复合函数求原函数公式
复合函数的相关方法
序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。
而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。
本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的 定理（判定定理）：若)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 都是单调函数，则n 次复合函数][}{)(121x y F F F n += 在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是),(1x y F=),(21x Fu =)(,1x F u n n += 中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 中减函数的个数为奇数。
[]1下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。
例1． 已知x x x f 228)(-+=，若)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的单调区间。
（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）解：令t=2x 2-,则82)(2++-=t t f t ，故)(x g 是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R 。
当,1<t 即1122-<⇔<-x x 或1>x 时，)(t f ； 当,1≥t 即11221≤≤-⇔-≥x x 时， )(t f ； 当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t 。
将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。
如（图1）)(x t ： )(t f ：)(x g ： -1 0 1 x（图1）由图1可知，)(x g 的递增区间为](1,-∞-，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+)∞。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。
复合函数的相关方法
序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法复合函数是高中数学中的一类重要函数，讨论复合函数的单调性，求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题。
而一些书刊上对复合函数单调区间的求法过于繁琐，本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法，供大家参考。
本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的定理（判定定理）：若)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 都是单调函数，则n 次复合函数][}{)(121x y F F F n += 在其定义域内也是单调函数，且它为增函数的充要条件是),(1x y F =),(21x F u =)(,1x F u n n += 中减函数的个数为偶数；它为减函数的充要条件是)(,),(),(1211x x x y F u F u F n n +=== 中减函数的个数为奇数。
[]1下面我们先通过一个例子来说明具体的方法。
例1． 已知x x x f 228)(-+=，若)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的单调区间。
（89年高考理科（11）改编--原题为选择题）解：令t=2x 2-,则82)(2++-=t t f t ，故)(x g 是由这两个函数复合而成的，定义域为实数集R 。
当,1<t 即1122-<⇔<-x x 或1>x 时，)(t f ；当,1≥t 即11221≤≤-⇔-≥x x 时， )(t f ； 当0<x 时，)(x t ；当0≥x 时，)(x t 。
将-1,0.1按大小顺序标在以向右为正方向的有向直线上（由于不考虑单位，只考虑顺序，故称这条直线为“序轴”），再把各层函数的增减性用升、降箭头标在相应区间上方，然后，在序轴下方的相应区间，根据复合函数单调性的判定定理，用箭头标出复合函数的单调性。
如（图1）)(x t ：)(t f ：)(x g ：x（图1）由图1可知，)(x g 的递增区间为](1,-∞-，[0，1]；递减区间为（-1，0），（1，+)∞。
导数的运算法则及复合函数的导数公式
x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
函数的复合和反函数
函数的复合和反函数函数是数学中的重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在函数的研究中，复合函数和反函数是两个基本概念。
本文将详细介绍函数的复合和反函数，并探讨它们在数学中的应用和意义。
一、函数的复合函数的复合是指将两个函数结合在一起，通过先应用一个函数，再将其结果作为另一个函数的输入来实现。
复合函数的符号表示为f(g(x))，即先对x应用函数g，再对结果应用函数f。
例如，设有两个函数f(x)和g(x)，其中f(x) = x^2，g(x) = 2x+1。
现在考虑将这两个函数进行复合的情况。
首先对x应用函数g(x)，得到2x+1，再将其作为f(x)的输入，最终得到f(g(x)) = (2x+1)^2。
复合函数的计算顺序很重要，即先计算哪个函数的结果，再计算另一个函数。
这体现了函数的顺序性质。
复合函数的应用广泛，特别在复杂函数的求导和函数的变换等问题中具有重要作用。
二、反函数反函数是指能够将原函数的输出作为输入，并得到原函数的输入的函数。
反函数的存在要求原函数必须是一对一的，即每个输入对应唯一的输出。
设有函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x，那么g(x)就是f(x)的反函数。
反函数的符号表示为f^(-1)(x)。
反函数的存在与函数的一一映射相关。
如果函数f(x)是一一映射的，那么它一定存在反函数。
反之，如果函数不是一一映射的，那么它就没有反函数。
反函数在解方程和函数的逆运算中起着重要的作用。
通过反函数，我们可以将原函数的输入和输出互换，从而便于求解方程和进行一些逆运算的操作。
三、函数复合与反函数的关系函数的复合和反函数之间存在着密切的联系。
对于函数f(x)和g(x)，如果g(x)是f(x)的反函数，那么f(g(x)) = x。
证明：由于g(x)是f(x)的反函数，根据反函数的定义可知：f(g(x)) = x。
反过来，如果f(g(x)) = x，我们可以推断出g(x)是f(x)的反函数。
复合函数概念精析
复合函数概念精析蓝田县浪湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。
但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关容很有必要。
一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u 又是x的函数，即y=f(u) , u=g(x),那么y关于x的函数y=f [g(x)] 叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。
例如y=sin 2x它与y=sin x不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sin u和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。
由于上述定义中对“复合” 的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。
1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。
它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a f(x)北-g(x)或a f(x)・b -g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一白变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。
这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的籍的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。
白变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。
例如，复合函数y=sin 2x是白变量x先“乘2”(第一次映射)，再“取正弦”(第二次映射)，最后得到y关于x的一个函数sin 2x。
因此有人说复合函数是函数的函数。
为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。
高考数学复合函数知识点归纳
高考数学复合函数知识点归纳不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠?时，二者才可以构成一个复合函数。
下面是小编为大家精心推荐数学复合函数知识点总结，希望能够对您有所帮助。
高考数学复合函数知识点归纳1.复合函数定义域若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R的值域;⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
注：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1_2,任一周期可表示为k_1_2(k属于R+)2.复合函数单调性依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。
三角函数诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”。
《高等数学》2-2复合函数的微商与反函数的微商
非一次函数的微商计算示例
让我们通过一个非一次函数的微商计算示例，加深对微商计算的理解。
多元函数的复合函数与反函数 的微商
复合函数和反函数的微商不仅适用于一元函数，还可应用于多元函数。我们 将探讨多元函数中的微商求解。
总结：复合函数和反函数的微 商的重要性和丰富性
复合函数和反函数的微商是数学领域中重要且丰富的研究内容。它们的应用 和意义远远超出我们的想象。
反函数的应用：求曲线的弧长
反函数可以帮助我们计算曲线的弧长。这个应用在研究曲线的形状和长度时非常重要。
反函数的应用：求曲线的曲率
反函数可以帮助我们计算曲线的曲率。这个应用在研究曲线的弯曲程度和形 状时非常关键。
反函数与复合函数的综合应用
通过将反函数与复合函数结合应用，我们可
通过迭代求导，我们可以求得反函数的二阶导数和高阶导数。这些导数对于 解决更复杂的问题至关重要。
反函数与指数函数的微商比较
反函数和指数函数的微商有着不同的求解方法和结果。我们将比较两者之间的微商特点。
反函数与对数函数的微商比较
反函数和对数函数的微商也有着独特的求解方法和特征。我们将比较两者之间的微商表达式。
复合函数与反函数的导数关系
复合函数和反函数之间的导数关系是微商中的重要性质。我们将深入研究二 者导数的关联。
复合函数与反函数的微商公式 比较
复合函数和反函数的微商公式都有其独特的特点和求解方式。我们将比较两 者之间的微商特征。
反函数的应用：求曲线的斜率
反函数可以帮助我们求解曲线在特定点的斜率。这个应用在解决曲线问题时非常实用。
反函数的微商公式
反函数 f-1(x) 的微商公式为 (f-1(x))' = 1 / f'(f-1(x))。这个公式可以帮助我们求反 函数的导数。
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复合函数求原函数公式
复合函数是高等数学中的一个重要概念，它在微积分、微分方程等领域中都有着广泛的应用。
求原函数是微积分的基本问题之一，而复合函数求原函数则是其中的一个重要分支。
本文将介绍复合函数求原函数的公式及其应用，希望能够对读者有所帮助。
一、复合函数的定义和性质
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数h(x)可以表示为：
h(x) = f(g(x))
其中，g(x)称为内函数，f(x)称为外函数。
复合函数的定义域是内函数的定义域，值域是外函数的值域。
例如，若有f(x) = x^2和
g(x) = 2x + 1，则它们的复合函数为h(x) = f(g(x)) = (2x+1)^2。
复合函数有以下性质：
1. 复合函数的可结合性：设有三个函数f(x)、g(x)和h(x)，则
(f g) h = f (g h)。
2. 复合函数的可逆性：若f(x)和g(x)都是可逆函数，则它们的复合函数h(x) = f(g(x))也是可逆函数，其逆函数为(g^-1 f^-1)(x)。
3. 复合函数的导数公式：设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数h(x) = f(g(x))的导数为：
h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)
其中，f'(x)和g'(x)分别为f(x)和g(x)的导数。
此公式也被称为链式法则。
二、复合函数求原函数的公式
求原函数是微积分中的一个基本问题，而复合函数求原函数则是其中的一个重要分支。
对于给定的复合函数h(x) = f(g(x))，我们需要求出它的原函数F(x)。
根据微积分的基本公式，我们有：
F(x) = ∫ h(x) dx
要求出F(x)，我们需要将h(x)表示为基本函数的复合形式，并借助基本积分公式求解。
1. 外函数为幂函数
若外函数f(x)为幂函数，则可以将复合函数h(x)表示为：
h(x) = f(g(x)) = (g(x))^n
其中，n为正整数。
此时，我们可以使用换元法将h(x)变形为基本函数的形式。
假设u = g(x)，则有：
F(x) = ∫ h(x) dx = ∫ (g(x))^n dx
令u = g(x)，则有：
F(x) = ∫ (g(x))^n dx = ∫ u^n du
根据基本积分公式，有：
F(x) = (1/(n+1)) * u^(n+1) + C
将u = g(x)代入，即可得到h(x)的原函数F(x)。
2. 内函数为指数函数
若内函数g(x)为指数函数，则可以将复合函数h(x)表示为：
h(x) = f(g(x)) = f(e^x)
此时，我们可以使用换元法将h(x)变形为基本函数的形式。
假
设u = e^x，则有：
F(x) = ∫ h(x) dx = ∫ f(e^x) dx
令u = e^x，则有：
F(x) = ∫ f(e^x) dx = ∫ f(u) * (1/u) du
根据基本积分公式，有：
F(x) = ∫ f(u) * (1/u) du = ∫ [f(u) * (ln u)'] dx 根据积分的可加性，有：
F(x) = ∫ [f(u) * (ln u)'] dx = f(u) * ln u - ∫ [f'(u) * ln u] dx
将u = e^x代入，即可得到h(x)的原函数F(x)。
三、复合函数求原函数的应用
复合函数求原函数在微积分中有着广泛的应用，特别是在积分求解和微分方程中。
以下是一些具体应用的例子。
1. 求指数函数的原函数
指数函数y = a^x是一类常见的函数，其中a为常数。
我们可以使用复合函数求原函数的方法来求解它的原函数。
假设h(x) = a^x，则有：
h'(x) = a^x * ln a
令f(x) = a^x，g(x) = x，则有h(x) = f(g(x))。
根据复合函数求导公式，有：
h'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = a^x * 1
将h'(x)代入链式法则公式中，有：
f'(x) = h'(g(x)) * g'(x) = a^x * ln a
因此，指数函数y = a^x的原函数为：
F(x) = ∫ a^x dx = (a^x)/(ln a) + C
2. 求反三角函数的原函数
反三角函数是指sin^-1 x、cos^-1 x和tan^-1 x等函数。
它们的求导和求原函数比较复杂，需要使用复合函数求导和求原函数的方法。
例如，我们需要求解cos^-1 x的原函数。
假设h(x) = cos^-1 x，则有：
h'(x) = -1/√(1-x^2)
令f(x) = cos^-1 x，g(x) = cos x，则有h(x) = f(g(x))。
根据复合函数求导公式，有：
h'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = -1/√(1-cos^2 x) * (-sin x) 根据三角恒等式cos^2 x + sin^2 x = 1，有：
1 - cos^
2 x = sin^2 x
因此，h'(x)可以表示为：
h'(x) = sin x/√(sin^2 x) = 1/√(1-sin^2 x)
将h'(x)代入链式法则公式中，有：
f'(x) = h'(g(x)) * g'(x) = 1/√(1-cos^2 x) * (-sin x) 因此，cos^-1 x的原函数为：
F(x) = ∫ cos^-1 x dx = x * cos^-1 x + √(1-x^2) + C 结语
本文介绍了复合函数的定义和性质，以及复合函数求原函数的公
式及其应用。
复合函数求原函数是微积分中的一个重要分支，它在积分求解和微分方程中都有着广泛的应用。
希望本文能够对读者有所启发，进一步深入学习微积分知识。