盐城市南京市2020届高三年级数学第一次模拟考试解析版
3
3
3
3
b = c ， c = b sin C = 3 3 = 2
sin B sin C
sin B
3
2
（2）由（1）得
B
=
3
，
A
0,
3
，∴
−
3
A
−
B
0
，
sin
(
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−
B)
0
，∵
cos( B
−
A)
=
cos (
A
−
B)
=
4 5
，
∴ sin ( A − B) = − 1 − cos2 ( A − B) = − 3 ,∴ sin A = sin ( A − B + B)
【解析】设 AB 上的高为 CE ， AH = 1 AB + 1 AC = 1 1 AB + 1 AC ，令 1 AB = AD ， D 为中点
4
2
22
2
2
3
AH = 1 AD + 1 AC ，由三点共线定理可得， H , D,C 三点共线，所以 D, E 为同一点。
2
2
( ) AH BC = 1 AD + 1 AC AC − 2AD = − 1 AD AC − AD2 + 1 AC 2
【答案】 3
【解析】由 ln a1 ， ln a2 ， ln a5 成等差数列，
2
得
2 ln a2
=
ln
a1
+
ln a5
ln
a22
=
ln a1
a5
a22
=
a1
a5
(a1
+
d )2
=
a1 (a1
+
4d )
a1
=
1 2
d
，因此
a2
=
a1
+d
=
1d 2
+d
=
3d 2
=3
a1
a1
1d 1d
6
∴ AO = CO ， ∴ C1P = CP ， ∴ PC1 = 1
PC （2）由（1），正方形 ABCD 中， BD ⊥ AC ， 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，
∵ A1A ⊥ 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ∴ A1A ⊥ BD ，
已知
ABC
满足
sin
B
+
6
=
2
cos
B
，
（1）若 cos C = 6 ， AC = 3 ，求 AB 3
5
（2）若
A
0,
3
，
cos
(
B
−
A)
=
4 5
，求
sin
A
.
【解析】（1）∵
sin
B
+
6
=
2
cos
B
，
3 sin B + 1 cos B = 2cos B ，
【解析】 z = 2 + i ， z = 2 − i ， zz = (2 + i)(2 − i) = 4-i2 = 5 ，
【点评】考查共轭复数的概念和复数的四则运算，属于基础题型。
3. 学校准备从甲、乙、丙三位同学中随机选两位同学参加问卷调查，则甲被选中的概率为___________. 【答案】 2
1. 已知集合 A = (0, +) ，全集U = R ，则 U A = ___________.
【答案】 (−,0
【解析】集合的补集 【点评】考查集合的补集运算，该题属于基础题型。
2. 设复数 z = 2 + i ，其中 i 为虚数单位，则 z z = ___________. 【答案】5
南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试
数学
注意事项：
2020.01
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本试卷满
分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题纸内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目 的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
【答案】 2 3
【解析】设点
P
为
(x0 ,
y0 )
，根据抛物线的性质得
x0
+
2 2
=
3
，即
P(2, 2
2) ，得 OP =
22 + (2 2)2 = 2 3
【点评】考查抛物线的性质，属于基础题型。
8.
若数列
an
是公差不为
0
的等差数列，
ln
a1
,
ln
a2
,
ln
a5
成等差数列，则
a2 a1
的值为___________.
2
2
横坐标为 ，则 的值为___________. 6
【答案】 7
【解析】函数过
0,
3 2
，
f
(0)
=
3 ,sin = 2
3 , 0, , =
2 2
3
由 sinx + = −1,x + = − + 2k , x = − 5 + 2k
2
2 当 a 0 时， f ( x) 在 (−,1 上单调递增，又 f (0) = 1 ∴ f (1) f (0) = 1 ，不合题意
3 当 a 0 时， f ( x) 在 (−, 2a +1) 上单调递增，在 (2a +1,1) 上单调递减
又 f (1) = e 0
2 − 2a
【答案】10
【解析】 cos(n) 为周期函数，又为等差数列，所以只能为常数列，即 = 2k ， cos(n) = 1, S10 = 10
【点评】偏难，需要了解等差数列的特点以及与余弦函数之间的关系，比较灵活。
13. 已知集合 P =
(x, y) x x + y y = 16 ，集合 Q =
(x, y) kx + b1 y kx + b2
，若 P Q ，则 b1 − b2 的最 k2 +1
小值为___________.
【答案】 4
【解析】根据题意，画出集合 P 表示的图像，第一象限为圆，第二象限为双曲线，第三象限无图像，第四 象限为双曲线，集合 Q 表示的图像为两直线间的所有点，所求式表示两直线间的距离，则此距离的最小值
5. 运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为___________. 【答案】6 【解析】 S = 0, I = 0 ， S = 0, I = 1 ， S = 1, I = 2 ， S = 3, I = 3 ， S = 6, I = 4 ， S = 10, I = 5 ， S = 15, I = 6 输出 i = 6 【点评】考查流程图知识点，属于基础题型。
4
14.
若对任意实数 x (−,1 ，都有
x2
ex − 2ax +1
1成立，则实数 a 的值为___________.
【答案】 − 1 2
( ) 【解析】令
f
(x)
=
x2
−
ex 2ax
+1
，则
f
(x)
=
ex
x − (2a +1) ( x
x2 − 2ax + 1 2
− 1)
1 当 a = 0 时， f (1) = e 1 ，不合题意；
2
2
3 sin B − 3 cos B = 0 ，
2
2
3
1 2
sin
B
−
3 2
cos
B
=
0
，
3
sin
B
−
3
=
0
，∵
B
( 0,
)
，
B
−
3
−
3
,
2 3
，∴
B
−
3
=
0
，
B = ，∵ cos C = 6 ， C (0, ) ，∴ sin C 0 ，∴ sin C = 1− cos2 C = 3 ，由正弦定理
为四分之一圆的切线与与双曲线渐近线之间的距离，正好为四分之一圆的半径 4
第一象限： x2 + y2 = 16 切线方程： y = −x + 4 2 第二象限： −x2 + y2 = 16 渐近线方程： y = −x 第四象限： x2 − y2 = 16 渐近线方程： y = −x 【点评】本题主要考察数形结合的思想，综合了圆锥曲线方程，圆的方程，线性规划与直线间距离的知 识，总体计算量较小，难度适中。
xy = 110
S 2 = (7 − 9)2 + (8 − 9)2 + (9 − 9)2 + (10 − 9)2 + (11 − 9)2 = 2 5
【点评】考查平均数及方差的计算，属于基础题型。
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y2 = 4x 上的点 P 到其焦点的距离为 3 ，则点 P 到点 O 的距离为 ___________.
2020江苏南京高三一模数学试卷详解
一、填空题
（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合
，全集
，则
．
【答案】
【解析】 集合 集合 故答案为
，
，
．
．
2. 设复数
，其中 为虚数单位，则
．
【答案】
【解析】
，
，
∴
． 故答案为： ．
3. 学校准备从甲，乙，丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为
平面
，
与四棱锥
的
/
∴无论 位于何处， 到底面 的面积设为 ，
∴
，
而
．
∴
故答案为 ．
的距离都一样，不妨设为 ，将底面
10. 设函数 个最低点的横坐标为 ，则 的值为
的图象与 轴交点的纵坐标为 ．
， 轴右侧第一
【答案】
【解析】 由函数
函数过
，
的图象与 轴交点的纵坐标为 ，
，
，
．
由 轴右侧第一个最底点的横坐标为 ，
中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙ 与⊙ 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形
做圆柱的侧面
（接缝忽略不计）， 为圆柱的一条母线，点 ， 在⊙ 上，点 、 在⊙ 的一条直径
上，
，⊙ 、⊙ 分别与直线 、 相切，都与⊙ 内切．
（ 1 ） 求圆形铁皮⊙ 半径的取值范围． （ 2 ） 请确定圆形铁皮⊙ 与⊙ 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）
小值为四分之一图的切线与双曲线渐近线之间的距离，正好为四分之一图的半径 ．
第一象限：
切线方程为：
．
/
第二象限： 第四象限：
南京盐城2020年高三一模数学试卷及答案
把答案写在答题卡的指定区域内．
15．(本小题满分 14 分)
已知△ABC 满足 sin(B＋π)＝2cosB． 6
（1）若 cosC＝ 6，AC＝3，求 AB；
3
（2）若 A∈(0，π)，且 cos(B－A)＝4，求 sinA．
3
5
16．(本小题满分 14 分)
如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，已知底面 ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC1 上的一点．
方法二：由点 A ， B 不重合可知直线 PA 与 x 轴不重合，故可设直线 PA 的方程为 x my 1 ，
联立
x2 2
y2
1
，消去
x
得 (m2
2) y2
2my
1
0 （☆），
x my 1
设 A(x1, y1) ，则 y1 与 y0 为方程（☆）的两个实根，
高三数学答案 第 2 页 共 7 页
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
1． (, 0]
2． 5
3．
2 3
4．真
8． 3
9．
2 3
10． 7
11．
3 3
5． 6
12．10
6． 2 13． 4
7． 2 3
14．
1 2
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内.
又由
x02 2
y02
1得
y02
1
x02 2
，代入（＃）式得 ( x0
南京市、盐城市2020高考第一次模拟考试全部试卷(解析)汇总
13．已知集合 P＝{(x，y)| x|x|＋y|y|＝16}，集合 Q＝{(x，y)| kx＋b1≤y≤kx＋b2}，若 PQ，则|b1－b2| k2＋1
的最小值为 ▲ ．
14．若对任意实数 x∈(－∞，1]，都有| ex |≤1 成立，则实数 a 的值为 ▲ ． x2－2ax＋1
二､解答题:本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请
y
P
A F1 O
F2
x
B
（第 18 题图）
高三数学试题第 3页（共 4 页）
19．(本小题满分 16 分) 定义：若无穷数列{an}满足{an＋1－an}是公比为 q 的等比数列，则称数列{an}为“M(q)数列”． 设数列{bn}中 b1＝1，b3＝7． （1）若 b2＝4，且数列{bn}是“M(q)数列”，求数列{bn}的通项公式； （2）设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 bn＋1＝2Sn－1n＋λ，请判断数列{bn}是否为“M(q)数列”， 2 并说明理由； （3）若数列{bn}是“M(2)数列”，是否存在正整数 m，n 使得4039＜bm＜4040?若存在，请求 2019 bn 2019 出所有满足条件的正整数 m，n；若不存在，请说明理由．
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
9．在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，点 P 是棱 CC1 上一点，记三棱柱 ABC－A1B1C1 与四棱锥 P－ABB1A1
的体积分别为 V1 与 V2，则V2＝ ▲ ． V1
10．设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 3，y 轴右侧第一个
江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学(word版含答案)
盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学2020.01注意事项：1. 本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．2. 答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，锥体体积公式：V ＝1Sh ，其中 S 为底面积，h 为高．3n n样本数据 x 1，x 2，···，x n 的方差 s 2＝1 ∑ (x i －)2，其中＝1 ∑ x i ．n i ＝1 n i ＝1一､ 填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合 A ＝(0，＋∞)，全集 U ＝R ，则∁ A ＝ ▲． U2. 设复数 z ＝2＋i ，其中 i 为虚数单位，则 z ·—z ＝▲．3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 则甲被选中的概率为 ▲ ． 4. 命题“ θ∈R ，cos θ＋sin θ＞1”的否定是 ▲ 命题．(填“真”或“假”) 5. 运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为 ▲ ． 6. 已知样本 7，8，9，x ，y 的平均数是 9，且 xy ＝110，则此样本的方差是 ▲ ．（第 5 题图）7. 在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y 2＝4x 上的点 P 到其焦点的距离为 3，则点 P 到点 O的距离为 ▲ ．8. 若数列{a n }是公差不为0 的等差数列，ln a 1、ln a 2、ln a 5 成等差数列，则a 2的值为 ▲ ． a 19. 在三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，点 P 是棱 CC 1 上一点，记三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 与四棱锥 P －ABB 1A 1 的体积分别为 V 1 与 V 2，则V 2＝ ▲ ．V 110. 设函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象与 y y 轴右侧第一个22最低点的横坐标为π，则ω的值为 ▲．6S ←0I ←0 While S ≤10 S ←S ＋I I ←I ＋1End WhilePrint I→11.已知H 是△ABC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，AH ＝的值为▲．→AB ＋4→AC ，则cos∠BAC212.若无穷数列{cos(ωn)}(ω∈R)是等差数列，则其前10 项的和为▲．13．已知集合P＝{(x，y)|x|x|＋y|y|＝16}，集合Q＝{(x，y)|kx＋b1≤y≤kx＋b2}，若P Q，则|b1－b2|k2＋1 的最小值为▲．14.若对任意实数x∈(－∞，1]，都有| e xx2－2ax＋1|≤1 成立，则实数a 的值为▲．二､解答题:本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．(本小题满分14 分)已知△ABC 满足sin(B＋π)＝2cos B．6（1）若cos C AC＝3，求AB；3（2）若A∈(0，π)，且cos(B－A)＝4，求sin A．3 516．(本小题满分14 分)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1 中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC1 上的一点．（1）若AC1//平面PBD，求PC1的值；PC（2）求证：BD⊥A1P．1A（第16 题图）11QA DOB CPyPA F1 O F2 xB如图，是一块半径为4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面(接缝忽略不计)，AB 为圆柱的一条母线，点A、B 在⊙O 上，点P、Q 在⊙O 的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q 分别与直线BC、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)（第17 题图）18．(本小题满分16 分)设椭圆C：x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P(x0，y0)在椭圆C 上a2 b2运动．当PF2⊥x 轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C 的方程；→→→→（2）延长PF ，PF 分别交椭圆C 于点A，B(A，B 不重合)．设＝，＝，1 2AF1λF1P BF2 μF2P 求λ＋μ的最小值．（第18 题图）定义：若无穷数列{a n}满足{a n＋1－a n}是公比为q的等比数列，则称数列{a n}为“M(q)数列”．设数列{b n}中b1＝1，b3＝7．（1）若b2＝4，且数列{b n}是“M(q)数列”，求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n＋1＝2S n－1n＋λ，请判断数列{b n}是否为“M(q)数列”，2并说明理由；（3）若数列{b n}是“M(2)数列”，是否存在正整数m，n 使得4039＜b m＜4040?若存在，请求2019b n2019出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16 分)若函数f(x)＝e x－a e－x－mx(m∈R)为奇函数，且x＝x0时f(x)有极小值f(x0)．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若f(x0)≥－2恒成立，求实数m 的取值范围．e盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学附加题2020.01注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用．2.本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸卡．21.【选做题】在A、B、C 三小题中只能选做2 题，每小题10 分，共计20 分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4—2：矩阵与变换a 3已知圆C 经矩阵M＝3 －2 变换后得到圆C′：x2＋y2＝13，求实数a 的值．B.选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线ρcosθ＋2ρsinθ＝m 被曲线ρ＝4sinθ截得的弦为AB，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．C.选修4—5：不等式选讲已知正实数a，b，c 满足1＋2＋3＝1，求a＋2b＋3c 的最小值．a b c【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10 分)如图，AA1、BB1 是圆柱的两条母线，A1B1、AB 分别经过上下底面圆的圆心O1、O，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD＝2．（1）若AA1＝3，求异面直线A1C 与B1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A1－CD－B1 的大小为π，求母线AA1 的长．3（第22 题图）23．(本小题满分10 分)2n设∑ (1－2x)i＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n(n∈N*)，记S n＝a0＋a2＋a4＋…＋a2n．i＝1（1）求S n；（2）记T n＝－S1C1＋S2C2－S3C3＋…＋(－1)n S n C n，求证：|T n|≥6n3恒成立．n n n n盐城市､南京市2020 届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准2020.01说明：1.本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，计70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）4．真5．6 6．2 7．2 31．(－∞，0] 2．5 3．238．3 9．210．7 1112．10 13．414．－1332二、解答题：本大题共 6 小题，计90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．(本小题满分14 分)解：（1）由sin(B＋π)＝2cos B，可知B＋1cos B＝2cos B，即sin B＝3cos B．6 2 2因为cos B≠0，所以tan B＝3．又B∈(0，π)，故B＝π．........................................ 2 分3由cos C C∈(0，π)，3可知sin C＝1－cos2C................................... 4 分3AC ＝AB ，在△ABC 中，由正弦定理b ＝ c ，可得sin Csin B sin C sinπ3所以AB＝2．................................................ 7 分（2）由（1）知B＝π，所以A∈(0，π)时，π－A∈(0，π)，3 3 3 3由 cos(B －A )＝4，即 cos(π－A )＝4，所以 sin(π－A )＝ 1－cos 2(π－A )＝3， ................. 10 分3 3 5 所以 sin A ＝sin[π－(π－A )]＝sin πcos(π－A )－cos πsin(π－A )3 3 3 3 3 3＝ 3×4－1×3＝4 3－3． ............................. 14 分2 5 2 5 1016．(本小题满分 14 分)证明：（1）连结 AC 交 BD 于点 O ，连结 OP ．因为 AC 1//平面 PBD ，AC 1 平面 ACC 1， 平面 ACC 1∩平面 BDP ＝OP ，所以 AC 1//OP ． ............................. 3 分因为四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 交 BD 于点 O ， 所以点 O 是 AC 的中点，所以 AO ＝OC ，所以在△ACC 1 中，PC 1＝AO＝1． ................ 6 分D 1C 1A 1B 1PD C（2）连结 A 1C 1．PC OC O因为 ABCD －A 1B 1C 1D 1 为长方体，所以侧棱 C 1C ⊥平面 ABCD ． （第 16 题图）又 BD 平面 ABCD ，所以 CC 1⊥BD ． ...................... 8 分因为底面 ABCD 是正方形，所以 AC ⊥BD ． ................. 10 分又 AC ∩CC 1＝C ，AC 面 ACC 1A 1， CC 1面 ACC 1A 1，所以 BD ⊥面 ACC 1A 1． .......................................... 12 分又因为 A 1P 面 ACC 1A 1，所以 BD ⊥A 1P ． .......................... 14 分17．(本小题满分 14 分)解：（1）设⊙P 半径为 r ，则 AB ＝4(2－r )，所以⊙P 的周长 2πr ＝BC ≤2 16－4(2－r )2， ............................ 4 分 解 得 r ≤ 16 ，π2＋4故⊙P 半径的取值范围为(0， 16 ]． ................................. 6 分π2＋4 （2）在（1）的条件下，油桶的体积 V ＝πr 2·AB ＝4πr 2(2－r )． ..................... 8 分设函数 f (x )＝x 2(2－x )，x ∈(0， 16 ]，π2＋4所以 f '(x)＝4x－3x2，由于16 ＜4，π2＋4 3所以 f '(x)＞0 在定义域上恒成立，故f(x)在定义域上单调递增，即当r＝16 时，体积取到最大值．................................. 13 分π2＋4答：⊙P 半径的取值范围为(0，16 ]．当r＝16 米时，体积取到最大值． ....... 14 分18．(本小题满分16 分)π2＋4 π2＋4解：（1）由当PF2⊥x轴时，x0＝1，可知c＝1． ................................................... 2分将x0＝1，y0＝e 代入椭圆方程得1 ＋e2＝1．a2 b2由e＝c＝1，b2＝a2－c2＝a2－1，所以1 ＋ 1 ＝1，a a a2 a2(a2－1)解得a2＝2，故b2＝1，所以椭圆C 的方程为x2＋y2＝1．..................................... 4分2→→1－x1＝λ(x0＋1)，（2）方法一：设A(x1，y1)，由AF1＝λF1P y1＝λy0，1＝－λx0－λ－1，y1＝－λy0，代入椭圆方程，得(－λx0－λ－1)2＋(－λy)2＝1．...................... 8 分2x2(λx)2 2 2(λ＋1)(2λx0＋λ＋1) 2又由0＋y0＝1，得20 ＋(λy0) ＝λ ，两式相减得2 2＝1－λ ．因为λ＋1≠0，所以2λx0＋λ＋1＝2(1－λ)，故λ＝ 1 ．.................................................. 12 分3＋2x0同理可得μ＝ 1 ，............................................ 14 分3－2x0故λ＋μ＝ 1 ＋ 1 ＝ 6 ≥2，3＋2x0 3－2x0 9－4x23当且仅当x0＝0 时取等号，故λ＋μ的最小值为2． ....................... 16 分3方法二：由点A，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为x＝my－1，x2 22＋y ＝1，消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0．x＝my－1，设A(x1，y1)，则y0y1＝－1m2＋2，所以y1＝－1 ．................ 8 分(m2＋2)y0将点P(x ，y ) x2 y 2＝1，0 0代入椭圆的方程得0＋020 0 0 0代入直线 PA 的方程得 x 0＝my 0－1，所以 m ＝x 0＋1．y 0→ → y 1 1 1 由AF 1＝λF 1P ，得－y 1＝λy 0，故λ＝－ ＝ ＝y 0 (m 2＋2)y 2 (x 0＋1)2＋2y 2＝ 1＝ 1 ． .................................... 12 分 (x 0＋1)2＋2(1－1x 2) 3＋2x 02同理可得μ＝ 1 ． ............................................. 14 分3－2x 0故λ＋μ＝ 1 ＋ 1 ＝ 6 ≥2，3＋2x 0 3－2x 0 9－4x 23 当且仅当 x 0＝0 时取等号，故λ＋μ的最小值为2． ...................... 16 分3注：（1）也可设 P ( 2cos θ，sin θ)得λ＝ 1 ，其余同理． 3＋2 2cos θ（2）也可由1＋1＝6，运用基本不等式求解λ＋μ的最小值．λ μ 19．(本小题满分 16 分)解：（1）因为 b 2＝4，且数列{b n }是“M (q )数列”，所以 q ＝b 3－b 2＝7－4＝1，所以b n ＋1－b n ＝1，n ≥2，b 2－b 1 4－1b n －b n －1 即 b n ＋1－b n ＝b n －b n －1 ，n ≥2， .................................................................. 2 分 所以数列{b n }是等差数列，其公差为 b 2－b 1＝3，所以数列{b n }通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×3，即 b n ＝3n －2． ............... 4 分 （2）由 b n ＋1＝2S n －1n ＋λ，得 b 2＝3＋λ，b 3＝4＋3λ＝7，故λ＝1．2 2方法一：由 b n ＋1＝2S n －1n ＋1，得 b n ＋2＝2S n ＋1－1(n ＋1)＋1，2 2 两式作差得 b n ＋2－b n ＋1＝2b n ＋1－1，即 b n ＋2＝3b n ＋1－1，n ∈N *．2 2又 b 2＝5，所以 b 2＝3b 1－1，22所以 b n ＋1＝3b n －1对 n ∈N *恒成立， ............................................ 6 分2b n ＋1－1则 b n ＋1－1＝3(b n －1)．因为 b 1－1＝3≠0，所以 b n －1≠0，所以4＝3， 4 4 4 4 4 b n －14 即{b n －1}是等比数列， ....................................... 8 分4＋ 所以 b n －1＝(1－1)×3n －1＝1×3n ，即 b n ＝1×3n ＋1，4 4 4 4 4(1×3n ＋2＋1)－(1×3n ＋1＋1)所以b n ＋2－b n ＋1＝ 44 4 4 ＝3， b n ＋1－b n(1×3n ＋1＋1)－(1×3n ＋1)4444所以{b n ＋1－b n }是公比为 3 的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10 分 方法二：同方法一得 b n ＋1＝3b n －1对 n ∈N *恒成立， ....................................... 6 分2 则 b n ＋2＝3b n ＋1－1，两式作差得 b n ＋2－b n ＋1＝3(b n ＋1－b n )． .............................. 8 分2因为 b 2－b 1＝3≠0，所以 b n ＋1－b n ≠0，所以b n ＋2－b n ＋1＝3，2b n ＋1－b n所以{b n ＋1－b n }是公比为 3 的等比数列，故数列{b n }是“M (q )数列”．………10 分（3）由数列{b n }是“M (2)数列”，得 b n 1－b n ＝(b 2－b 1)×2n －1． 又b 3－b 2＝2，即7－b 2＝2，所以 b 2＝3，所以 b 2－b 1＝2，所以 b n ＋1－b n ＝2n ，b 2－b 1 b 2－1 所以当 n ≥2 时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n －1．当 n ＝1 时上式也成立，所以 b n ＝2n －1． ...........................12 分 假设存在正整数 m ，n ，使得4039＜b m ＜4040，则4039＜2m－1＜4040．2019 b n 2019 2019 2n －1 2019由2m－1＞4039＞1，可知 2m －1＞2n －1，所以 m ＞n ．2n －1 2019又 m ，n 为正整数，所以 m －n ≥1．又2m －1＝2m －n (2n －1)＋2m －n －1＝2m －n ＋2m －n－1＜4040， 2n －1 2n －1 2n －1 2019所以 2m －n ＜4040＜3，所以 m －n ＝1， .............................................................. 14 分2019 所以2m－1＝2＋ 1 ，即4039＜2＋ 1 ＜4040，所以2021＜2n ＜2020，2n －12n －1 2019 2n －1 2019 2 所以 n ＝10，m ＝11，故存在满足条件的正整数 m ，n ，其中 m ＝11，n ＝10． ................... 16 分20．(本小题满分 16 分)解：（1）由函数 f (x )为奇函数，得 f (x )＋f (－x )＝0 在定义域上恒成立，所以 e x －a e －x －mx ＋e －x －a e x ＋mx ＝0，化简可得 (1－a )·(e x ＋e －x )＝0，所以 a ＝1． .................................................. 3 分（2）方法一：由（1）可得f(x)＝e x－e－x－mx，所以f'(x)＝e x＋e－x－m＝e2x－m e x＋1．e x①当m≤2 时，由于e2x－m e x＋1≥0 恒成立，即f '(x)≥0 恒成立，故不存在极小值．........................... 5 分②当m＞2 时，令e x＝t，则方程t2－mt＋1＝0 有两个不等的正根t1，t2 (t1＜t2)，故可知函数f(x)＝e x－e－x－mx在(－∞，ln t1)，(ln t2，＋∞)上单调递增，在(ln t1，ln t2)上单调递减，即在ln t2 处取到极小值，所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．................................. 9分方法二：由（1）可得f(x)＝e x－e－x－mx，令g(x)＝f'(x)＝e x＋e－x－m，则g′(x)＝e x－e－x＝e2x－1．e x故当x≥0 时，g′(x)≥0；当x＜0 时，g′(x)＜0，........................... 5 分故g(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以g(x)min＝g(0)＝2－m．①若2－m≥0，则g(x)≥0 恒成立，所以f(x)单调递增，此时f(x)无极值点．……6 分②若2－m＜0，即m＞2 时，g(0)＝2－m＜0．取t＝ln m，则g(t)＝1 ＞0．m又函数g(x)的图象在区间[0，t]上不间断，所以存在x0∈(0，t)，使得g(x0)＝0．又g(x)在(0，＋∞)上递增，所以x∈(0，x0)时，g(x)＜0，即f '(x)＜0；x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，即f '(x)＞0，所以f(x0)为f(x)极小值，符合题意．所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．................................. 9 分（3）由x0满足e x0＋e－x0＝m，代入f(x)＝e x－e－x－mx,消去m，可得f(x0)＝(1－x0)e x0－(1＋x0)e－x0． ................................................ 11分构造函数h(x)＝(1－x)e x－(1＋x)e－x，所以h′(x)＝x(e－x－e x)．当x≥0时，e－x－e x＝1－e2x0，所以当x≥0 时，h′(x)≤0 恒成立，e x故h(x)在[0，＋∞)上为单调减函数，其中h(1)＝－2, ............................... 13 分e则f(x0)≥－2可转化为h(x0)≥h(1)，故x0≤1．.................... 15 分e由e x0＋e－x0＝m，设y＝e x＋e－x，可得当x≥0时，y’＝e x－e－x≥0，所以y＝e x＋e－x在(0，1]上递增，故m≤e＋1．e 综上，m 的取值范围是(2，e＋1]． .............................. 16 分e≤盐城市、南京市 2020 届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2020.01说明：1. 本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则．2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的 解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在 A 、B 、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答．卷．纸．指．定．区．域．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修 4—2：矩阵与变换解：设圆 C 上任一点(x ，y )，经矩阵 M 变换后得到圆 C’上一点(x’，y’)，a 3所以 3 －2x ＝x′y y′ ax ＋3y ＝x′，3x －2y ＝y′． ......................... 5 分又因为(x′)2＋(y′)2＝13，所以圆 C 的方程为(ax ＋3y )2＋(3x －2y )2＝13, 化简得(a 2＋9)x 2＋(6a －12)xy ＋13y 2＝13， a 2＋9＝13，6a －12＝0 解得 a ＝2．所以，实数 a 的值为 2． ........................................... 10 分B. 选修 4—4：坐标系与参数方程解：以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴(单位长度相同)建立平面直角坐标系，由直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m ，可得直角坐标方程为 x ＋2y －m ＝0．又曲线ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ，其直角坐标方程为 x 2＋(y －2)2＝4， ........... 5 分所以曲线ρ＝4sin θ是以(0，2)为圆心，2 为半径的圆．为使直线被曲线(圆)截得的弦 AB 最长，所以直线过圆心(0，2)， 于是 0＋2×2－m ＝0，解得 m ＝4．所以，实数 m 的值为 4． ............................................ 10 分C. 选修 4—5：不等式选讲解：因为1＋2＋3＝1，所以1＋ 4 ＋ 9 ＝1． a b c a 2b 3c，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1＋4 ＋9 )≥(1＋2＋3)2，a 2b 3c即a＋2b＋3c≥36，....................................................... 5分1 4 9当且仅当a＝2b＝3c，即a＝b＝c 时取等号，解得a＝b＝c＝6，a 2b 3c所以当且仅当a＝b＝c＝6 时，a＋2b＋3c 取最小值36．......................... 10 分22．（本小题满分10分）解：（1）以CD，AB，OO1所在直线建立如图所示空间直角坐标系O－xyz．由CD＝2，AA1＝3，所以A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(1，0，0)，A1(0，－1，3)，B1(0，1，3)，→→从而A1C＝(－1，1，－3)，B1D＝(1，－1，－3)，→→－1×1＋1×(－1)＋(－3)×(－3) 7所以cos＜A1C，B1D＞＝＝，(－1)2＋12＋(－3)2×12＋(－1)2＋(－3)2 11所以异面直线A1C 与B1D 所成角的余弦值为7 ． ........... 4 分11（2）设AA1＝m＞0，则A1(0，－1，m)，B1(0，1，m)，→→→所以A1C＝(－1，1，－m)，B1D＝(1，－1，－m)，CD＝(2，0，0)，→n1·CD＝2x1＝0，设平面A1CD 的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，则所以x1＝0，令z1＝1，则y1＝m，所以平面A1CD 的一个法向量n1＝(0，m，1)．→n1·A1C＝－x1＋y1－mz1＝0，同理可得平面B1CD 的一个法向量n2＝(0，－m，1)．因为二面角A1－CD－B1 的大小为π，3所以|cos＜n1，n2＞|＝|m×(－m)＋1×1 |＝1，m2＋12×(－m)2＋12 2解得m＝3或m＝3，3由图形可知当二面角A1－CD－B1 的大小为π时，m＝3．............... 10 分3注：用传统方法也可，请参照评分．23．（本小题满分10分）解：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝0．令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝31＋32＋…＋32n＝3(9n－1)．2两式相加得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝3(9n－1)，2所以S n＝3(9n－1)．......................... 3 分4（2）T n＝－S1C1＋S2C2－S3C3＋…＋(－1)n S n C nn n n n＝3{[－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]－[－C1＋C2－C3＋…＋(－1)n C n]}n n n4n n n n n＝3{[90C0－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]－[C0－C1＋C2－C3＋…＋(－1)n C n]} n n n n4n n n n n n ＝3[90C0－91C1＋92C2－93C3＋…＋(－1)n9n C n]n n n n n4＝3[C0(－9)0＋C1(－9)1＋C2(－9)2＋…＋C n(－9)n]n n n n4＝3[1＋(－9)]n＝3×(－8)n．...................................... 7 分4 4要证|T n|≥6n3，即证3×8n≥6n3，只需证明8n－1≥n3，即证2n－1≥n．4当n＝1，2时，2n－1≥n显然成立．当n≥3时，2n－1＝C0＋C1＋…＋C n－1≥C0＋C1＝1＋(n－1)＝n，即2n－1≥n，n－1 n－1 n－1 n－1 n－1所以2n－1≥n对n∈N*恒成立．综上，|T n|≥6n3恒成立．......................................... 10 分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明2n －1≥n 恒成立，请参照评分．。
2020届江苏省盐城市、南京市高三第一次模拟数学试题
2020届江苏省盐城市、南京市高三第一次模拟数学试题一、填空题1．已知集合(0,)A =+∞，全集U =R ，则U A =ð________. 【答案】(,0]-∞直接根据补集运算得到答案. 解：因为(0,)A =+∞，所以(,0]U A =-∞ð. 故答案为：(,0]-∞. 点评：本题考查了补集的计算，属于简单题.2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅=_________. 【答案】5计算得到2z i =-，再计算z z ⋅得到答案. 解：2z i =-，所以5z z ⋅=.故答案为：5. 点评：本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为________. 【答案】23计算基本事件数为233C =，包含甲的基本事件数为122C =，得到答案. 解：所有基本事件数为233C =，包含甲的基本事件数为122C =，所以概率为23. 故答案为：23. 点评：本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.4．命题“,cos sin 1R θθθ∀∈+>”的否定是_________命题.（填“真”或“假”）【答案】真判断原命题为假命题得到答案. 解：θπ=-时，cos sin 10θθ+=-<，所以原命题为假命题，故其否定为真命题.故答案为：真. 点评：本题考查了命题的否定的真假判断，转化为原命题的真假判断是解题的关键. 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为_______.【答案】6根据伪代码依次计算得到答案. 解：第一遍循环0,1S I ==，第二轮循环1,2S I ==， 第三轮循环3,3S I ==，第四轮循环6,4S I ==， 第五轮循环10,5S I ==，第六轮循环15,6S I ==， 所以输出的6I =. 故答案为：6. 点评：本题考查了伪代码的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.6．已知样本7，8，9，,x y 的平均数是9，且110xy =，则此样本的方差是______. 【答案】2根据题意可得21x y +=，解得10,11x y ==，再计算方差得到答案. 解：依题可得：78995x y++++=，则21x y +=，不妨设x y <，解得10,11x y ==，所以方差22222210(1)(2)25+++-+-=.故答案为：2. 点评：本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为______.【答案】计算得到(2,P ±，再利用两点间距离公式计算得到答案. 解：拋物线的准线为1x =-，所以P 横坐标为2，代入抛物线方程可得(2,P ±，所以OP =故答案为：点评：本题考查了抛物线相关的距离的计算，意在考查学生的计算能力.8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为______. 【答案】3根据题意得到2125a a a =，化简得到12d a =，计算得到答案.解：依题可得152ln ln 2ln a a a +=，即2125a a a =，设数列公差为d ，可得()()21114a a d a d +=+，解得12d a =，所以213a a =，213a a =. 故答案为：3. 点评：本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V =________. 【答案】23计算得到11121123C ABB A C AB C V V V V V --==-=，得到答案. 解：11121123C ABB A C AB C V V V V V --==-=，所以2123V V =.故答案为：23. 点评：本题考查了三棱柱，四棱锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10．设函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象与y轴交点的纵坐标为y轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为_______.【答案】7根据题意计算得到3πϕ=，再根据最低点得到3632πππω+=，计算得到答案. 解：依题可得sin ϕ=，即3πϕ=，又因为sin 163ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且为第一个最低点，所以3632πππω+=，解得7ω=. 故答案为：7. 点评：本题考查了三角函数的图像与性质，意在考查学生的综合应用能力.11．已知H 是ABC V 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos BAC ∠的值为_______.【答案】3根据垂心得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r，得到213cos 024b bc A -=，即2cos 3b A c =，cos 2cA b=，计算得到答案. 解：因为H 是ABC V 的垂心，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r，因为1324BH AH AB AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，所以213cos 024b bc A -=，所以2cos 3b A c =，同理211cos 042c bc A -=，即cos 2c A b=，所以b =，所以cos A =故答案为：3. 点评：本题考查了三角形的垂心，向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 12．若无穷数列{cos()}()n R ωω∈是等差数列，则其前10项的和为________. 【答案】10讨论0d >和0d <均不成立，故0d =，得到前10项的和. 解：若等差数列公差为d ，则cos (1)n a d n ω=+-，若0d >，则当1cos 1n dω->+时，cos()1n ω>， 若0d <，则当1cos 1n dω-->+时，cos()1n ω<-，均不符， 所以0d =，取前两项知：cos2cos ωω=，解得cos 1ω=或1cos 2ω=-（验证不成立），所以前10项和为10. 故答案为：10. 点评：本题考查了等差数列求和，确定0d =是解题的关键.13．已知集合{(,)|||||16}P x y x x y y =+=，集合{}12(,)|Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆的最小值为___________.【答案】4画出函数图像，根据渐近线得到1k =-，10b =，2y kx b =+与圆相切时最小，得到答案. 解：画出集合P 的图象如图所示：第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x=-，所以1k=-，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以10b=，2y kx b=+与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4.故答案为：4.点评：本题考查了根据集合的包含关系求参数，画出图像是解题的关键.14．若对任意实数(,1]x∈-∞，都有2121xex ax≤-+成立，则实数a的值为________.【答案】12-设2()21xef xx ax=-+，先计算11a-<<，再讨论210a+<，210a+>，210a+=三种情况计算得到答案.解：设2()21xef xx ax=-+，若221x ax-+判别式2440a-≥，则2210x ax-+=有解，设一解为1x，则1x x→时|()|f x→+∞，不满足|()|1f x≤恒成立，则11a-<<，此时2210x ax-+>，因为()()22222(22)12(1)(21)()2121x xe x a x a e x x af xx ax x ax⎡⎤-+++---⎣⎦'==-+-+，①210a+<即12a<-时，函数()f x在(21,1)a+单调递减，(0)1f=，则(21)1f a+>，即|(21)|1f a+>，不满足题意；②210a +>即12a >-时，记1,21a +较小值为0x ，则()f x 在()0,x -∞单调递增， 由(0)1f =可得()0(0)1f x f >=，即()01f x >，不满足题意； ③210a +=即12a =-时，()f x 在(,0)-∞，(0,1)递减， 则()(0)1f x f ≤=，2()01xe f x x x =>++，则|()|1f x ≤成立，综上12a =-.故答案为：12-. 点评：本题考查了不等式恒成立问题，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.二、解答题15．已知ABC V 满足sin 2cos 6B B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）若cos 33C AC ==，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4cos()5B A -=，求sin A .【答案】（1）2AB =；（2（1）化简得到tan B =3B π=，再利用正弦定理计算得到答案.（2）令3A πα-=，计算4cos 5α=，在利用和差公式计算得到答案. 解：（1）1sin cos 2cos 62B B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以sin B B =，得tan B =B 为三角形内角，所以3B π=，由cos C =，得sin C =， 由正弦定理得：sin sin AC AB B C=，解得2AB =； （2）3B π=，及4cos 35A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，令3A πα-=，则4,cos 35A παα-==，因为0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,33A ππα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α=， 31433sin sin cos sin 32A πααα-⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭. 点评：本题考查了正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 16．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点.（1）若1//AC 平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：1BD A P ⊥.【答案】（1）1；（2）见解析；（1）连结AC 交BD 与点O ，连结PO ，得到1//AC PO ，PO 为中位线，得到答案. （2）1DB AA ⊥，DB AC ⊥，得到BD ⊥平面11A ACC ，得到证明. 解：（1）连结AC 交BD 与点O ，连结PO ，因为1//AC 平面PBD ，且1AC ⊂平面1AC C 平面PBD I 平面1AC C PO =，由线面平行的性质定理得：1//AC PO ， 在1AC C △中，由于O 为AC 中点，所以PO 为中位线，则11PC PC=； （2）因为ABCD 为正方形，所以DB AC ⊥，又因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以1AA ⊥平面ABCD ， 所以1DB AA ⊥，又因为1AA AC A =I ，且1,AA AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC ，因为1A P ⊂平面11A ACC ，所以1BD A P ⊥.。
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学及答案
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则ðU A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-2：矩阵与变换）已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. 00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值； （2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L .（1）求n S ；（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：3||6n T n ≥恒成立.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．23 8．3 9．23 10．7 11．33 12．10 13．4 14．12-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由6cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分 （2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ，又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P Ì面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P e 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P e 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P e 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立，故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x ⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩，代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故0132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,122m y m =+，故01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --===--，∴111n n n n b bb b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=，故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=. 方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分 （3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L ，当1n =时上式也成立，故21nn b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn n n ------+--==+<---，∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得 0)()1(=+⋅--xxe e a ，所以1=a . ………………………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx ee xf xx--=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx ee xf xx--=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增，在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值，所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 法二：由（1）可得mx ee xf xx--=-)(，令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxe e e e x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00， 代入mx ee xf xx--=-)(，消去m 可得00)1()1()(000x x e x ex x f -+--=， ……………………………………11分构造函数xxe x e x x h -+--=)1()1()(，所以)()(xxe ex x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxe e e e，所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分 则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设xx e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-xxee y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤， 综上，m 的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''，所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y '+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++， 即2336a b c ++≥， …………………………………………………………………………………5分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--u u u u r ，1(1,1,3)B D =--u u u u r ， 所以112222227cos ,11(1)1(3)1(1)(3)A C B D <>==-++-⋅+-+-u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，所以1(1,1,)A C m =--u u u u r ，1(1,1,)B D m =--u u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r，设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =u u r，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r， 所以10x =，令11z =，则1y m =，所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =u u r， 同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-u u r，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以122222()111cos ,21()1m m n n m m ⋅-+⋅<>==+⋅-+u u r u u r ， 解得3m =或33m =， 由图形可知当二面角11A CD B --的大小为3π时, 3m =. …………………………………10分 注：用传统方法也可，请参照评分.23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=L ，高三数学答案 第 11 页 共 11 页 令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-L L ， 两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-L ，∴3(91)4n n S =-.…………………………………3分 （2）123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++-L 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++-L 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分 要证3||6n T n ≥，即证384n ⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12n n -≥显然成立； 当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=L ，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。
2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试(1月) 数学(理)含答案
南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 理 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则 U A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+，若P Q ⊆的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos C =3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值； （2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O e 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P e 与Q e ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O e 上，点P 、Q 在O e 的一条直径上，P e 、Q e 分别与直线BC 、AD 相切，都与O e 内切． （1）求圆形铁皮P e 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P e 与Q e 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=u u u r u u u r，22BF F P μ=u u u u r u u u u r，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()xxf x e aemx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围．y南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-2：矩阵与变换）已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值； （2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L .（1）求n S ；（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：3||6n T n ≥恒成立.南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．238．3 9．2310．7 11．3 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由6cos 3C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分 故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分因为底面ABCD是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ， 所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分17．解：（1）设P e 半径为r ，则)2(4r AB -=， 所以Pe 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P e 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分答：P e 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分 18.解：（1）由当2PF x⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分 将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,1y =，故01212y y m -=+，则121(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=u u u r u u u r 得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，∴322174141b b q b b --===--，∴111n nn n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=， 故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分 则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L ， 当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn nn ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ，化简可得 0)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分（2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增， 在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值， 所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(， 令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxee e e x g 1)(2-=-='-， 故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值. 所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分（3）由0x 满足m e e x x =+-00， 代入mx e e x f x x --=-)(， 消去m可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(， 所以)()(xxe ex x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxe e e e，所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤， 综上，m的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''， 所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y '+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分 又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=， 所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=， 又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)， 于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分 21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， (5)分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--u u u u r ，1(1,1,3)B D =--u u u u r，所以112222227cos ,11(1)1(3)1(1)(3)A C B D <>==-++-⋅+-+-u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1A C与1B D所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ，所以1(1,1,)A C m =--u u u u r ，1(1,1,)B D m =--u u u u r ，(2,0,0)CD =u u u r，设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =u u r，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r， 所以10x =，令11z =，则1y m =，所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =u u r， 同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-u u r，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>==u u r u u r ，解得m =m =， 由图形可知当二面角11A CDB --的大小为3π时,m = …………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分.23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=L ，令1-=x 得12201232123333(91)2nn n n a a a a a a --+-+-+=+++=-L L ， 两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-L ，∴3(91)4n n S =-.…………………………………3分（2）123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L{}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++-L L 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++-L 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++-L 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分要证3||6n T n ≥，即证384n⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=L ，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。
南京-盐城2020届高三一模数学及解析
9. 在三棱柱 ABC − A1B1C1 中，点 P 是棱 CC1 上一点，记三棱柱 ABC − A1B1C1 与四棱锥 P − ABB1A1 的体积分
别为
V1
与
V2
A. 选修 4-2:矩阵与变换
已知圆
C
经矩阵
a 3
3 −2
变换后得到圆
C
'
x2
+ y2
= 13 ，求实数 a 的值
B. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线 cos + 2 sin = m 被曲线 = 4sin 截得的弦为 AB ，当 AB 是最长弦时，求实数 m 的值。
5
参考公式：
柱体体积公式：V = Sh ，椎体体积公式V = 1 Sh ，其中 S 为底面积， h 为高. 3
( ) 样本数据 x1, x2 , x3,
, xn 的方差
s2
=
1 n
n i =1
xi − x
2
，其中
x
=
1 n
n i =1
xi
.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
22．（本小题满分 10 分）
如图， AA1, BB1 是圆柱的两条母线， A1B1、AB 分别经过上下底面圆的圆心 O1、O,CD 是下底面与 AB 垂直的
直径， CD = 2.
（1）若 AA1 = 3 ，求异面直线 A1C 与 B1D 所成角的余弦值；
（2）若二面角
A1
−
CD
−
B1 的大小为
3
，求母线
AA1
的长.
23．（本小题满分 10 分）
盐城-南京2020届高三年级第一次调研考试 数学试题及答案
)盐城-南京 2020 届高三年级第一次调研考试2020.1.8一、填空题1.已知集合 A = (0, +∞) ，全集U = R ,则 CA= .2. 设复数 z = 2 + i ,其中i 为虚数单位，则 z z =.3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查,则甲被选中的概率为 .4. 命题“ ∀θ∈ R , cos θ+ sin θ> 1 ”的否定是 命题. (填“真”或“假”)5. 运行如图所示的伪代码，则输出的 I 的值为.6. 已知样本7,8, 9, x, y 的平均数是9 ,且 xy = 110 ,则此样本的方差是 .7. 在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 y2= 4x 上的点 P 到其焦点的距离为3 ,则点 P 到点O 的距离为.8. 若数列{a } 是公差不为0 的等差数列, ln a 、ln a 、lna ,成等差数列，则 a 2的值为 .n12519. 在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 ,中点 P 是棱CC 1 上一点，记三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 与四棱锥 P - ABB 1 A 1 ;的体积分别为V 1与V ,则V 2 = .V 110. 设函数 f (x) = sin(ωx +ϕ)(ω> 0, 0 < ϕ<π的图象与 y 轴交点的纵坐标为 22, y 轴右侧第一个最低点的横坐 标为π6，则ω的值为.11. 已知 H 是 A BC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点) = 1 + 1,则cos ∠BAC 的值为.AH AB AC4 212. 若无穷数列{cos(ωn)}(ω∈ R ) 是等差数列，则其前10 项的和为.13. 已知集合 P = {( x , y ) x x + y y = 16} ,集合 Q = {( x , y ) kx + b1≤ y ≤ kx + b 2 } ,若 P ⊆ Q ,则的最小值为.14. 若对任意实数 x ∈(-∞,1],都有≤ 1成立,则实数 a 的值为 .S ←0I ←0WhileS ≤10 S ←S+1 I ←I+1 End For Print I3b 1 - b 2 k 2+1exx 2- 2ax +1a 2二、解答题15. (本小题满分 14 分)已知 ABC 满足sin ⎛B + π⎫= 2 cos B . .6 ⎪(1)若cos C =⎝⎭, AC = 3, ,求 AB ; 3(2)若 A ∈⎛ 0,π⎫, ,且cos ( B - A ) = 4,求sin A .3 ⎪ 5 ⎝ ⎭16. (本小题满分 14 分)如图，长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，已知底面 ABCD 是正方形,点 P 是侧棱CC 1 上的一点.(1) 若 AC 1 / / 平面 PBD ,求 PC 1的值;PC(2) 求证: BD ⊥ A 1P .17. (本小题满分 14 分) + 2如图，是一块半径为 4 米的圆形铁皮,现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从 O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮 P 与 Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形 ABCD 做圆柱的侧面(接缝忽略不计). AB 为圆柱的一条母线, 点 A 、B 在 O 上，点 P 、Q 在 O 的直径上 AB / / P Q . P 、 Q 分别与直线 BC 、AD 相切，都与 O 内切，(1) 求圆形铁皮 Q 半径的取值范围;(2) 请确定圆形铁皮 Q 与 Q 半径的值，使得油桶的体积最大.(不取近似值)18. (本小题满分 16 分)设椭圆 C : x 22= 1(a > b > 0 ) 的左右焦点分别为 F 1 , F 2 , 商心率是 e ， 动点 P (x 0 , y 0 ) 在椭圆 C 上运动. 当 abPF 2 ⊥ x 轴时 x o = 1, y 0 = e .(1)求椭圆C 的方程;(2)延长 PF 1 , PF 2 分别交椭圆C 于点 A , B ( A , B 不重合).设 AF 1 = λF 1P , BF 2 = μF 2 P ,求λ+ μ的最小值.2 y0 0 n19.(本小题满分 16 分)定义:若无穷数列{a n } 满足{a n +1 - a n } 是公比为 q 的等比数列，则称数列{a n } 为" M (q) 数列”.设数列{b n } 中b 1 = 1,b 3 = 7 .(1) 若b 2 = 4 ,且数列{b n } 是“ M (q ) 数列"，求数列{b n } 的通项公式;(2) 设数列{b } 的前 n 项和为 S ,且b= 2S - 1n + λ,请判断数列{b } 是否为“ M (q ) 数列"，并说明理由:n n n +1 n 2 n(3) 若数列{b } 是" M (q ) 数列"，是否存在正整数 m , n .使得 4039 < b m < 4040? 若存在,请求出所有满足条件的正n2019 b 2019整數 m , n ;若不存在，请说明理由.20. (本小题满分 16 分)若函数 f ( x ) = e x- ae - x- mx (x ∈ R ) 为奇函数,且 x = x 时 f ( x ) 有极小值 f ( x ) .(1)求实数 a 的值;(2) 求实数 m 的取值范围; (3) 若 f ( x 0 ) ≥ -2上恒成立,求实数m 的取值范围.e⎢ ⎥ 附加部分21. [选做题]A.选修 4—2:矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知圆C 经矩阵 M = ⎡a3 3 ⎤ 变换后得到圆C ' : x 2 + y 2= 13 ,求实数 a 的值. - 2 ⎣ ⎦B. 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中,直线ρcos θ+ 2ρsin θ= m 被曲线ρ= 4 sin θ截得的弦为 AB ,当 AB 是最长弦时,求实数 m 的值.C. 选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分)已知正实数 a , b , c 满足 1 + 2 + 3= 1,求 a + 2b + 3c 的最小值.a b c2n22. [必做题](本小题满分 10 分)如图 AA 1、BB 1 是圆柱的两条母线, A 1B 1、AB 分别经过上下底面圆的圆心 O 1 , O , CD 是下底面与 AB 垂直的直径,CD = 2.(1) 若 AA 1 = 3 ,求异面直线 A 1C 与 B 1D 所成角的余弦值;(2) 若二面角 A - CD - BπAA 的长.1 1的大小为 3,求母线123. [必做题](本小题满分 10 分)i设∑(1- 2x ) = a+ a x + a x 2 + + a x 2 n (n ∈ N *), ,记 S = a + a + a + + a n .i =1(1)求 S n ;122 nn242(2)记T = -S C 1+ S C 2- S C 3+ + (-1)nS C n, 求证: T≥ 6n 3 恒成立.n1 n2 n3 nn nn。
2020届南京盐城高三年级第一次模拟考试(试卷+解析)可编辑
盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 2020.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体体积公式：V ＝Sh ，锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．样本数据x 1，x 2，···，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －)2，其中＝1n ∑n i ＝1x i ．一､ 填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A ＝(0，＋∞)，全集U ＝R ，则∁UA ＝ ▲ ．2．设复数z ＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则z ·—z ＝ ▲ ． 3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“ θ∈R ，cos θ＋sin θ＞1”的否定是 ▲ 命题．(填“真”或“假”) 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差 是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．8．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，ln a 1、ln a 2、ln a 5成等差数列，则a2a 1的值为 ▲ ．9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC －A 1B 1C 1与四棱锥P －ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V2V 1＝ ▲ ．10．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与y 轴交点的纵坐标为32，y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π6，则ω的值为 ▲．（第5题图）11．已知H 是△ABC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，AH →＝14AB →＋12AC →，则cos ∠BAC的值为 ▲ ．12．若无穷数列{cos(ωn )}(ω∈R )是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ．13．已知集合P ＝{(x ，y )| x |x |＋y |y |＝16}，集合Q ＝{(x ，y )| kx ＋b 1≤y ≤kx ＋b 2}，若P Q ，则|b 1－b 2|k 2＋1的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数x ∈(－∞，1]，都有|e xx 2－2ax ＋1|≤1成立，则实数a 的值为 ▲ ．二､解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．(本小题满分14分)已知△ABC 满足sin(B ＋π6)＝2cos B ．（1）若cos C ＝63，AC ＝3，求AB ；（2）若A ∈(0，π3)，且cos(B －A )＝45，求sin A ．16．(本小题满分14分)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点．（1）若AC 1//平面PBD ，求PC1PC的值；（2）求证：BD ⊥A 1P ．A 1P （第16题图）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面(接缝忽略不计)，AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在⊙O 上，点P 、Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P 、⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切． （1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)18．(本小题满分16分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P (x 0，y 0)在椭圆C 上运动．当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e ． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A ，B (A ，B 不重合)．设AF 1→＝λF 1P →，BF 2→＝μF 2P →，求λ＋μ的最小值．（第17题图）（第18题图）定义：若无穷数列{a n }满足{a n ＋1－a n }是公比为q 的等比数列，则称数列{a n }为“M (q )数列”． 设数列{b n }中b 1＝1，b 3＝7．（1）若b 2＝4，且数列{b n }是“M (q )数列”，求数列{b n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＋1＝2S n －12n ＋λ，请判断数列{b n }是否为“M (q )数列”，并说明理由；（3）若数列{b n }是“M (2)数列”，是否存在正整数m ，n 使得40392019＜b m b n ＜40402019?若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数f (x )＝e x －a e －x －mx (m ∈R )为奇函数，且x ＝x 0时f (x )有极小值f (x 0)． （1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围；（3）若f (x 0)≥－2e恒成立，求实数m 的取值范围．盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题 2020.01注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸卡． 21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡．指．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤a 33 －2变换后得到圆C′：x 2＋y 2＝13，求实数a 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m 被曲线ρ＝4sin θ截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋2b ＋3c＝1，求a ＋2b ＋3c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，AA 1、BB 1是圆柱的两条母线， A 1B 1、AB 分别经过上下底面圆的圆心O 1、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值； （2）若二面角A 1－CD －B 1的大小为π3，求母线AA 1的长．23．(本小题满分10分)设∑2n i ＝1(1－2x )i ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n (n ∈N *)，记S n ＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ． （1）求S n ；（2）记T n ＝－S 1C 1n ＋S 2C 2n －S 3C 3n ＋…＋(－1)n S n C nn ，求证：|T n |≥6n 3恒成立．南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．8．3 9．23 10．7 11．3 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.（第22题图）15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由cos C =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ， 由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分因为底面ABCD是正方形，所以A C ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ， 所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分11PC AOPC OC==17．解：（1）设P 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ， 所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x ⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,122m y m ±=+，故01212y y m -=+，则1201(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”， ∴322174141b b q b b --===--，∴111n nn n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=， 故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-，当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 2n ≥由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn n n ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ， 化简可得)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分 （2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <，故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增， 在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值， 所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(， 令m ee xf xg xx-+='=-)()(，则xx xxee e e x g 1)(2-=-='-， 故当0≥x 时，0)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是)(x f),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(， 消去m可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数， 所以，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e， 所以当0≥x 时，恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在上递增，故ee m 1+≤， 综上，m的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''， 所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y'+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=，所以29136120a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=，又曲线4sin ρθ=，所以24sin ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，x x e x e x x h -+--=)1()1()()()(xxe ex x h -='-0)(≤'x h eh 2)1(-=]1,0(为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)，于是0220m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， (5)分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. (10)分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--，1(1,1,3)B D =--，所以117cos ,11A CB D <>==， 所以异面直线1A C与1B D所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ， 所以1(1,1,)A C m =--，1(1,1,)B D m =--，(2,0,0)CD =， 设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，所以10x =，令11z =，则1y m =， 所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =，同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-，因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>==，解得m =m =， 由图形可知当二面角11A CDB --的大小为3π时,m = …………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分. 23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=，令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-，两式相加得024232()(91)2n n a a a a ++++=-，∴3(91)4nn S =-.…………………………………3分（2）123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++- {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++- 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++- 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++- 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分要证3||6n T n ≥，即证384n⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分-≥恒成立，请参照评分. 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n。