第二章母函数与递推关系习题
递推关系与母函数法
递推关系与母函数法1.2 递推关系Hanoi塔问题：这是组合数学中的著名问题。
n个圆盘依其半径大小，从下而上套在柱A上，如图1.1所示。
每次只允许取一个转移到柱B或柱C上，而且不允许大盘放在小盘上方。
若要求把柱A上的n个盘转移到柱C上，请设计一种方法，并估计要移动几个盘次，现在只有A，B，C三根柱子可供使用。
设a,b,c是3个塔座。
开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。
各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a 上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。
在移动圆盘时应遵守以下移动规则：规则1：每次只能移动1个圆盘；规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。
图1.1Hanoi塔是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，即估计工作量。
这一问题有典型的意义，第一步先解决算法问题，即如何完成n个盘的搬动，进一步还要对算法作出复杂性分析，即对要作多少盘次的搬动进行估计。
算法设计：n=时，第一步先把最上面一个圆盘套在柱B上；第二步把第二个圆盘转2移到柱C上；最后再把柱B上的一个圆盘转移到柱C上，到此转移完毕。
假定1n-个盘子的转移算法已经确定。
对于一般n个圆盘的问题，先把上面的1n-个圆盘转称到柱B上，再把最后一上圆盘转移到柱C上，然后把柱B上的1n-个圆盘转移到柱C上，转移完毕。
上述的算法是递归的连用。
2n=时，第一步便利用n=时已给出了算法；3算法把上面两个圆盘移到柱B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上的两个圆盘转移到柱C上，4,5,,n= 以此类推。
图1.1形象地给出4n=的转移过程。
void hanoi (int n, int a, int b, int c) {if (n > 0) {hanoi (n-1, a, c, b); move (a,b);hanoi (n-1, c, b, a); } }算法分析：令n h 表示n 个圆盘所需要的转移盘次。
组合2母函数递推关系
TP SHUAI
16
2.1 递推关系-线性常系数递推关系
定义1 如果序列{an}满足
a n C1a n 1 C 2a n 2 C k a n k b(n), a 0 d 0 ,a1 d1,,a k 1 d k 1, C1 ,C2 ,...C k (C k 0),d 0 ,d1,d k 1是常数
组合数学
帅天平
北京邮电大学数学系 Email: tpshuai@
第二章:递推关系与母函数
1,递推关系引入，Fibonacci数列 2,常系数递推关系求解 3,母函数及其性质 4,用母函数求解递推关系 5,母函数的应用-整数剖分 6指数型母函数及其应用 7,非线性递推关系举例--几类特殊组合数
t t 2 ... t 6 枚举子
TP SHUAI
26
2.2 母函数-引入6
母函数的思想很简单— 即:把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数 列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关 系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. 再看下面的例子.
(1 a 1 x )(1 a 2 x ) (1 anx ) 1 (a 1 a 2 an ) x (a 1a 2 a 1a 3 an 1an ) x 2 a 1a 2 anx n (2-1-1)
) F2 n1 F2 n F2 n2
F1 F3 F5 F2 n1 F2 n
TP SHUAI 13
2.1 递推关系-Fibonacci数列10
3)
证明：
F 2 F22 Fn 2 Fn Fn 1 1
母函数与递推关系习题
母函数与递推关系习题1、 有n 阶台阶，一人从下往上走，每次走一或两级，求他走这n 级台阶的方法数。
2、 {1,2,3,}n S n = 的一个子集为交替的：如果按递增次序列出该子集的元素时，它们的奇偶性为：奇、偶、奇、偶、 。
空集也算作交替的。
求n S 的交替自己的树木。
3、 某人有n 元钱，他一天买一样东西，或一元钱的甲、或二元钱的乙、或二元钱的丙，问他用完这n 元钱有多少种方法？4、 求{,,}S a b c =∞⋅的n 排列数，要求在排列中a 与a 不相邻。
5、 设40nn i a i ==∑，0n ≥，求n a 。
6、 求1003102-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
7、 平面上有n 条直线，其中任意两条都相交于一点，但没有三条相交于同一点，求这n 条直线将平面分成的区域数。
8、 空间中有n 个平面，其中任意两个都有唯一交线，任意三个都有唯一一个交点，但没有四个相交于同一点。
求这n 个平面将空间分成的区域数。
9、 在平面上画一个圆，然后再依次画n 条与圆都相交的直线，其中当k 是大于1的奇数时，第k 条直线只与前面(1)k -条直线中的一条在圆内相交，当k 是偶数时，第k 条直线与前面(1)k -条直线都在圆内相交，又没有三条直线在圆内相交于同一点。
求这n 直线将圆分成的区域数。
10、求{1,2,3}S =∞⋅的k 排列的个数，要求在排列中同一元素至多连续出现两次。
11、 将一个凸(1)n +边形用它的对角线划分成三角形，要求所用的对角现在多边形内部无交点，求划分的方法数。
12、 设一克、三克、七克重的砝码分别有1枚、3枚、2枚。
问用这些砝码能称出哪些重量？称每一重量又各有几种方案？13、 有两种拆分：（1）1{1,12,3,14,}S =∞⋅⋅∞⋅⋅ ；（2）23{1,2,3,}S =⋅ 。
证明对同一正整数n ，这两种拆分的拆分数相等。
14、证明：周长为2n ，边长为整数的三角形的个数等于将n 拆分成恰好三项的拆分数。
二章六节非线性递推关系举例
8. S(n,n 1) C(n,2)
把n个有标志的球放进n-1个相同的盒子中， 因为必须保证每个盒子中都有球，因此只有1个 盒子中有2个球，问题就是求两个球的组合数， 因此有C(n,2)种方案。
15
2.14.1 司特林(Stirling)数
9. S(n,n 2 ) C(n,3) 3C(n,4)
可分为空m-1盒，m-2盒，…，空1盒，都不空。
S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,m),n≥m S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,n),n≤m。
22
2.14.1 司特林(Stirling)数
5、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，允许空盒，方案数情况？
有C(m+n-1,n)。
6、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，不允许空盒，方案数情况？
例如：1,2,3,4分成两两2组的方案。 {(1,2),(3,4)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)}
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2.14.1 司特林(Stirling)数
定理2.15 第二类司特林数满足下面的递推关系：
S(n,m) mS(n 1,m) S(n 1,m 1), n 1,m 1
证明：设有n个有区别的球b1,b2,…,bn,对于其 中的某一个球bi, 根据bi的情况分为两类：
1、 bi独占一盒，其方案为S(n-1,m-1) 个球放2到、mb个i不盒独子占，一不盒允，许这空相盒当，于共先有将S剩(n下-1,的m)n种-1 不同方案，
bi球不然独后占将一b盒i球的放方进案其数中为一m盒S，(n共-1,有m)m种选择方式。
6. S(n,2 ) 2n1 1; 7. S(n,3 ) 1 (3n1 1) 2n1;
卢开澄组合数学--组合数学第二章
第二章 母函数与递推关系
§2.1 母函数
递推关系是计数的一个强有力的工具， 特别是在做算法分析时是必需的。递推关 系的求解主要是利用母函数。当然母函数 尚有其他用处，但这主要是介绍解递推关 系上的应用。例如
(1 a1x)(1 a2x) (1 anx)
1 (a1 a2 an)x (a1a2 a1a3 an 12.2 递推关系
上述算法是递归的运用。n=2时已给出 算法；n=3时，第一步便利用算法把上面 两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转 移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到 柱C上。N=4，5，…以此类推。
§2.2 递推关系
算法分析：令h(n)表示n个圆盘所需要 的转移盘次。根据算法先把前面n-1个盘子 转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最 后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。
§2.2 递推关系
(1 8x) A(x) 8 9x 9 10x2
个5的n位十进制数的两个组成部分。
p91apn21表达p，n由1令含有取偶p5n以数外个的5的0，n-11，位2十，进3制，数4，6，
7当，8，9p九1是p个2含数有p中n奇的1数一个个5数的构n-成1位的十。进制b项n数表1 ，示 令 而得pn 5 是含p1偶p2数个p5n 的n位十进
制数。
bn 9bn1 an1也有类似解释。
n2n1
(2 -1- 5)
等式(2-1-5)两端令x=1，得：
C(n,1) 2C(n,2) 3C(n,3) nC(n, n)
n2n1
(2 -1- 5)
§2.1 母函数
用类似的方法还可以得到：
C(n,1)x 2C(n,2)x2 3C(n,3)x3 nC(n, n)xn nx(1 x)n1
习题1排列组合-2母函数
习题11、 基本题：1～9，14，16，19，22～23，29，312、 加强题：11～12，17，18，21，283、 关联题：10，27，4、 提高题：13，15，20，24～26，30，321-1 在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（解）问题相当于求在相异元素{}9,7,5,3,1中不重复地取1个、2个、…、4个元素的所有排列数，答案为45352515P P P P +++＝5+20+60+120＝2051-2 比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？(1) 每位的数字全不同；(2) 每位数字不同且不出现数字2与7。
（解）（1）分类统计：①一位正整数有919=P 个；②两位正整数有1919P P ⨯＝81个；③三位正整数有2919P P ⨯＝9×9×8＝648个；④千位数小于5的四位数有3914P P ⨯＝4×9×8×7＝2016个；⑤千位数等于5，百位数小于4的数有28141P P ⨯⨯＝4×8×7＝224个。
由乘法法则，满足条件的数的总个数为9＋81＋648＋2016＋224＝2978（2）仿（1），总个数为17P ＋1717P P ⨯＋2717P P ⨯＋3713P P ⨯＋26131P P ⨯⨯＝7＋49＋294＋630＋150＝11301-3 一教室有两排，每排8个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
（解）（1）5人在前排就座，其坐法数为 ()58,P ，4人在后排就座，其坐法数为 ()48,P ，还空7个坐位，让剩下的54514=--个人入坐，就座方式为 ()57,P 种，由乘法法则，就座方式总数为()58,P ()48,P ()57,P ＝28 449 792 000 （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也如此。
图论与组合数学期末复习题含答案
组合数学部分第1章 排列与组合例1：1)、求小于10000的含1的正整数的个数；2、)求小于10000的含0的正整数的个数；解：1)、小于10000的不含1的正整数可看做4位数,但0000除外.故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个2)、“含0”和“含1”不可直接套用。
0019含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。
不含0的1位数有19个，2位数有29个，3位数有39个，4位数有49个 不含0小于10000的正整数有()()73801919999954321=--=+++个含0小于10000的正整数9999－7380=2619个。
例2：从[1,300]中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？解：将[1,300]分成3类：A={i|i ≡1(mod 3)}={1,4,7,…,298},B={i|i ≡2(mod 3)}={2,5,8,…,299},C={i|i ≡0(mod 3)}={3,6,9,…,300}.要满足条件，有四种解法：1)、3个数同属于A;2)、3个数同属于B ；3)、3个数同属于C;4)、A,B,C 各取一数；故共有3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。
例3：（Cayley 定理：过n 个有标志顶点的数的数目等于2-n n ）1）、写出右图所对应的序列；2）、写出序列22314所对应的序列；解：1）、按照叶子节点从小到大的顺序依次去掉节点（包含与此叶子节点相连接的线），而与这个去掉的叶子节点相邻的另外一个内点值则记入序列。
如上图所示，先去掉最小的叶子节点②，与其相邻的内点为⑤，然后去掉叶子节点③，与其相邻的内点为①，直到只剩下两个节点相邻为止，则最终序列为51155.。
2）、首先依据给定序列写出（序列长度+2）个递增序列，即1234567，再将给出序列按从小到大顺序依次排列并插入递增序列得到：112223344567。
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
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15. 一书框中有m格，每格各放n册同类 的书，不同格放的书类型不同。现取出 整理后重新放回，但不打乱相同类。试 问无一本放在原来位置的方案数应多少？
解：...
1 AB : AD (1 5) 作 C1B1 使得 2 AB1C1D 是一正方形。试证矩形 B1C1CD 和 ABCD 相似。试证继续这过程可得
30. 设S2 (n, k ) 是第二类Stirling数。证明
n S 2 (n 1, m) S 2 (k , m 1). k m 1 k
n
解：...
31. 求下图中从A点出发到n点的路径数。
1 3
n
A 2 4
解：...
32. n位0,1符号串，求从左向右只在最 后两位才出现0，0的符号串的数目。
2
解：...
10. 8台计算机分给3个单位，第1单位 的分配量不超过3台，第2单位的分配量 不超过4台，第3个单位不超过5台，问 共有几种分配方案？
解：...
11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不 同的且不相邻的Fibonacci数之和。即
n ai Fi , ai ai 1 0, ai 0,1
解：...
25. 用 an 记具有整数边长周长为n的三 角形的个数。 （a）证明
当n是偶数， an 3 , n2 an n (1) 2 ,当n是奇数 an 3 4 （b）求序列 an 的普通形母函数。
解：...
26. （a）证明边长为整数、最大边长为 l的三角形的个数是
i2
注意 F1 F2 1 是相同的Fibonacci数。 解：...
12. 设空间的n个平面两两相交，每3个 平面有且仅有一个公共点，任意4个平面 都不共点。这样的n个平面把空间分割成 多少个不重叠的域？
解：...
13. 相邻位不同为0的n位2进制数中一共 出现了多少个0？
解：...
14. 在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到 下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现 要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转 移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次 移动一个，始终保持上面的比下面的小。 一共要移动多少次？ 解：...
1.证明等式
n n n n 2n . 0 1 2 n n
解：...
2
2
2
2
2
2.求 (1 x x )
4
8 100
中 x 20 项的系数.
解：...
3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？ 解：...
（a）证明 an 1 an bn 1 , bn 1 an bn . （b）求序列an 与bn 的母函数。
（c）用Fibonacci数来表示 an 与 bn 。
解：...
28. 设 F1 F2 1, F1 Fn 1 Fn 2 （a）证明
Fn Fk Fn k 1 Fk 1Fn k , n k 1
1 2 (l 1) 当l是奇数， 4 l (l 2) 当l是偶数。 4 （b）设 f n 记边长不超过2n的三角形 的个数，而 g n记边长不超过2n+1的三角 形的个数，求 f n 和 g n 的表达式。
解：...
27. 设
n 1 n k n k n 0, an ,bn k 0 2k k 0 2k 1 n
的最大公约数。 解：...
29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不 相邻的数，设此选取的方案为 f (n, k ) 。 （a）求 f (n, k ) 的递推关系。
（b）用归纳法求 f (n, k ) 。 （c）若设1与n算是相邻的数，并设在此 假定下从1到n的自然数中选取k个不同且 k) 不相邻的k个数的方案数为 g (n,，利用 求 f (n, k ) 。g (n, k ) 解：...
一和原矩形相似的矩形序列。 解：...
16. 设一矩形 ABCD ,其中
A 面上有两两相交，无三线共点的n 条直线，试求这n条直线把平面分成多少 个域？ 解：...
18. 在一圆周上取n个点，过一对顶点可 作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦 把圆分割成几部分？ 解：...
解：...
33. 试证
1 1 Fn 1 1 0 Fn
解：...
n
Fn . Fn 1
100
解：...
23. 求
Sn Sn
解：...
k 0 n
k (k 1),
n
Sn
k 0
k (k 2),
n
k 0
k (k 1)(k 2).
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条 一条地画n条与圆相交的直线。当r是大 于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直 线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如 果无3条直线在圆内共点，这n条直线把 圆分割成多少个不重叠的部分？
（b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
（c）证明
Fm Fn Fm n 2 Fm n 6 Fm n 10 Fm n 1 当n是奇数， Fm n 2 当n是偶数。 m n 2. （d）证明( Fm , Fn ) F( m , n ) , (m, n) 为m,n
1 . n 1 (1 x)
的母函数为
解：...
8.证明
C (n, n) C (n 1, n) C (n m, n) C (n m 1, n 1)
解：...
1 1 1 9.利用 2 2 2 ， 1 2 3 6 改善 §4(2) 的 pn估计式。
19. 求n位二进制数相邻两位不出现11的 数的个数。
解：...
20. 从n个文字中取k个文字作允许重复 的排列，但不允许一个文字连续出现三 次，求这样的排列的数目。 解：...
21. 求 1 2 3 n 的和。
4 4 4 4
解：...
22. 求矩阵 3
1 . 0 2
4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。
解：...
5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的 数目。
解：...
6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串 中不出现aa图像的符号串的数目。
解：...
7.证明序列
C (n, n), C (n 1, n), C (n 2, n),