是大于1的奇数时，第k 条直线只与前面(1)k -条直线中的一条在圆内相交，当k 是偶数时，第k 条直线与前面(1)k -条直线都在圆内相交，又没有三条直线在圆内相交于同一点。
求这n 直线将圆分成的区域数。
10、求{1,2,3}S =∞⋅的k 排列的个数，要求在排列中同一元素至多连续出现两次。
11、 将一个凸(1)n +边形用它的对角线划分成三角形，要求所用的对角现在多边形内部无交点，求划分的方法数。
12、 设一克、三克、七克重的砝码分别有1枚、3枚、2枚。
问用这些砝码能称出哪些重量？称每一重量又各有几种方案？13、 有两种拆分：（1）1{1,12,3,14,}S =∞⋅⋅∞⋅⋅ ；（2）23{1,2,3,}S =⋅ 。
证明对同一正整数n ，这两种拆分的拆分数相等。
14、证明：周长为2n ，边长为整数的三角形的个数等于将n 拆分成恰好三项的拆分数。
卢开澄组合数学--组合数学第二章
(2-1-2)式等号的两端对x求导可得：
C(n,1) 2C(n,2) 3C(n,3) nC(n, n)
n2n1
(2 -1- 5)
等式(2-1-5)两端令x=1，得：
C(n,1) 2C(n,2) 3C(n,3) nC(n, n)
n2n1
(2 -1- 5)
§2.1 母函数
5的n位十进制数。
bn 9bn1 an1也有类似解释。
§2.2 递推关系
(2-2-2)是关于序列{an}和 {bn} 的连立关系。
设序列{an}的母函数为 A(x)，序列{bn}的母
函数为 B( x) 。
即：
A(x) a1 a2 x a3x2
B(x) b1 b2 x b3x2
A
B
C
§2.2 递推关系
上述算法是递归的运用。n=2时已给出 算法；n=3时，第一步便利用算法把上面 两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转 移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到 柱C上。N=4，5，…以此类推。
§2.2 递推关系
算法分析：令h(n)表示n个圆盘所需要 的转移盘次。根据算法先把前面n-1个盘子 转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最 后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。
§2.2 递推关系
因为：
H (x) h(k)xk k 1
h(k) 2k 1
§2.2 递推关系
例2. 求n位十进制数中出现偶数个5的数 的个数。
先从分析n位十进制数出现偶数个5的数的
结构入手 p1 p2 pn1 是n-1位十进制数，若含
有6，偶7数，个8，5，9九则个p数n中1 取的5一以个外，的若0，p11，p22，p3n，14， 只有奇数个5，则取 pn 5 ，使 p1 p2 pn1 pn
图论与组合数学期末复习题含答案
组合数学部分第1章 排列与组合例1：1)、求小于10000的含1的正整数的个数；2、)求小于10000的含0的正整数的个数；解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套用。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。
不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个 不含0小于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。
例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。
例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个内点值则记入序列。
如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的内点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的内点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。
2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：112223344567。
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数_版24样版
1 1 x 2
n 1x n
n 0
sfsf
16
2.1母函数
例 从n双互不相同的袜子（每双袜子中的两只相同）中取出r只， 要求没有任何两只是成对的，共有多少种不同的取法？
解：生成函数为: G( x ) (1 x )
sfsf
13
2.1母函数
例 求不定方程k1+k2+k3+k4=20的解数。其中, 限制k1可取0,2,4; k2可取1,3,5; k3可取6,7;k4可取8,9。 G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9)
= (1+x2+x4) (1+x2+x4)x(1+x)x6(1+x)x8
例 确定苹果、香蕉、橘子和梨的n-组合的个数，其中在每个n组合中要求：苹果的个数必须是偶数，香蕉的个数必须是5的倍 数，橘子的个数最多4个，梨的个数为0或1个。 解：生成函数为:
G( x) (1 x 2 x 4 ....)(x 0 x 5 ....)(1 x x 2 x 3 x 4 )(1 x)
sfsf
12
2.1母函数
例 求不定方程k1+k2+k3+k4=20的解数。其中, 限制k1可取0,2,4; k2可取1,3,5; k3可取6,7;k4可取8,9。
解：设不定方程k1+k2+k3+k4=k的解组数目为ck，本例中m=4, k=20。 注意到对ki(i=1,2,3,4)的限制，序列{ck}对应的生成函数为: G(x)=(1+x2+x4)(x+x3+x5)(x6+x7)(x8+x9)
组合数学第二篇习题解答
n0
k 0
(c)an C(n 3,3), n {0,1,2,...}
n
(b)G 2 an xn , 其中an (k 1)(n 1 k )
n0
k 0
G2 (1 2x 3x2 ... (n 1)xn ...)(1 2x 3x2 ... (n 1)xn ...)
an 1 (n 1) 2 (n) ... (k 1) (n k 1) ...
G(x) 1 23 x 1 ...(n 1)3 xn 1 ...
1 x 1 x
1 x
1 (1 23 x ...(n 1)3 xn ...) 1 x
G(x)
1 1 x
1 4x x2 (1 x)4
1 4x x2 (1 x)5
2.16 用数学归纳法证明 C(m,m),C(m+1,m),C(m+2,m),...,C(m+n,m),...的母函数为 (1-x)-m-1
按叠加原理 an 4an1 3 4n 的特解为hn4n , 代入替推关系 hn4n 4h(n 1)4n1 3 4n , h 3 一般解为: r4n 3n4n 10 5n
2.28
an
a a 3
10
n 1
n2
两边求对数
ln an 3 ln an1 10 ln an2 令bn ln an bn 3bn1 10bn2 0, 特征根为 : r1 5, r 2 2,
1 ln 4
a [3n 3( 1)n ] 0
ln a a 1[3n (1)n ]
1[3n 3( 1)n ]
14
04
a a a 1[3n ( 1)n ]
1[3n 3( 1)n ]
n
14
04
母函数与递推关系
归纳法 计算这个数列前几项:
1, 3, 7, 15, 31, … 看起来有点象
hn=2n-1, n=1,2,… 根据递归关系(3.3)用归纳法即可证之.
8
例2 (Fibonacci问题): Fibonacci数列是递推关系的又一典型
问题, 数列的本身有着许多应用. (1) 问题的提出：假定初生的一对雌雄兔
14
母函数把数列的所有成员用一种非常 巧妙的方法联系在一起, 虽然这样做并 不一定能得到数列的简单公式, 可是也 许能够给出一个幂级数和的简单公式, 展开这个和函数, 所得到的幂级数的系 数就是我们所要找的数列.
比如我们学习到的Fibonacci 数列, 它 满足一个递归关系
Fn+1=Fn+Fn-1 (n>2; F1=F2=1).
《图论与组合优化》
第四讲
母函数与递归关系
1
例1(Hanoi塔问题)：n个圆盘依其半径大 小, 从下而上套在柱A上, 如图3.1所示. 每次只允许取一个转移到柱B或C上, 而且不允许大盘放在小盘上方. 若要求 把A上的n个盘转移到C柱上. 请设计一 种方法, 并估计要移动几个盘次. 现在 只有A, B, C三根柱子可供使用.
子, 从出生的第2个月之后每个月都可 以生出另外一对雌雄兔. 如果第1个月 只有一对初生的雌雄兔子, 问n个月之 后共有多少对兔子？
9
1月 2月 3月 4月
10
(2) 求递推关系: 设满n个月时兔子对数 为Fn, 其中当月新生兔数目设为Nn对. 第n-1个月留下的兔子数目设为Qn对. Fn= Nn+ Qn.
6
(2) 算法分析：令hn表示n个圆盘所需要 的转移次数. 根据算法先把前面n-1个 盘子转移到B上; 然后把第n个盘子转 移到C上; 最后再一次将B上的n-1个盘 子转到C上.
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2012-8-7
组合数学
15. 一书框中有m格，每格各放n册同类 的书，不同格放的书类型不同。现取出 整理后重新放回，但不打乱相同类。试 问无一本放在原来位置的方案数应多少？
解：...
2012-8-7
组合数学
16. 设一矩形 ABCD ,其中
作 C1B1 使得 AB1C1D 是一正方形。试证矩形 B1C1CD 和 ABCD 相似。试证继续这过程可得 一和原矩形相似的矩形序列。
注意 F1 F2 1 是相同的Fibonacci数。
解：...
2012-8-7
组合数学
12. 设空间的n个平面两两相交，每3个 平面有且仅有一个公共点，任意4个平面 都不共点。这样的n个平面把空间分割成 多少个不重叠的域？
解：...
2012-8-7
组合数学
12. 设空间的n个平面两两相交，每3个 平面有且仅有一个公共点，任意4个平面 都不共点。这样的n个平面把空间分割成 多少个不重叠的域？
组合数学
8.证明
C ( n, n) C ( n 1, n) C ( n m, n) C ( n m 1, n 1)
解：...
2012-8-7
组合数学
9.利用
1 1
2
1 2
2
1 3
2
2
，
6
改善 §4(2) 的 pn估计式。
解：...
2012-8-7
解：...
2012-8-7
组合数学
6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串 中不出现aa图像的符号串的数目。
解：...
2012-8-7
组合数学
7.证明序列
C (n, n), C (n 1, n), C (n 2, n),
的母函数为
1 (1 x )
n 1
.
解：...
2012-8-7
组合数学
10. 8台计算机分给3个单位，第1单位 的分配量不超过3台，第2单位的分配量 不超过4台，第3个单位不超过5台，问 共有几种分配方案？
解：...
2012-8-7
组合数学
11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不 同的且不相邻的Fibonacci数之和。即
n
ai Fi ,
i2
ai ai 1 0, ai 0,1
2 AB : AD 1 (1 5)
解：...
2012-8-7
组合数学
2012-8-7
组合数学
3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？ 解：...
2012-8-7
组合数学
4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。
解：...
2012-8-7
组合数学
5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的 数目。
1.证明等式
n n n n 2n . 0 1 2 n n
2 合数学
2.求 (1 x x )
4
8 100
中 x 20 项的系数.
解：...
解：...
2012-8-7
组合数学
13. 相邻位不同为0的n位2进制数中一共 出现了多少个0？
解：...
2012-8-7
组合数学
14. 在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到 下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现 要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转 移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次 移动一个，始终保持上面的比下面的小。 一共要移动多少次？ 解：...