第六章-位移检测
《传感器与检测技术》高教(4版) 第六章
差动变压器位移计
当铁芯处于中间位置时，输出电压: UU 21 U 220
当铁芯向右移动时，则输出电压: UU 21 U 220
当铁芯向左移动时，则输出电压: UU 21 U 220
输出电压的方向反映了铁芯的运动方向，大小反映了铁 芯的位移大小。
差动变压器位移计
输出特性如图所示。
差动变压器位移计
角度的精密测量。 光栅的基本结构
1、光栅：光栅是在透明的玻璃上刻有大量平行等宽等 距的刻线构成的，结构如图。
设其中透光的缝宽为a，不透光的缝宽为b，
一般情况下，光栅的透光缝宽等于不透光
的缝宽，即a = b。图中d = a + b 称为光
栅栅距（也称光栅节距或称光栅常数）。
光栅位移测试
2、光栅的分类
1、激光的特性
（1）方向性强
（2）单色性好
（3） 亮度高
（4） 相干性好
2、激光器
按激光器的工作物质可分为以下几类： （1）固体激光器：常用的有红宝石激光器、钕玻 璃激光器等。
（2）气体激光器：常用的为氦氖激光器、二氧化 碳激光器、一氧化碳激光器等。
激光式传感器
（3） 液体激光器：液体激光器分为无机液体激光器 和有机液体激光器等。
数小，对铜的热电势应尽可能小，常用材料有： 铜镍合金类、铜锰合金类、镍铬丝等。 2、骨架：
对骨架材料要求形状稳定表面绝缘电阻高， 有较好的散热能力。常用的有陶瓷、酚醛树脂 和工程塑料等。 3、电刷：
电刷与电阻丝材料应配合恰当、接触电势 小，并有一定的接触压力。这能使噪声降低。
电位器传感器
电位计式位移传感器
6.2.2 差动变压器位移计结构
1-测头； 2-轴套； 3-测杆； 4-铁芯；5-线圈架； 6-导线； 7-屏蔽筒；8-圆片弹簧；9-弹簧； 10-防尘罩
第六章 结构位移计算
1、位移的分类
（1）、线位移 （2）、角位移 （3）、相对线位移
F
1 1 23
3
3 4 3 4 3 x4 34 3 y 3
q
3
（4）、相对角位移
1
12 1 2
2
2
2、产生位移的原因 荷载和非荷载因素（温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差） 3、计算位移的目的 （1）、校核结构的刚度 （2）、施工过程中的位移计算 （3）、位移计算是分析超静定结构的基础 （4）、位移计算是动力分析和稳定分析的基础
5 (0.33 3) ()
30
(1 3)
)
2
3
-
0.33
FN图
+
0.33
M图
M=1
1
4
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
() FRc
其中：
FR ——单位力作用下的支座反力
c —— 支座位移
—— 所有杆件的计算结果求和
正负号：支座位移与单位力作用下的支座反力方向一致时取 “+”，不一致时取“-”
2
10kN/m 2EI
M=1 3
EI
4m
3、求 3
80 80
1 1 801 4 ( 80 4) 1 3 3 2 EI 2 EI
1
1 4m
20
1
2 ( 20 4) 1 3 2EI
M图
MP图(kN· m)
213 .3 ( EI
)
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
2
M图(m)
2 2 160 2 2 40 0 160 0 40 2 6 EI
第六章 位移法
ql 2 8
2）令B结点产生转角 B ( ) 。此时AB、BC杆 类似于B端为固端且产生转角 的单跨超静定梁。 B
9
A A
i i
B
B
i
C i
B 3i B
B
B
3i B
B
EI i l
C
3）杆端弯矩表达式
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
F l/2 A B EI = 常数 l D l l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
C
F
B
C
B
F
B
B
C
l
l/ 2
l/2
A
l/ 2
l/ 2
三次超静定图示刚架
力
法：三个未知约束力。
位移法：一个未知位移（θB）。
二、 位移法基本思路
（８-6）
位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和 各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零, 反映了原结构的静力平衡条件。
二、位移法典型方程
对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本 未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2 P 0 rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r11 r 21 rn1
r12 r1n Z1 R1P 0 Z R 0 r22 r2 n 2 2P rn 2 rnn Z n RnP 0
第六章 弹性杆件的位移分析
§6-1 变形与位移的相依关系 §6-2 奇异函数及其在确定梁位移中的应用 §6-3 工程计算中的叠加法
§6-5 小结
§6-1 变形与位移的相依关系
1. 微段变形——应力分析中得到的结论 （a）微段轴向变形
dx+duN
1. 微段变形——应力分析中得到的结论 （b）微段扭转变形
小挠度情形下
dw tan 0
dx d2w
应用曲率公式
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
及
dw 2
0
dx
1
d 2w dx2
1
d 2w dx2
1M
EI
d2w M dx2 EI
小挠度微分方程
式中正负号与坐标取向有关
2.弯矩方程的奇异函数形式的表示法
当有连续分布荷载单独作用的时：
任意横截面上的弯矩方程为
M (qk )
1 2
qk
x ck
2
式中，ck为第k个均布荷载起点的x坐标。而且要求 连续分布载荷qk须从ck一直分布至梁的右端。
当梁上同时作用有若干个Mi、FPj、qk时，由叠加法可 得到任意横截面上的弯矩表达式为：
1.奇异函数 的定义及其微积分规则
定义：
x
a
n
(x
0 a)
(x a) (x a)
函数中n≥0 (n为正整数)
x
a
n
(x
0 a)n
(x a) (x a)
第六章位移法
第六章位移法学习目的和要求位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。
本章的基本要求：1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
2.熟记一些常用的形常数和载常数。
3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。
4.掌握利用对称性简化计算。
5.重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。
6.位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。
要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
学习内容位移法的基本概念。
跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程。
位移法基本未知量和位移法基本结构的确定。
用位移法计算刚架和排架。
利用对称性简化位移法计算。
直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。
§6.1位移法基本概念1、位移法的特点：欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
超静定结构计算的两大基本方法是力法和位移法。
力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。
位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；（例子86）基本体系——一组单跨超静定梁；（例子87）基本方程——平衡条件。
（例子88）因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
②确定结构独立的结点位移。
③建立求解结点位移的位移法方程。
下面先看第一个问题：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
2、杆端力和杆端位移的正负规定：杆端转角θA 、θB，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。
杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。
剪力使分离体有顺时针转动趋势时为正，否则为负。
（与材料力学相同）3、等截面直杆的形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力。
如右图两端固定梁，由右端单位转角作用下产生的杆端力，可用力法求解，并令：得到杆端弯矩（即形常数）为：各种情形的形常数都可有力法求出如下表：4、等截面直杆的载常数:仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杆端力称为载常熟，也叫固端力。
第六章结构的位移计算和刚度计算
各点的位置产生（相对）移动（线位移），使 杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 2、位移的分类：6种 绝对位移：点（截面）线位移––分解成水平、 垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移––沿连线 方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
3、引起位移的原因 A、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） B、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力 非0应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） C、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置 发生变化) 6-2-2单位荷载法
Nl l EA
若将式改写为 及轴向线应变 l 代入，则可得出胡克定律的 l 另一表达式为
l 1 N l E A
，并以轴向应力
N A
E
故胡克定律也可简述为：当杆内应力不超 过材料的比例极限（即正应力与线应变成正比 的最高限应力）时，应力与应变成正比。
例题6-1-1 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱， 由上下I、II两段组成。其各段的长度、横截面 尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹 性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。试 P 求砖柱顶面的位移。 解：假设砖柱的基础没有沉陷， A P P Ⅰ 3m 则砖柱顶面A下降的位移等于全 B 柱的缩短。由于柱上、下两段 4m 的截面尺寸和轴力都不相等， Ⅱ C 故应用公式
例题6-1-2 在图所示的结构中，杆AB为钢杆， 横截面为圆形，其直径d＝34mm；杆BC为木 杆，横截面为正方形，其边长a＝170mm。二 杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E1＝ 2.1×105MPa，木材顺纹的弹性模量E2＝ 0.1×105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P ＝40kN时，点B的水平位移及铅直位移。 解： （1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表 示AB及BC二杆的内力。运用平衡方程 P 40 Y 0 由 ，可得 N1 80kN o
第六章位移法
第六章位移法一、几个值得注意的问题1、位移法的适用条件（1）位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结构；正，顺时针为负。
4柱顶有相同的水平线位移。
(图中的-=50。
B 点以6-1-17 用位移法计算某一结构后，当荷载改变了，这应重新计算位移法基本方程式中的全部系数和自由项。
( )6-1-18 图6-1-5所示结构对称，荷载为反对称,用位移法计算时结点位移基本未知量最少可取为2个。
( )图6-1-56-1-19 位移法典型方程的右端项一定为零。
（)6-1-20 用位移法求解结构内力时如果PR一定为零。
（）M图为零，则自由项1P6-1-21 结构按位移法计算时，其典型方程的数目与结点位移数目相等。
()6-1-22 位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
( )6-1-23 位移法的基本结构为超静定结构。
( )6-1-24 位移法是以某些结点位移作为基本未知数，先求位移，再据此推求内力的一种结构分析的方法。
（）6-1-26 图6-1-7所示结构的位移法基本体系，其典型方程系数k为20，图中括号内数字为线刚度。
11（）6-1-306-1-31 超静定结构中杆端弯矩只取决于杆端位移。
（）6-1-32 位移法中的固端弯矩是当其基本未知量为零时由外界因素所产生的杆端弯矩。
（）6-1-33 图6-1-12a对称结构可简化为图（b）来计算。
（）6-1-34 位移法中角位移未知量的数目恒等于刚结点数。
（）q，线位移未知量为_______。
图6-2-26-2-3 图6-2-3所示结构位移法基本方程的系数k11= __________EI/l。
A.18；B. 16；C.15；D.17。
A.附加约束i发生Z i=1时在附加约束i上产生的反力或反力矩；B.附加约束i发生Z i=1时在附加约束j上产生的反力或反力矩；C.附加约束j发生Z j=1时在附加约束i上产生的反力或反力矩；D.附加约束j发生Z j=1时在附加约束j上产生的反力或反力矩。
结构力学——第6章结构位移计算
C
Aω—MP图的面积； xC—形心C到y轴的距离。
yC是MP图的形心C所对应的M图的竖标
图乘法
§6-5 图乘法
如结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为
A yC MM P ds EI EI
ΔKP
应用图乘法时，应注意下列各点： （1）必须符合上述前提条件。 （2）竖标yC只能取自直线图形。
上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。 设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5
5 ql 4 2 h 2 E h 2 ΔAy [1 ( ) 2 ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。 当h/l=1/10，G=0.4E时，计算得
例6-3 试求图a所示对称桁架结点D的竖向位移△D。图中右半 部各括号内数值为杆件的截面面积A（×10-4m2）， E=210GPa。 解：实际状态各杆内力 如图a（左半部）。 虚拟状态各杆内力如图b （左半部）。 注意桁架杆件轴力是正对称的
FN FNP l ΔD 8mm() EA
§6-5 图乘法
对整个结构有：
WV dWV FN du Md FSds
虚功方程为： W WV
W FN du Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚位移必须 是微小的
§6-2 变形体系的虚功原理
外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。
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分。在闭环、半闭环控制系统中,它的主要作
测 第 用是检测位移和速度,并发出反馈信号,构成闭
六 章
环或半闭环控制。
数
数控机床对位置检测装置的要求如下:
控 机
（1） 工作可靠,抗干扰能力强;
床 的
（2） 满足精度和速度的要求;
位 移
（3）安装,维护方便,适合机床工作环境;
检 （4） 成本低。
二、检测装置的类型
1)数字式测量
它是将被测位移量转换为脉冲个数,
测 第 即数字形式来表示,具有信号处理简单,抗
六 章
干扰性强等优点。
数 2)模拟式测量
控 机
它是将被测位移量转换为连续变化的
床 模拟电量来表示,如电压幅值变化、相位
的 位
的变化等。因此,它对信号处理的方法相
移 对来说比较复杂,并且需增加滤波器等,来
检 提高抗干扰性。
2. 感应同步器
1）结构与工作原理
感应同步器和旋转变压器均为电磁式检测装置,属 模拟式测量,二者工作原理相同,其输出电压随被测直 线位移或角位移而改变。
感应同步器按其结构特点一般分为直线式和旋转 式两种:
直线式感应同步器由定尺和滑尺组成,用于直线位 移测量。
旋转式感应同步器由转子和定子组成,用于角位移 测量。
一、计算机数控系统的组成及各部分功能
测第 六 章 数 控 机 床 的 位 移 检
组成:
输入设备 程序 输出设备
计算机 数字控 制装置 （CNC 装置）
可编程控 制器（PLC）
主轴控制单元
主轴电机 机 床
速度控制单元
进给电机 位置检测器
6.2 位移 速度 位置检测装置
位置检测装置是数控机床的重要组成部
1．按检测对象不同分类
1)直线位移测量
测第 六
它是将检测装
章 置直接安装在机床
数 拖板上,直接测量
控 机 床
机床坐标的直线位 移量,因此也称直
的 接测量,作为全闭
位 移
环伺服系统的位置
检 反馈用。
缺点: 是测量装置要和工作台行程等长,所以 在大型数控机床上受到一定限制。
2)转动角度测量
它是将检测装置安装在驱动电动机轴
位置均由固定的零点标起,每一个被检点都有
测 第 一个相应的测量值。
六
章
装置的结构较增量式复杂,如编码盘,对
数 应于码盘的每一个角度位置便有一组二进制
控 机
位数。
床
显然,分辨精度要求愈高,量程愈大,则所
的 位
要求的二进制位数也愈多,结构也就愈复杂。
移
检
4．按检测装置的名称分类
测第 六 章
常用的有光电盘、编码盘、旋转变压 器、感应同步器、光栅、磁尺等。
转子绕组的磁轴自垂直位置转过一定角度时， 转子绕组中产生的感应电压为
检
U 2Km U si n tsin
当转子转过900，两磁轴平行，此时转子绕组
中感应电压最大，即U2KU msi nt 。
测第 六 章 数 控 机 床 的 位 移 检
二、应用 旋转变压器典型工作方式,鉴相式和鉴幅式。
鉴相式 是根据感应输出电压的相位来检测位移量; 鉴幅式 是根据感应输出电压的幅值来检测位移量。 1 . 鉴相工作方式
Km V cots()
由式可见,转子输出电压的相位角和转子的 偏转角之间有严格的对应关系,这样,只要检测 出转子输出电压的相位角,就可知道转子的转
测 第 角。由于旋转变压器的转子和被测轴连接在
六 一起,所以,被测轴的角位移就知道了。
章
数 控
2. 鉴幅工作方式
机 床
给定子的两个绕组分别通以频率相同、相
以直线式感应同步器为例,介绍其结构和工作原理。
给定子两绕组分别通以幅值相同、频率相同、相 位差900的交流励磁电压,即
Vs Vm sint Vc Vm cost NhomakorabeaSθ
VC
测第
六
章 数 控
定子
V2 转子
这两个励磁电压在转子绕组中都产生了感
机 床
应电压,如上图所示,根据线性叠加原理,转子
的 中的感应电压应为这两个电压的代数和:
位
移 检
V 2KsV sin Kcc Vo s Km V si ntsinKm V cotscos
3．按其测量的相对值不同分类
1)增量式测量
测第 六
它只测相对位移量,其特点是测量装置 较简单,对任何一个中间点都可作为测量的
章 起点,而移动距离是由测量信号计数累加所
数 得,一旦计数有误,以后测量所得结果则完
控 机
全错误。因此,在增量式检测系统中基点特
床 别重要。
的
位
移
检
2)绝对式测量
绝对式测量装置对于被测量的任意一点
旋转变压器通过测量电动机或被测轴的转角来间 接测量工作台的位移。
旋转变压器分为单极和多极形式,先分析一下单极 工作情况。
U1
U1
U1
定子
θ1
测第 六
转子
章
U2
U2
U2
数 控 机
θ=00
θ= θ1
θ=900
如图所示，定子和转子各有一对磁极，设加
床 的 位 移
到定子绕组励磁电压为 U1Umsi nt，当
数 控 机 床 的 位 移 检
综合上述各种分类方法,可用下表表示。
测第 六 章 数 控 机 床 的 位 移 检
测第 六 章 数 控 机 床 的 位 移 检
1.旋转变压器
一、结构与工作原理
旋转变压器2 是一种角位移3 测量装置4,由定子和转子 组成。
旋转变压器的工作原理与普通变压器基本相似,其 中定子绕组作为变压器的一次侧,接受励磁电压。转子 绕组作为变压器的二次侧,通过电磁耦合得到感应电压, 只是其输出电压大小与转子位置有关。
的 位 移
位相同、幅值分别按正弦和余弦变化的交流 激磁电压,即
检
Vs Vmsinsint
Vc Vmcossint
则转子上的叠加电压为
V 2KssVin Kcc Vo s
测第
Km Vsint(sin sincocs o)s
六 章
Km Vcos()sint
数 由式可见,转子感应电压的幅值随转子的偏转
控 机
上或滚珠丝杠上,通过检测转动件的角位移
测第 六
来间接测量机床坐标的直线位移量,因此也
章 称为间接测量,作为半闭环伺服系统的位置
数 反馈用。
控
机
优点:是测量方便可靠、无长度限制。
床
的
缺点:是测量信号中增加了由回转运动
位 移 检
转变为直线运动的传动链误差,从而影响其 测量精度。
2．按其检测信号的选取分类
角而变化,测量出幅值即可求得转角。
床 的 位
如果将旋转变压器装在数控机床的滚珠 丝杠上,当角从00到3600时,丝杠上的螺母带动
移 检
工作台移动了一个导程,间接测量了执行部件 的直线位移。测量所走过的行程时,可加一个
计数器,累计所转的转数,折算成位移总长度。
测第 六 章 数 控 机 床 的 位 移 检