排列组合公式和各类例题
排列组合经典题型及解法
排列组合是组合数学中的一个重要概念，涉及到对一组对象进行排列或组合的方式。
下面列举几个经典的排列组合题型及解法：
1. 排列问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种排列方式？
-解法：使用排列数的公式P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n 的阶乘。
2. 组合问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种组合方式？
-解法：使用组合数的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。
3. 重复排列问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行排列，允许元素重复，有多少种排列方式？
-解法：使用重复排列数的公式P'(n, m) = n^m，其中^n表示n的m次方。
4. 重复组合问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行组合，允许元素重复，有多少种组合方式？
-解法：使用重复组合数的公式C'(n, m) = C(n+m-1, m)，其中C(n, m)表示组合数。
5. 圆排列问题：
-题型：将n个不同的物体围成一个圆圈，有多少种不同的排列方式？
-解法：使用圆排列数的公式P(n) = (n-1)!。
以上是一些常见的排列组合题型及其解法。
在实际问题中，可能会出现更加复杂和变化的情况，需要根据具体问题进行分析和推导解法。
排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-；(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nm nm mm ==--+=-11……!!!! 10=nC 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n mnC C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12mm 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
高中数学排列组合技巧例题
高中数学排列组合技巧例题高中数学排列组合技巧例题一、排列排列是数学中的一种基本的组合方式，常用于求从n个元素中任取m个元素进行排列的方法。
例题1：从A、B、C、D、E、F、G、H、I中任取3个元素进行排列，求可能的方法数。
解答：由于是从9个元素中任取3个进行排列，因此这是一个求9P3的问题。
代入公式，可得到解答：9P3 = 9!/(9-3)! = 9!/6! = 9*8*7 = 504因此，共有504种可能的方法。
例题2：某公司有5名职员，其中有2名财务人员和3名技术人员，求从中任意取出3人且至少1人为财务人员的方法数。
解答：首先考虑不考虑任意取出3人这个条件，只考虑至少1人为财务人员这个条件。
由于是求至少1人为财务人员的情况数，可以用全部情况数减去不取财务人员的情况数来求出。
全部情况数：从5个人中任取出3个人的排列数，即5P3=60。
不取财务人员的情况数：从3名技术人员中任取3人的排列数，即3P3=6。
因此，至少有一名财务人员的情况数为60-6=54。
接下来，考虑任意取出3人的情况。
可以分为两种情况，即取出1名财务人员和2名技术人员，以及取出2名财务人员和1名技术人员。
取出1名财务人员和2名技术人员的排列数为：2P1*3P2=12，取出2名财务人员和1名技术人员的排列数为：2P2*3P1=6。
因此，共有12+6+54=72种可能的方法。
二、组合组合是数学中的一种基本的组合方式，常用于求从n个元素中任取m个元素进行组合的方法。
与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
例题3：从A、B、C、D、E、F、G、H、I中任取3个元素进行组合，求可能的方法数。
解答：由于是从9个元素中任取3个进行组合，因此这是一个求9C3的问题。
代入公式，可得到解答：9C3 = 9!/3!(9-3)! = 9!/3!6! = 3*4*5/3*2*1 = 10。
因此，共有10种可能的方法。
例题4：某公司有5名职员，其中有2名财务人员和3名技术人员，求从中任意取出3人且至少1人为财务人员的方法数。
超全超全的排列组合的二十种解法
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。
定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。
①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。
从6种颜色中取出4种进行排列呢。
解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。
A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。
A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。
[计算公式]排列用符号A(n,m)表示，m≦n。
计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)!此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1)例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。
组合的定义及其计算公式1组合的定义有两种。
定义的前提条件是m≦n。
①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。
解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。
[计算公式]组合用符号C(n,m)表示，m≦n。
公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。
例如：C(5,2)=A(5,2)/[2!x(5-2)!]=(1x2x3x4x5)/[2x(1x2x3)]=10。
高中数学排列组合总结及例题解析
高中数学排列组合总结及例题解析内容总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n mn m m m==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或 四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C典例分类讲解：一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
排列组合常考题型
排列组合常考题型排列组合是数学中研究事物的安排方式的一门学问，常用于计算不同的组合可能性数量。
在考试和竞赛中，排列组合的题目类型多样，以下是一些常见的题型：1. 排列题：- 求解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数，公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中"!"表示阶乘。
- 有重复元素的排列问题，如n个a和m个b的排列方式。
- 带有限制条件的排列问题，例如要求某些元素必须相邻或者某些位置上的元素必须满足特定条件。
2. 组合题：- 求解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，公式为C(n, m) = n! / [m! * (n-m)!]。
- 组合数的性质和应用，如集合的子集个数、二进制数的1的个数等。
3. 分堆问题：- 将n个物品分成k个非空组的方法数。
- 把n个物品分成任意数量的非空组的方法数。
4. 分配问题：- 将不同类型的物品分配到不同组或位置的问题，可能涉及多重集合的排列组合。
5. 错排问题（Derangement）：- 求没有任何一个元素出现在原位置上的排列数，记为D(n)。
6. 利用包含与排除原理计算至少满足一个条件的情况数。
7. 使用递推关系和母函数解决复杂的排列组合问题。
8. 概率与统计中的应用，比如桥牌、彩票中奖计算等。
9. 利用组合几何学解决空间中的排列组合问题，例如线段、圆周上的点分布等。
10. 置换群、轨道和稳定化子等高级组合结构问题，常见于高等数学和组合数学领域。
这些题型通常需要学生掌握基本的排列组合概念、性质以及解题技巧，并能根据具体问题的约束条件灵活运用公式和策略来解决问题。
排列组合知识点和例题
排列组合知识点和例题1．分类计数原理:完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1+n2+n3++nM种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·nM种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。
它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。
3.排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元．．．．．．素的一个排列.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从nm个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示.其中n，m∈N，并且m≤n．m排列数公式:Ann(n1)(nm1)n!(m≤n,n,mN)(nm)!当m=n时，排列称为全排列，排列数为n=n(n1)An21记为n!,且规定O!=1.mm1注：nn!(n1)!n!;AnnAn14.组合的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示.mAn!组合数公式:Cnn(n1)(nm1).Amm!m!(nm)!mmnm规定Cn1，其中m，n∈N+，m≤n.注:排列是“排成一排”，组合是“并成一组”,前者有序而后者无序.组合数的两个性质:①Cmn因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法Cnmn;从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，是一一对应的，因此是一样多的.②Cm1nmCmnCn1根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有Cn种，依分类原理有Cmm1mmnCnCn1.m1n，如果不取这一元素，则常年授课开设班型：一对一和4-8人小班1业精于勤而荒于嬉行成于思而毁于随5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法;②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有Ann种，m(mn)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有AnnAmm种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.1.1两个计数原理(1)例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。
排列组合例题
【例 1】 9 名同学站成两排照相，前排 4 人，后排 5 人，共有多少种站法？ 分析 如果问题是 9 名同学站成一排照相，则是 9 个元素的全排列的问题，有 A99 种方
案。而问题中 9 个人要分成两排，可以看成 9 个人排成一排后，左边 4 个人站在前排，右 边 5 个人站在后排，所以实质上，还是 9 个人站 9 个位置的全排列问题． 解：由全排列公式，共有 A99==9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880 种不同的排法．
2 个点，就可以画出一条线段；在 10 个点中取 3 个点，就可以画出一个三角形；在 10 个 点中取 4 个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题.
解：由组合数公式. ①C102=45 个直线段 ②C103=120 个三角形 ③C104=210 个四边形
【例 12】 用 0,1,2,3,4 这 5 个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有________个.(答案:30
从右图中 11 个交点中任取 3 个点，可画出多少个三角形？
解：组合总数为 C113=165， 其中三点共线不能构成的三角形有 6C33=6，四点共线不能构成的三角形有 2C43=8，
∴165-（6+8）=151 个
【例 25】
1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的
排法
种．
解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置
上任选一个位置，有 3 种，而其余学生的排法有 A44=24 种，所以共有 3×24＝72 种不 同的排法.
【例 26】
乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名队员参加比赛，3 名主力队员要
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组合恒等式排列组合常见公式基本计数原理⑴加法原理和分类计数法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。
⒊分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。
⑵乘法原理和分步计数法⒈乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
⒉合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。
3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。
4例题【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴2b=a+c，可知b由a,c决定，又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。
【例2】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入：（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。
∴本题答案为：C（8,3）=56。
分析分析是分类还是分步，是排列还是组合注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。
【例3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有1种选择，同理A、B位置互换，共12种。
【例4】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？（A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
或分步⑴从6双中选出一双同色的手套，有C（6,1）=6种方法⑵从剩下的5双手套中任选两双，有C（5,2）=10种方法⑶从两双中手套中分别拿两只手套，有C（2,1）×C（2,1）=4种方法。
同样得出共⑴×⑵×⑶=240种。
【例5】．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6,2）×C（4,2）×C（2,2）=90种。
【例6】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。
现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，C（2,2）×C（5,2）×C（4,4）=10种；第二类：这两个人都去当车工，C（5,4）×C（2,2）×C（4,2）=30种；第三类：这两人既不去当钳工，也不去当车工C（5,4）×C（4,4）=5种。
第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,3）=80种；第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,4）=20种；第六类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，C（5,4）×C（2,1）×C（4,3）=40种；因而共有185种。
【例7】现有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?分析：有同学认为只要把0，1，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
抽出的三数含0，含9，有32种方法；抽出的三数含0不含9，有24种方法；抽出的三数含9不含0，有72种方法；抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。
因此共有32+24+72+24=152种方法。
【例8】停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种?分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有A（9,9）=362880种停车方法。
特殊优先特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。
【例9】六人站成一排，求⑴甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数⑵甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数第一步：排出首位和末尾、因为甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有A（4,2）=12种；第二步：由于六个元素中已经有两位排在首位和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行顺序排列，共A（4,4）=24种；根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12×24=288种。
⑵第一类：甲在排尾，乙在排头，有A（4,4）种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3×A（4,4）种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3×A（4,4）种方法。
第四类：甲不在排尾也不在排头，乙不在排头也不在排尾，有6×A（4,4）种方法（排除相邻）。
共A（4,4）+3×A（4,4）+3×A（4,4）+6×A（4,4）=312种。
【例10】对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。
若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有C（4,1）种可能；第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。
第三步：前四次有A（4,4）种可能。
∴共有576种可能。
捆绑与插空【例11】8人排成一队⑴甲乙必须相邻⑵甲乙不相邻⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻分析：⑴甲乙必须相邻，就是把甲乙捆绑（甲乙可交换）和7人排列A（7,7）×A （2，2）⑵甲乙不相邻，A（8,8）-A（7,7）×2。
或A（6,6）×A(7,2)⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻A（6,6）×2×2甲乙必须相邻且与丙不相邻A（7,7）×2-A（6,6）×2×2⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻A（6,6）×2×2⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，A（8,8）-A（7,7）×2×2+A（6,6）×2×2【例12】某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?分析：∵连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。
另外没有命中的之间没有区别，不必计数。
即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即A（5,2）。
【例13】马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。
又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴共C（6,3）=20种方法。
方法二：把其中的3只灯关掉总情况有C（8，3)种关掉相邻的三只有C（6，1)种关掉相邻的两只有2*C（7，2)-12种所以满足条件的关灯方法有:C（8，3)-C（6，1)-[2*C（7，2)-12]=56-6-(42-12)=20种间接计数法⑴排除法【例14】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，∴共76种。
【例15】正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，∴共C（8,4）-12=70-12=58个。
【例16】1，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?分析：由于底数不能为1。
⑴当1选上时，1必为真数，∴有一种情况。
⑵当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共A（8,2）=56，其中log2为底4=log3为底9，log4为底2=log9为底3,log2为底3=log4为底9,log3为底2=log9为底4.因而一共有56-4+1=53个。
【例17】六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。
因而有A(6，6)/2=360种。