求抽象函数表达式常见五种方法

求抽象函数表达式常见五种方法

1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法

解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211

x f x x =++,求()f x .

2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知

()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x

4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.

例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x

例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1

g x x =-， 求()f x ,()g x .

5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式

例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x

参考答案：

例1：解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u

f u u u -=+=--∴2()1x

f x x -=-

例2：解：∵2221

1111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11

||||1||x x x x +=+≥

∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)

例3．解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c

++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4

1321,1,22

22a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴

21

3

()22f x x x =++

例4.解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0

x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩

例5．解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,

不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1

()()1f x g x x -+-=--即()f x －1

()1g x x =-+……②

显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x

g x x =-

例6：解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++

∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+

以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈