几类特殊线性变换及其二阶矩阵优秀教学设计
人教版高中数学选修四教学课件-几类特殊线性变换及其二阶矩阵
������'-������ 1
11
∴ ������'-������ = - 3 , ∴ ������'-������ = - 3 ������' + 3 ������,
������' = 3������'.
������' = 3������'.
13
1
∴
������'
=
10 3
������
+
10 9
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型四
投影变换
【例4】 在直角坐标系xOy内,求关于直线y=3x的投影变换对应 的二阶矩阵.
分析:根据投影变换的定义,在关于直线l的投影变换下,点P与它 的像P'应满足PP'⊥l,且点P'在直线l上.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
解:设平面内任一点P(x,y)在关于直线y=3x的投影变换下的对应 点为P'(x',y'),则有PP'与直线y=3x垂直,且点P'在直线PP'上,
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
题型三
伸缩变换
【例
3】在直角坐标系
xOy
内,将每个点的横坐标变为原来的
1 2
,
纵坐标变为原来的 2 倍, 求点������(1,2)在该变换作用下的像������′.
分析:可根据伸缩变换的坐标变换公式或对应的矩阵求解.
解:设点 M 在该变换作用下的像为 M'(x',y'),
答案:B
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
高中数学第1课时二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换教案新人教A版选修4 (9)
2.2 二项分布一、教学目标：1、知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
2、过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、教学过程（二）、探析新课：1 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ， p )．例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)例2．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率例3．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）例4．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？例5．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．（四）、课堂练习：1.．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
线性变换与二阶矩阵PPT课件
二阶矩阵的逆
总结词
二阶矩阵的逆是一个特殊的矩阵，它与原矩阵相乘等于单位矩阵。
详细描述
二阶矩阵的逆是一个重要的概念，它是一个与原矩阵互为逆元的特殊矩阵。如果一个二阶矩阵与其逆矩阵相乘等 于单位矩阵，则这个逆矩阵是存在的。求逆矩阵的方法有多种，如高斯消元法、伴随矩阵法等。在某些情况下， 如行列式值为零时，矩阵可能没有逆矩阵。
平移矩阵与平移操作
• 平移矩阵：平移矩阵也是二阶矩阵的一种，用于 表示平移操作。其一般形式为
平移矩阵与平移操作
```
| 0 1 ty |
| 1 0 tx |
平移矩阵与平移操作
```
其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴方
平移操作：平移操作是指通过平移矩阵
向上的平移距离。
对向量进行变换，使向量在指定的方向
03
线性变换与二阶矩阵的关系
线性变换的矩阵表示
线性变换是数学中的一种重要概念，它描述了一个向量空间 中的向量通过一个线性映射变为另一个向量空间的过程。在 矩阵表示中，线性变换可以用一个矩阵来表示，该矩阵的行 和列分别对应于输入和输出空间的基向量。
线性变换的矩阵表示具有一些重要的性质，例如矩阵乘法对 应于线性变换的复合，矩阵的转置对应于线性变换的共轭， 以及矩阵的逆对应于线性变换的逆。
二阶矩阵与线性变换的转换
二阶矩阵是数学中一种常见的矩阵类型，它由四个数字组成，可以用来表示一个 线性变换。通过选择适当的基向量，可以将一个线性变换转换为二阶矩阵，反之 亦然。
二阶矩阵与线性变换的转换关系是线性的，即对于任意两个线性变换A和B，以及任 意标量k，有kA=AkB=BkA。
二阶矩阵在几何变换中的应用
通过矩阵变换，可以改变向量的长度、方向和位置，从而实现二维空间中的几何变 换。
1.1几类特殊线性变换及其二阶矩阵(第1-2课时)
？
k1 0 对应的二阶矩阵为 0 k2
？
一展身手
1.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶 矩阵为
1 0 ，求点A ( 1 ,3) 在该变换作用下的像A . 1 1 5 0 2
1 3 对应的 2.在平面直角坐标系中，点A在矩阵 1 5 2
x
求其坐标变换公式 和对应的二阶矩阵。
O
x x cos y sin y x sin y cos
cos sin sin cos
反射变换
y
P( x, y)
O x
求任意点P(x,y)对应到它关于x轴的 对称点P‘(x’,y‘)的坐标变换公式 和与之对应的二阶矩阵。
旋转变换
P( x, y)
旋转角为30o 的旋转变换
P( x, y )
3 2 1 2 1 2 3 2
x y
3 1 x y 2 2 1 3 x y 2 2
P( x, y)
旋转角为180o 的旋转变换
P( x, y )
x x y y
x x 0 y 即 y 0x y
1 0 0 1
x ax by 在平面直角坐标系xOy内，形如 ……③ y cx dy
（其中 a, b, c, d 均为常数）的几何变换叫做线性变换, ③式叫做这个线性变换的坐标变换公式.
①R360
0
②R90o
几点说明
a b 1.二阶矩阵 中的数 a, b, c, d 称为矩阵的元素； c d
高中数学新人教版A版精品学案《几类特殊线性变换及其二阶矩阵》
几类特殊线性变换及其二阶矩阵【学习目标】知识与能力：1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。
2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。
过程与方法：1．通过与过去知识的对比学习，进一步了解二阶矩阵的概念。
2．以几类特殊线性变换及其二阶矩阵为主，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系。
3．掌握二阶矩阵的一些基本性质。
情感态度与价值观：1．让学生在回顾旧知识时，学习新的知识。
2．培养合作交流意识。
【学习重难点】重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。
难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。
【学习过程】一、自主预习（一）知识点一：线性变换1．在平面直角坐标系o 内，很多几何变换都具有下列形式： ③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做__________。
③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。
是在这个线性变换作用下的__________。
（二）知识点二：线性变换 1．像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表称为__________。
数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素。
元素全为0的二阶矩阵称为__________，简记为0。
矩阵称为二阶__________矩阵，记为E 。
x ax by y cx dy'=+⎧⎨'=+⎩(,)P x y '''(,)P x y a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭0000⎛⎫ ⎪⎝⎭1001⎛⎫ ⎪⎝⎭二、探究思考1．引入平面直角坐标系后，我们可以通过方程来研究平面曲线，也可以通过平面曲线来研究方程。
在引入二阶矩阵概念后，能否对二阶矩阵与平面内的某些几何变换进行类似的研究呢？三、习题检测1．在直角坐标系o 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。
最新人教版高中数学选修4-2几类特殊线性变换及其二阶矩阵
章末整合பைடு நூலகம்升
激趣诱思 新知预习 知识结构
知识网络构建 预习导引
YUXI DAOYIN
专题归纳整合 互动课堂
HUDONG KETANG
4.反射变换 一般地,我们把平面上的任意一点 P 变成它关于直线 l 的对称点 P' 的线性变换叫做关于直线 l 的反射. 在直角坐标系 xOy 内,任意一点 P(x,y),①变成它关于 x 轴的对称点 ������' = ������, 1 0 P'(x',y'),相应的坐标变换公式是 ,对应的二阶矩阵是 ;② 0 -1 ������' = -������ 变成它关于 y 轴的对称点 P'(x',y'),相应的坐标变换公式是 ������' = -������, ,对应 ������' = ������
重点难点
1.重点:二阶矩阵与平面向量的乘法以及线性变换的基本性质. 2.难点:(1)旋转变换的坐标变换公式的推导过程;(2)矩阵与变换在数学 知识中的应用.
学法建议
1.借助转化与化归的思想,理解几类特殊的线性变换; 2.由矩阵的相等会求参数的值; 3.对于二阶矩阵与平面向量的乘法,在学习中要不断加深体会数学知识 间的相互联系; 4.在学习线性变换的基本性质时可与平面向量的有关性质进行类比,进 而加深理解.
章末整合提升
激趣诱思 新知预习 知识结构
知识网络构建 预习导引
YUXI DAOYIN
专题归纳整合 互动课堂
HUDONG KETANG
1.线性变换 在平面直角坐标系 xOy 内,很多几何变换都具有的形 ������' = ������������ + ������������, 其中系数 a,b,c,d 均为常数.我们把这种几何变换叫做 式: ������' = ������������ + ������������. 线性变换,上式叫做这个线性变换的坐标变换公式.P'(x',y')是 P(x,y)在这 个线性变换作用下的像. 2.二阶矩阵、零矩阵、二阶单位矩阵 由 4 个数 a,b,c,d 排成的正方形数表 0 的二阶矩阵 阵,记为 E2. 0 0 ������ ������ 称为二阶矩阵;元素全为 ������ ������ 0 称为二阶单位矩 1
《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案新部编本2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案2教学目标（1）了解矩阵的概念（2）掌握几种特殊矩阵教学重点与难点几种特殊矩阵教学方式、方法与手段讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合教学过程问题导入： 矩阵是研究线性变换、向量的线性相关性及线性方程组的解法等的有力且不可替代的工作,在线性代数中具有重要地位. 本章中我们首先要引入矩阵的概念,深入讨论矩阵的运算、矩阵的变换以及矩阵的某些内在特征. 本节中的几个例子展示了如何将某个数学问题或实际应用问题与一张数表——矩阵联系起来,这实际上是对一个数学问题或实际应用问题进行数学建模的第一步.内容要点一、引例引例1 线性方程组与数表的关系引例2 航空公司航班图与数表的关系引例3 某企业季度、产品、产值与数表的关系二、矩阵的概念定义1 由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==排成的m 行n 列的数表mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211称为m 行n 列矩阵, 简称n m ⨯矩阵. 为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用大写黑体字母表示它, 记为)1(212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ这n m ⨯个数称为矩阵A 的元素, ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素. 一个n m ⨯矩阵A 也可简记为)()(ij n m ij n m a A a A A ===⨯⨯或.元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵, 本书中的矩阵都指实矩阵(除非有特殊说明).所有元素均为零的矩阵称为零矩阵, 记为O .所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵.若矩阵)(ij a A =的行数与列数都等于n ，则称A 为n 阶方阵, 记为n A .如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵.定义 如果矩阵B A ,同型矩阵, 且对应元素均相等, 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记为B A =.例1 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8631,562321z y x B z x A ，已知B A =,求z y x ,,. 三、矩阵概念的应用矩阵概念的应用十分广泛,这里,我们先展示矩阵的概念在解决逻辑判断问题中的一个应用. 某些逻辑判断问题的条件往往给的很多,看上去错综复杂,但如果我们能恰当地设计一些矩阵,则有助于我们把所给条件的头绪理清,在此基础上再进行推理,将能起到化简解决问题的目的.四、几种特殊矩阵只有一行的矩阵)(21n a a a A Λ=称为行矩阵或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作),,,(21n a a a A Λ=只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b B M 21 称为列矩阵或列向量.n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλΛΛΛΛΛΛΛ00000021 称为n 阶对角矩阵,对角矩阵也记为),,,(21n diag A λλλΛ=.n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001ΛΛΛΛΛΛ 称为n 阶单位矩阵, n 阶单位矩阵也记为n E E = （或 n I I =）当一个n 阶对角矩阵A 的对角元素全部相等且等于某一数a 时，称A 为n 阶数量矩阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ000000. 例题选讲例2甲、乙、丙、丁、戊五人各从图书馆借来一本小说,他们约定读完后互相交换,这五本书的厚度以及他们五人的阅读速度差不多,因此,五人总是同时交换书,经四次交换后,他们五人读完了这四本书,现已知:(1) 甲最后读的书是乙读的第二本书；(2) 丙最后读的书是乙读的第四本书；(3) 丙读的第二本书甲在一开始就读了；(4) 丁最后读的书是丙读的第三本；(5) 乙读的第四本书是戊读的第三本书；(6) 丁第三次读的书是丙一开始读的那本书.试根据以上情况说出丁第二次读的书是谁最先读的书?。
高中数学—线性变换与二阶矩阵
绕原点 O 按逆时针旋转 270 和按顺时针旋转 90 的
坐标变换公式以及对应的二阶矩阵. 看看它们有什么
关系?
旋转角为 270 时,
坐标变换公式:
二阶矩阵:
x y
= =
x cos 270 x sin 270 +
ysin ycos
270, 270.
01 -1 0
x y
= =
y, - x.
(二) 变换、矩阵的相等
2. 怎样根据条件求上述变换的变换公式?
2. 反射变换
一般地, 我们把平面上的任意一点 P 对应到它关 于直线 l 的对称点 P 的线性变换叫做关于直线 l 的反 射.
如点 P(x, y) 关于 x 轴的反射 P(x, y), 其反射变
换公式为 x=x,
y P(x, y)
y= -y.
与之对应的二阶矩阵是
-1 0
0 1
.
O
x
练习(补充). 请写出在直角坐标系 xOy 内, 任一 点 P(x, y) 关于直线 x+y=0 的反射变换公式及对应的
【课时小结】
5. 线性变换对应的矩阵
线性变换
x y
= =
ax + by, cx + dy.
对应的矩阵为二阶矩阵
ab c d.
旋转变换
x y
= =
xcosa xsina +
ysina ycosa
, .
对应的矩阵为
cosa sina
-sina cosa
.
(第二课时)
第一课时 第二课时
1. 反射变换、伸缩变换、投影变换、切 变变换分别是怎样的变换?
例3. 设 A= 1 y
《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案3
《1.2.3 几类特殊的矩阵变换》教案3教学目标1． 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义2．理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵3.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系教学重难点熟练的掌握和了解几种特殊的变换教学过程介绍以下特殊阵(共同特点都是方阵)1，对角阵n 阶方阵 12n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 主元之外都是0 称为对角阵，一般它与任意n 阶方阵相乘不能交换，但两个对角阵相乘是能交换的，数与对角阵相乘，对角阵相加、乘还是对角阵。
再进一步特殊化就是λλ=i2、数量矩阵对于任意常数λ，n 阶方阵λ=λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭叫数量矩阵。
它与任意n 阶方阵相乘可交换，以数量矩阵乘以一个矩阵B 相当于数λ乘以矩阵B3,单位阵当λ=1时数量阵就是单位阵，即111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭记为E 显然E 在矩阵乘法中的作用与数1在数的乘法中的是相同的即AE=EA 。
一般称 n 阶的方阵E 为单位矩阵。
即主元是1，非主元是零例7：利用矩阵乘法，将线性方程组表为矩阵形式。
n 个未知量m 个方程的方程组系数矩阵、未知量列矩阵、常量列矩阵n 个未知量m 个方程的方程组的矩阵形；齐次方程组的矩阵形 AX=B AX=0 方程组可表示为AX=B.此式为方程组矩阵型。
齐次方程组可表为AX=0四，转置矩阵定义4：将m ⨯ n 矩阵A 的行与列互换所得的n ⨯ m 矩阵，称为矩阵A 的转置矩阵，记为A T 转置矩阵有如下性质：1 (A T )T =A2, (A+B)T =T T B A +3. T T kA )kA (=4 . T T T A B )AB (=五．方阵的幂与方阵的行列式对于幂了解，重点掌握行列式定义5：由n 阶方阵的元素按原相对位置构成的行列式就是detA 或A 。
定理2—1设A , B 是同阶方阵则AB =B A 此定理可推广到有限小结：理解矩阵的有关概念，掌握矩阵的乘法及矩阵与行列式的区别。
高三数学总复习 线性变换二阶矩阵及其乘法教案
芯衣州星海市涌泉学校2021届高三数学总复习线性变换、二阶矩阵及其乘法教案A版选修4-21.(选修42P34习题第1题改编)求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．解：矩阵表示横坐标保持不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0)2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．解：＝，解得3.变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．解：将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，那么有＝，解得∴T＝.4.求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．解：设点(x，y)是曲线y＝上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，那么＝，所以.因为点(x，y)在曲线y＝上，所以x′＝，即x＝.5.求直线x＋y＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．解：设点(x，y)是直线x＋y＝5上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，那么＝，所以.因为点(x，y)在直线x＋y＝5上，所以y′＝x＋y＝5，故得到的图形是点(0，5)．1.变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，假设按照对应法那么T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y′)，那么称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或者者T：→.一般地，对于平面向量的变换T，假设变换规那么为T：→＝，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规那么，可以改写为→＝(a、b、c、d∈R)的矩阵形式，反之亦然．2.几种常见的平面变换(1)当M＝时，那么对应的变换是恒等变换．(2)由矩阵M＝或者者M＝(k>0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换．(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4)当M＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或者者点)逆时针旋转θ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线(或者者某个点)的变换称为投影变换．(6)由矩阵M＝或者者确定的变换称为切变变换．3.变换的复合与矩阵的乘法(1)一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律．(2)矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)．(3)矩阵的乘法不满足消去律．[备课札记]题型1求变换前后的曲线方程例1设椭圆F：＋＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．解：变换矩阵为，任取椭圆上一点(x0，y0)，那么＝，令那么又点(x0，y0)在椭圆F上，故＋＝1，所以2x′2－8x′y′＋9y′2－4＝0，即F′的解析式为2x2－8xy＋9y2－4＝0.设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．解：MN＝＝，设(x，y)是曲线y＝sinx上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为(x′，y′)．那么＝，所以即代入y＝sinx得y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y＝2sin2x.矩阵M＝，N＝，矩阵MN对应的变换把曲线y＝sinx变为曲线C，求曲线C的方程．解：MN＝＝，设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P0(x0，y0)在矩阵MN变换下的对应点，那么有＝，即所以又点P(x0，y0)在曲线y＝sinx上，故y0＝sinx0，从而y＝sinx.所求曲线C的方程为y＝sinx.题型2根据变换前后的曲线方程求矩阵例2二阶矩阵M对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)．(1)求矩阵M；(2)假设直线l在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x－3y－68＝0，求直线l的方程．解：(1)不妨设M＝，那么由题意得＝，＝，所以故M＝.(2)取直线l上的任一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x′，y′)，那么＝＝，即代入11x－3y－68＝0，得x－y－4＝0，即l的方程为x－y－4＝0.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，务实数a、b的值．解：(解法1)在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2，0)，B(0，－2)，A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′，因为＝，所以A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以B′的坐标为(－2a，－8)．由题意A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b ＝3.(解法2)设直线l：x＋y＋2＝0上任意一点(x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点(x′，y′)．因为＝，所以x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y.因为(x′，y′)在直线m上，所以(x＋ay)－(bx＋4y)－4＝0，即(1－b)x＋(a－4)y－4＝0.又点(x，y)在直线x＋y＋2＝0上，所以＝＝，解得a＝2，b＝3.题型3平面变换的综合应用例3M＝，N＝，向量α＝.(1)验证：(MN)α＝M(Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足MN＝NM.解：(1)因为MN＝＝，所以(MN)α＝＝.因为Nα＝＝，所以M(Nα)＝＝，所以(MN)α＝M(Nα)．(2)因为MN＝，NM＝，所以这两个矩阵不满足MN＝NM.在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A，B，C.求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．解：因为＝，＝，＝，所以A，B，C在矩阵作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′，B′，C′.故S△A′B′C′＝A′C′|yB′|＝.1.在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求△OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M＝，N＝.解：由题设得MN＝，∴·＝，·＝，·＝.可知O、A、B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为O′(0，0)、A′(2，0)、B′(2，－1)．可得△O′A′B′的面积为1.2.矩阵M＝，N＝，在平面直角坐标系中，设直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程．解：由题设得MN＝＝.设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′，y′)，那么有＝，即＝，所以因为点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0.所以曲线F的方程为2x＋y＋1＝0.3.(2021·)直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.(1)务实数a、b的值；(2)假设点P(x0，y0)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．解：(1)设直线l：ax＋y＝1上任意一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的象是M′(x′，y′)，由＝＝，得又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1.依题意解得(2)由A＝，得解得y0＝0.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1，故点P的坐标为(1，0)．4.在线性变换＝下，直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．解：由＝，得而x＋y＝k，所以(k为常数)，所以直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点(k，2k)．1.如下列图，四边形ABCD和四边形AB′C′D分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD变成四边形AB′C′D 的变换矩阵M.解：该变换为切变变换．设矩阵M＝，由图知，C C′，那么＝.所以3k－2＝3，解得k＝.所以，M＝.2.矩阵M＝，向量α＝，β＝.(1)求向量3α＋β在TM作用下的象；(2)求向量4Mα－5Mβ.解：(1)因为3α＋β＝3＋＝＋＝，所以M＝＝.(2)4Mα－5Mβ＝M(4α－5β)＝＝.3.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y＝4，求l的方程．解：设M＝，那么有＝，＝，∴，且，解得和，∴M＝，∵＝＝，且m：2x′－y′＝4，∴2(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋4＝0，∴直线l的方程为x＋4＝0.4.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．解：(1)设M＝，那么有＝，＝，所以且解得所以M＝.(2)因为＝＝且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，即直线l的方程为x ＋y＋2＝0.几种特殊的变换：反射变换：M＝：点的变换为(x，y)→(x，－y)，变换前后关于x轴对称；M＝：点的变换为(x，y)→(－x，y)，变换前后关于y轴对称；M＝：点的变换为(x，y)→(－x，－y)，变换前后关于原点对称；M＝：点的变换为(x，y)→(y，x)，变换前后关于直线y＝x对称．投影变换：M＝：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，点的变换为(x，y)→(x，0)；M＝：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上，点的变换为(x，y)→(0，y)；M＝：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→(x，x)；M＝：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→(y，y)；M＝：将坐标平面上的点垂直于y＝x方向投影到y＝x上，点的变换为(x，y)→.。
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几类特殊线性变换及其二阶矩阵
【教学目标】
1．了解二阶矩阵的概念，线性变换与二阶矩阵之间的关系。
2．熟练运用旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示解决具体问题。
3．亲历几类特殊线性变换的探索过程，体验分析归纳得出其二阶矩阵，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】
重点：掌握几类特殊线性变换及其二阶矩阵。
难点：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的实际应用。
【教学过程】
一、直接引入
师：今天这节课我们主要学习几类特殊线性变换及其二阶矩阵，这节课的主要内容有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课
（1）教师引导学生在预习的基础上了解线性变换与二阶矩阵内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习线性变换及其相关概念，它的具体内容是：
在平面直角坐标系xoy 内，很多几何变换都具有下列形式：x ax by y cx dy '=+⎧⎨'=+⎩
③； 其中系数a ，b ，c ，d 均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。
③式叫做这个线性变换的坐标变换公式。
(,)P x y '''是(,)P x y 在这个线性变换作用下的像。
像这样，由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形表a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭称为二阶矩阵。
数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素
元素全为0的二阶矩阵0000⎛⎫
⎪⎝⎭称为零矩阵，简记为0。
矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭
称为二阶单位矩阵，记为E
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换。
求点(1,0)A 在这个旋转变换作用下的像A '。
解析：教师板书。
（3）接着，我们再来看下旋转变换的概念，它的具体内容是：
在直角坐标系xOy 内的每个点绕原点O 按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为n R ）的坐标变换公式：cos sin sin cos x x y y x y αααα'=-⎧⎨'=+⎩，对应的二阶矩阵为：cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例：例：在直角坐标系xoy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换，写出这个旋转变化的表达式。
解析：教师板书。
（4）接着，我们再来看下反射变换内容，它的具体内容是：
一般地，我们把平面上的任意一点P 变成它关于直线l 的对称点P '的线性变换叫做关于l 的反射。
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例：在直角坐标系xoy 内，直线l 过原点，倾斜角为α。
求关于直线l 的反射变换的坐标变换公式。
学生板书，教师纠正解答。
（5）接着，我们再来看下伸缩变换内容，它的具体内容是：
在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标变为原来1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，其中1k ，2k 均为非零常数，我们称这样的几何变换为伸缩变换。
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例：直角坐标系xOy 内，将每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变。
（1）试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵。
（2）求点A (1,1)-在该伸缩变换作用下的像A '
教师请同学上讲台解答，并纠正总结。
（6）接着，我们再来看下投影变换内容，它的具体内容是：
设l是平面内一条给定的直线。
对平面内的任意一点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则称点P'是点P在直线l上的投影。
将平面上每一点P变成它在直线l上的投影P'。
这个变换称为关于直线l的投影变换。
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例：如图，在直角坐标系xOy内，过任意一点P做x轴的垂线，垂足为点P'，我们称点P'为点P在x轴上的（正）投影。
如果一个变换把直角坐标系内的每一点变成它在x轴上的（正）投影，那么称这个变换为关于x轴的（正）投影变换。
解析：教师板书。
3．接着，我们再来看下切变变换内容，它的具体内容是：
如图，在直角坐标系xOy内，将每一点P(,)
x y沿着与x轴平行的方向平移ky单位变成点P'，其中k是非零常数，称这类变换为平行于x轴的切变变换。
教师：请问投影变换与切变变换之间有什么异同点？
学生小组讨论，教师板书总结。
三、课堂总结
（1）这节课我们主要讲了哪些内容？
在平面直角坐标系xoy内，很多几何变换都具有下列形式：
x ax by
y cx dy
'=+
⎧
⎨'
=+
⎩
③；
其中系数a，b，c，d均为常数，我们把形如③的几何变换叫做线性变换。
在直角坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋转α角的旋转变换（通常记为
n
R）
的坐标变换公式：
cos sin
sin cos
x x y
y x y
αα
αα
'=-
⎧
⎨'
=+
⎩
，对应的二阶矩阵为：
cos sin
sin cos
αα
αα
-
⎛⎫
⎪
⎝⎭。
一般地，我们把平面上的任意一点P变成它关于直线l的对称点P'的线性变换叫做关于l
其中k是非零常数，称这类变换为平行于x轴的切变变换。