专题05 指数与指数函数及其复合函数题型归纳

专题05 指数与指数函数及其复合函数综合问题一、学法指导与考点梳理重难点一 根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 重难点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q. 重难点三 指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质二、重难点题型突破重难点突破1 指数与指数幂运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n3.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1) 4.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)5.幂的运算性质（1）s r a a ＝s r a +a (＞0，r ，s ∈Q )；（2）sr a )(＝rs a a (＞0，r ，s ∈Q )； （3）rab )(＝rr b a a (＞0，r ，s ∈Q )．例1-1．（1）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56a a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【解析】对于A 0a ，而当0a <时，56a 无意义，故A 错误；对于B ，当0x <时，24x =B 错误；对于C ，31332224()b b ==，故C 错误．对于D ，52()a b --===D 正确．故选：D ．（2）．（2019秋•凌源市月考）已知0a >( )A ．712aB ．512a C ．56a D ．13a【解析】原式1151532622212a a a aa ⨯====．故选：B ．（3）．2019秋•鸠江区校级期中）（121xy xy -；（21327()8--++【变式训练1】 计算：（2020·成都七中万达学校高一月考）1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭=_____________.【解析】由幂的运算法则及根式意义可知，1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭111131-233333443222=+22+23-=24272333（）（）（）（）⨯⨯++⨯-110= ，故填110. 【变式训练2】（2019·四川成都市·石室中学高一月考）（1）化简()3212332140.1a b--⎛⎫⋅⎪⎝⎭（2）2019·四川成都市·成都外国语学校）（2）13231442--⎛⎫⎛⎫++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （1）1323122214446212--⎛⎛⎫++⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=【详解】（1）原式()311223322333321222221181161620010100a b a b a ba b ------⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⋅=⋅； （2）132312221444621--⎛⎛⎫++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=例1-2.（2019秋•越秀区校级月考）已知12x y +=，9xy =且x y <，求11221122x y x y-+的值．【解析】11221122x y x y-==+．①12x y +=，9xy =，②222()()41249108x y x y xy ∴-=+-=-⨯=．又x y <，x y ∴-=-=．【变式训练1】（1）（2019·四川成都市·石室中学高一月考）设3312x x +=，求1x x +的值.（2）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）化简求值：已知1122x x-+=，求22145x x x x --+++-的值.【解析】（1）由3312x x +=可得6312x x +=，即()2310x -=，解得1x =， 因此，1112x x+=+=. （2）因为1122x x -+=125x x -++=，即13x x -+=，所以2229x x -++=，即227x x -+=，所以221474115352x x x x --+++==-+--. 【变式训练2】（1）（2019·成都市·成都外国语高一期中）已知11223a a -+=，求332222a a a a --++值. 【解析】因为11223a a -+=，两边同时平方可得129a a -++=所以17a a -+=，由立方和公式及完全平方公式化简可得332222a a a a --++()()111222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+-()()2371184772⨯-==- （2）（2019·成都市·树德中学高一开学考试）已知232a =+11133a a a a--++的值【解析】设则， .重难点突破2 指数函数的概念例2.（2019·眉山外国语学校高一期中）函数y=（a 2–3a+3）•a x 是指数函数，则a 的值为___________．【解析】由题意得：a 2–3a+3=1，即（a–2）（a–1）=0，解得a=2或a=1（舍去），故答案为2． 【变式训练】（2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中）若函数y =(a 2-3a +3)a x 是指数函数，则（ ） A a ＞1且a ≠1B a ＝1C a ＝1或a ＝2D a ＝2【答案】D重难点突破3 指数函数的图像例3-1.（1）（2019·眉山外国语学校高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠图像可能是（ ）． A ．B ．C ．D ．【解析】∵0a >，∵10a>，∵函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∵101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∵11a>，所以排除C ，故选D.（2）（2020·四川成都市·成都七中高一月考）设0a >且1,a ≠则函数xy a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】对A ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的1a >，不能统一，错误； 对B ，y b ax =-中的0,1a b ><-，xy a b =+中的0,10a b >-<<，不能统一，错误；对C ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的10,01b a -<<<<，正确；对D ，y b ax =-中的1b <-，xy a b =+中的10b -<<，不能统一，错误；故选：C. （3）（2019·四川成都市·石室中学高一开学考试）若函数()()101xy a b a a =-+>≠且的图象经过第一、三、四象限，则有（ ）A ．1a >，且1b <B ．1a >，且0b >C ．01a <<，且0b >D ．01a <<，且0b <【解析】由题意,画出图象如图,由单调性可知,1a >,当0x =时,0,0y b b =-,选B.（4）（2020·成都市·成都外国语学校高一期中）函数2121xy =+-的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】令()22112121x x xf x +=+=--， 得函数的定义域为{}0x x ≠，()()21122112x xx xf f x x --++--==--=， 则()f x 为奇函数，所以排除B C ；当0,21210x xx >>⇒->，则1y >，所以排除A ；故选：D.【变式训练】（1）（2019·四川凉山彝族自治州·高一期末）已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()xg x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()xg x a b =+为增函数，(0)10g b =+>，()g x 过定点(0,1)b +，故选：C .（2）（2020·四川省武胜烈面中学校高一月考）函数xy a b =+部分图象如图所示，则（ ）A ．01,10a b <<-<<B ．01,01a b <<<<C ．1,10a b >-<<D ．1,01a b ><<【解析】由题,函数图象恒过点()0,1b +,由图象可得011b <+<,即10b -<<, 显然,函数单调递减,所以01a <<,故选:A（3）（2019·四川成都市·双流中学高一期中）已知a ＞1，则函数y =a x 与y =（a -1）x 2在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【详解】∵a ＞1，∵函数y =a x 为增函数，函数y =（a -1）x 2在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．故选：A ．（4）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）函数x y a = (0a >且1a ≠)与函数()212y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】当1a >时，函数xy a =为增函数；函数()212y a x x =--图象的开口向上，对称轴为101x a =>-，且与y 轴的交点为(0,0)，排除B ． 当01a <<时，函数xy a =为减函数；函数()212y a x x =--图象的开口向下，对称轴为101x a =<-，与y 轴的交点为(0,0)，排除C,D ，故A 正确．选A ． 例3-2.（恒过定点问题）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）若函数22x y a +=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过一定点P ，则P 的坐标为（ ） A ．()0,1B ．()2,1-C ．()2,2-D ．()2,3-【解析】∵当2x =-时，此时2220=1x a a a +-+==，即函数值023y a =+=，∵定点P 的坐标为()2,3-，故选：D.【变式训练】（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数2020()2(01)x f x a a a -=+>≠,的图像必经过定点__________.【解析】令20200x -=，解得2020x =，则0()23f x a =+=，所以()f x 的图像必经过定点（2020，3），故答案为：（2020，3）重难点突破5 指数函数的定义域例5.（1）（2019·四川成都市·棠湖中学高一期末）函数y =_______．【解析】由二次根式有意义，得：420x -≥，即2242x ≤=，因为2xy =在R 上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：(,2]-∞（2）（2020·全国高三专题练习（理））已知函数f (x )的定义域是(1，2)，则函数f (2x )的定义域是（ ）A ．(0，1)B ．(2，4)C ．(12，1) D ．(1，2)【解析】∵f (x )的定义域是(1，2)，∵1＜2x ＜2，即20＜2x ＜21，∵0＜x ＜1.故选:A .【变式训练】（1）（2020·全国高一课时练习）函数()f x = ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞【解析】使函数有意义，需210x -≥，即为21x ≥，得0x ≥，则定义域为[0,)+∞.选：A. （2）（2020·全国高一课时练习）函数()121x f x =-的定义域是________. 【解析】由210x -≠，得0x ≠，故函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.故答案为：(,0)(0,)-∞+∞重难点突破6 指数函数的单调性与最值例6-1.（1）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()2,+∞【解析】令()232t x x x =-+，则1()2t y =，1()2ty =在t R ∈上单调递减，所以本题即求函数()t x 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质可得函数()t x 在定义域内的减区间为3(,)2-∞，函数23212x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递增区间为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A （2）（2020·攀枝花市第十五中学校高一期中）若函数242axxy -=在[﹣2，+∞）上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1]{0} B ．[﹣1，0]C ．（﹣1，0]D ．[﹣1，2]【解析】当0a =，41162xxy -⎛=⎫= ⎪⎝⎭，由指数函数的单调性 可知函数在[﹣2，+∞）上为减函数，满足题意；当0a <，只需满足()24f x ax x =-在[﹣2，+∞）上为减函数，即4212a a≤-⇒≥-，即10a -≤< ，综上，[]1,0a ∈-.故选：B（3）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）已知函数()(),01,0x e k x f x k x k x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112k ≤< B ．112k << C ．1k < D ．1k ≤【解析】因为()f x 是在R 上的增函数，所以010(1)0k e k k k ->⎧⎨-≤-⨯+⎩，得112k ≤<，选：A 【变式训练】（1）（2020·内江市天立学校高一月考）已知函数20()40x a a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩，，，其中0a >，且1a ≠，若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．113⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】因为函数20()40xa a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩，，，在R 上单调递减，所以014012a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-⎩，解得113a ≤<，故选：B （2）（2020·四川泸州市·泸县五中高一月考）若函数()22313x mx f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围是__________．【解析】等价于223y x mx =+-在()1,1-上单调递增，对称轴4m x =-， 所以14m-≤-，得4m ≥．即实数m 的取值范围是[)4,+∞． （3）求函数221()2x xy -+=的单调区间．解：令22t x x =-+，则1()2t y =，且在R 上递减，由于22t x x =-+在(-∞，1]上递增，在[1，)+∞上递减，则由复合函数的单调性，可得 函数221()2x xy -+=的单调递减区间为(-∞，1]，单调递增区间为[1，)+∞．例6-2.（1）（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高二月考）函数221()2x xy -+=的值域是（ ）A ．RB ．1[,)2+∞ C ．(2,)+∞ D ．(0,)+∞【解析】令22t x x =-+，则1()2ty =，而222(1)11t x x x =-+=--+≤，所以11()22ty =≥.故选B.（2）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）当[]1,1x ∈-时，函数()32xf x =-的值域是（ ）A ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1C ．5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【解析】因为指数函数3x y =在区间[]1,1-上是增函数，所以11333x -≤≤，于是11323232x --≤-≤-即5()13f x -≤≤.故选:C . （3）（2019·四川省成都市郫都区第四中学高一月考）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. （4）（2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中）设02x ≤≤，求函数143252xx y =⋅-⨯+ 的最大值和最小值. 【解析】设2x t =，则2211135(3)(14)222y t t t t =-+=-+≤≤. ∵上述关于t 的二次函数在[1,3]上递减，在[3,4]上递增， ∵当3t =，y 取最小值12；当1t =时，即0x =时，y 取最大值52. 【变式训练】（1）（2019·泸州市·高一期中）已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域．【解析】令13Uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,225U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数，∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数，又∵()2225144U x x x =++=++≥, ∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为4110,0,381⎛⎤⎛⎫⎛⎤= ⎥ ⎪ ⎥ ⎝⎭⎝⎦⎥⎝⎦．（2）（2019·四川省阆中东风中学校高三月考）函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域是（ ）A ．RB ．()0,∞+C ．()2,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()222111x x x -=--+≤，221111222x x -⎛⎫⎛⎫∴≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D.（3）（2020·四川自贡市·高一期末）若02x ≤≤，求函数()129235x x f x -=-⨯+的最大值和最小值． 【详解】()()1221923532353x x xx f x -=-⨯+=-⨯+()()()21332023xf x x =-+≤≤,当33x =时,即1x =时取得最小值,故()()min 12f x f ==,当0x =时,10(0)3f =, 当2x =时,(2)14f = ()()(){}()max max 0,2214f x f f f ===.综上,函数()f x 最大值为14,最小值为2.（4）（2019·成都市棠湖中学高一期中）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∵[-1，1]，所以t ∵1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∵[-1，1]，所以t ∵1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13 (负值舍去).综上，a =3或a =13.故答案为: 3或13 重难点突破7 指数函数比大小、解不等式 例7-1.如图①，②，③，④，根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为（ ）A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c 【解析】由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b ），（1，a ），（1，d ），（1，c ），故有b ＜a ＜1＜d ＜c ，故选B.例7-2.（1）（2020·成都市·成都七中高三其他模拟）已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <，因为指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a <，即b <a <c .故选：A.（2）（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试）设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】先比较a ，c 的大小关系，由13y x =在R 上是增函数可得：a c >，再比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>，故选：B.【变式训练】（1）已知0.70.8a =，0.90.8b =，0.81.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c >>D.c b a >>【解析】根据指数函数的性质可知,函数0.8xy =为单调递减函数,所以00.70.910.80.80.8=>>,即1a b >>因为 1.2xy =为单调递增函数,所以0.80.211 1.2>=,即1c >综上可知, c a b >>,故选B（2）（2020·四川省高一期末）设.1084y =，0.728y =，3434y =，则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．123y y y >>【解析】()20.80.81.16224y ===，()0.70.73 2.12822y ===，()332 1.5443422y ===.因为 2.1 1.6 1.5222>>，故213y y y >>.故选：B（3）（2020·成都新津为明学校高一期中）已知 2.32.3a =， 1.92.3b =， 2.32.5c =，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >>【详解】利用指数函数的性质，可得 2.32.3a = 1.92.3b >=，又因为 2.32.3a =和 2.32.5c =，作商得， 2.32.512.3c a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，得到c a >，所以，c a b >>，故选：B例7-3.（1）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）不等式124x ->的解集是（ ） A ．{}2x x > B ．{}2x x <C ．{}3x x >D ．{}3x x <【解析】12242x ->=，12x ∴->，解得3x >，则解集是{}3x x >.故选：C .（2）（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）不等式236212()2x xx --≥的解集为________． 【解析】式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．（3）（2020·成都新津为明学校高一期中）已知函数()f x 是定义在R 的偶函数，当0x ≥时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，且(3)0f =，则不等式(25)0x f -<的解集为_______．【解析】依题意，()f x 为偶函数，由于0x ≥时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，所以()f x 在()0,∞+上递减，则()f x 在(),0-∞上递增，()()330f f -==， 所以()f x 在区间()(),33,-∞-+∞有()0f x <，故由(25)0xf -<得253x -<-或253x ->，即22x <或3282x >=， 解得1x <或3x >.所以不等式(25)0xf -<的解集为(,1)(3,)-∞+∞.【变式训练】（1）（2017·全国高一课时练习）设0<a <1，则使不等式222135x x x x a a >－＋－＋成立的x 的集合是________．【解析】01,xa y a <<∴=为减函数，222135xx xx a a -+-+>，222135x x x x ∴-+<-+，解得4x <，故使条件成立的x 的集合为(),4-∞，故答案为(),4-∞.（2）（2020·四川成都市·高一期末）已知函数()1x f x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()1124f f -=.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）解不等式()0f x >.【解析】（∵）∵()1x f x a =-（0a >，且1a ≠），∵()()()()221211f f a a a a -=---=-.由214a a -=，解得12a =.∵a 的值为12.（∵）不等式()0f x >即1102x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∵121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝.即01122x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减，∵0x <.∵不等式()0f x >的解集为(),0-∞. 重难点突破8 指数函数性质综合 例8.已知函数．（∵）判断并证明函数的奇偶性；（∵）判断并证明函数的单调性； （∵）若，求实数的取值范围．【解析】（∵）是奇函数．证明：因为函数的定义域为，),1(,)(R ∈>-=-x a aa x f xx()f x ()f x 0)1()1(2<-+-t f t f t ()f x ()f x R又，所以是奇函数．（∵）函数为上的增函数．证明：任取，则．因为，所以，又，所以，，所以．所以函数为上的增函数．（∵）由，可得．由函数是奇函数，可得．又为上的增函数，所以，即解得 ，或．【变式训练】（1）已知函数11x x a f x a -=+()，其中0a ＞，且1a ≠.（1）判断f x ()的奇偶性，并证明你的结论； （2）当1a ＞时，求证：f x （）在R 为增函数. 【解析】（1）f x ()为奇函数.证明如下：由11x x a f x a -=+()，x R ∈，得1111111111xx x x x x xxx xa a a a a f x f x a a a a a -------=====-++++()()，即对任意的x R ∈， 都有f x f x -=-()()，所以f x ()为奇函数.（2）当1a ＞时，设1x ，2x R ∈，且12x x ＜，则12xxa a ＜，从而1212121111x x x x a a f x f x a a ---=-++()()1221121212111101111x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+--+-==++++＜()()()()2()()()()()， 所以12f x f x ＜()()，故f x （）在R 上为增函数.()()f x f x -=⋅⋅⋅=-()f x ()f x R +∞<<<∞-21x x 2211)()(21x x x x a a a ax f x f --+--=-)()(1221x x x x a a a a ---+-=21x x <21x x ->-1>a 21x x a a <12xx a a --<)()(21x f x f <()f x R 0)1()1(2<-+-t f t f )1()1(2t f t f --<-()f x )1()1(2-<-t f t f ()f x R 112-<-t t 022>-+t t 2-<t 1>t（2）（2020·成都七中万达学校高一月考）函数()(0,1)xf x a a a =>≠，(2)4(1)4f f -=-.（1）求a 的值；（2）若(32)(25)f m f m -<+，求实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意(2)4(1)4f f -=-，则244a a -=-，解得2a =，综上：2a =. （2）由（1）知()2x f x =，则()f x 是R 上的增函数，因为(32)(25)f m f m -<+则3225m m -<+，解得7m <，综上所述，结论是：(),7m ∈-∞三、课堂定时训练（45分钟）1．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】很显然，均大于1；与的交点在与的交点上方， 故，综上所述:.故选:C. 2.（2019·安徽高三高考模拟（文））函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选：A3．设0a ＞，且1a ≠，则指数函数x y a =与一次函数y x a =-+的图象可能是（ ） Cx y a =xy b=1a b <<1b a <<1a b >>1b a >>a b xy a =1x =xy b =1x =b a <1a b >>【解析】由题意知，当a 变化时，指数函数x y a =的图象过定点01(,)．若1a ＞，则指数函数x y a =在R 上递增，一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点0a (,)在点01(,)的上方，与x 轴的交点0a (,)在x 轴正半轴，A 符合，B 不合题意．若01a ＜＜，则指数函数x y a =在R 上递减，一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点在原点与点01(,)之间，与x 轴的交点在x 轴正半轴，C 、D 均不合题意．故选A ． 4.（2019·云南高三高考模拟（文））已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解析】因为在R 上递减，且，所以.又因为在R 上递增，且 ，所以 .所以.故选：D.5．若2233x y x y ----＜，则（ ）A ．x y ＜B ．x y ＞C ．||1x y -＞D ．||1x y -＜【解析】由2233x y x y ----＜，得2323x x y y ----＜，令23ttf t -=-()，因为2ty =为R上的增函数，3ty -=为R 上的减函数，所以f t ()为R 上的增函数，所以x y ＜，则A 正确，B 错误；，因为x y -与1的大小不能确定，故C 、D 无法确定．故选A ．7．已知函数2222x xxf x -=++()的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．【解析】设222x x x g x -=+()，由222222x x x x x xg x g x ------==-=-++()()()()()知， g x ()是奇函数，所以max min 0g x g x +=[()][()]，所以max min 22404M m g x g x +=+++=+=[()][()]．8.已知函数()()()210120xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则该函数是（ ） A ．偶函数，且单调递增 B ．偶函数，且单调递减 C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减【详解】当0x =时，(0)0f =；当0x >时，0x -<，所以()12()xf x f x --=-=-；当0x <时，0x ->，所以()21()xf x f x -=-=-；所以()()f x f x -=-，所以函数是奇函数.当0x ≥时，()21xf x -=-，由复合函数的单调性原理得函数单调递减，由奇函数的性质得函数在R 上单调递减.故选：D9．函数()()21121012211x x ax x f x a a a x ⎧-+<⎪=>≠⎨⎪-≥⎩且是R 上的减函数，a 取值范围是（ ） A ．1223⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．213⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【详解】由题得22112201112122a x a a a a -⎧=-=≥⎪⨯⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥-⎪⎪⎩，解之得1223a ≤≤.故选：C10．（改编自2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数（且）的图象恒过定点，则 ， ______．3x my a n -=+-0a >1a ≠(3,2)m =n =【解析】∵函数（且）的图象恒过定点，令，可得，，可得函数的图象经过定点.再根据函数的图象经过定点，∴，，解得，.11.已知函数，为常数，且函数的图象过点．（1）求的值；（2）若，且，求满足条件的的值．【解析】（1）由已知得，解得．（2）由（1）知，又，则，即，即， 令，则，即， 又，故，即，解得 ．12．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数()(0,1)x xf x a a a a -=->≠.（1）若11221()32f a a -=+=，求22a a -+的值.（2）若3(1)2f =，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设22()2()x xg x a a mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m .【解析】（1）由题意知11223a a -+=，可得112122()29a a a a --+=++=，可得17a a -+=，又由1222(249a a a a--+=++=），可得2247a a -+=.（2）由函数()x xf x a a -=-，且3(1)2f =，可得132a a -=， 整理得22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去）， 3x my an -=+-0a >1a ≠0x m -=x m =2y n =-(),2m n -()3,23m =22n -=3m =4n =()12axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ()1,2-a ()42xg x -=-()()g x f x =x 122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭1a =()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()g x f x =1422xx -⎛⎫-= ⎪⎝⎭112042x x⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭220t t --=()()210t t -+=0t >2t =122x⎛⎫= ⎪⎝⎭1x =-所以函数()f x 的解析式为()22x x f x -=-.（3）由（2）知()22x x f x -=-，得()2222()2()22222x x x x x x g x a a mf x m ---=+-=+--()()2222222x x x x m --=---+， 令()22x x t f x -==-，可得222()22()2h t t mt t m m =-+=-+-，又由函数()22x x f x -=-为增函数，因为1x ≥，所以3(1)2t f ≥=，当32m ≥，当t m =时，2min ()21h t m =-=-，即m =m =，当32m <，当32t =时，min 17()314h t m =-=-，解得7342m =>，舍去.综上可知m =. 13.（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数()42+=x xb f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ，∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ， 又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,.。