职高数学职业模块(理工类人教版)教案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)
【中职教案】两角和与差的正弦公式与余弦公式(一)
【中职教案】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（一）【教学目标】知识目标：理解两角和与差的正弦公式与余弦公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是两角和与差的正弦公式与余弦公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】在介绍新知识之前，首先利用特殊角的三角函数值，让学生认识到cos(6030)cos60cos30︒-︒≠︒-︒，然后提出如何计算cos()αβ-的问题．利用矢量论证cos()αβ-的公式，使得公式推导过程简捷．教学重点放在对公式形式特点的认识和对公式正向与反向的应用上．例1和例2都是两角和与差的余弦公式的应用，教学中要强调公式的特点．推广πsin()cos 2αα-=时，用到了换元的思想，培养学生的整体观念和变换的思维．公式sin()αβ+的推导过程是，首先反向应用例3中的结论πcos()sin 2αα-=，然后再利用公式cos()αβ-，最后整理得到公式．教学关键是引导学生将()αβ+看做整体，这样才能应用公式πcos()2α-．逆向使用公式，培养学生的逆向思维是数学课程教学的一项重要任务，在不同的例题和不同知识层面的教学上引起足够的重视．得到这些公式后，要强调公式cos()αβ-是最基本的公式，要求学生理解其他公式的推导过程，同时将公式sin()αβ±和公式cos()αβ±相对比进行记忆．要帮助学生总结公式中角α和角β以及函数名称排列的特点和符号的特点，教会学生利用这些特点记忆公式．抓住特点进行强化记忆的记忆能力培养是数学课程的一项重要任务．例4利用156045︒=︒-︒求解，还可以利用154530︒=︒-︒求解．例5通过逆向使用公式来巩固知识，这种方法在三角式的变形中经常使用．例6是三角证明题．教材给出了两种证明方法，体现了正向与逆向使用公式的思路．教学中要强调这两种使用方法，通过具体例题的分析，使得学生明白正向和反向应用公式的原因，培养学生的数学思维能力．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】*动脑思考 探索新知在单位圆（如图11-）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A （cos ,sin αα），点B （cos ,sin ββ）． 因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是 cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-， 又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=⋅+⋅． （1） 又 []cos()cos ()αβαβ+=--【教师教学后记】。
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、教学用具三角板，彩色粉笔，幻灯片五、教学方法教法：引导探究，归纳总结=，(0,)=,(0,),［-((-=cos(-+sin(-sin=_____.)=)=，据角)=)=都不能等于+ktan( tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-)=来处理等=,sin(-),cos(+),tan(-=,=.∴tanα==.于是有sin(-α)=sin cosα-cos sinα=cos(+α)=cos cosα-sin sinα=tan(α-)===.点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练11.不查表求cos75°,tan105°的值.解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)= =-(2+).2.设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于( )A. B. C. D. 4答案：A例2 已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)．活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)应先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sinα=,α∈(,π),得cosα==-=，∴tanα=.又由cosβ=,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=×()-(.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×()=∴tan(α+β)==.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，∠CAB=α，则sinα=，在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα.于是x=,又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,tanα≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=且0°<A<45°,∴cosA=.又∵cosB=且45°<B<90°,∴sinB=.∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练3在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C七、课堂小结<,<<,cos(-)=,sin(+)=,。
《6.1.2 两角和与差的正弦公式》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《两角和与差的正弦公式》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为《两角和与差的正弦公式》，是中职数学课程中的重要内容。
通过本课的学习，学生将掌握两角和与差的正弦公式的推导过程及运用方法，为后续的三角函数学习打下坚实的基础。
二、学习目标1. 知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦公式的推导过程，能够熟练运用公式进行计算。
2. 过程与方法目标：通过观察、分析、推导等过程，培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
3. 情感态度与价值观目标：通过小组合作、交流讨论等方式，培养学生的合作精神和交流能力，激发学生对数学学习的兴趣和热情。
三、评价任务1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与度、互动情况以及回答问题的情况，评价学生的学习态度和学习能力。
2. 作业评价：通过布置相关的练习题，评价学生对公式的掌握程度及运用能力。
3. 测验评价：通过定期的测验，评价学生对两角和与差的正弦公式的理解和运用水平。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的三角函数知识，引出两角和与差的正弦公式的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：通过推导两角和与差的正弦公式的过程，让学生了解公式的来源和推导方法。
重点讲解公式的形式及各部分的意义。
3. 公式运用：通过具体的例子，让学生掌握公式的运用方法，包括公式的正用、逆用及变形运用等。
4. 小组讨论：学生分组进行讨论，探讨公式的运用场景及实际问题中如何运用公式进行计算。
5. 教师总结：教师总结学生的讨论情况，强调公式的重点和难点，解答学生的疑问。
五、检测与作业1. 课堂检测：布置相关的练习题，让学生当场完成并进行讲解，检测学生对公式的掌握程度及运用能力。
2. 课后作业：布置适量的课后作业，包括公式记忆、简单运用及综合运用等类型的题目，让学生巩固所学知识。
3. 学习反馈：收集学生的作业情况及学习反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
六、学后反思1. 教师反思：教师反思本课的教学过程，总结学生的表现及学习效果，分析教学中存在的问题及原因，提出改进措施。
15.1(1)两角和与差的正弦、余弦公式教案
(3)
例4、化简，求值（公Leabharlann 逆用）(1) ；(2)
（3）cos215°-sin215°，
（4）cos80°cos35°+cos10°cos55°
巩固转化方法学生交流探讨
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段
与方式
课堂练习
课堂小结
课后作业
课本P4练习
1、掌握两角和与差的余弦公式
两角和的余弦公式：
由图可知： () , ( )则
问题1：
问题2：由 出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？
问题3：两角差的余弦公式推导
在平面直角坐标系 内作单位圆 ，以 为始边分别作角 ， ，其终边分别与单位圆交于 则
所以
引入法
学生思索，
讲述法
举例说明
学生记录交流
启发
观察
引导学生互动交流
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段
与方式
新授
如果 ，那么
两角差的余弦公式：
实际上，当 为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化 ，使 。
综上所述， ，对于任意的角 都成立。
将上述公式中的 用— 替代，得
两角和的余弦公式：
注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；
2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；
教学重点
两角差角的余弦公式的掌握与简单应用
教学难点
两角差角的余弦公式的推导
更新、补充、
删节内容
无
课前准备
预习
课外作业
教材P8 习题，练习册
板
书
设
计
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 教案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1.知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。
2.过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。
二、教学重点难点重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明。
三、学情分析鉴于学生的基础一般，前面刚刚学习了两角差的余弦公式，学生对于该公式的简单应用，尚能掌握。
在教学的过程中，对比公式的内在联系，学生可能会在角的正弦与余弦能否建立联系上产生困难，教师应当在教学过程中有意识地对学生的思维进行引导；利用联系的观点和对比理解的办法让学生熟悉公式并逐步做到可以简单的应用。
四、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程。
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
五、设计思路本节课利用两角差的余弦公式推导出其它公式，并且运用两角和与差的三角函数公式解决一些相关的问题，运用公式的关键在于构造角的和差。
要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式。
在解题过程中注意角的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。
在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值。
灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式。
然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题。
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)
分子分母同时除以cos cos 当cos cos 0时，
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1- tanαtanβ
记：T( + )
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1- tanαtanβ
三 、公式应用
3 例 1. 已知sin , 是第四象限角 , 5 求 sin , cos , tan 4 4 4 的值.
在本题中 sin cos , , 4 4 那么对任意角 , 此等式成立吗？若成立 你能否证明？
a b 2 sin( ) . 2
2 2
思考3：根据两角和的正切公式 ，
tanα＋tanβ可变形为什么？ tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) 思考4：在△ABC中，tanA，tanB，tanC三者 有什么关系？ tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cos cos sin sin 2 2
sin cos cos sin
用 代
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) sin( ) sin cos cos sin
(1)tanα+ tanβ 答案:
tan(α-β)+ tanβ (2) 1- tan(α-β)tanβ
(2)tanα
3、求值： (1) tan71 - tan26
o o
1+ tan71o tan26o
教学设计1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． [试一试]1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为____________． 【答案】222．(2013·徐州摸底)已知cos ⎝⎛⎭⎫π－α2＝23，则cos α＝________.【解析】由cos ⎝⎛⎭⎫π－α2＝23得cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝23，则sin α2＝23，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫232＝19. 【答案】191．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 2．角的变换技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β. 3．三角公式关系[练一练]1．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为________． 【答案】12．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 【解析】法一：cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 法二：cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 【答案】16考点一三角函数公式的基本应用1.已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.【解析】cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.【答案】－752．(2013·苏北四市一调)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 【解析】由α为锐角，cos α＝55得sin α＝255，则tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝－3.【答案】－33．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 【解析】(1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013， f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. [备课札记] [类题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．三角函数公式的逆用与变形应用[ABC 中，若tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是________． (2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为________． 【解析】 (1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得 tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50° ＝12sin 40°sin 40°＝12. [答案] (1)22 (2)12[备课札记] [类题通法]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． [针对训练]1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(一))已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________．【解析】因为cos(75°＋α)＝13，所以sin(15°－α)＝13，所以cos(30°－2α)＝1－2sin 2(15°－α)＝1－2×19＝79.【答案】792．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．【解析】－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 【答案】2角的变换[典例] (2014·常州一模)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． [解] (1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010 ＝91050.[备课札记]【解析】∵sin(α－10cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.[类题通法]1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； 3．注意角变换技巧． [针对训练]1．(2014·盐城摸底)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4的值为________． 【解析】因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝31010. 令θ＋π4＝α，则sin α＝31010，cos α＝1010，于是sin 2α＝2sin αcos α＝35，cos 2α＝1－2sin 2 α＝－45，故sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－3π4＝22(－sin 2α－cos 2α)＝22×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝210. 【答案】2102．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 【解析】因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 【答案】17250[课堂练通考点]1．(2011·江苏高考)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________．【解析】因为tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，所以tan x ＋11－tan x＝2，解得tan x ＝13，所以tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x 2＝1－⎝⎛⎭⎫1322＝49.【答案】492．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是________． 【解析】cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 【答案】－13．若f (α)＝2tan α－2sin 2α2－1sin α2cos α2，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝________. 【解析】∵f (α)＝2tan α－－cos α12sin α＝2sin αcos α＋2cos αsin α＝4sin 2α，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8. 【答案】84．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．【解析】因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.【答案】135．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求 cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 【解析】(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310.。
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职高数学职业模块（理工类人教版）教案：两角和与差的正弦、余弦、正切公
式（1）
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、教学设想：
（一）复习式导入：
（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．
（2）cos sin =α？
（二）新课讲授
问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？
探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.
()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
sin cos cos sin αβαβ=+．
()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．
探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+
探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？
（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ++=
-． 注意：,,()222k k k k z ππ
π
αβπαπβπ+≠+≠+≠+∈
5、将
)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差
角公式。
（三）例题讲解
例1、已知
3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-
是第四象限角，得4cos 5α===， 3
sin 35tan 4cos 4
5ααα-
===- ，
于是有：
43sin sin cos cos sin 4
44252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 3tan tan 144tan 7341tan tan 144π
απαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 思考：在本题中，)4cos()4sin(απ
απ+=-，那么对任意角α，此等式成立吗？若
成立你能否证明？
例2、已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（322）
例3、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-．
解：（1）、()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==；
（2）、()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；
（3）、()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--
（四）小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，学会灵活运用.。