第二章母函数与递推关系习题剖析
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解：...
25. 用 an 记具有整数边长周长为n的三
角形的个数。
（a）证明
an 3 ,
当n是偶数，
an
an 3
n
n2
(1) 2 4
,当n是奇数
（b）求序列 an的普通形母函数。
解：...
26. （a）证明边长为整数、最大边长为 l的三角形的个数是
1 (l 1)2 当l是奇数， 4 l (l 2) 当l是偶数。 4
（c）若设1与n算是相邻的数，并设在此 假定下从1到n的自然数中选取k个不同且
不相邻的k个数的方案数为 g(n,，k)利用 求 f (n,k) 。g(n,k)
解：...
30. 设S2 (n, k)是第二类Stirling数。证明
S2
(n
1,
m)
k
n
m 1
n k
S2
(k
,
m
1).
解：...
31. 求下图中从A点出发到n点的路径数。
解：...
9.利用
1 12
1 22
1 32
2
6
，
改善 §4(2) 的 pn估计式。
解：...
10. 8台计算机分给3个单位，第1单位 的分配量不超过3台，第2单位的分配量 不超过4台，第3个单位不超过5台，问 共有几种分配方案？
解：...
11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不 同的且不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ邻的Fibonacci数之和。即
解：...
22. 求矩阵 3
1100
.
0 2
解：...
23. 求
n
n
Sn k(k 1), Sn k(k 2),
k 0
k 0
n
Sn k(k 1)(k 2).
k 0
解：...
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条 一条地画n条与圆相交的直线。当r是大 于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直 线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如 果无3条直线在圆内共点，这n条直线把 圆分割成多少个不重叠的部分？
解：...
5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的 数目。
解：...
6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串 中不出现aa图像的符号串的数目。
解：...
7.证明序列
C(n,n),C(n 1,n),C(n 2,n),
的母函数为
(1
1 x)n
1
.
解：...
8.证明
C(n, n) C(n 1, n) C(n m, n) C(n m 1, n 1)
（c）用Fibonacci数来表示 an 与 bn 。
解：...
28. 设 F1 F2 1, F1 Fn1 Fn2
（a）证明
Fn Fk Fnk 1 Fk 1Fnk , n k 1 （b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
（c）证明
Fm Fn Fmn2 Fmn6 Fmn10
解：...
16. 设一矩形 ABCD ,其中
AB : AD 1 (1 2
5) 作 C1B1 使得
A和B1CA1BDC是D一相正似方。形试。证试继证续矩这形过B1程C1可CD得
一和原矩形相似的矩形序列。
解：... A
B1
B
D
C1
C
17. 平面上有两两相交，无三线共点的n 条直线，试求这n条直线把平面分成多少 个域？
（b）设 fn 记边长不超过2n的三角形 的个数，而 gn记边长不超过2n+1的三角 形的个数，求 fn 和 gn 的表达式。
解：...
27. 设
n
0, an
n
k 0
nk 2k
,bn
n1 n k
k 0 2k 1
（a）证明 an1 an bn1,bn1 an bn.
（b）求序列an与bn的母函数。
解：...
14. 在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到 下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现 要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转 移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次 移动一个，始终保持上面的比下面的小。 一共要移动多少次？
解：...
15. 一书框中有m格，每格各放n册同类 的书，不同格放的书类型不同。现取出 整理后重新放回，但不打乱相同类。试 问无一本放在原来位置的方案数应多少？
n aiFi , aiai1 0, ai 0,1
i2
注意 F1 F2 1 是相同的Fibonacci数。
解：...
12. 设空间的n个平面两两相交，每3个 平面有且仅有一个公共点，任意4个平面 都不共点。这样的n个平面把空间分割成 多少个不重叠的域？
解：...
13. 相邻位不同为0的n位2进制数中一共 出现了多少个0？
13
n
A 24
解：...
32. n位0,1符号串，求从左向右只在最 后两位才出现0，0的符号串的数目。
解：...
33. 试证
1 1n Fn1 Fn . 1 0 Fn Fn1
解：...
FFmmnn21
当n是奇数， 当n是偶数。
m n 2.
（d）证明(Fm , Fn ) F(m,n) , (m, n) 为m,n
的最大公约数。
解：...
29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不
相邻的数，设此选取的方案为 f (n, k) 。 （a）求 f (n, k) 的递推关系。
（b）用归纳法求 f (n, k) 。
1.证明等式
n 2
n 2
n 2
n 2
2n
2
.
0 1 2
n n
解：...
2.求 (1 x4 x8 )100 中 x20 项的系数.
解：...
3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？
解：...
4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。
解：...
18. 在一圆周上取n个点，过一对顶点可 作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦 把圆分割成几部分？
解：...
19. 求n位二进制数相邻两位不出现11的 数的个数。
解：...
20. 从n个文字中取k个文字作允许重复 的排列，但不允许一个文字连续出现三 次，求这样的排列的数目。
解：...
21. 求 14 24 34 n4 的和。
25. 用 an 记具有整数边长周长为n的三
角形的个数。
（a）证明
an 3 ,
当n是偶数，
an
an 3
n
n2
(1) 2 4
,当n是奇数
（b）求序列 an的普通形母函数。
解：...
26. （a）证明边长为整数、最大边长为 l的三角形的个数是
1 (l 1)2 当l是奇数， 4 l (l 2) 当l是偶数。 4
（c）若设1与n算是相邻的数，并设在此 假定下从1到n的自然数中选取k个不同且
不相邻的k个数的方案数为 g(n,，k)利用 求 f (n,k) 。g(n,k)
解：...
30. 设S2 (n, k)是第二类Stirling数。证明
S2
(n
1,
m)
k
n
m 1
n k
S2
(k
,
m
1).
解：...
31. 求下图中从A点出发到n点的路径数。
解：...
9.利用
1 12
1 22
1 32
2
6
，
改善 §4(2) 的 pn估计式。
解：...
10. 8台计算机分给3个单位，第1单位 的分配量不超过3台，第2单位的分配量 不超过4台，第3个单位不超过5台，问 共有几种分配方案？
解：...
11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不 同的且不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ邻的Fibonacci数之和。即
解：...
22. 求矩阵 3
1100
.
0 2
解：...
23. 求
n
n
Sn k(k 1), Sn k(k 2),
k 0
k 0
n
Sn k(k 1)(k 2).
k 0
解：...
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条 一条地画n条与圆相交的直线。当r是大 于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直 线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如 果无3条直线在圆内共点，这n条直线把 圆分割成多少个不重叠的部分？
解：...
5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的 数目。
解：...
6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串 中不出现aa图像的符号串的数目。
解：...
7.证明序列
C(n,n),C(n 1,n),C(n 2,n),
的母函数为
(1
1 x)n
1
.
解：...
8.证明
C(n, n) C(n 1, n) C(n m, n) C(n m 1, n 1)
（c）用Fibonacci数来表示 an 与 bn 。
解：...
28. 设 F1 F2 1, F1 Fn1 Fn2
（a）证明
Fn Fk Fnk 1 Fk 1Fnk , n k 1 （b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
（c）证明
Fm Fn Fmn2 Fmn6 Fmn10
解：...
16. 设一矩形 ABCD ,其中
AB : AD 1 (1 2
5) 作 C1B1 使得
A和B1CA1BDC是D一相正似方。形试。证试继证续矩这形过B1程C1可CD得
一和原矩形相似的矩形序列。
解：... A
B1
B
D
C1
C
17. 平面上有两两相交，无三线共点的n 条直线，试求这n条直线把平面分成多少 个域？
（b）设 fn 记边长不超过2n的三角形 的个数，而 gn记边长不超过2n+1的三角 形的个数，求 fn 和 gn 的表达式。
解：...
27. 设
n
0, an
n
k 0
nk 2k
,bn
n1 n k
k 0 2k 1
（a）证明 an1 an bn1,bn1 an bn.
（b）求序列an与bn的母函数。
解：...
14. 在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到 下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现 要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转 移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次 移动一个，始终保持上面的比下面的小。 一共要移动多少次？
解：...
15. 一书框中有m格，每格各放n册同类 的书，不同格放的书类型不同。现取出 整理后重新放回，但不打乱相同类。试 问无一本放在原来位置的方案数应多少？
n aiFi , aiai1 0, ai 0,1
i2
注意 F1 F2 1 是相同的Fibonacci数。
解：...
12. 设空间的n个平面两两相交，每3个 平面有且仅有一个公共点，任意4个平面 都不共点。这样的n个平面把空间分割成 多少个不重叠的域？
解：...
13. 相邻位不同为0的n位2进制数中一共 出现了多少个0？
13
n
A 24
解：...
32. n位0,1符号串，求从左向右只在最 后两位才出现0，0的符号串的数目。
解：...
33. 试证
1 1n Fn1 Fn . 1 0 Fn Fn1
解：...
FFmmnn21
当n是奇数， 当n是偶数。
m n 2.
（d）证明(Fm , Fn ) F(m,n) , (m, n) 为m,n
的最大公约数。
解：...
29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不
相邻的数，设此选取的方案为 f (n, k) 。 （a）求 f (n, k) 的递推关系。
（b）用归纳法求 f (n, k) 。
1.证明等式
n 2
n 2
n 2
n 2
2n
2
.
0 1 2
n n
解：...
2.求 (1 x4 x8 )100 中 x20 项的系数.
解：...
3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？
解：...
4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。
解：...
18. 在一圆周上取n个点，过一对顶点可 作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦 把圆分割成几部分？
解：...
19. 求n位二进制数相邻两位不出现11的 数的个数。
解：...
20. 从n个文字中取k个文字作允许重复 的排列，但不允许一个文字连续出现三 次，求这样的排列的数目。
解：...
21. 求 14 24 34 n4 的和。