选修4-2 矩阵与变换 第一节 线性变换与二阶矩阵

第一节 线性变换与二阶矩阵1．矩阵的相关概念(1)由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 称为二阶矩阵，数a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A ，B ，C ，…表示．(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤000称为零矩阵，简记为0，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1称为二阶单位矩阵，记作E 2.2．矩阵的乘法(1)行矩阵[]a 11a 12与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则：为[]a 11a 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21.(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0和乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB )C ＝A (BC )， AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．3．线性变换的相关概念(1)我们把形如⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋byy ′＝cx ＋dy (*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐标变换公式，P ′(x ′，y ′)是P (x ，y )在这个线性变换作用下的像．(2)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P ，都有σ(P )＝ρ(P )，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A ，B ，则A ＝B .4．几种常见的线性变换 (1)由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E .平面是任何一点(向量)或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己．(2)由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 1或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换，这时称矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 伸压变换矩阵．当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩，当k >1时伸长，当0<k <1时压缩．变换T M 确定的变换不是简单地把平面上的点(向量)沿x 轴方向“向下压”或“向外伸”，它是x 轴方向伸长或压缩，对于x 轴下方的点向上压缩，对于x 轴上的点变换前后原地不动．当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 时确定的变换将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，当k >1时伸长，当0<k <1时压缩．在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．由矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1确定的变换是关于x 轴的轴反射变换，由矩阵M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1确定的变换是关于y 轴的轴反射变换，由矩阵M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1确定的变换是关于原点的中心反射变换．由矩阵M 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0确定的变换是关于直线y ＝x 的轴反射变换．(4)将一个平面图形绕一个定点旋转角α，得到另一个平面图形的变换称为旋转变换，其中的角α叫做旋转角，定点称为旋转中心．当旋转中心为原点且逆时针旋转角α时，旋转变换的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α.旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换．(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤101 0，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000 1确定的投影变换．需要注意的是投影变换是映射，但不是一一映射．(6)由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1确定的变换称为切变变换，对应的矩阵称为切变变换矩阵．以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 01为例，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 0 1把平面上的点(x ，y )沿x 轴方向平移|ky |个单位，当ky >0时沿x 轴正方向移动，当ky <0时沿x 轴负方向移动，当ky ＝0时原地不动．1．点A (3，－6)在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 12对应的变换作用下得到的点的坐标是________．解析：∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 9－3.∴变换作用下得到的点的坐标是(9，－3)． 答案：(＋9，－3)2．设⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －20 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1，则它表示的方程组为________．解析：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －20 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4x －2y 0＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，3y ＝－1. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，3y ＝－13．设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －9x 2 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －5 a 9b ，若A ＝B ，则x ＝________，a ＝________，b ＝________.解析：∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2x －5，－9＝a ，x 2＝9，0＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，a ＝－9，b ＝0，∴x ＝－3，a ＝－9，b ＝0. 答案：－3 －9 04．在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 21 －3对应的变换作用下得到点(2，－4)的平面上的点P 的坐标是________． 解析：设P (x ，y )，由矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 21 －3得坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ＋2y ，y ′＝x －3y ，，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3x ＋2y ，－4＝x －3y ， 解得⎩⎨⎧x ＝－211，y ＝1411，∴所求点P ⎝⎛⎭⎫－211，1411. 答案：⎝⎛⎭⎫－211，1411 5．若曲线y ＝x 2(x ≥0)在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的曲线为y ＝x 2(x ≤0)，则矩阵M ＝________.解析：由图象可知，此变换为以y 轴为对称轴的反射变换，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 001热点考向一矩阵相等问题例1 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3d 2b ＋c ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 b ＋c 4 a ＋2d ，若A ＝B ，求a ，b ，c ，d .【解析】 由矩阵相等的定义知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，3＝b ＋c ，d ＝4，2b ＋c ＝a ＋2d ，解得a ＝5，b ＝10，c ＝－7，d ＝4.【点评】 矩阵相等，即两矩阵对应元素相等，这是寻找等式关系的关键．1．已知矩阵M ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 a b1，N ＝⎝⎛⎭⎪⎫c 20d ，且MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20－2 0. 求实数a ，b ，c ，d 的值．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.热点考向二 线性变换例2 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．【解析】 设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2y ＝y ′. 又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上， 所以4(x ′2)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得到点P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系．2．求直线x －2y ＋1＝0经二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 110变换后的图形的方程．解析：设变换后的图形上的任一点为(x ，y )．与之对应的原直线上的点为(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ′＋y ′ x ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＋y ′＝x ，x ′＝y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝x －3y ， 又∵(x ′，y ′)在直线x －2y ＋1＝0上． ∴y －2(x －3y )＋1＝0，即：2x －7y －1＝0 ∴变换后的图形的方程为2x －7y －1＝0.热点考向三 矩阵乘法的几何意义例3 求曲线x 2＋y 2＝1，依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1变换作用下得到的曲线方程．【解析】 ∵BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 任取x 2＋y 2＝1上一点P (x 0，y 0)，它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝yy 0＝－x 2∵P (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上． ∴y 2＋x 24＝1.即所求曲线方程为y 2＋x 24＝1. 【点评】 (1)要注意矩阵乘法不满足交换律，所以要分清AB 还是BA . (2)注意原曲线上的点P 与变换后曲线上的点P ′的对应关系，不要弄错．3．求出曲线x 2＋y 2＝1依次经过矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换得到的曲线方程．解析：由已知AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.任取曲线x 2＋y 2＝1上一点P (x 0，y 0)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，故⎩⎪⎨⎪⎧－2y 0＝x ，x 0＝y .∵P 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.因此y 2＋x 24＝1，从而曲线x 2＋y 2＝1在矩阵AB 作用下变成椭圆x 24＋y 2＝1.一、填空题1．直线2x ＋y －1＝0经矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1的变换后得到的直线方程为________．解析：由变换矩阵M 知坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－x y ′＝－y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′y ＝－y ′代入直线方程2x ＋y －1＝0得2x ′＋y ′＋1＝0，即2x ＋y ＋1＝0. 答案：2x ＋y ＋1＝02．在某个旋转变换中，顺时针旋转π3所对应的变换矩阵为________．解析：顺时针旋转π3即逆时针旋转53π，变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 5π3－sin 53πsin 5π3cos 5π3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π3 sinπ3－sin π3cos π3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32－32 123．在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201变换下，点A (2,1)将转换为________，这是一种________变换．解析：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41，即点A (2,1)经过变换后变为A ′(4,1)，所以该变换为平行于x 轴的切变变换．答案：(4,1) 切变4．已知B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－2 3，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 0，并且(AB )C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －13 －2，则矩阵A ＝________.解析：∵(AB )C ＝A (BC )，又BC ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 13 －2， 所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 3 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －13 －2， ∴A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －13 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1 3 －2－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －13 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤11015.有一矩阵对应的变换把图中△ABO 变成△A ′B ′O ，其中点A 的象点为A ′，点B 的象点为B ′，则该矩阵为________．解析：设所求矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3可得a ＋2b ＝1 ①，c ＋2d ＝3 ②， 2a ＋b ＝－1 ③，2c ＋d ＝3 ④，由①、②、③、④解得a ＝－1，b ＝1，c ＝1，d ＝1，故所求矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 116．设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b 将直线l ：x ＋y －1＝0变为直线m ：x －y －2＝0，则a ，b 的值为________．解析：在直线l 上任取一点P (x ，y )，经矩阵变换后为点P ′(x ′，y ′)．则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋y by ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋y ，y ′＝by .所以ax ＋y －by －2＝0，即ax ＋(1－b )y －2＝0，于是由a 1＝1－b 1＝－2－1，解得a ＝2，b ＝－1.答案：2，－17．在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)，B (－1,2)，C (0,3)，则△ABC 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 作用下变换所得到的图形的面积为________．解析：设A ，B ，C 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0的作用下的点为A ′，B ′，C ′，∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，∴A ′(0,0)，B ′(－2，－1)，C ′(－3,0)， ∴S △A ′B ′C ′＝12|A ′C ′|·|y B ′|＝12×3×1＝32.答案：328．设△OAB 的三个点坐标为O (0,0)，A (A 1，A 2)，B (B 1，B 2)，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1对应的变换下作用后形成△OA ′B ′，则△OAB 与△OA ′B ′的面积之比为________．解析：由题意知T M 为切变换，故变换前后的图形面积大小不变． 答案：1∶1 二、解答题9．(2011年江苏)正如矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 解析：∵A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. 10．设圆F ：x 2＋y 2＝1在(x ，y )→(x ′，y ′)＝(x ＋2y ，y )对应的变换下变换成另一图形F ′，试求变换矩阵M 及图形F ′的方程．解析：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. ∵圆上任意一点(x ，y )变换为(x ′，y ′)＝(x ＋2y ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋2y y ′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′－2y ′y ＝y ′. ∵x 2＋y 2＝1，∴(x ′－2y ′)2＋(y ′)2＝1.即F ′的方程为(x －2y )2＋y 2＝1.11．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12和N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 22－2222， 求证：MN ＝NM .证明：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 22－22 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－24 6＋24， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2222－2222⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－24 6＋24.。