第14章 弯曲变形

弯矩分段,要分段积分
式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定
要求：（1）约束处满足边界条件 （2）梁中间的点满足连续与光滑条件
边界条件
y A
x =0 , w=0 y ( = 0)
x
x = l , w= 0 =0
2
B
x
x = l , w=0 ( = 0)
光滑连续条件：
wc wc
P
c
c
梁的挠曲线近似微分方程式：
(-) M 0
w 0
EI
d2w dx2
M
(x)
M w或EIw M
EI z
3.积分法求梁的挠曲线
dx2
EI M (x)dx C dx o
xx
EIw [ M (x)dx]dx Cx D 00
左段梁 0 x a
右段梁 a x l
挠曲线近似微分方程
EIw1
M1
x
F
b l
x
EIw2
M2
x
F
b l
x
F
x
a
积分得
EIw1 EIw1
F
b l
x2 2
C1
F
b l
x3 6
C1 x
(1) D1 (2)
EIw2
F
b l
x2 2
EIw2
F
b l
F
x 2
a 2
C2
x3 F x a3
6
6
(1)
弹性变形，以满足特
定的工作需要,例如
车辆上的板弹簧。缓 P / 2
P/2
解车辆受到的冲击
和振动作用。
P
二、弯曲变形的基本概念
1.挠曲线(平坦的曲线）
挠曲线方程：w f (x)
w
2.挠度和转角
y
挠度w：横截面形 心处的铅垂位移。
x
挠曲线
转角θ：横截面绕中 性轴转过的角度。
w
规定:y正向的挠度 为正，顺针向的转
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
ql3
24 EI 5ql 4
wm a x
w
x l 2
384EI
[例]已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P
作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和 wmax。
P
解：AC段：M(x) P x A EIw P x 2 2
C
[例]已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均
布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定
θmax和wmax。
q
解：M(x) ql x q x2 A
22
x
B
x
EIw ql x q x2 22
y
l
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
M1(x1) qax1 (0 x1 a)
M2 (x2
)
qax2
q 2
(x2
a)2
(a x2 2a)
EIw1 qax1
EIw2
qax2
q 2
( x2
a)2
y
q
A
C
D
E
B
x
qa x1
qa
x2
a
a
a
a
EIw1 qax1
EIw1
qa 2
x12
C1
EIw1
qa 6
x13
C1x1
D1
EIw2
qax2
x
l
C
l
B
x
EIw P x2 C
y2
2
4
EIw P x3 Cx D 12
由边界条件： x 0时，w 0 得：D 0
由对称条件： x l 时，w 0 2
得： C
Pl 2 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P (4x2 l 2 )
16EI A
w Px (4x2 3l 2 )
q 2
(x2
a)2
EIw2
qa 2
x22
q 6
( x2
a)3
C2
EIw2
qa 6
x23
q 24
(x2
a)4
C2
x2
D2
由连续条件：
x1 x2 a时,w1 w2,w1 w2
得C1 C2 D1 D2
由边界条件：x1 0时,w1 0 得 D1 0
由对称条件：x2 2a时,w2 0
得C2
11 qa3 6
例题
试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角max。梁的EI
为常量
解: 1.分段列弯矩方程
FA
F
b， l
FB
F
a l
M1x
FA
x
F
b l
x
0 x a
M
2
x
FA
x
F
x
a
F
b l
x
F
x
a
a x l
2. 分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分：
由边界条件：
EIw ql x2 q x3 C
46
x 0时，w 0; x l时，w 0
得： C ql3 ,D 0
24
A
梁的转角方程和挠曲
线方程分别为：
EIw ql x3 q x4 Cx D
q12 24
B
x θA
θB
x
l
q (6lx2 4x3 l 3 ) y
24EI
x
48EI
l
y2
最大转角和最大挠度分别为：
P
C
l 2
B
x
max
A
B
Pl 2 16 EI
wm a x
w
x l 2
Pl3 48EI
讨论： c 0
[例]：已知梁抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的 转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
q
A
C
D
E
B
x
a
a
a
a
y
CL9TU5
解：由对称性，只考虑半跨梁ACD
EIw2
F
b l
x2 2
EIw2
F
b l
F
x
2
a 2
C2
x3 F x a3
6
6
(1)
C2 x D2
(2)
在x=0处 w1=0， D1=D2 =0
在 x=l 处 w2=0
EIw2
|xl
F
b l
l3 b
F
l
6
a 3
C2l
0
C1
C2
Fb 6l
l2
b2
4. 建立转角方程和挠度方程
将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1')和(2)、(2')式得两 段梁的转角方程和挠曲线方程如下：
C2 x D2 (2)
3. 确定积分常数
连续条件:x=a时，w1 '=w2'及w1=w2，得C1=C2，D1=D2 。
左段梁 0 x a
右段梁 a x l
EIw M x F b x
1
1
l
EIw2
M2x
F
b l
x
F
x
a
EIw1 EIw1
F
b l
x2 2
C1
F
b l
x3 6
C1 x
(1) D1 (2)
第 14 章 弯曲变形
§14-1梁的位移-挠度和转角
一.工程实例 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够
的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够 的刚度，以保证结构或机器正常工作，如摇臂钻床。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困 难，出现爬坡现象。
另外一些情况却
要求构件具有较大的
y
角为正。
x
转角θ与挠度w 关系：
tan
df f (x)
dx
§14-2梁的挠曲线近似微分方程式
1.曲率公式
材力 曲线 y f (x) 的曲率为 数学
M 1 w w
EI z
(1 w2 )3 / 2
2.曲率与弯矩的符号关系
M 0
(+)
x
w 0
如图：w ”与弯矩的符号相反。 y