指数型复合函数
高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程
高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程高中数学备课教案指数与对数函数的复合函数与方程一、复合函数的概念及性质在数学中，复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入的过程。
指数函数和对数函数是数学中的重要函数，它们可以进行函数的复合运算。
下面我们来探讨指数函数与对数函数的复合函数及相关的性质。
1. 复合函数的定义设函数f(x)和g(x)分别是定义在实数集上的两个函数，那么当g(x)的定义域包含f(x)的值域时，可以定义函数h(x) = (g∘f)(x)。
其中g∘f表示复合函数，读作g合成f。
2. 复合函数的性质（1）结合律：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，有(h∘g)∘f = h∘(g∘f)。
（2）单位元：对于任何函数f(x)，有f(x)∘i(x) = i(x)∘f(x) = f(x)，其中i(x)为恒等函数。
（3）逆元：对于任何函数f(x)，它的逆函数是一个有限或无限集合，即(f∘f^(-1))(x) = (f^(-1)∘f)(x) = x。
二、指数函数与对数函数的复合函数1. 指数函数与对数函数的定义指数函数通常表示为f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
对数函数通常表示为g(x) = logₐ(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。
2. 指数函数与对数函数的复合函数（1）指数函数与对数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =logₐ(a^x) = x。
（2）对数函数与指数函数的复合设f(x) = a^x，g(x) = logₐ(x)，那么复合函数可以表示为h(x) =a^(logₐ(x)) = x。
三、指数函数与对数函数的复合函数的图像分析1. 复合函数的图像变换通过分析复合函数的图像变换，我们可以更好地了解指数函数与对数函数的复合函数。
对于h(x) = (g∘f)(x)，由于对数函数和指数函数在图像上是互为镜像，所以复合函数的图像与指数函数和对数函数的图像呈镜像关系。
指数型复合函数
2x 1
例3：已知函数f(x)=
,讨论：
2x 1
（1）f(x)的奇偶性。 （2）f(x)的单调性。 （3）f(x)的值域。
五.指数型复合函数的定点
例：函数f（x）=ax﹣3+3（a＞0，且a≠1）的 图象恒过定点，则定点P的坐标是_______。
七.指数型复合函数的奇偶性
例1:以下函数是奇函数的是：
（1）f(x)=2-x （3）f(x)=2x-2-x
（2）f(x)=2x+2-x (4) f(x)=2 x2 1
2.已知f(x)=(
2x
1
1
1 2
)x
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断f(x)的奇偶性.
指数型复合函数
一.指数型复合函数的定义域和值域 1.求下列函数的定义域和值域：
1
2 （1）y= x4
2x 1 (2)y= 2x 3
1 x24x
(3)y=
2
(4)y=
1 1 x 2
二.换元法求最值
例1.求函数y=
上的值域。
1 4x1 2x Nhomakorabea1
在x
[-3，2]
2.已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2•3x+1﹣9x 的最大值和最小值。
六.含有绝对值的指数函数
例：1.函数y=3|x|的单调递增区间是_____． 函数y=3-|x|的单调递增区间是________．
2.函数y=a|x|在( ,0)上是增函数，则a
的取值范围是___________．
3．关于x的方程 2 1x m 1 0有唯一
复合函数的性质及应用
向上。
因为函数 f(x)=
1 5
x2+ax
在 区 间[1,2]
上是单调减函 数,所 以 函 数 u(x)在 区 间 [1,
2]上 是 单 调 增 函 数 。
而u(x)在 -a 2,+∞ 上 单 调 递 增,所
以 -a 2 ≤1,解 得 a≥ -2。
例 5 若 函 数 f(x)=log0.3 (5+4x-
的定义域,且 f(x)=lnt,故 本 题 即 求t= -x2-x+2在定义域 内 的 减 区 间,再 结 合 二 次函数的性质可得结论。
解:令t= -x2 -x+2>0,求 得 -2< x<1,故 函 数 的 定 义 域 为 (-2,1),且 f(x) =lnt,本 题 转 化 为 求t= -x2 -x+2 在 定 义 域 内 的 减 区 间 ,结 合 二 次 函 数 的 性 质 可 得t=
sin2θ 的 sinθ+cosθ
大
小
关
系
,从
而
得
到
a,b,c
的
-x2-x+2= -
1 x+ 2
2
+
9 4
在
定
义
域
内
29
解题篇 经典题突破方法 高考数学 2019年4月
的减区间为
1 -2
,1
。
例 3 函 数 y=2-x2+x-1的 单 调 递 增 区
间是( )。
A. 1 2 ,+ ∞
B. - ∞ ,1 2
[1,2]上是单调减函数,则实数a 的取 值 范 围
是( )。
A.a≤ -4
专题05 指数与指数函数及其复合函数题型归纳
专题05 指数与指数函数及其复合函数综合问题一、学法指导与考点梳理重难点一 根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 重难点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q. 重难点三 指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质二、重难点题型突破重难点突破1 指数与指数幂运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n3.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1) 4.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)5.幂的运算性质（1）s r a a ＝s r a +a (＞0，r ，s ∈Q )；（2）sr a )(＝rs a a (＞0，r ，s ∈Q )； （3）rab )(＝rr b a a (＞0，r ，s ∈Q )．例1-1．（1）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56a a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【解析】对于A 0a ，而当0a <时，56a 无意义，故A 错误；对于B ，当0x <时，24x =B 错误；对于C ，31332224()b b ==，故C 错误．对于D ，52()a b --===D 正确．故选：D ．（2）．（2019秋•凌源市月考）已知0a >( )A ．712aB ．512a C ．56a D ．13a【解析】原式1151532622212a a a aa ⨯====．故选：B ．（3）．2019秋•鸠江区校级期中）（121xy xy -；（21327()8--++【变式训练1】 计算：（2020·成都七中万达学校高一月考）1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭=_____________.【解析】由幂的运算法则及根式意义可知，1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭111131-233333443222=+22+23-=24272333（）（）（）（）⨯⨯++⨯-110= ，故填110. 【变式训练2】（2019·四川成都市·石室中学高一月考）（1）化简()3212332140.1a b--⎛⎫⋅⎪⎝⎭（2）2019·四川成都市·成都外国语学校）（2）13231442--⎛⎫⎛⎫++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （1）1323122214446212--⎛⎛⎫++⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=【详解】（1）原式()311223322333321222221181161620010100a b a b a ba b ------⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⋅=⋅； （2）132312221444621--⎛⎛⎫++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=例1-2.（2019秋•越秀区校级月考）已知12x y +=，9xy =且x y <，求11221122x y x y-+的值．【解析】11221122x y x y-==+．①12x y +=，9xy =，②222()()41249108x y x y xy ∴-=+-=-⨯=．又x y <，x y ∴-=-=．【变式训练1】（1）（2019·四川成都市·石室中学高一月考）设3312x x +=，求1x x +的值.（2）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）化简求值：已知1122x x-+=，求22145x x x x --+++-的值.【解析】（1）由3312x x +=可得6312x x +=，即()2310x -=，解得1x =， 因此，1112x x+=+=. （2）因为1122x x -+=125x x -++=，即13x x -+=，所以2229x x -++=，即227x x -+=，所以221474115352x x x x --+++==-+--. 【变式训练2】（1）（2019·成都市·成都外国语高一期中）已知11223a a -+=，求332222a a a a --++值. 【解析】因为11223a a -+=，两边同时平方可得129a a -++=所以17a a -+=，由立方和公式及完全平方公式化简可得332222a a a a --++()()111222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+-()()2371184772⨯-==- （2）（2019·成都市·树德中学高一开学考试）已知232a =+11133a a a a--++的值【解析】设则， .重难点突破2 指数函数的概念例2.（2019·眉山外国语学校高一期中）函数y=（a 2–3a+3）•a x 是指数函数，则a 的值为___________．【解析】由题意得：a 2–3a+3=1，即（a–2）（a–1）=0，解得a=2或a=1（舍去），故答案为2． 【变式训练】（2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中）若函数y =(a 2-3a +3)a x 是指数函数，则（ ） A a ＞1且a ≠1B a ＝1C a ＝1或a ＝2D a ＝2【答案】D重难点突破3 指数函数的图像例3-1.（1）（2019·眉山外国语学校高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠图像可能是（ ）． A ．B ．C ．D ．【解析】∵0a >，∵10a>，∵函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∵101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∵11a>，所以排除C ，故选D.（2）（2020·四川成都市·成都七中高一月考）设0a >且1,a ≠则函数xy a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】对A ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的1a >，不能统一，错误； 对B ，y b ax =-中的0,1a b ><-，xy a b =+中的0,10a b >-<<，不能统一，错误；对C ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的10,01b a -<<<<，正确；对D ，y b ax =-中的1b <-，xy a b =+中的10b -<<，不能统一，错误；故选：C. （3）（2019·四川成都市·石室中学高一开学考试）若函数()()101xy a b a a =-+>≠且的图象经过第一、三、四象限，则有（ ）A ．1a >，且1b <B ．1a >，且0b >C ．01a <<，且0b >D ．01a <<，且0b <【解析】由题意,画出图象如图,由单调性可知,1a >,当0x =时,0,0y b b =-,选B.（4）（2020·成都市·成都外国语学校高一期中）函数2121xy =+-的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】令()22112121x x xf x +=+=--， 得函数的定义域为{}0x x ≠，()()21122112x xx xf f x x --++--==--=， 则()f x 为奇函数，所以排除B C ；当0,21210x xx >>⇒->，则1y >，所以排除A ；故选：D.【变式训练】（1）（2019·四川凉山彝族自治州·高一期末）已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()xg x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()xg x a b =+为增函数，(0)10g b =+>，()g x 过定点(0,1)b +，故选：C .（2）（2020·四川省武胜烈面中学校高一月考）函数xy a b =+部分图象如图所示，则（ ）A ．01,10a b <<-<<B ．01,01a b <<<<C ．1,10a b >-<<D ．1,01a b ><<【解析】由题,函数图象恒过点()0,1b +,由图象可得011b <+<,即10b -<<, 显然,函数单调递减,所以01a <<,故选:A（3）（2019·四川成都市·双流中学高一期中）已知a ＞1，则函数y =a x 与y =（a -1）x 2在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【详解】∵a ＞1，∵函数y =a x 为增函数，函数y =（a -1）x 2在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．故选：A ．（4）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）函数x y a = (0a >且1a ≠)与函数()212y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】当1a >时，函数xy a =为增函数；函数()212y a x x =--图象的开口向上，对称轴为101x a =>-，且与y 轴的交点为(0,0)，排除B ． 当01a <<时，函数xy a =为减函数；函数()212y a x x =--图象的开口向下，对称轴为101x a =<-，与y 轴的交点为(0,0)，排除C,D ，故A 正确．选A ． 例3-2.（恒过定点问题）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）若函数22x y a +=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过一定点P ，则P 的坐标为（ ） A ．()0,1B ．()2,1-C ．()2,2-D ．()2,3-【解析】∵当2x =-时，此时2220=1x a a a +-+==，即函数值023y a =+=，∵定点P 的坐标为()2,3-，故选：D.【变式训练】（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数2020()2(01)x f x a a a -=+>≠,的图像必经过定点__________.【解析】令20200x -=，解得2020x =，则0()23f x a =+=，所以()f x 的图像必经过定点（2020，3），故答案为：（2020，3）重难点突破5 指数函数的定义域例5.（1）（2019·四川成都市·棠湖中学高一期末）函数y =_______．【解析】由二次根式有意义，得：420x -≥，即2242x ≤=，因为2xy =在R 上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：(,2]-∞（2）（2020·全国高三专题练习（理））已知函数f (x )的定义域是(1，2)，则函数f (2x )的定义域是（ ）A ．(0，1)B ．(2，4)C ．(12，1) D ．(1，2)【解析】∵f (x )的定义域是(1，2)，∵1＜2x ＜2，即20＜2x ＜21，∵0＜x ＜1.故选:A .【变式训练】（1）（2020·全国高一课时练习）函数()f x = ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞【解析】使函数有意义，需210x -≥，即为21x ≥，得0x ≥，则定义域为[0,)+∞.选：A. （2）（2020·全国高一课时练习）函数()121x f x =-的定义域是________. 【解析】由210x -≠，得0x ≠，故函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.故答案为：(,0)(0,)-∞+∞重难点突破6 指数函数的单调性与最值例6-1.（1）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()2,+∞【解析】令()232t x x x =-+，则1()2t y =，1()2ty =在t R ∈上单调递减，所以本题即求函数()t x 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质可得函数()t x 在定义域内的减区间为3(,)2-∞，函数23212x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递增区间为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A （2）（2020·攀枝花市第十五中学校高一期中）若函数242axxy -=在[﹣2，+∞）上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1]{0} B ．[﹣1，0]C ．（﹣1，0]D ．[﹣1，2]【解析】当0a =，41162xxy -⎛=⎫= ⎪⎝⎭，由指数函数的单调性 可知函数在[﹣2，+∞）上为减函数，满足题意；当0a <，只需满足()24f x ax x =-在[﹣2，+∞）上为减函数，即4212a a≤-⇒≥-，即10a -≤< ，综上，[]1,0a ∈-.故选：B（3）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）已知函数()(),01,0x e k x f x k x k x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112k ≤< B ．112k << C ．1k < D ．1k ≤【解析】因为()f x 是在R 上的增函数，所以010(1)0k e k k k ->⎧⎨-≤-⨯+⎩，得112k ≤<，选：A 【变式训练】（1）（2020·内江市天立学校高一月考）已知函数20()40x a a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩，，，其中0a >，且1a ≠，若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．113⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】因为函数20()40xa a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩，，，在R 上单调递减，所以014012a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-⎩，解得113a ≤<，故选：B （2）（2020·四川泸州市·泸县五中高一月考）若函数()22313x mx f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围是__________．【解析】等价于223y x mx =+-在()1,1-上单调递增，对称轴4m x =-， 所以14m-≤-，得4m ≥．即实数m 的取值范围是[)4,+∞． （3）求函数221()2x xy -+=的单调区间．解：令22t x x =-+，则1()2t y =，且在R 上递减，由于22t x x =-+在(-∞，1]上递增，在[1，)+∞上递减，则由复合函数的单调性，可得 函数221()2x xy -+=的单调递减区间为(-∞，1]，单调递增区间为[1，)+∞．例6-2.（1）（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高二月考）函数221()2x xy -+=的值域是（ ）A ．RB ．1[,)2+∞ C ．(2,)+∞ D ．(0,)+∞【解析】令22t x x =-+，则1()2ty =，而222(1)11t x x x =-+=--+≤，所以11()22ty =≥.故选B.（2）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）当[]1,1x ∈-时，函数()32xf x =-的值域是（ ）A ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1C ．5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【解析】因为指数函数3x y =在区间[]1,1-上是增函数，所以11333x -≤≤，于是11323232x --≤-≤-即5()13f x -≤≤.故选:C . （3）（2019·四川省成都市郫都区第四中学高一月考）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. （4）（2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中）设02x ≤≤，求函数143252xx y =⋅-⨯+ 的最大值和最小值. 【解析】设2x t =，则2211135(3)(14)222y t t t t =-+=-+≤≤. ∵上述关于t 的二次函数在[1,3]上递减，在[3,4]上递增， ∵当3t =，y 取最小值12；当1t =时，即0x =时，y 取最大值52. 【变式训练】（1）（2019·泸州市·高一期中）已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域．【解析】令13Uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,225U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数，∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数，又∵()2225144U x x x =++=++≥, ∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为4110,0,381⎛⎤⎛⎫⎛⎤= ⎥ ⎪ ⎥ ⎝⎭⎝⎦⎥⎝⎦．（2）（2019·四川省阆中东风中学校高三月考）函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域是（ ）A ．RB ．()0,∞+C ．()2,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()222111x x x -=--+≤，221111222x x -⎛⎫⎛⎫∴≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D.（3）（2020·四川自贡市·高一期末）若02x ≤≤，求函数()129235x x f x -=-⨯+的最大值和最小值． 【详解】()()1221923532353x x xx f x -=-⨯+=-⨯+()()()21332023xf x x =-+≤≤,当33x =时,即1x =时取得最小值,故()()min 12f x f ==,当0x =时,10(0)3f =, 当2x =时,(2)14f = ()()(){}()max max 0,2214f x f f f ===.综上,函数()f x 最大值为14,最小值为2.（4）（2019·成都市棠湖中学高一期中）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∵[-1，1]，所以t ∵1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∵[-1，1]，所以t ∵1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13 (负值舍去).综上，a =3或a =13.故答案为: 3或13 重难点突破7 指数函数比大小、解不等式 例7-1.如图①，②，③，④，根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为（ ）A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c 【解析】由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b ），（1，a ），（1，d ），（1，c ），故有b ＜a ＜1＜d ＜c ，故选B.例7-2.（1）（2020·成都市·成都七中高三其他模拟）已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <，因为指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a <，即b <a <c .故选：A.（2）（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试）设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】先比较a ，c 的大小关系，由13y x =在R 上是增函数可得：a c >，再比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>，故选：B.【变式训练】（1）已知0.70.8a =，0.90.8b =，0.81.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c >>D.c b a >>【解析】根据指数函数的性质可知,函数0.8xy =为单调递减函数,所以00.70.910.80.80.8=>>,即1a b >>因为 1.2xy =为单调递增函数,所以0.80.211 1.2>=,即1c >综上可知, c a b >>,故选B（2）（2020·四川省高一期末）设.1084y =，0.728y =，3434y =，则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．123y y y >>【解析】()20.80.81.16224y ===，()0.70.73 2.12822y ===，()332 1.5443422y ===.因为 2.1 1.6 1.5222>>，故213y y y >>.故选：B（3）（2020·成都新津为明学校高一期中）已知 2.32.3a =， 1.92.3b =， 2.32.5c =，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >>【详解】利用指数函数的性质，可得 2.32.3a = 1.92.3b >=，又因为 2.32.3a =和 2.32.5c =，作商得， 2.32.512.3c a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，得到c a >，所以，c a b >>，故选：B例7-3.（1）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）不等式124x ->的解集是（ ） A ．{}2x x > B ．{}2x x <C ．{}3x x >D ．{}3x x <【解析】12242x ->=，12x ∴->，解得3x >，则解集是{}3x x >.故选：C .（2）（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）不等式236212()2x xx --≥的解集为________． 【解析】式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．（3）（2020·成都新津为明学校高一期中）已知函数()f x 是定义在R 的偶函数，当0x ≥时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，且(3)0f =，则不等式(25)0x f -<的解集为_______．【解析】依题意，()f x 为偶函数，由于0x ≥时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，所以()f x 在()0,∞+上递减，则()f x 在(),0-∞上递增，()()330f f -==， 所以()f x 在区间()(),33,-∞-+∞有()0f x <，故由(25)0xf -<得253x -<-或253x ->，即22x <或3282x >=， 解得1x <或3x >.所以不等式(25)0xf -<的解集为(,1)(3,)-∞+∞.【变式训练】（1）（2017·全国高一课时练习）设0<a <1，则使不等式222135x x x x a a >－＋－＋成立的x 的集合是________．【解析】01,xa y a <<∴=为减函数，222135xx xx a a -+-+>，222135x x x x ∴-+<-+，解得4x <，故使条件成立的x 的集合为(),4-∞，故答案为(),4-∞.（2）（2020·四川成都市·高一期末）已知函数()1x f x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()1124f f -=.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）解不等式()0f x >.【解析】（∵）∵()1x f x a =-（0a >，且1a ≠），∵()()()()221211f f a a a a -=---=-.由214a a -=，解得12a =.∵a 的值为12.（∵）不等式()0f x >即1102x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∵121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝.即01122x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减，∵0x <.∵不等式()0f x >的解集为(),0-∞. 重难点突破8 指数函数性质综合 例8.已知函数．（∵）判断并证明函数的奇偶性；（∵）判断并证明函数的单调性； （∵）若，求实数的取值范围．【解析】（∵）是奇函数．证明：因为函数的定义域为，),1(,)(R ∈>-=-x a aa x f xx()f x ()f x 0)1()1(2<-+-t f t f t ()f x ()f x R又，所以是奇函数．（∵）函数为上的增函数．证明：任取，则．因为，所以，又，所以，，所以．所以函数为上的增函数．（∵）由，可得．由函数是奇函数，可得．又为上的增函数，所以，即解得 ，或．【变式训练】（1）已知函数11x x a f x a -=+()，其中0a ＞，且1a ≠.（1）判断f x ()的奇偶性，并证明你的结论； （2）当1a ＞时，求证：f x （）在R 为增函数. 【解析】（1）f x ()为奇函数.证明如下：由11x x a f x a -=+()，x R ∈，得1111111111xx x x x x xxx xa a a a a f x f x a a a a a -------=====-++++()()，即对任意的x R ∈， 都有f x f x -=-()()，所以f x ()为奇函数.（2）当1a ＞时，设1x ，2x R ∈，且12x x ＜，则12xxa a ＜，从而1212121111x x x x a a f x f x a a ---=-++()()1221121212111101111x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+--+-==++++＜()()()()2()()()()()， 所以12f x f x ＜()()，故f x （）在R 上为增函数.()()f x f x -=⋅⋅⋅=-()f x ()f x R +∞<<<∞-21x x 2211)()(21x x x x a a a ax f x f --+--=-)()(1221x x x x a a a a ---+-=21x x <21x x ->-1>a 21x x a a <12xx a a --<)()(21x f x f <()f x R 0)1()1(2<-+-t f t f )1()1(2t f t f --<-()f x )1()1(2-<-t f t f ()f x R 112-<-t t 022>-+t t 2-<t 1>t（2）（2020·成都七中万达学校高一月考）函数()(0,1)xf x a a a =>≠，(2)4(1)4f f -=-.（1）求a 的值；（2）若(32)(25)f m f m -<+，求实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意(2)4(1)4f f -=-，则244a a -=-，解得2a =，综上：2a =. （2）由（1）知()2x f x =，则()f x 是R 上的增函数，因为(32)(25)f m f m -<+则3225m m -<+，解得7m <，综上所述，结论是：(),7m ∈-∞三、课堂定时训练（45分钟）1．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】很显然，均大于1；与的交点在与的交点上方， 故，综上所述:.故选:C. 2.（2019·安徽高三高考模拟（文））函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选：A3．设0a ＞，且1a ≠，则指数函数x y a =与一次函数y x a =-+的图象可能是（ ） Cx y a =xy b=1a b <<1b a <<1a b >>1b a >>a b xy a =1x =xy b =1x =b a <1a b >>【解析】由题意知，当a 变化时，指数函数x y a =的图象过定点01(,)．若1a ＞，则指数函数x y a =在R 上递增，一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点0a (,)在点01(,)的上方，与x 轴的交点0a (,)在x 轴正半轴，A 符合，B 不合题意．若01a ＜＜，则指数函数x y a =在R 上递减，一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点在原点与点01(,)之间，与x 轴的交点在x 轴正半轴，C 、D 均不合题意．故选A ． 4.（2019·云南高三高考模拟（文））已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解析】因为在R 上递减，且，所以.又因为在R 上递增，且 ，所以 .所以.故选：D.5．若2233x y x y ----＜，则（ ）A ．x y ＜B ．x y ＞C ．||1x y -＞D ．||1x y -＜【解析】由2233x y x y ----＜，得2323x x y y ----＜，令23ttf t -=-()，因为2ty =为R上的增函数，3ty -=为R 上的减函数，所以f t ()为R 上的增函数，所以x y ＜，则A 正确，B 错误；，因为x y -与1的大小不能确定，故C 、D 无法确定．故选A ．7．已知函数2222x xxf x -=++()的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．【解析】设222x x x g x -=+()，由222222x x x x x xg x g x ------==-=-++()()()()()知， g x ()是奇函数，所以max min 0g x g x +=[()][()]，所以max min 22404M m g x g x +=+++=+=[()][()]．8.已知函数()()()210120xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则该函数是（ ） A ．偶函数，且单调递增 B ．偶函数，且单调递减 C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减【详解】当0x =时，(0)0f =；当0x >时，0x -<，所以()12()xf x f x --=-=-；当0x <时，0x ->，所以()21()xf x f x -=-=-；所以()()f x f x -=-，所以函数是奇函数.当0x ≥时，()21xf x -=-，由复合函数的单调性原理得函数单调递减，由奇函数的性质得函数在R 上单调递减.故选：D9．函数()()21121012211x x ax x f x a a a x ⎧-+<⎪=>≠⎨⎪-≥⎩且是R 上的减函数，a 取值范围是（ ） A ．1223⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．213⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【详解】由题得22112201112122a x a a a a -⎧=-=≥⎪⨯⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥-⎪⎪⎩，解之得1223a ≤≤.故选：C10．（改编自2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数（且）的图象恒过定点，则 ， ______．3x my a n -=+-0a >1a ≠(3,2)m =n =【解析】∵函数（且）的图象恒过定点，令，可得，，可得函数的图象经过定点.再根据函数的图象经过定点，∴，，解得，.11.已知函数，为常数，且函数的图象过点．（1）求的值；（2）若，且，求满足条件的的值．【解析】（1）由已知得，解得．（2）由（1）知，又，则，即，即， 令，则，即， 又，故，即，解得 ．12．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数()(0,1)x xf x a a a a -=->≠.（1）若11221()32f a a -=+=，求22a a -+的值.（2）若3(1)2f =，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设22()2()x xg x a a mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m .【解析】（1）由题意知11223a a -+=，可得112122()29a a a a --+=++=，可得17a a -+=，又由1222(249a a a a--+=++=），可得2247a a -+=.（2）由函数()x xf x a a -=-，且3(1)2f =，可得132a a -=， 整理得22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去）， 3x my an -=+-0a >1a ≠0x m -=x m =2y n =-(),2m n -()3,23m =22n -=3m =4n =()12axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ()1,2-a ()42xg x -=-()()g x f x =x 122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭1a =()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()g x f x =1422xx -⎛⎫-= ⎪⎝⎭112042x x⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭220t t --=()()210t t -+=0t >2t =122x⎛⎫= ⎪⎝⎭1x =-所以函数()f x 的解析式为()22x x f x -=-.（3）由（2）知()22x x f x -=-，得()2222()2()22222x x x x x x g x a a mf x m ---=+-=+--()()2222222x x x x m --=---+， 令()22x x t f x -==-，可得222()22()2h t t mt t m m =-+=-+-，又由函数()22x x f x -=-为增函数，因为1x ≥，所以3(1)2t f ≥=，当32m ≥，当t m =时，2min ()21h t m =-=-，即m =m =，当32m <，当32t =时，min 17()314h t m =-=-，解得7342m =>，舍去.综上可知m =. 13.（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数()42+=x xb f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ，∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ， 又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,.。
指数型复合函数的性质及应用练习
指数型复合函数的性质及应用练习一、选择题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分，）1. 若函数f(x)=ax2+bx+2019x2在区间[2019, 2020]上的最大值是M，最小值是m，则M−m() A.与a无关，但与b有关 B.与a无关，且与b无关C.与a有关，但与b无关D.与a有关，且与b有关2. 已知a>1，f(x)=a x2+2x，则使f(x)<1成立的一个充分不必要条件是（）A.−2<x<0B.−1<x<0C.−2<x<1D.−1<x≤03. 函数y=21x2+1的值域为()A.(1,2]B.(0,2]C.(−∞,2]D.[1,2]4. 函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是( )A.a≤−4B.a≤−2C.a≥−2D.a>−45. “ab=4”是“直线2x+ay−1=0与直线bx+2y−2=0平行”的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.必要而不充分条件二、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分，）6. 已知定点O(0, 0)，A(3, 0)且|MO|＝2|MA|，则动点M的轨迹方程________．7. 函数y=(13)1+2x−x2的单调递减区间是________；值域是________.8. 已知函数f(x)=a x+b(a>0, a≠1)的定义域和值域都是[−1, 0]，则a+b=________．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分，）9. 已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x,且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式；(2)求函数y=(116)f(x)的值域.10. 已知函数f(x)=(12)x2−2x−1.(1)求定义域；(2)求单调区间；(3)求其值域.11. 已知函数f(x)=−a 2x −2a x +1(a >1).(1)求函数f(x)的值域；(2)若x ∈[−2, 1]时，函数f(x)的最小值为−7，求a 的值．12. 已知：函数g(x)＝ax 2−2ax +1+b(a ≠0, b <1)，在区间[2, 3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)x ．（1）求a 、b 的值及函数f(x)的解析式；（2）若不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1, 1]时恒成立，求实数k 的取值范围．13. 已知向量a →,b →满足a →=(2sin x,sin x),b →=(cos x,2√3sin x)，函数f(x)=a →⋅b →−√3(x ∈R)． (Ⅰ)求f(x)在x ∈[0,π2]时的值域；(Ⅱ)等比数列{a n }满足a 1=f(5π12)，且a 2，a 3+2，a 4成等差数列．若b n =2n−74a n (n ∈N ∗)，求数列{b n }的最大项．参考答案一、 选择题1.A2.B3.A4.C5.C二、 填空题6.(x −4)2+y 2＝47.(−∞,1],[19,+∞)8.−32 三、 解答题9.解：(1)设二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)， ∵ f(0)=1，∴ c =1，∴ f(x)=ax 2+bx +1， 又∵ f(x +1)−f(x)=[a(x +1)2+b(x +1)+1]−[ax 2+bx +1] =2ax +a +b =2x ，∴ 2a =2且a +b =0，∴ a =1，b =−1，∴ f(x)=x 2−x +1；(2)y =(116)x 2−x+1，令t =x 2−x +1,则t ≥34，又y =(116)t 在R 上单调递减， 0<y ≤(116)34，故函数 y =(116)x2−x+1 的值域为 (0,18]. 10.解：(1)∵ 函数f(x)=(12)x2−2x−1对任意实数都有意义， ∴ f(x)的定义域为R .(2)由(1)得函数f(x)=(12)x 2−2x−1的定义域为R ，令t =x 2−2x −1，则y =f(x)=(12)t ，∵ t =x 2−2x −1=(x −1)2−2，∴ t =x 2−2x −1在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数. 又y =(12)t 为减函数，∴ 函数f(x)=(12)x 2−2x−1的单调递增区间为(−∞,−1)，单调递减区间为(1,+∞).(3)由(1)得函数f(x)=(12)x 2−2x−1的定义域为R ，令t =x 2−2x −1，则y =f(x)=(12)t ， ∵ t =x 2−2x −1=(x −1)2−2∈[−2,+∞)， 即函数f(x)=(12)x2−2x−1的值域为(0,4].11.解：(1)令t =a x >0，∴ f(x)=g(t)=−t 2−2t +1=−(t +1)2+2， ∵ t >0，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，∴ g(t)<g(0)=1，∴ 函数f(x)的值域为(−∞, 1).(2)∵ a >1，∴ x ∈[−2, 1]时，t =a x ∈[a −2, a]， ∵ f(x)=g(t)=−t 2−2t +1=−(t +1)2+2，a −2>0， ∴ 函数f(x)在[a −2, a]上单调递减，∴ t =a 即x =1时，函数f(x)取得最小值， ∴ −(a +1)2+2=−7，∴ (a +1)2=9，∴ a =2或−4（舍去），所以a =2．12.由于二次函数g(x)＝ax 2−2ax +1+b 的对称轴为x ＝1， 由题意得：{a >0g(2)=1+b =1g(3)=3a +b +1=4，解得{a =1b =0 ． 或{a <0g(2)=1+b =4g(3)=3a +b +1=1，解得{a =−1b =3>1 ．（舍去） ∴ a ＝1，b ＝0．故g(x)＝x 2−2x +1，f(x)=x +1x −2． 不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0，即2x +12x −2≥k ⋅2x ，∴ k ≤(12x )2−2⋅(12x )+1． 在x ∈[−1, 1]时，设t =12x ∈[12,2]，∴ k ≤(t −1)2， 由题意可得，函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，故t ≠1，即 12≤t ≤2，且t ≠1．∵ (t −1)min 2>0，∴ k ≤0，即实数k 的取值范围为(−∞, 0]．13.（1）∵ a →=(2sin x,sin x),b →=(cos x,2√3sin x)， ∴ f(x)=a →⋅b →=sin 2x +√3(2sin 2x −1)=sin 2x −√3cos 2x =2sin (2x −π3)， 当x ∈[0,π2]时，2x −π3∈[−π3,2π3]，∴ sin (2x −π3)∈[−√32,1]． 即f(x)的值域为[−√3,2]；（2）设数列{a n}的公比为q，则由条件得：a1=f(5π12)=2，2(a3+2)＝a2+a4，则2(2q2+2)＝2q+2q3，∵1+q2>0，解得：q＝2，∴a n=2n．故b n=2n−72n+2，n∈N∗，由b n+1−b n=2n−52n+3−2n−72n+2=9−2n2n+3，得当9−2n>0，可得n≤4时，有b1<b2<b3<b4<b5；当9−2n<0，可得n≥5时，有b5>b6>b7>…．∴数列{b n}的最大项为b5=3128．。
2016年专项练习题集-指数型复合函数的性质与应用
2016年专项练习题集-指数型复合函数的性质与应用介绍：函数是高中数学的核心内容之一，它贯穿整个高中数学课程的始终。
在每年的高考题中占据非常重要的地位，而且经常与其它知识点结合。
选择题1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141－x的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞) C.[41，＋∞)D ．(41，＋∞) 【分值】5 【答案】A【考查方向】本题主要考查指数函数与一次函数的复合。
高考题中经常出现，它既可以考查复合函数也可以考查函数图像的变换。
.【易错点】指数函数是以x 轴为渐进线的所以函数值取不到0. 【解题思路】先把指数部分换元，然后用指数函数的图像求解. 【解析】设t =1-x .因为x ∈R,所以t ∈R 。
由指数函数y=t)(41的图像得y ∈(0，＋∞)2．函数f (x )＝a x +1＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(-1，1)B ．(1，1)C ．(0，1)D ．(2，1) 【分值】5 【答案】A【考查方向】本题主要考查指数函数过固定点的性质.【易错点】直接把指数中的常数当固定点坐标或直接令指数函数值为0. 【解题思路】令真数的值为0求出固定点横坐标，再代入函数求纵坐标. 【解析】∵a 0＝1，∴f (-1)＝1，故f (x )的图象必过点(-1，1).3．已知1221-=x x f )()(。
“x ＞1”是“)(x f ＜1”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【分值】5 【答案】B【考查方向】该题主要考察指数函数的单调性和充分条件必要条件. 在近几年的各省高考题中几乎每年都会考到【易错点】用指数函数单调性解指数不等式正确构造同底幂.【解题思路】直接构造同底对数解不等式)(x f ＜1，再判定充要关系.【解析】)(x f ＜1即 0121212)()(<-x根据所涉及指数函数是R 上的减函数得012>-x从而得到1>x 或1-<x由此得到“x ＞1”是“)(x f ＜1”的充分不必要条件4．如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时f (x )＝x2121-)(，那么函数f (x )在[－1，0]上的最大值与最小值之和为( )A ．85B ．721 C ．821 D ．10 【分值】5 【答案】D【考查方向】本体主要考查指数型函数的单调性与最值. 在近几年各省的高考题中几乎每年都会出现，需要高度重视。
指数型与对数型复合函数讲义-高一上学期数学北师大版必修第一册
章节专题 指数型与对数型复合函数复合函数的定义设)(),(x g u u f y ==，当x 在)(x g u =的定义域内变化时，)(x g u =的值在)(u f y =的定义域内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为))(()(x g f u f y ==，称其为复合函数，其中x 为自变量，u 为中间变量，y 为函数值。
复合函数增减性的判定：同增异减.设复合函数[()]=y f g x ，A 是[()]=y f g x 定义域的某个区间，B 是()=u g x 的值域： ①若()=u g x 在A 上是增(或减)函数，()=y f u 在B 上也是增(或减)函数，则函数[()]=y f g x 在A 上是增函数；②若()=u g x 在A 上是增(或减)函数，而()=y f u 在B 上是减(或增)函数，则函数[()]=y f g x 在A 上是减函数.考点一 复合函数的单调性[典例1]．求下列函数的单调区间（1）)124(log 221-+=x x y（2）2log 2)(log 4.024.0+-=x x y（3）342)31(+--=x x y考点二 复合函数的值域[典例2]．函数82),21)(log 2(log 42≤≤--=x x x y（1）令x t 2log =，求y 关于x 的函数关系式，并写出t 的范围.（2）求该函数的值域[典例3]．已知函数1()4226x x f x +=-⋅-，（1）求不等式()26f x >的解集；（2）若实数a 使得对[0,3],()0x f x a ∀∈-≥恒成立，求a 的取值范围．课后练习1、若log (2)=-a y ax 在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是_________2、若函数()2()log 36=-+-a f x x ax a 在[2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是_________3.若函数y ＝log 2()x 2－ax ＋3a 在(2，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（－∞，4] B ．(－∞，4)C ．（－4，4]D ．[－4，4] 4.(2021﹒松山区校级三模）函数y ＝log 12()x 2＋2x －3的单调递减区间是________． 5.已知函数f (x )=-4x +k ·2x +1-2k ，[]0,1x ∈. （1）当k =-1时，求f (x )的值域;（2）若f (x )的最大值为34-，求实数k 的值.。
指数型复合函数的奇偶性与单调性
当 ∈ ｆ — １ ， ＋ 一 ） 时 ， ｇ （ ） 为 增 函 数 。
， １ 、
所 以， （ ｚ ） 一 （ ＋ 专 ） ‘ ｚ 。 为 偶
函数 。
而指数函 数ｆ （ ｕ ） 一（ 寺）是减函 数，
根据 复 合 函数 的单 调 性 知 ： ｆ（ ｚ）一
（ ３ ） 证明： 当ｚ ＞ｏ 时， ２ ＞ｌ ， ２ —ｌ ＞ｏ 。
（ ２ ） 讨 论 ｆ（ ｚ） 的奇偶 性 ；
（ ３ ） 证明： ｆ（ ｘ） ＞ Ｏ。 分析： 对 于 ｆ（ ｚ） 一 ｇ（ ）・ （ ｚ） 的 奇 偶 性 ， 可 以 先 判 断 ｇ（ ｚ） 与 （ ｚ） 的奇 偶性 ， 然 后 根据： 奇 ×奇 一 偶 ， 偶 ×偶 一偶 ， 奇 Ｘ偶 一 奇 ， 得 出 ｆ（ ｚ） 的奇偶性 。 解： （ １ ） 由题 意 得 ２ 一 １ ｒ ｅ ０， 即 ｚ≠ ０ 。
例１ 求函数厂 （ ） 一ｆ
、
的单调增
所以， ｚ 的定义域为 一。 。 ， ｏ ） ｕ‘ ｏ ，
＋ ∞ ）。
区间 。
（ ２ ） 由（ １ ） 知 ｆ（ ） 的定 义 域 为 （ 一一
，
Ｏ）
分析 ： 原 函数可 看成 由指数 函数 － 厂（ “） 一
Ｕ（ Ｏ ＋ｏ 。 ） ， 关 于原 点对 称 。
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学 习研 究 版 ２ ０ １ ６年 第 １ ２期
指 数 型 复合 函数 的奇 偶 性 与 单调 性
■ 赵 万 里
函数 的单 调性 与奇偶 性是 两 个 常考 的性
（ １ ） 求 ｆ（ － ｚ ） 的定 义 域 ；
《指数型复合函数单调性》专题
《指数型复合函数单调性》专题2014年（ ）月（ ）日 班级： 姓名不必每分钟都学习，但求学习中每分钟都有收获。
图像特征 函数性质x y a = (1,0≠>a a 且)图像都位于x 轴 方x 取任何实数时，都有x a 0函数图象都经过点（ ， ） 无论a 取任何正数时，总有0___a =图像m 在第一象限内的纵坐标都 1； 在第二象限内的纵坐标都 。
图像n 正好相反，第一象限内的纵坐标都 ； 在第二象限内的纵坐标都 1；。
当1a >时，当0x >时，___1x a ，当0x <时，0______1xa ； 当01a <<时，当0x >时，0______1x a ， 当0x <时，___1xa 。
1．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.1>a B.2<a C.a<2 D.1<2<a2．已知x ＞0，函数y=(a 2－8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是______． 3．函数y =3|x |的单调递增区间是________． 函数y =3-|x |的单调递增区间是________．【探究复合函数单调性】求函数22x y =的单调区间。
我们发现：22x y =可以看做：y ＝2u 且2u x =复合而成，我们把这种函数称为复合函数【规律】当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
“同增异减”求函数y ＝212x ⎛⎫⎪⎝⎭的单调区间。
求函数y ＝2212x x-⎛⎫⎪⎝⎭的单调区间。
求函数y ＝2212x x-⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域。
求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 的单调区间.求函数2222++-=x x y 的定义域，值域和单调区间【类型三】指数型函数的求定义域及值域问题求下列函数的定义域：y = 11()2x y = y ＝23－xy ＝32x ＋1 y ＝（21）5xy ＝x 17.0求下列函数的定义域与值域. y =y ＝231-x ; y ＝4x +2x+1+1.。
指数和对数的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题
信号处理
在信号处理中，指数和对数的复合函数被用来进行 信号的调制和解调，以及滤波和频谱分析等操作。
控制工程
在控制工程中，指数和对数的复合函数可以 用来描述系统的动态响应和稳定性，以及进 行系统分析和设计。
THANKS
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偶函数与偶函数的复合仍为偶函 数。
03
CATALOGUE
指数和对数的复合函数的最值问题
最值的定义
最值定义
函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值点
函数取得最值的点。
端点值
函数在区间端点的函数值。
求最值的方法
导数法
通过求导找到函数的极值点，然后比较极值点和端点 值，确定最大值和最小值。
不等式法
利用不等式性质，通过比较函数在不同点的函数值来 求最值。
导数法
通过求导数并判断导数的正负来判断函数的单调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0 ，函数单调递减。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如果任意两点之间的函数值满足递增或递减关 系，则函数在该区间内单调。
复合函数的单调性
同增异减：如果内外层函数单调性相 同（都递增或都递减），则复合函数 单调递增；如果内外层函数单调性不 同，则复合函数单调递减。
判断复合函数单调性的关键则进行判断。
02
CATALOGUE
指数和对数的复合函数的奇偶性
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函 数。
VS
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数 。
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