2020届四省名校高三第三次大联考数学(理科)试题含解析
2020届陕西省高三第三次联考理科数学试题(解析版)
理科数学
一、选择题
1.全集U R ，集合 A x y ln x 1 ， B y y x 2 4x 8 ，则 A ðU B （ ）
A. 1, 2
B. 1, 2
C. 1, 2
D. 1, 2
【答案】A 【解析】 【分析】
首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合 A 、 B ，再利用集合的交、补运算即可求解.
ab
（
）
A. 5
B. 2 5
C. 5
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量平行的条件列方程，解方程求得
x
的值，求得
a
b
的坐标后，求得
r a
r b
.
【详解】由题得 2x 6 0 . x 3 ，
a b 4, 2 ，
ab
42 22 2 5 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查向量平行的坐标表示，考查向量减法和模的坐标运算，属于基础题.
最小值为（ ）
A. 4
B. 5
【答案】C
C. 4 2 2
D. 5 2 2
【解析】
【分析】
将问题转化为求 PA PF 的最小值，根据抛物线的定义可知 PF PD ，即求 PA PD 的最小值，
当 P 、 A 、 D 三点共线时， PA PD 最小，由 PA PD min xA 1 3 1 4 即可求解.
交稿数为（ ）
A. 2800 【答案】D
B. 3000
C. 3200
D. 3400
【解析】
【分析】
先求出总的稿件的数量，再求出高三年级交稿数占总交稿数的比例，再求高三年级的交稿数.
2020届陕西省高三第三次联考数学(理)试卷及解析
2020届陕西省高三第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.全集U =R ,集合(){}ln 1A x y x ==-,{B y y ==,则()U A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. [)1,2D. []1,2【答案】A【解析】 首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合A 、B ,再利用集合的交、补运算即可求解.【详解】{{}2B y y y y ====≥, {}2U B y y =<,(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>, ()()1,2U A B ⋂=． 故选：A ．2.已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位）,则在复平面内z 所对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】根据复数的除法运算,求得复数23z i =+,再结合复数的几何意义,即可求解. 【详解】由题意,根据复数除法运算,可得复数5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+, 则在复平面内z 所对应的点为()2,3,在第一象限.故选：A .3.已知向量()2,1a =-,()6,b x =,且//a b ,则a b -=（ ）A. 5B. 25C. 5D. 4【答案】B【解析】 利用向量平行的条件列方程,解方程求得x 的值,求得a b -的坐标后,求得a b -.【详解】由题得260x +=.3x ∴=-,()4,2a b ∴-=-,()224225a b ∴-=-+=.故选：B4.已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+,且16a =,则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 128B. 127C. 64D. 63【答案】C【解析】 结合二项式展开式的通项公式以及1a ,求得n 的值,利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】由题意,二项式()1n x +展开式的通项为1r n r r n T C x -+=,令1=-r n ,可得1n n n T C x -=,即16n n C -=.解得6n =.令1x =,则6012264n a a a a +++⋅⋅⋅+==.故选:C5.某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕,在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文,收到的稿件经分类统计,得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份,则高三年级的交稿数为（ ）A. 2800B. 3000C. 3200D. 3400 【答案】D。
陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学试卷及其答案
初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 14 页 陕西省2020届高三年级第三次联考理科数学一、选择题1．全集U =R ，集合(){}ln 1A x y x ==-，{B y y ==，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．()1,2 B ．(]1,2 C ．[)1,2 D ．[]1,2 2．已知复数51i z i +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量()2,1a =-，()6,b x =，且//a b ，则a b -=（ ）A ．5B． CD ．4 4．已知二项式()20121n n n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且16a =，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．128B ．127C ．64D ．635．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（ ）A ．2800B ．3000C ．3200D ．34006．已知点()(),,0a b a b >在直线240x y +-=上，则12a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3D ．2 7．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a ，b 与α所成的角相等，则//a bB ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bC ．若a α⊂，b β⊂，//a b ，则//αβD ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥。
高三第三次联考数学(理)试题(解析版)
2020届高三第三次联考数学（理科）―、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}14A x x =≤≤，{}*2N 23B x x x =∈-≤，则A B =I ( ) A. {}13x x ≤≤ B. {}03x x ≤≤C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3【答案】C 【解析】 【分析】解不等式223x x -≤，结合*N x ∈，用列举法表示集合B ，从而可求交集.【详解】{}{}{}*2*23131,2,3B x N x x x N x =∈-≤=∈-≤≤=Q ，{}1,2,3A B ∴⋂=.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易错点是忽略集合B 中*N x ∈这一条件. 2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()122i z i -=+，则z z ⋅=( ) A. 4B. 2C. 4-D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】由已知可求出2221iz i i+==-，进而可求2z i =-，则可求出z z ⋅的值. 【详解】()122i z i -=+Q ，()()()()211222111i i i z i i i i +++∴===--+，2z i ∴=-，4z z ∴⋅=. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念.本题的关键是通过复数的除法运算，求出复数z .3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若888S a ==，则公差d 等于( ) A.14B.12C. 1D. 2【答案】D【解析】 【分析】由88S a =，可求出4707S a ==，进而可知40a =，结合88a =，可求出公差. 【详解】解：888S a ==Q ，1288a a a a ∴+++=L ，()17747207a a a S ∴+===，40a ∴=. 又由844a a d =+，得8480244a a d --===. 故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量.4.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A ，B ，C ，D ，E 五个等级.某试点高中2019年参加“选择考”总人数是2017年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2017年和2019年“选择考”成绩等级结果，得到如图表：针对该校“选择考”情况，2019年与2017年比较，下列说法正确的是( ) A. 获得A 等级的人数不变 B. 获得B 等级的人数增加了1倍 C. 获得C 等级的人数减少了 D. 获得E 等级的人数不变【答案】D 【解析】 【分析】设2017年参加“选择考”总人数为a ，分别求出2017,2019年获得A ，B ，C ，E 等级的人数，进而可选出正确选项.【详解】解：设2017年参加“选择考”总人数为a ，则2019年参加“选择考”总人数为2a ； 则2017年获得A 等级有0.25a 人，2019年获得A 等级有0.2520.50.25a a a ⨯=≠，排除A ；2017年获得B 等级有0.35a 人，2019年获得B 等级有0.420.820.35a a a ⨯=≠⨯，排除B ； 2017年获得C 等级有0.28a 人，2019年获得C 等级有0.2320.460.28a a a ⨯=>，排除C ； 2017年获得E 等级有0.04a 人，2019年获得E 等级有0.0220.04a a ⨯=，人数不变， 故选:D.【点睛】本题考查了扇形统计图，考查了由统计图分析数据. 5.函数()cos x xy e ex -=-的部分图象大致是( )A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A,C.代入特殊值，如1x =，通过判断函数值的符号，可选出正确答案. 【详解】解：由()()cos xx x e e y ---=-，可知函数()cos x xy x e e -=-为奇函数，由此排除A ，C ，又1x =时，()11cos1y e e-=-，因为1,012e π><<，则110,cos10e e -->>，即此时()cos 0xxy e e x -=->，排除D .故选:B.【点睛】本题考查了函数图像的选择.选择函数的图像时，常结合函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域排除选项，再代入特殊值，判断函数值的符号进行选择.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线C 的离心率为( ) A.23B.3 C. 2 D.2【答案】A【解析】 【分析】求出圆心坐标、半径以及双曲线的渐近线，由渐近线和圆相切，可求出圆心到渐近线的距离为半径，即1=，结合双曲线中222+=a b c ，进而可求出离心率的大小.【详解】解：由题意知，圆心为()2,0在x 轴上，则圆与双曲线的两条渐近线都相切， 则圆心到渐近线by x a =的距离为半径1r =1=，即223b a =， 又222+=a b c ，则()2223c a a-=，解得c e a ==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的性质，考查了直线和圆相切问题，考查了双曲线离心率的求解.本题的关键是由相切得到223b a =.一般求圆锥曲线的离心率时，常根据题意列出,,a b c 的关系式进行变形求ca 的值.本题的易错点是混淆了椭圆和双曲线中,a c 的关系. 7.在ABC V 中，5AC AD =u u u r u u u r ，E 是直线BD 上一点，且2BE BD=u u u r u u u r，若AE mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r 则m n +=( )A.25B. 25-C.35D. 35-【答案】D 【解析】 【分析】通过向量的线性运算，以,AB AC u u u r u u u r为基底，表示出25AE AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ，进而求出m n +的值.【详解】解：()2225AE AB BE AB BD AB AD AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，35m n ∴+=-.故选:D.【点睛】本题考查了向量的加法运算，考查了向量的减法运算.本题的难点是由题目条件求出,m n 的具体值. 8.若函数()cos f x x x =+在区间[],a b 上是增函数，且()2f a =-，()2f b =，则函数()sin x x g x =-在区间[],a b 上( )A. 是增函数B. 是减函数C. 可以取得最大值2D. 可以取得最小值2-【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式可求得()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()2sin 3g x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，由题意可知，不妨取2,33a b ππ=-=，令3t x π=-，结合()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-的图像，可选出正确选项.【详解】解：()313sin cos 2sin cos 2sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()313cos sin 2cos sin 2sin 23g x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在区间[],a b 上是增函数，且()2f a =-，()2f b =， 则2,2,6262a kb k k Z ππππππ+=-++=+∈，即22,2,33a kb k k Z ππππ=-+=+∈，不妨取2,33a b ππ=-=，设3t x π=-，则()[]2sin ,,0g t t t π=-∈-，则图像为所以，()3sin x x g x -在[],a b 先增后减，可取到最大值为2. 故选:C.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角函数的单调性，考查了三角函数的最值，考查了数形结合.本题的关键是由单调性和最值，确定,a b 的值.9.若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =-（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11ea b+的取值范围是( ) A. [)2,e B. (],4eC. [)2,+∞D. [),e +∞【答案】C 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，由题意知()000ln 1x a ex b e x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，从而可得2ea b +=，根据 “1”的代换，可求出11122b ea ea b ea b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可求出取值范围. 【详解】解：()ln y x a =+Q ，1y x a ∴'=+，设切点为()00,x y ，则()000ln 1x a ex be x a⎧+=-⎪⎨=⎪+⎩，2ea b ∴+=，()111111222b ea ea b ea b ea b ea b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴.,,0a b e >Q ∴ 原式12222b ea ea b ⎛⎫≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当b ea ea b =，即1,1a b e==时等号成立， 即112ea b+≥. 故选:C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式.切线问题，一般设出切点，由切点处的导数值为切线的斜率以及切点既在切线上又在函数图像上，可列出方程组.运用基本不等式求最值时注意一正二定三相等.10.在三棱锥P ABC -中，已知4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，三棱锥P ABC -的体积为3，若点,,,P A B C 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A .4πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】A 【解析】 【分析】取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，由题意可知，AO BO R ==，由133P ABC PBC V S AO -=⋅=V ，可列出关于R 的方程，进而可求出球的半径，则可求球的表面积. 【详解】解：取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R ，因为3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，所以AO BO R ==，2PC R =，PB R =，3BC R =， 因为4APC π∠=，PA AC ⊥，所以PA AC =，则AO PC ⊥,因为平面PAC ⊥平面PBC ，所以AO ⊥平面PBC ，即133P ABC PBC V S AO -=⋅=V ， 所以333R =，1R ∴=，∴球的表面积为244R ππ=.故选:A .【点睛】本题考查了椎体的体积，考查了面面垂直的性质，考查了球的表面积的求解.求球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，通常设半径，结合勾股定理列方程求解.本题的关键是面面垂直这一条件的应用. 11.已知函数()223f x x x=-+，()()g x f x b =+，若函数()()y f g x =有6个零点，则实数b 的取值范围为( ) A. ()2,+∞ B. ()1,-+∞C. ()1,2-D. ()2,1-【答案】A 【解析】 【分析】结合导数，求出()223f x x x=-+的单调性，由()()120f f -==，可得其零点及函数的简图，通过分析可知，()()f g x 有6个零点等价于()1f x b =--和()2f x b =-都分别有3个实数根，结合图像可得关于b 的不等式，进而可求出b 的取值范围.【详解】解：因为()223f x x x =-+，所以()()3222122x f x x x x+'=--=-， 故当1x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当10x -<<和0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减；又()()120f f -==，∴函数有两个零点分别为1-，2.则函数的简图为Q 函数()()f g x 有6个零点，()1g x ∴=-与()2g x =的根共有6个，()1f x b ∴=--和()2f x b =-都分别有3个实数根，则10b --<且20b -<，即2b >.故选:A.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，考查了运用导数求函数的单调性，考查了数形结合.本题的难点是对()()y f g x =有6个零点这一条件的理解.一般地，若()()()f x g x h x =-，则()f x 的零点个数就等于()(),y g x y h x ==的图像交点个数.12.已知抛物线()2:20C y px p =>，其焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线C 于点,A B （其中A 在x 轴上方），,A B 两点在抛物线的准线上的投影分别为,M N ，若23MF =2NF =，则AFBF=( ) 3 B. 2C. 3D. 4.【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知2MFN π∠=，由22216MNNF MF =+=，可求出4MN =，由MNF S V 可求出3p =，由1cos 2p MFO MF ∠==可知3MFO π∠=，从而可知23AF MF ==， 231cos 3p BF θ==+，进而可求AF BF 的值. 【详解】解：由题意知，AF AM =，BF BN =，则,AMF AFM BFN BNF ∠=∠∠=∠, 由////BN AM x 轴，可知22AFM BFN π∠+∠=，则2MFN π∠=，22216MN NF MF ∴=+=，4MN ∴=，112322MNF p MN NF S MF =⋅=⋅=V Q ， 3p ∴=，则1cos 2p MFO MF ∠== ，3MFO π∴∠=，AF AM =Q ， AMF ∴△为等边三角形，∴直线AB 的倾斜角3πθ=，且23AF MF ==,又因为cos cos BN BF BF BF p θθ+=+=，则231cos p BF θ==+.3AF BF ∴=.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系.本题的关键是p 的求解.对于抛物线的问题，一般结合抛物线的定义，可减少运算量.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.6x x ⎛⎝展开式中常数项为________.【答案】240 【解析】 【分析】先求出二项式6x x ⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项.【详解】6x ⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.在平面直角坐标系中，若角α的始边是x 轴非负半轴，终边经过点22sin,cos 33P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则()cos πα+=________.【答案】 【解析】 【分析】化简出P的坐标，从而可求出cos α=()cos πα+的值.【详解】解：由题意知，221sin ,cos 332P P ππ⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则P 到原点的距离为1，cos α∴=()cos cos παα+=-=故答案为: . 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数值的求解.由P 点坐标求出角的余弦值是本题的关键. 15.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，x R ∀∈，都有()()2f x f x +=-，当01x <≤时，()213log ,02112x x f x x ⎧-<<⎪⎪=≤≤，则()9114f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【答案】5 【解析】 【分析】由题意可知()f x 周期为2，从而可求出91544f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110f f ==，进而可求出()9114f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】解：由()()2f x f x +=-可知，()f x 关于1x =对称，又因为()f x 是偶函数，所以()f x 周期为2，则9915444f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()1110f f == ()()9111150544f f f f ⎛⎫⎛⎫∴-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:5.【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的周期性的应用.由奇偶性和对称性求出函数的周期是求解本题的关键.16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足333321232n n n a a a a S S ++++=+L ，设2nn na b =数列{}n b 的前n 项和为nT，则使得n T m <成立的最小的m 的值为________.【答案】3 【解析】 【分析】由333321232n n n a a a a S S ++++=+L ，得333321231112n n n a a a a S S ---++++=+L ，两式相减可得()2122n n n a S S n -=++≥，结合1,2n n n a S S n -=-≥，可求出()113n n a a n --=≥，又21321a a -=-=，从而可求出{}n a 的通项公式1n a n =+，用错位相减法可求出332n n n T +=-，进而可求使得n T m <成立的最小的m 的值.【详解】解：由333321232n n n a a a a S S ++++=+L ，得333321231112n n n a a a a S S ---++++=+L ，两式相减得()()3221112222n n n n n n n n n a S S S S a S S a n ---=+--=++≥，整理得，()2122n n n a S S n -=++≥，()211223n n n a S S n ---∴=++≥，两式相减得()22113n n n n a a a a n ---=+≥.Q 数列{}n a 的各项为正数，()113n n a a n -∴-=≥，当1n = 时，321112a a a =+，即()211120a a a --=，解得12a =或1-（舍）或0（舍）， 又22212224a S S a =++=++，解得：23a =或22a =-（舍），则21321a a -=-=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，()2111n a n n ∴=+-=+⨯，12n n n b +∴=，12323412222nnn T +=++++L ，则23411111122222n n n T ++=++++L ， 相减得1234111111111111111221222222222212n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++++-=+--L ，3332n n n T +∴=-<，∴满足不等式的m 的最小正整数为3. 故答案为:3.【点睛】本题考查了通项公式的求解，考查了错位相减法求和.本题的难点是由已知,n n S a 递推关系式的整理.一般地，已知,n n S a 递推关系时，常结合11,2,,1n n n S S n n N a S n *-⎧-≥∈=⎨=⎩进行求解. 本题的易错点是由错位相减法求n T 时，计算量大，容易算错.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+. （1）求A ；（2）若ABC V的面积为a =ABC V 的周长. 【答案】（1）3π；（2）10+【解析】 【分析】（1）由正弦定理对已知式子进行边角互化，结合三角形的内角和定理，化简后可得1cos 2A =，进而可求出A ； （2）由1sin 2ABC S bc A ==V 24bc =，结合余弦定理可求出10b c +=，从而可求周长. 【详解】解：（1）由2cos cos cos a A b C c B =+知，2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，()2sin cos sin sin A A B C A ∴=+=.0A π<<Q ，1cos 2A ∴=，则3A π=. （2）12sin ABC bc S A ==V Q ，24bc ∴=.由余弦定理知，2222cos 28=+-=a b c bc A ，即()222283b c bc b c bc =+-=+-，()2283100b c bc +=+=∴，解得10b c +=，ABC ∴V 的周长为1027+.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式.一般地，若题目已知式子中既有边又有角，常结合正弦定理和余弦定理进行边角互化；若式子中三个角都存在，则常结合三角形的内角和定理进行消角化简.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为长方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，3BC =，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求平面AEF 与平面PCD 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）17830.【解析】 【分析】（1）通过BC PA ⊥，BC AB ⊥可证明BC ⊥平面PAB ，进而可得AE BC ⊥，结合AE PB ⊥证明线面垂直.（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，可求出平面AEF 的法向量()1,4,1m =--u r，平面PCD 的法向量()0,4,3n =r，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值.【详解】（1）证明：PA AB =Q ，E 为线段PB 中点，AE PB ∴⊥.PA ⊥Q 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥.又Q 底面ABCD 是长方形，BC AB ∴⊥.又PA AB A =I ，BC ∴⊥平面PAB .AE ⊂Q 平面PAB ，AE BC ∴⊥. 又PB BC B ⋂=，AE ∴⊥平面PBC .（2）解：由题意，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,2E ，()4,1,0F ，()0,0,4P ，()4,3,0C ，()0,3,0D .所以()2,0,2AE =u u u r ,()4,1,0AF =u u u r ，()4,3,4PC =-u u u r ，()0,3,4PD =-u u u r，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =u r ，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即22040x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则4y =-，1z =-，()1,4,1m ∴=--u r ，同理可求平面PCD 的法向量()0,4,3n =r，192cos ,30,mn m n m n ⋅∴==-u r ru r r u r r ，2178sin 1cos ,30,m m n n ∴=-=u r u r r r ，即平面AEF 与平面PCD 所成角的正弦值为17830.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了二面角正弦值的求解，考查了同角三角函数的基本关系.证明线线垂直时，可结合等腰三角形三线合一、勾股定理、矩形的邻边、菱形的对边、线面垂直的性质证明. 19.2019新型冠状病毒（2019―nCoV ）于2020年1月12日被世界卫生组织命名.冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病.某医院对病患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表： 戴口罩 未戴口罩 总计 未感染 30 10 40 感染 4 6 10 总计 341650（1）根据上表，判断是否有95%的把握认为未感染与戴口罩有关；（2）从上述感染者中随机抽取3人，记未戴口罩的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）有把握；（2）分布列见解析，95. 【解析】 【分析】（1）由表求出245043841..K ≈>，即可判断；（2）由题意知X 的取值可能为0，1，2，3，求出每种情况的概率，从而可得分布列，进而可求数学期望.【详解】解：（1）由列联表可知，()225030641045043841341640.10.K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯. 所以有95%的把握认为未感染与戴口罩有关.（2）由题知，感染者中有4人戴口罩，6人未戴口罩，则X 的取值可能为0，1，2，3.()343101030C P X C ===；()21463103110C C P X C ===；()1246210122CC P X C ===；()36310136C P X C ===，则X 的分布列为()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=∴. 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了离散型随机变量的分布列，考查了数学期望的求解.在第一问求2K 时，由于数据较大，应注意计算.一般对于求分布列的问题，写出分布列后，可结合概率之和为1这一性质，进行检验.20.已知点1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点，椭圆上一点P 满足1PF x ⊥轴，215PF PF =，12F F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，当1ABF V 的内切圆面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=；（2）y x =y x =-. 【解析】 【分析】（1）由1PF x ⊥轴，结合勾股定理可得2221122PF F F PF +=，从而可求出23PF =13PF =，则可知a =122F F c ==21b =，即可求出椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，:l x ty =+12y y +=，12213y y t =-+，从而可用t 表示出1121223AF B F F A F F BS S S t =+=+V V V ，用内切圆半径表示出()11112AF BS AF F B AB r =++⋅=V ，即可知23r t =+，结合基本不等式，可求出当半径取最大时，t 的值，从而可求出直线的方程.【详解】解：（1）因为1PF x ⊥轴，所以122PF F π∠=，则2221122PF F F PF +=，由215PF PF =，12F F =2PF =1PF =122F F c ==由椭圆的定义知2a == a ∴=2221b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（2）要使1AF B △的内切圆的面积最大，需且仅需其1AF B △的内切圆的半径r 最大.因为()1F ，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，易知，直线l 的斜率不为0，设直线:l x ty =+2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22310t y ++-=，故12y y +=，12213y y t =-+； 所以11212121212AF B F F A F F B S S S F F y y =+=-=V V V==， 又()1111114222AF B S AF F B AB r a r r =++⋅=⋅⋅=⋅=V ，=，即，21232r t ==≤+；=，即1t =±时等号成立，此时内切圆半径取最大值为12， ∴直线l 的方程为y x =y x =-+.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆内三角形周长的求解，考查了三角形的面积公式，考查了直线与椭圆的位置关系.本题的关键是用内切圆半径表示出三角形的面积.本题的难点是计算化简. 21.已知函数()()()2ln 2f x x a x a R =++∈.（1）当[]1,1x ∈-时，求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()122f x f x +>.【答案】（1）当0a >时，()f x 的最大值为1ln3a +，当0a ≤时，()f x 的最大值为1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数()2242x x a f x x ++'=+，分为2a ≥，02a <<，0a ≤三种情况，结合导数判断函数的单调性，继而求出最大值.（2）由函数()f x 存在两个极值点可知2240x x a ++=在()2,-+∞上存在两不等的实根，令()224p x x x a =++，从而可知()168020a p ∆=->⎧⎨->⎩，可求出a 的取值范围，结合韦达定理可求出()()12ln 42af x f x a a +=-+，结合令()ln 42x q x x x =-+，在()0,2x ∈上的单调性，可证明()()12ln 422af x f x a a +=-+>.【详解】解：（1）由题意知，()f x 定义域为()2,-+∞，且()2242x x af x x ++'=+，当1680a ∆=-≤时，解得2a ≥，此时()0f x '≥对[]1,1x ∈-成立， 则()f x 在[]1,1-上是增函数，此时最大值为()11ln3f a =+， 当2a <时，由2240x x a ++=得12x =-±，由[]11,1---，取01x =-，则[)01,x x ∈-时，()0f x '≤；[)0,x x ∈+∞时，()0f x '≥， 所以()f x 在[)01,x x ∈-上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，又()11f -= 则当()()11f f >-，即0a >时，此时，()f x 在[]1,1-上的最大值为1ln3a +； 当()()11f f ≤-，即0a ≤时，()f x 在[]1,1-上的最大值为()11f -=，∴综上，当0a >时，函数()f x 在[]1,1x ∈-的最大值为1ln3a +，当0a ≤时，函数()f x 在[]1,1x ∈-的最大值为1.（2）要使()f x 存在两个极值点，则2240x x a ++=在()2,-+∞上存在两不等的实根，令()224p x x x a =++，则对称轴为1x =-，则()168020a p ∆=->⎧⎨->⎩，解得02a <<，由韦达定理知121222x x a x x +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，()()()()22121122ln 2ln 2f x f x x a x x a x ∴+=+++++()()2121212122ln 24x x x x a x x x x =+-++++⎡⎤⎣⎦()()222ln 22422a a a ⎡⎤=--⋅++⋅-+⎢⎥⎣⎦ln 42a a a =-+.令()ln42x q x x x =-+，()0,2x ∈，()ln 02xq x '∴=<，()q x ∴在()0,2上单调递减， 02x ∴<<时，()()22q x q >=，()()122f x f x ∴+>.【点睛】本题考查了二次函数根的分布，考查了韦达定理，考查了运用导数求最值，考查了已知极值点的个数求参数.本题的难点在于第一问中，参数范围的确定；第二问中，如何将极值点个数转化为参数的取值范围.一般地，含参函数求最值时，首先求出定义域，然后求得导数，令导数为零，讨论导数为零有无根；当有根时，再讨论根是否属于定义域，结合单调性，即可求最值.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试求,A B 两点间的距离. 【答案】（1）3cos 4sin 10ρθρθ-+=，220x y x y +--=；（2）75.【解析】 【分析】（1）将直线参数方程通过消参得到普通直角坐标方程，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得其极坐标方程；结合两角差的余弦公式，可得2cos sin ρρθρθ=+，从而可求出曲线C 的普通方程.（2）联立直线参数方程和圆的方程，可求出12127,05t t t t +=-=，则1275AB t t =-=. 【详解】解：（1）消参得，直线:3410l x y -+=，即3cos 4sin 10ρθρθ-+=；曲线:cos cos sin sin 444C πππρθθθ⎛⎫⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎭，即2cos sin ρρθρθ=+，则22x y x y +=+ ，所以曲线C 的普通方程为220x y x y +--=.（2）设,A B 两点在直线上对应的参数分别为12,t t ，将415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入220x y x y +--=，得2705t t +=，则12127,05t t t t +=-=，则1275AB t t =-==. 【点睛】本题考查了参数方程与普通直角坐标方程的转化，考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了弦长问题.求第二问的弦长时，可结合直线和圆的图形，由勾股定理求解，但是计算稍麻烦；也可结合参数的几何意义求解.选修4-5：不等式选讲23.已知0a >，0b >，1a b +=.（1 （2）若不等式111x m x a b+-+≤+对任意x ∈R 及条件中的任意,a b 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1；（2）[]3,5-. 【解析】 【分析】（1）求结合基本不等式可求出2的最大值为6+（2）结合基本不等式中“1”的代换，可求出114a b+≥，结合11x m x m +-+≤-，可得14m -≤，从而可求出m 的取值范围.【详解】解：（1）21111116a b a b a b =+++++++++++=，=12a b ==时取等号，. （2）()111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b aa b =，即a b =时取等号，11a b∴+的最小值为4.又11x m x m +-+≤-，∴ 14m -≤，解得35m -≤≤， 即m 的取值范围为[]3,5-.【点睛】本题考查了基本不等式，考查了“1”的代换，考查了含绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式.在应用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.。
湖南四大名校内部资料2020届高三统考参考答案(理科数学)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
D
C
A
B
D
C
C
B
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得
因为
所以
即
因为
所以
因为
所以
(Ⅱ)由 ，可得
因为
所以
解得 或当 时，源自由余弦定理得 ，所以周长为
当 时，
综上，实数 的取值范围为
(2)当 时
由(1)可知 的极大值点为 ，极小值点为
此时 ，
依题意得 对任意 恒成立
由于此时
所以
所以
即
设 ， ，则
令 (*)，判别式
①当 ，
所以 ， 在 单调递增
所以
即 ，符合题意
②当 时， ，设(*)的两根为 ， ，且
则 ， ，因此
则当 时， ， 在 单调递减
所以当 时，
即
所以抽取的 辆汽车中有 辆是蓝颜色汽车的概率
(Ⅱ) 的可能取值为：
， ， ，……， ，
所以 的分布列为：
0
1
2
……
……
的数学期望为：
(1)
(2)
(1)-(2)得：
所以
21.【解析】(1)由 得
即
由题意，若 存在极大值和极小值，则 必有两个不相等的实数根
由 得
所以 必有一个非零实数根
∴ ，
∴ 且
2020届高三联考数学理科试题(含答案)
2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2020届高三第三次调研考试 理科数学 参考答案与评分细则
惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBDACADDADBC1.【解析】{21}{0}x A x x x =<=<，{0}U C A x x =≥，故选D.2.【解析】21313i i 2222z =+=-+（），所以对应的点在第二象限，故选B.3.【解析】20201log πa =2020log 10<=，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭()01∈，，1π2020c =1>，所以a b c <<.故选D.4.【解析】因为角θ终边落在直线3y x =上，所以tan 3θ=，21cos 10θ=， 所以3sin(2)2πθ-24cos 2(2cos 1).5θθ=-=--=故选A. 5.【解析】如图所示，MP →＝AP →－AM →＝12AD →－45AC →＝12AD →－45(AB →＋AD →)＝12b r －45(a r ＋b r )＝－45a r －310b r.故选C. 6.【解析】依题意，知－4a ＝－12a ，且－52a ≠12，解得a ＝±2.故选A.7.【解析】1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，故选D.8.【解析】11332815.14C C P C +==故选D. 9.【解析】()21sin 1xf x x e⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1sin 1x x e x e ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭是偶函数，排除C 、D ，又(1)0,f >Q 故选A. 10.【解析】如图：α//面CB 1D 1，α∩面ABCD =m ，α∩面ABA 1B 1=n ，可知n//CD 1，m//B 1D 1，因为△CB 1D 1是正三角形，m n 、所成角为60°． 则m 、n 所成角的正弦值为√32．故选D ．11.【解析】设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)，由{x =ty +my 2=x ⇒y 2−ty −m =0，根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m , ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2，z结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0，∵点A 、B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2，故m =2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0,又F(14,0), ∴S △ABO +S △AFO =12×2×(y 1−y 2)+12×14y 1=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3．故选B ．12.【解析】 (x 0,x 0+1)区间中点为x 0+12，根据正弦曲线的对称性知f(x 0+12)=−1,①正确。
2020届全国示范性名校高三第三次联考数学(理)试卷及参考答案
绝密★启用前（在此卷上答题无效）姓名：________________准考证号：________________2020届全国示范性名校高三三联数学（理科）试题（150分，120分钟）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数为( ) A ． 57 B ． 56 C ． 49 D ． 82.一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63.在球O 内任取一点P ，使得点P 在球O 的内接正方体中的概率是( ) A ．π B ．π C ．π D ．π4.在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩ξ～N(95，σ2)，p(ξ＞120)＝a ，P(70＜ξ＜95)＝b ，则直线ax ＋by ＋＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ． 相离 B ． 相交 C ． 相离或相切 D ． 相交或相切5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足＝ (a ＋b ).曲线C ＝{P|＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r ≤| |≤R ，r ＜R}.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ． 1＜r ＜R ＜3B ． 1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ． 1＜r ＜3＜R6.已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ． (－∞，－1)∪(0，＋∞)B ． (－∞，0)∪(1，＋∞)C ． (－1,0)D ． (0,1)7.如图所示，有三根柱子和套在一根柱子上的n 个盘子，按下列规则，把盘子从一根柱子上全部移到另一根柱子上.(1)每次只能移动一个盘子；(2)在每次移动过程中，每根柱子上较大的盘子不能放在较小的盘子上面.若将n 个盘子从1号柱子移到3号柱子最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)等于( )A ． 33B ． 31C ． 17D ． 15 8.已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2等于( )A ． 2＋iB ． 1＋3iC ． 2＋i 或1＋3iD ． 条件不够，无法求出9.已知函数f(x)＝ x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R ) 在区间[－1,3]上是减函数，则b 的最小值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410.由9个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵中，每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有（ ） ①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列-1-（20-GSSL-QGYB ） -24-52GH-③④若9个数之和等于9，则A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个11.tan(π－θ)＋tan(π＋θ)＋tan(π－θ)tan(π＋θ)的值是( )A． B． C． 2 D．12.已知偶函数f(x)：Z Z，且f(x)满足：f(1)＝1，f(2 015)≠1，对任意整数a，b都有f(a＋b)≤max{f(a)，f(b)}，其中max(x，y)＝则f(2 016)的值为( )A． 0 B． 1 C． 2 015 D． 2 016二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为________．14.已知平面区域C1：x2＋y2≤4(＋|y|)，则平面区域C1的面积是________．15.已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个子数列中，由1开始的第29个数是________；（2分）第2 014个数是________.（3分）三、解答题(共70分)（一）必考题（60分）17.（本小题满分12分）设f(x)＝cos2x＋asinx－－(0≤x≤π).(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；(2)当M(a)＝2时，求a的值.18.（本小题满分12分）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈Z，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n.(1)当n∈Z，n≥2时，用P n－1表示P n；(2)求P n关于n的表达式．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求函数f(x)在[1,2]上的最值．(2)若对任意x1，x2∈[0,2]且x1>x2，都有>－1，求m的取值范围．(3)当m≤2时，证明f(x)>0.-2-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成△MF1F2的面积为，又椭圆C的离心率为.(1)若直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝2，又直线l1：y＝k1x＋m是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；(2)椭圆C的下顶点为N，过点T(t,2)(t≠0)的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．21.（本小题满分12分）已知Q2＝称为x，y的二维平方平均数，A2＝称为x，y的二维算术平均数，G2＝称为x，y的二维几何平均数，H2＝称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数.(1)试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想；(2)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想；(3)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，P＝Q2－A2，试判断M，N，P三者之间的大小关系，并证明你的猜想. （二）选考题（10分）（请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按22题记分）-3-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-23.（选修4-5：不等式选讲）伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。
2020届四省八校高三第三次教学质量检测数学(理)试卷及解析
2020届四省八校高三第三次教学质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知某校有高一学生1000人,高二学生800人,高三学生600人,该校学生会希望调查有关本学期学生活动计划的意见,现从全体高中学生中抽取10%作为样本.若利用分层抽样,则应在高二学生中抽取（ ）A. 100人B. 80人C. 600人D. 240人【答案】B【解析】由题意结合分层抽样的定义求解需要抽取的高二学生人数即可.【详解】由分层抽样的定义可知,应在高二学生中抽取人数为： ()800100080060010%801000800600++⨯⨯=++. 故选：B . 【点睛】进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解： (1) n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．2.已知复数21i z i-+=+,则z 在复平面内对应点的坐标为（ ）A. 13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 31,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】首先化简所给的复数,然后结合化简结果即可确定其所在的象限. 【详解】()()()()2121313111222i i iiz i i i i -+--+-+====-+++-,则z 在复平面内对应的点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,故选：B .3.已知命题p ：x R ∀∈,2x x e e -+>,命题q ：0x R ∃∈,0ln 1x =-,则下列判断正确的是（） A. ()p q ⌝∧是真命题 B. ()p q ∨⌝是真命题C. ()p q ∧⌝是真命题D. ()()p q ⌝∨⌝是假命题【答案】A【解析】由题意首先确定命题p ,q 的真假,然后判定所给的复合命题的真假即可.【详解】当0x =时,2x x e e -+=,命题p 为假命题； 当01x e =时,0ln 1x =-,命题q 为真命题；则：()p q ⌝∧是真命题,()p q ∨⌝是假命题,()p q ∧⌝是假命题,()()p q ⌝∨⌝是真命题. 故选：A .4.在()()65112x x -+-的展开式中,含3x 的项的系数是（ ）A. -100B. -60C. 60D. 100【答案】A【解析】由题意结合排列组合和二项式的展开式特点确定含3x 的项的系数即可.【详解】由题意可得：含3x 的项为()()()33333652100C x C x x +⨯-=-⨯-,则含3x 的项的系数是100-.。
2020届四省名校高三第三次大联考理科数学试卷
A． 2 3
B． 13
C． 2 3 或 13
D． 5
6．如图，已知 O : x2 y2 2 与 x 轴的正半轴交于点 A ，与曲线 y x 交于第一象限的点 B ， 则阴影部分的面积为（ ）
A． 2 83
B． 1 86
C． 1 86
D． 1 46
7．如图是一个算法流程图，那么运行算法流程图输出的结果是（ ）
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g(x)
g(x)
0
，若
2
,
2
，则
______.
16．已知直线 l : y 1 与 y 轴交于点 M ，Q 为直线 l 上异．于．点．M 的动点，记点 Q 的横坐标为 n ， 若曲线 C : x2 y2 1 上存在点 N ，使得 MQN 45 ，则 n 的取值范围是______.（用区 2 间表示）
A． 103 2
B． 99 2
C． 52
D． 51
x y 1 0
8．已知
x、y
满足约束条件
2x 4x
y20 3y 1 0
，则
z
2x
y x 1
5
的最大值为（
）
A． 13 5
B． 7 8
C． 14 3
D． 4
9．已知
5
cos(
x
)
3sin
x
4
cos
x
，对
x
R
恒成立，则
sin
6
（
）
A． 4 3 3 10
C
:
x2 2
y2
1 所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆
x2 a2
y2 b2