2019-2020学年辽宁省铁岭市调兵山市第一高级中学高二下学期第一次月考数学试题(解析版)

2019-2020学年辽宁省铁岭市调兵山市第一高级中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．命题“0x ∃<，使2310x x -+≥”的否定是（ ） A ．0x ∃<，使2310x x -+< B ．0x ∃≥，使2310x x -+< C ．0x ∀<，使2310x x -+< D ．0x ∀≥，使2310x x -+<【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断. 【详解】命题“0x ∃<，使2310x x -+≥”的否定是“∀x 0<，x 2﹣3x +1<0”, 故选C. 【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.2．函数()21,11,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为（ ）A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．()0,1C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()0,∞+【答案】D【解析】分别求出当1,1x x <>时的值域,再取并集即可. 【详解】当1x <时,2213()1()24f x x x x =-+=-+,故3(),,(1)4f x x ⎡⎫∈+∞<⎪⎢⎣⎭. 当1x >时,1()(0,1)f x x =∈,故()21,11,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为()0,∞+.故选：D. 【点睛】分段函数的值域只需每段函数单独求解值域再求并集即可.3．已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（ ） A ．22ca ac > B ．ac bc > C ．22ab cb > D ．ab ac >【答案】D【解析】c ＜b ＜a ，且ac ＜0，可得c ＜0且a >0．利用不等式的基本性质即可得出． 【详解】∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0，∴c ＜0且a >0，b 与0的大小关系不定． ∴满足bc ＞ac ，ac ＜ab ， 故选D ． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．函数()22log 3xf x x =+-的零点所在区间( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】通过计算1,2x x ==的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案． 【详解】由题意，可得函数在定义域上为增函数，()2f 12log 1310=+-=-<，()22f 22log 235320=+-=-=>，所以()()120f f <，根据零点存在性定理，()f x 的零点所在区间为()1,2 故选B ． 【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准确计算()()1,2f f 的值，合理利用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 5．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（ ） A ．18B ．78C ．17D ．67【答案】C【解析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果. 【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个， 其中有一枚正面朝上的基本事件有7个， 记事件A 为“有一枚正面朝上”，则()78P A =， 记事件B 为“另外两枚也正面朝上”， 则AB 为“三枚都正面朝上”，故()18P AB =， 故()()()118778P AB P B A P A ===. 即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是17. 故选：C . 【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力． 6．函数()()32ln f x x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A 、B ，再根据函数值的正负情况，【详解】由题意，3()(2)ln ()f x x x x f x -=-+-=-，即()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，所以排除A ，B ；当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x >，排除D 故选：C. 【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型. 7．已知0,0x y >> ，且21x y +=，若212m x y+>恒成立，则实数m 的值取值范围是（ ） A ．8m ≤ B ．8m <C ．4m ≤D ．4m <【答案】D【解析】利用“乘1法”和基本不等式的性质，212m xy +>恒成立⇔ 2m ＜min21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．即可得出． 【详解】∵x ＞0，y ＞0，21x y +=∴()21212x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭444y x x y ++≥+=8．当且仅当x ＝2y ＝4时取等号．若212m x y+>恒成立，∴2m ＜8， 解得m ＜4． 故选：D ． 【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．8．若函数()y f x =的导函数()2'43f x x x =-+，则函数()1y f x =+的单调递减区间（ ） A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()1,3D ．()0,2【解析】先根据()2'43f x x x =-+分析原函数()y f x =的单调递减区间，再根据()1y f x =+与()y f x =的关系分析函数()1y f x =+的单调递减区间即可.【详解】令()2'430f x x x =-+<，解得()1,3x ∈，故()y f x =的单调递减区间为()1,3.又()1y f x =+为()y f x =往左平移1 个单位，故()1y f x =+的单调递减区间为()0,2.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数单调性的问题，同时也考查了函数平移问题，属于基础题.9．已知函数()21f x ax x =-+，（0a ≠），若任意1x ，[)21x ∈+∞,且12x x ≠都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）A ．[)1,+∞ B ．(]0,1C ．[)2,+∞D ．()0,∞+【答案】A【解析】设12x x >，由已知可得()()1122f x x f x x ->-，从而可得函数()f x x -在[)1,+∞上单调递增，进而得到关于a 的不等式，解出即可.【详解】设12x x >，因为对任意的1x ，[)21x ∈+∞,且12x x ≠都有()()12121f x f x x x ->-，故可得()()1122f x x f x x ->-，可得函数()f x x -在[)1,+∞上单调递增， Q ()221f x x ax x +=-+的对称轴为1x a=， ∴011a a>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解之得1a ≥.故a 的取值范围是[)1,+∞. 故选：A.本题考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 10．若21()ln(2)2f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞C ．(],1-∞-D ．(),1-∞-【答案】C【解析】由已知求出得()02b f x x x '=-+≤+，得2bx x ≤+在1x >-上恒成立，进而得(2)b x x ≤+．设(+2)y x x =，利用构造法能求b 出的取值范围. 【详解】函数的导数()2bf x x x '=-++，若函数在()1,-+∞上是减函数，则()02b f x x x '=-+≤+在()1,-+∞恒成立，即2bx x ≤+，因为1x >-，所以210x +>>，即(2)b x x ≤+成立．设(+2)y x x =，则()222+11y x x x =+=-，因为1x >-，所以1y >-，所以要使(2)b x x ≤+成立，则有1b ≤-， 故选：C. 【点睛】本题考查运用函数的导函数研究函数的单调性，关键在于运用导函数的正负与函数的单调性的关系，属于中档题.11．设函数21228()log (1)31f x x x =+++，则不等式212(log )(log )2x xf f +≥的解集为（ ） A ．(]0,2B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)2,+∞D ．[)10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵f （﹣x ）=12log （x 2+1）+2831x +=f （x ），∴f （x ）为R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，再通过换元法解题． 【详解】∵f （﹣x ）=12log （x 2+1）+2831x +=f （x ），∴f （x ）为R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减， 令t=log 2x ，所以，12log x =﹣t ，则不等式f （log 2x ）+f （12log x ）≥2可化为：f （t ）+f （﹣t ）≥2，即2f （t ）≥2，所以，f （t ）≥1，又∵f （1）=12log 2+831+=1， 且f （x ）在[0，+∞）上单调递减，在R 上为偶函数， ∴﹣1≤t≤1，即log 2x ∈[﹣1，1]， 解得，x ∈[12，2]， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题．12．定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1f x f x +>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e >+ 的解集为（ ）A ．(0,+∞)B ．(－∞,0)∪(3,+ ∞)C ．(－∞,0)∪(0,+∞)D ．(3,+ ∞)【答案】A【解析】由()3x xe f x e >+变形得，[()1]30xe f x -->，构造函数()[()1]3x g x e f x =--，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集．【详解】由()3x xe f x e >+变形得，[()1]30xe f x -->，设()[()1]3xg x e f x =--，所以原不等式等价于()(0)g x g >，因为()[()1]()[()()1]0xxxg x e f x e f x e f x f x '''=-+⋅=+->，所以()g x 在定义域R 上递增，由()(0)g x g >，得0x >，故选A ．【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力．二、填空题13．已知幂函数22()(1)m f x m m x =--为偶函数则m 的值为_____________. 【答案】2.【解析】根据幂函数得到211m m --=，计算得到1m =-或2m =，再验证函数的奇偶性得到答案. 【详解】幂函数22()(1)m f x m m x =--，则2112m m m --=∴=或1m =-当1m =-时，()f x x =为奇函数，舍去；当2m =时，4()f x x =为偶函数，满足 故答案为：2 【点睛】本题考查了幂函数，函数的奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力. 14．设随机变量ξ服从二项分布1~6,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2p ξ≤等于______. 【答案】1132【解析】根据条件所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式即可求得结果. 【详解】解：因为随机变量ξ服从二项分布1~6,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()()()2012p p p p ξξξξ≤==+=+=615240126661111122222C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6161511232++== 故答案为：1132【点睛】此题考查二项分布的概率计算，属于基础题.15． 函数f (x )对一切实数x 都满足11()()22f x f x +=-，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________． 【答案】32【解析】因为函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，所以方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个根是12，另外两个根关于直线x ＝12对称，且和为1，故方程f (x )＝0的三个实根的和为32.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形16．已知函数2()2ln af x x x=+，其中0a >，若()2f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为________． 【答案】[),e +∞【解析】()2f x ≥恒成立，只需min ()2f x ≥即可，求出()f x '，得出单调区间，进而求出min ()f x ，求解即可得出结论. 【详解】由2()2ln a f x x x =+，得()233222()x a a f x x x x-'=-+=， 又函数()f x 的定义域为(0,)+∞且0a >，当0x <<()0f x '<；当x >()0f x '>，故x =()f x 的极小值点，也是最小值点，且ln 1f a =+，要使()2f x ≥恒成立，需ln 12a +≥，则a e ≥， ∴a 的取值范围为[),e +∞． 故答案为：[),e +∞． 【点睛】本题考查应用导数求函数的最值，恒成立问题等价转化为函数的最值，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．函数2log (|1|2)y x =+-的定义域为M ，不等式22(23)30x a x a a -+++>的解集为N . （1）求M ，N ；（2）已知“x M ∈”是“x ∈N ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(,3)(1,)M =-∞-⋃+∞，(,)(3,)N a a =-∞⋃++∞；（2）[3,2]-- 【解析】（1）根据对数型复合函数定义域的求法，结合绝对值不等式的解法，求得M ，解一元二次不等式求得集合N .（2）根据“x M ∈”是“x ∈N ”的充分不必要条件，判断出M N ，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】（1）欲使表达式2log (|1|2)|y x =+-有意义，必须|1|2x +>， 由此得12x +<-或12x +>，因此(,3)(1,)M =-∞-⋃+∞. 不等式22(23)30x a x a a -+++>可化为()(3)0x a x a --->. 因为3a a +>，因此(,)(3,)N a a =-∞⋃++∞.（2）因为“x M ∈”是“x ∈N ”的充分不必要条件，所以M N . 由(,3)(1,)-∞-⋃+∞ (,)(3,)a a -∞⋃++∞得331a a ≥-⎧⎨+≤⎩．解得32a --≤≤此时3a =-与31a +=不同时成立，因此实数a 的取值范围为[3,2]--. 【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查绝对值不等式的解法，考查根据充分不必要条件求参数的取值范围，属于中档题. 18．已知()212xf x =+，()()1g x f x =-. （1）判断函数()g x 的奇偶性；（2）求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.（其中121nin i xx x x ==+++∑L ）【答案】（1）()g x 为奇函数；（2）20【解析】（1）根据题意，求出()g x 的解析式，其定义域x ∈R ，利用定义法判断函数的奇偶性，即可得结论；（2）根据()g x 为奇函数，得出()()0g i g i -+=，从而推出()()2f i f i -+=，根据函数对称性，即可求出101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值. 【详解】 解：（1）根据题意，可知()212xf x =+，()()1g x f x =-， 得12()12xxg x -=+，定义域为x ∈R ，当x ∈R 时，x R -∈， 因为1112212()()1122112x x x x x x g x g x ------====-+++，所以()g x 为奇函数. （2）由（1）可知()g x 为奇函数，则()()g i g i -=-，得()()0g i g i -+=，则()()110f i f i --+-=，于是()()2f i f i -+=，所以()()101010111()()i i i f i f i f i f i ===-+=-+⎡⎤⎣⎦∑∑∑101210220i ===⨯=∑.【点睛】本题考查利用定义法判断函数的奇偶性，以及函数的奇偶性和对称性的综合应用，考查化简运算能力．19．北京市政府为做好APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.（1）求该海产品不能销售的概率；（2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利—80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列.【答案】（1）14.（2）见解析 【解析】（1）利用对立事件的概率计算该产品不能销售的概率值；（2）由题意知ξ的可能取值为-320，-200，-80，40，160；计算对应的概率值，写出分布列.【详解】解：（1）设“该海产品不能销售”为事件A ，则111()1116104P A ⎛⎫⎛⎫=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，该海产品不能销售的概率为14. （2）由已知，可知ξ的可能取值为-320，-200，-80，40，160.411(320)4256P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 314133(200)4464P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 22241327(80)44128P C ξ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3241327(40)4464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， 4381(160)4256P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）当2a =时，求曲线y =()f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值.【答案】(1) x ＋y －2＝0；(2) 当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a 无极大【解析】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x. (1)当a ＝2时，f(x)＝x －2ln x ，f′(x)＝1－2x(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f′(x)＝1－a x ＝x a x-，x>0知： ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x ＝a ，又当x ∈(0，a)时，f′(x)<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f(a)＝a －aln a ，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x ＝a 处取得极小值a －aln a ，无极大值．21．已知函数()2()ln 23f x x ax =++.（1）若()f x 是定义在R 上的偶函数，求a 的值及()f x 的值域；（2）若()f x 在区间[3,1]-上是减函数，求a 的取值范围.【答案】（1）0a =，[ln3,)+∞；（2）(5,4]a ∈--【解析】（1）根据偶函数的定义，求出0a =，得()2()ln 23f x x =+，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2）2()23,()ln u x x ax g u u =++=，由条件可得，2()23u x x ax =++在[3,1]-上是减函数，且()0u x >在[3,1]-上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数a 的不等式，即可求解.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =-，所以()()22ln 23ln 23x ax x ax ++=-+，故0a =，此时，()2()ln 23f x x =+，定义域为R ，符合题意. 令223t x =+，则3t …， 所以ln ln3t …，故()f x 的值域为[ln3,)+∞. （2）设2()23,()ln u x x ax g u u =++=.因为()f x 在[3,1]-上是减函数，所以2()23u x x ax =++在[3,1]-上是减函数，且()0u x >在[3,1]-上恒成立， 故min 1,4()(1)50,a u x u a ⎧-⎪⎨⎪==+>⎩…解得54a -<≤-，即(5,4]a ∈--.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.22．已知函数()f x x =，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[11]-，上的减函数. (1)求λ的最大值；(2)若2()1g x t t λ<++在[11]-，上恒成立，求t 的取值范围； (3)讨论关于x 的方程2ln 2()x x ex m f x =-+的根的个数. 【答案】（1）1- （2）1t ≤- （3）见解析【解析】【试题分析】（1）运用导数与函数的单调性之间的关系，将问题单调性问题进行等价转化为不等式恒成立问题进行求解；（2）先求函数()g x 的最大值，将问题转化为不等式恒成立，再构造函数()()21sin11h t t λλ=++++进行求解；（3）先构造函数()()212ln ,2x f x f x x ex m x ==-+，再将问题 转化为求函数()1ln x f x x=的最大值与函数()222f x x ex m =-+的最小值，借助题设条件建立不等式进行分析求解：解：(1) ()sin g x x x λ=+又()g x Q 在[]1,1- 上单调递减 ()cos 0g x x χ'=+≤在[]1,1-恒成立 ()min cos 1x λ∴≤-=- 故λ 的最大值为1-(2) ()()max 1sin1g x g λ=-=--Q只需21sin1t t λλ++>-- 在[]1,1-上恒成立，令()()()21sin111h t t λλλ=++++≤- ，则需()10{10t h +≤->又2sin10t t -+>Q 恒成立 所以 1t ≤-(3) 令()()212ln ,2x f x f x x ex m x==-+ ， ()121ln x f x x -'=Q 所以当()0,x e ∈ 时，()'10f x > ， ()1f x 单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()'10f x <，即()1f x 单调递减.所以()1max 1f x e= 又Q ()()222f x x e m e =-+- ∴当21m e e ->，即21m e e >+时，方程无解；当21m e e -=，即21m e e=+时，方程有一个解；当21m e e -<，即21m e e <+时，方程有两个解.。