求根公式与根的判别式(2)
本科毕业论文_多项式方程的判别式与求根公式
本科毕业论⽂_多项式⽅程的判别式与求根公式东莞理⼯学院本科毕业论⽂（2015届）题⽬: 多项式⽅程的判别式与求根公式学⽣姓名: 姚培基学号: 201141410230院（系）:计算机学院专业班级: 信息与计算科学（2）班指导教师:起⽌时间: 2015年1⽉—2015年5⽉多项式⽅程的判别式与求根公式摘要: 近代数学史甚⾄能说是⼀部求解多项式⽅程的历史。
对于⾼次⽅程的数值根求解法，⼈们从很早就开始并⼀直探求这样的问题。
⽽且在古代，很多⼈都想出了⼀个办法来解决各种各样的多项式⽅程。
如卡尔⽶诺的《⼤术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。
在⽬前，有关问题求解多项式⽅程根的在⼯程实践中占有举⾜轻重的地位。
如在⼈类的⽣活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算⼀直起着⾮常重要的作⽤。
当⼈们在进⾏科学或者⼯程计算时，求解多项式⽅程组更是⾮常容易遇到的问题之⼀。
许多领域如⾃然⽣活和⼯程科学最终都可以归结为求解多项式⽅程组的问题。
这个时候⼈们就通常需要处理求解代数⽅程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单⼀些;但是当项⾮常复杂或变元⾮常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到⽐较多的困难。
对多项式⽅程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际⼯程计算中，具有⼗分重要的意义。
关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLABDiscriminant and seek the root of polynomial equationsAbstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, itssolving process is often more difficult.The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB⽬录⼀、引⾔ (1)（⼀）⼀元⼆次⽅程的判别式和求根与韦达定理 (1)⼆、⼀元多次多项式 (8)（⼀）代数基本定理 (9)（⼆）域论基础 (10)（三）多项式⽅程的判别式 (11)（四）⽜顿恒等式 (12)（五）关于⼀元五次⽅程 (19)三、总结与展望 (20)参考⽂献 (23)致谢 (25)⼀、引⾔在⼈类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天⽂学家及地理学家花拉⼦⽶作为第⼀⼈给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法。
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
九年级数学一元二次方程的解法根的判别式
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况： 不解方程，判断下列方程根的情况： x（1）-x2+ 2 6 x-6=0 （2）x2+4x=2 +1=（3）4x2+1=-3x 2mx+4 （4）x2-2mx+4（m-1）=0 解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0 ） × ） ） ∴该方程有两个相等的实数根
尝试：
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0 － ⑵ x2 = 4x－4 － ⑶ x2－3x =－3 －
答案：（ ）有两个不相等的实数根； 答案：（1）有两个不相等的实数根； ：（ （2）有两个相等的实数根； ）有两个相等的实数根；
当一元二次方程有两个不相等的实数根时， 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时， 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
概念巩固
1.方程 2+2=4x的判别式 2-4ac= -8 方程3x 的判别式b 方程 的判别式 . 所以方程的根的情况是 方程无实数根
典型例题
为任意实数， 例2 ：m为任意实数，试说明关于 的方程 为任意实数 试说明关于x的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等 （ ） （ ） 恒有两个不相等 的实数根。 的实数根。
解：b 2 − 4ac = [− (m − 1)]2 − 4[3(m + 3)]
= m 2 + 10m + 37
典型例题
2
第2讲.判别式与求根公式.尖子班.学生版
方程12级 特殊根问题方程11级 解特殊复杂方程方程10级 判别式与求根公式判断风波漫画释义满分晋级阶梯2一元二次方程的 判别式与求根公式题型切片（两个）对应题目题型目标公式法解一元二次方程例1；例2；演练1；演练2；一元二次方程的判别式例3；例4；演练3；例5；例6；演练4；演练5；例7；例8．定义示例剖析公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a b c，，的值；③代入24b ac-中计算其值，判断方程是否有实数根；解方程：2310x x-+=解：131a b c==-=，，()224341150b ac-=--⨯⨯=>()2354352212b b acxa--±-±-±===⨯知识导航模块一公式法解一元二次方程知识互联网题型切片④若240b ac -≥，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．（先计算24b ac -减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）∴12353522x x +-==，【例1】 用公式法解方程：⑴ 2220x x --=； ⑵ 2361x x -=；⑶ 2312x x -=-； ⑷ ()()1122x x x +-=；⑸ 26140x x ++=； ⑹ 2323+2=0x x -⑺ 22+2+1=0x bx b -【例2】 我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请选择你认为适当的方法解这个方程．①x 2－3x +1=0； ②(x －1)2=3；③x 2－3x =0； ④x 2－2x =4．能力提升夯实基础定 义示例剖析设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．解方程：2330x x -+= 解：()224341330b ac ∆=-=--⨯⨯=-<， 所以原方程无实数根．【例3】 不解方程，直接判断下列方程的解的情况：⑴ 2710x x --= ⑵ ()29431x x =-⑶ 27150x x ++= ⑷ 22320x x --+=⑸ 22330x x -+= ⑹ ()2102mx m x -++=（m 为常数）夯实基础知识导航模块二 一元二次方程根的判别式【例4】 ⑴已知关于x 的一元二次方程()()2212110k x k x -+++=有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ；⑵若关于x 的方程()21104k x x -+-=有实根，则k 的取值范围为__________.【例5】 ⑴ 已知a b c 、、为ABC △的三边，请判断关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况．⑵ 已知a b c 、、是ABC △的三边，且方程()()()220x b c x a b c a +-+--=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【例6】 已知关于x 的方程()21220x k x k -++-=⑴ 求证：无论k 为何值，方程总有实根；⑵ 若等腰ABC △一边3a =，另两边b c 、恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【例7】 若关于x 的方程2420kx x +-=有实根，求k 的取值范围．能力提升【例8】 已知关于x 的一元二次方程()22120mx m x -++=⑴求证：此方程总有两个实数根；⑵若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值； ⑶若此方程的两个实数根分别为x 1、x 2，求代数式()()()()33221212122125m x x m x x x x +-+++++的值．真题赏析知识模块一 公式法解一元二次方程 课后演练【演练1】 选择适当的方法解方程：⑴ ()20x x x +-=； ⑵ 2132x x -=； ⑶22330x x +-=．【演练2】 若关于x 的一元二次方程()222560m x x m m ++---=有一个根是0，则m =________，另一个根是________．知识模块二 一元二次方程根的判别式 课后演练【演练3】 如果关于x 的一元二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实根，那么以正数a b c ，，为边长的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【演练4】 已知关于x 的一元二次方程()213104a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式2121a a a-++的值．【演练5】 设a b c ，，为一个ABC △的三条边长，方程()()()23204b c x a c x a c ++---=有两个相等的实数根，且 a b c ，，满足520a b c -+=． ⑴求证：ABC △是等腰三角形；⑵求:a b c :的值．实战演练第十六种品格：感恩感恩的回报在一个闹饥荒的城市，一个家庭殷实而且心地善良的面包师把城里最穷的几十个孩子聚集到一块，然后拿出一个盛有面包的篮子，对他们说：“这个篮子里的面包你们一人一个。
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一般实系数四次方程可以写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a, b, c, d, e均为实数且a \neq 0。
解这种四次方程是一个相对复杂且困难的问题，因为不像二次方程有求根公式那样简单。
我们可以通过一些方法来解决这个问题。
我们来看一种求根公式的推导过程。
假设我们已经知道了四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0的根为x_1, x_2, x_3, x_4，我们可以将它写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)我们可以将右边展开得到：a(x^4 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)x^3 + \cdots + x_1x_2x_3x_4) = 0比较两边系数可得：\begin{cases}b = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)\\c = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4\\d = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)\\e = x_1x_2x_3x_4\end{cases}这些方程可以用来求解四次方程的根。
虽然这种方法比直接解四次方程要复杂一些，但是它可以帮助我们推导出四次方程的求根公式。
接下来，我们来看一下如何判别四次方程的根的情况。
根据代数基本定理，一个次数为n的多项式方程有n个复数根（包括重根）。
但是对于四次方程，通常我们更感兴趣的是它的实根情况。
我们可以通过计算四次方程的判别式来判断它的实根个数。
对于一般的四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，它的判别式可以表示为：\Delta = 256a^3e^3 - 192a^2bde^2 - 128a^2c^2e^2 + 144a^2cd^2e - 27a^2d^4 + 16ab^4e - 4ab^3cd - 8abc^3e +4abcd^2 + b^2c^2e^2 - b^2d^2e - 4bc^3d如果判别式\Delta > 0，则四次方程有两对不相等的实根。
一元二次方程的求根公式及根的判别式
所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：①②③④⑤⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。
如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。
若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。
如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。
可以利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。
⑶直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。
⑷因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。
解：①两边开平方，得所以②配方，得所以所以③配方，得所以所以④因为所以=4＋20=24所以所以⑤配方：所以所以⑥整理，得所以⑦移项，提公因式，得所以小结：以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。
例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.解：当a=0时，原方程有实根为若a≠0时，当原方程有两个实根.故，综上所述a的取值范围是.小结：此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.(2)满足k<4的最大整数，即k=3.此时方程为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3.①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得所以m的值为0或例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。
运用根的判别式解题
运用根的判别式解题根的判别式是指对于一次方程 ax^2+bx+c=0 来说，其判别式Δ=b^2-4ac能够反映出方程的根的性质。
根据判别式，我们可以分为以下三种情况进行解题：1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。
下面我们将通过实例来具体说明如何运用根的判别式进行解题。
实例1：求解方程x^2-5x+6=0的根。
首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=1由于Δ=1>0，所以该方程有两个不相等的实数根。
然后，我们利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a) 进行计算。
带入方程的系数a=1，b=-5，c=6，即可得到：x1=[5+√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5+√1)/2=3x2=[5-√(5^2-4(1)(6))]/(2(1))=(5-√1)/2=2因此，方程x^2-5x+6=0的两个根分别为x1=3和x2=2实例2：求解方程2x^2-4x+3=0的根。
首先，我们需要计算出判别式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(3)=-8由于Δ=-8<0，所以该方程没有实数根，而有两个共轭的复数根。
然后，我们需要将方程转换为复数形式进行求解。
利用一元二次方程求根公式 x = [-b±√(b^2-4ac)] / (2a)，带入方程的系数 a=2，b=-4，c=3，即可得到：x1=[-(-4)+√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4+√(-8))/4=(4+2i)/4=1/2+i/2x2=[-(-4)-√((-4)^2-4(2)(3))]/(2(2))=(4-√(-8))/4=(4-2i)/4=1/2-i/2因此，方程2x^2-4x+3=0的两个根分别为x1=1/2+i/2和x2=1/2-i/2实例3：求解方程x^2+4x+5=0的根。
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由此可见b²-4ac的值决定一元二次方程 的根的情况，所以把它叫一元二次方程 ax²+bx+c=0 （a ≠0）的根的判别式。 记作“△”读作“delta”
一元二次方程根的判别式
b2 4ac
b2 4ac
△ ＞0 △＝0 △＜0
有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实数根
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
用公式法解下列方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝-8；
二、例1，不解方程判别下列方程的根的情况
(1)3x2 4x 7 0 (2) 1 x2 x 1 (3)2x2 1 6x
4
（1）解：∵a =3，b =-4，c =7，
b²-4ac=16-4方×程3×要7 先＜化0 ∴原方程没有为再实一求数根般判形别式式
• 例2：当K为何值时，方程kx ²+（2k+1）x+k=0（k≠0） • （1）有两个不相等的根（2）有两个相等的根 • （3）没有实数根
主要应用: 1.不解方程，判断一元二次方程 根的情况
2.已知方程根的情况确定字母的 取值范围
例3.在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 ( )
A.有两个不相等的实数根b2 4ac
B.有两个相等的实数根 b2 4ac 0
C.没有实数根 D.根的情况无法判断
1.(2007年·西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0
有实数根，则m的取值范围是
(D )
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
2.(2007年·昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0
有实数根，则k的取值范围是
( A)
A.k≤1
B.k≥1
C.k<1
D.k>1
解：∵b ²-4ac=（2k+1）²-4k·k=4k+1，
而方程有两个不相等的根
∴4k+1﹥0，即k﹥-
1 4
若有两个相等根∴ 4k+1= 0 即k = -
1 4
若没有实数根则4k+1＜0即k＜
-
1 4
一元二方程根的判别式: b2 4ac
当. 0时 方程有两个不相等的实数根 当. 0时 方程有两个相等的实数根 当. 0时 方程没有实数根
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0， x＝3/2或x=1.
(3). (2x-1)(x-2) =-1; 4.3y2 1 2 3y.
思考：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根相 等？
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程无实数根？
3.(2007年·南通市)若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= 2 .
4.(2007年·上海市)关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的 值及该方程的根。
解：Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
例4.设关于x的方程, x2 2mx 2m 4 0 证明:不论m为何值,这个方程总有 两个不相等的实数根
解 : 4m2 4 2m 4
4 m2 2m 1 12
4m 12 12 0
所以,不论m为何值