2-1 母函数与指数型母函数

(1) A(x)= B(x) 当且仅当 ak= bk。
(2) 若A(x)+B(x)=c0+c1x+c2x2+…，则ck=ak+bk。
0, k l , 性质1：若 bk 则 B(x)=xlA(x)。 ak l , k l ,
证:
B ( x ) 0 0 0 bl x l bl 1 x l 1 a0 x l a1 x l 1 x l A( x ).
10 x 2 10 x 3 285 x 4 281 x 5 840 x 6 728 x 7 630 x 8 350 x 9 150 x 10 38 x 11 5 x 12 x 13
其中xk的系数就是组成符合要求的k人小组的数目。
2. 母函数的性质
设序列ak, bk对应的母函数分别为A(x), B(x)。 则下面的两个性质显然成立：
其中t6的系数为5，显然来自于
t1 t 5 t 6 , t 2 t 4 t 6 , t 3 t 3 t 6 , t 4 t 2 t 6 , t 5 t1 t 6.
这表明，掷出6点的方法一一对应于得到t6的方法。
故使两个骰子掷出n点的方法数等价于求
f (t ) (t t 2 ... t 6 ) 2
性质5：若bk=kak，则
B( x ) xA '( x ).
性质6：若bk=ak/(1+k)，则 1 x B ( x ) A( x )dx. x 0 例7 已知 A( x ) 1 x x 2 x n 则
类似可得女同志的允许组合数对应的母函数为
B( x ) 10 x 2 10 x 3 5 x 4 x 5 .
C ( x ) A( x ) B( x ) (1 28 x 2 70 x 4 28 x 6 x 8 ) (10 x 2 10 x 3 5 x 4 x 5 )
两端对x求导可得： n(1 x ) n 1 C (n, 1) 2C (n, 2) x nC (n, n) x n 1 , 再令x=1 可得 C (n,1) 2C(n, 2) 3C(n, 3) nC(n, n) n2n1.
类似还可以得到 2 2 n 2 C (n,1) 2 C(n, 2) n C(n, n) n(n 1)2 .
中tn的系数。
这个函数f(t)称为母函数。
母函数方法的基本思想： 把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间 的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最 后由幂级数形式来确定离散数列的构造。
再来看下面的例子：
(1 a1 x )(1 a2 x ) (1 an x ) 1 (a1 a2 an ) x (a1a2 a1a3 an1an ) x 2 a1a2 an x n ,
x x x e x 1, 例4 已知 A x 1! 2! 3! m m 1 m2 x 则 B( x ) x x x m 1 (e x 1). 1! 2! 3!
2
3
性质2：若bk=ak+l，则
B( x ) [ A( x) ak x k ]/ x l .
a1 a3 a5 a7 0, a0 1, a2 C (8, 2) 28,
a4 C (8,4) 70, a6 C (8,6) 28, a8 1.
因此序列a1,a2,…,a8对应的母函数为：
A( x ) 1 28 x 2 70 x 4 28 x 6 x 8 .
若令a1=a2= …=an=1，则有
(1 x)n 1 C (n, 1) x C (n, 2) x 2 C (n, n) x n .
这就是二项式展开定理。
(1 x)m (1 x)n (1 x)m n
[C (n, 0) C (n, 1) x C (n, n) x n ] [C (m, 0) C (m, 1) x C (m, m) x m ] C (m n, 0) C (m n, 1) x C (m n, m n) x m n
令取r的组合数为 cr ,则序列 c0 , c1 , c2 , c3 , c4 的母函数为
G( x ) (1 x x )(1 x )
2
2
1 3x 4 x 3 x x .
2 3 4
共有1+3+4+3+1=12种组合方式。
例3 某单位有8个男同志，5个女同志，现要组织一 个由数目为偶数的男同志和数目不少于2的女同志 组成的小组，试求有多少种组成方式？ 令an为从8位男同志中抽取出n个的允许组合数。由 于要男同志的数目必须是偶数。故
但碰到用三个或四个骰子掷出n点，上述两方法就 不胜其烦了。
设想把骰子出现的点数1,2,…,6和t,t2,…,t6对应起来， 则每个骰子可能出现的点数与(t+t2+…+t6)中t的各次 幂一一对应。
若有两个骰子，则
(t t 2 ... t 6 )(t t 2 ... t 6 ) t 2 2t 3 3t 4 4t 5 5t 6 ....
v3 u3 u2 u0 ,。
一般的有
vn un un1 un3 , n 3.
若信号输入的序列u0,u1,…的母函数为U(x)，输出的 信号序列v0,v1,…的母函数为V(x)，则
V ( x ) (1 x x 3 )U ( x ) P ( x )U ( x ),
__________ __________ ________
B( x) a0 /(1 x) a1 x /(1 x) a2 x 2 /(1 x) [a0 a1 x a2 x2 ]/(1 x) A( x) /(1 x).
例6 已知
1 A( x ) 1 x x x , 1 x
k 0
l 1
例5 已知
x x2 x3 x A x e 1, 1! 2! 3!
则
x x x2 x2 2 B( x ) e 1 x x . 2! 3! 4!
性质3：若bk=a0+…+ak，则 A( x ) B( x) . 1 x 1: b0 a0 x: b1 a0 a1 x2: b2 a0 a1 a2 xk: bk a0 a1 a2 ak +)
2
( r y r w ryw ) r yw .
2 2 2
(1) 取一个球的组合数为3，即分别取红，白，黄。 (2) 取两个球的组合数为4，即两个红的，一红一黄， 一红一白，一白一黄。 (3) 取三个球的组合数为3，即两红一黄，两红一白， 一红一黄一白。 (4) 取四个球的组合数为1，即两红一黄一白。
比较等号两端项对应系数，可以得到恒等式：
C (m n, r ) C (m, 0)C (n, r ) C (m , 1)C (n, r 1) C (m, r )C (n, 0).
(1 x) (1 1 / x) x
n m
m
(1 x)
mn

[C (n, 0) C (n, 1) x C (n, n) x n ] [C (m, 0) C (m, 1) x 1 C (m, m ) x m ] x m [C (m n, 0) C (m n, 1) x C (m n, 2) x 2 C (m n, m n) x m n
我们来看如下的例子：两个骰子掷出6点，有多少 种选法？ 注意到，出现1，5有两种选法，出现2，4也有两 种选法，而出现3，3只有一种选法，按加法法则， 共有2+2+1=5种不同选法。 或者，第一个骰子除了6以外都可选，有5种选法， 一旦第一个选定，第二个骰子就只有一种可能的选 法，按乘法法则有5×1=5种。
2 n
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B( x) 1 2 x 3 x 2 4 x 3
A( x ) 1 , 2 1 x (1 x )
C ( x) 1 3 x 6 x 2 10 x 3
B( x ) 1 . 3 1 x (1 x )
性质4：若bk=ak+ak+1+…，则 A(1) xA( x ) B( x) . 1 x 1: b0 a0 a1 a2 A(1) x: b1 a1 a2 a3 A(1) a0 x2: b2 a2 a3 a4 A(1) a0 a1 +)
例1 下图是一逻辑回路，符号D是一延迟装置，即 在时间t输入一个信号给延迟装置D，在t+1时刻D将 输出同样的信号，符号表示加法装置。
输入u
D
D
D


输出v
若在t=0,1,2,…时刻的输入为u0,u1,u2,…求在这些时 刻的输出v0,v1,v2,…
显然，
v0 u0 , v1 u1 u0 , v2 u2 u1 ,
还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子 已可见函数(1+x)n在研究序列 C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的关系时所起的作用。 定义：对于序列a0,a1,a2,…，函数
G( x ) a0 a1 x a2 x 2 称为序列a0,a1,a2,…的母函数。
例如函数(1+x)n就是序列C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的 母函数。 如若已知序列，则对应的母函数可根据定义给出。 反之，如果已经求出序列的母函数G(x)，则该序列 也随之确定。
其中
P ( x) 1 x x 3 被装置的特性所确定，称为该装置的传递函数。
例2 有红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种 不同的组合方案。 设r，w，y 分别代表红球，白球，黄球。
(1 r r )(1 w )(1 y) 2 1 ( r y w ) ( r ry rw yw )
比较等式两端的常数项，可以得到恒等式：
C (m n, m) C (n, 0)C (m, 0) C (n, 1)C (m, 1) C (n, m)C (m, m).
又如在等式 (1 x )n C (n,0) C ( n,1) x C ( n, n) x n 中令x=1 可得 C (n,0) C (n,1) C (n, 2) C (n, n) 2n.
B( x ) A(1)(1 x x 2 ) a0 x (1 x x 2 ) a1 x 2 (1 x x 2 ) A(1) (a0 a 1 x ) x A(1) xA( x ) . 1 x 1 x 1 x
__________ __________ ________
第二章
母函数与递推关系
2.1 母函数与指数型母函数
2.2 递推关系与Fibonacci数列
2.3 线性常系数递推关系 2.4 非线性递推关系举例 2.5 应用举例
2.1 母函数与指数型母函数
1. 母函数
2. 母函数的性质
3. 整数的拆分
4. Ferrers 图像
5. 指数型母函数
1. 母函数
母函数方法是一套非常有用的方法，应用极广。 这套方法的系统叙述，最早见于Laplace在1812年 的名著—概率解析理论。