5.1.2垂直定义性质垂线性质
人教版数学七下 5.1.2 垂线 课件
取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b． 问题4 尝试转动木条，是否存在一种情况使a与b所形成的四个角都相等。
∵周角为360°
∴若形成四个相等的角，则这个角为90°
当a与b互相垂直时，所成的四个角都为90° 问题5 当a与b所成夹角α为90°时，其余的角分别为多少？ 按照顺时针方式，其余角分别为：90°、 90 °、 90 °
基础测试
1．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=3 cm，PB=4 cm， PC=5 cm，那么点P到直线l的距离是（） A．3 cm B．小于3 cm C．不大于3 cm D．大于3 cm，且小于8 cm
【答案】C 【解析】 因为垂线段最短，所以点P到直线l的距离为不大于3cm，故选C.
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？ 将实际问题转化为数学问题（如下图），
即求直线外一点p与直线的最短距离。 思考：最短距离是哪条线段，为什么？
比例1:100 000，求渠道最短距离？ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
2.如图，在线段PA，PB，PC，PD中，长度最小的是( B ) A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
3.如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，AB＝6 cm，AD＝5 cm，则点B 到AC的距离为____5__c_m____，点A到BC的距离为___6__c_m____．
再见
按照顺时针方式，其余角分别为：146°、34°、146° 问题2 当a与b所成锐角α为60°时，其余的角分别为多少？
按照顺时针方式，其余角分别为：120°、60°、120°
5.1.2垂线
1.直线AB外一点P到直线AB的距离指的是（ B）
（A）从P点到AB的垂线段 (B)从P点到AB的垂线段长度 （C）从P点到AB的垂线（D）从 P点到AB的垂线长
2.点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l 上， 若PA=4cm,PB=5cm，PC=6cm，则P到直线l 的距离是（ C ） A．4cm B. 小于4cm C .不大于4cm D . 5cm
5.1.2 垂线
探究1：
取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a， 转动木条b． （1）在木条b的转动过程中,∠α有什么变化？ ∠a随b的转动由小到大发生变化。 （2）当∠α=90°时，木条b与a所在的直线有什么位置 关系？ a与b垂直
垂直：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫
做这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂 线，它们的交点叫做垂足．垂直符号用⊥表示。
B
C
D
注意：点A到直线CD的距离是
垂线段AB的长度，而不是垂线段AB。
归纳总结
1．什么是垂直？
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两 条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它 们的交点叫做垂足．
2.垂直和相交有什么关系？ 垂直是相交的特殊情况
3. 如何画已知直线的垂线呢？
垂足 ③交点O又叫做_____. 垂直
C
） A
o
D
B
④直线AB的垂线是_____. CD
90° ∠AOD=____,∠BOD=____. 90° 90° ⑤∠BOC=____,
2．过点Ｐ画出射线AB或线段AB的垂线．
P
A P
B
B A
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线, 就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
5.1.2垂线教案
5.1.2垂线[ 教学目标]知识与技能：知道垂直是相交的特殊情况，理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
过程与方法：通过操作，探究等活动，培养学生的动手能力，并通过活动使学生对知识学习从感性认识上升到理性认识。
情感态度与价值观：通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情感、合作交流、主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人[ 教学重点与难点] 1．教学重点：垂线的定义及性质。
2 ．教学难点：垂线的画法。
教学准备：多媒体课件，电脑[ 教学过程设计]一.复习提问：1.叙述邻补角及对顶角的定义。
2. 对顶角有怎样的性质。
二．新课：引言： 前面我们复习了两条相交直线所成的角，如果两条直线相交成特殊角直角时，这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？日常生活中有没有这方面的实例呢？下面我们就来研究这个问题。
（一）垂线的定义: 当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，直线 AB 、CD 互相垂直，记作 AB CD ，垂足为 O 。
请同学举出日常生活中，两条直线互相垂直的实例。
注意：1. 如遇到线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，C特指它们所在的直线互相垂直。
2 、掌握如下的推理过程：（如上图）AO B已知），AB CD(DAOC COBBODAOD 90 (垂直定义）.AOC 已知）反90 (之，ABCD (垂直定义）（二）垂线的画法 探究：1、用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？2、经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？3、经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？画法：让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。
人教版5.1.2垂线第一课时课件
a
αb O
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
导学问题：
C
1、如图，直线AB与CD相交于点O，
若∠COB=90°，则直线AB与CD的位 置关系是 垂直 ，表示为：AB⊥CD，其
A
O
B
中直线CD是AB的 垂 线，点O叫做 垂足
D
2、若已知直线AB⊥CD,则 ∠AOC=90° 。 ∠AOC= ∠COB= ∠BOD= ∠DOA=90°
工具：直尺、三角板
如图，已知直线 l,作l的垂线。
A
问题：
这样画l的
垂线可以
画几条？
O
l
无数条
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B
则所画直线AB
是过点A的直线l的
垂线.
A
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这 条线段(或射线)所在直线的垂线.
课堂练习
1.过点 P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ C）.
A
B
C
D
课堂检测：
• 1、如图，直线MN⊥PQ于O点，直线AB经 过O点，∠1=26°，则∠2=
P
1
M
O
N
2
M
A
B
Q
2、过点M做线段AB的垂线。
3、如图，直线AB与CD相交于0点，已知OE⊥AB， ∠BOD=45°，则∠COE= 135°
5.1.2 垂线(1)(精)--
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 移动三角板到已知点; 3移:移动三角板到已知点; 画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
D
如图,直线AB,CD相交于点O OE⊥AB, 如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB, AB 相交于点 1=125° COE的度数 的度数. ∠1=125°,求∠COE的度数. C A E 1 O D B
垂线的画法
问题: 怎么样画垂线?
1.垂线的画法: 1.垂线的画法: 垂线的画法
工具:直尺, 工具:直尺,三角板 如图, l,作 的垂线. 如图,已知直线 l,作l的垂线. 问题: 问题: 这样画l 这样画l的 垂线可以 画几条? 画几条? 无数条
练习一, 练习一,
E E
E 注意:画线段(或射线) 注意:画线段(或射线)的 垂线时, 垂线时,有时要将线段延 或将射线反向延长) 长(或将射线反向延长)后 再画垂线. 再画垂线.
练习二, 练习二, 1,如图,分别过A,B,C 如图,分别过A BC,AC,AB的垂线 的垂线. 作BC,AC,AB的垂线. A
∵ AB⊥OE (已知) AB⊥ 已知) ∠EOB=90 垂直的定义) EOB=90° ∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) ∠DOE= 50° 已知) ∵ ∠DOE= 50° (已知) B A O ∠DOB=40 互余的定义) DOB=40° ∴ ∠DOB=40°(互余的定义) C F ∠AOC= DOB=40° 对顶角相等) ∴ ∠AOC= ∠DOB=40°(对顶角相等) OB平分 平分∠ 又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°(角平分线定义) ∠BOF= DOB=40° 角平分线定义) ∠EOF= BOF=90°+40°=130° ∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° ∴ ∠COF=∠COD-∠DOF=180°-80°=100° ∠COF= COD- DOF=180° 80°=100° COF=∠ 邻补角定义) (邻补角定义)
5.1.2 垂线(第1课时)
3.垂直的书写形式： D A 如图，当直线AB与CD 相交于O点，∠AOD=90° 时，AB⊥CD，垂足为O。 O 书写形式： C ∵∠AOD=90°（已知） B ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为 O，那么，∠AOD=90°。 书写形式： ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
C
二、垂线的画法
问题： 怎么样画垂线？
垂线的画法： 工具：直尺、三角板 1.如图，已知直线 l,作l的垂线。 问题： 这样画l的 垂线可以 画几条？ 无数条
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Fra bibliotekmA l
1放、 2靠、 3画线、
O
孝感市文昌中学学生专用尺
2.如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB B 这样画l的垂 是过点A的直线l的 线可以画几 垂线. 条？
1
2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作 AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线, 垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
解： ∵∠ABC=90°(已知 ) A ∠1=60°（ 已知） O （互余的定义） ∴∠ABO=30° 2 ∵BO⊥AC于O点 （已知） ） 1 （垂直的定义）B D ∴∠BOC=90° 又∠2=∠1 （已知） （等量代换） ∴∠2=60° （互余的定义） ∴∠BOD=30°
一、垂直
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 例如、如图，a、b互相垂 b 直,O叫垂足.a叫b的垂线， O b也叫a的垂线。 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件
感悟新知
例 1 如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于 点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数. 解题秘方：利用垂直的定 义及对顶角的性质，将要 求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB， 所以∠ AOE=90°. 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°， 所以∠ AOC=90°－40°=50°. 所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段. 解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的 长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短 的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定 是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应 该是不大于2 cm.
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( B ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54°
感悟新知
例2 将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF， EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系. 解题秘方：利用折叠的性 质求出两线的夹角，根据 夹角是90°判断两条直线 的位置关系.
1. 垂线段：
特别解读 垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： 1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂
垂线性质
ABCDO 课题：5.1.2 垂线（1）一、学习目标：1．理解垂线的概念,掌握“过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线”的基本事实. 2．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 二、重点难点：重点：垂线的定义及性质. 难点：垂线的画法.三、 导学过程（一）预习导引1．如图，若∠1=60°，那么∠2= 、∠3= 、∠4= 2．改变上图中∠1的大小，若∠1=90°，请画出这种图形，并求出此时∠2、∠3、∠4的大小。
（二）自读深思1．阅读教材P 3的内容，导入2所画图形中两条直线的关系是__________，两条直线互相________是两条直线相交的特殊情形。
2．用语言概括垂直定义3．垂直的表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O ”，记为__________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图。
4.垂直的推理应用：（1）∵∠AOD=90° （ 已知 ）∴AB ⊥CD （ 垂直定义 ）由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直 （2）∵ AB ⊥CD （ 已知 ）∴ ∠AOD=90°（ 垂直定义 ） 由两条直线垂直，可知四个角为直角5.注意：①垂直是相交的一种特殊情况.②垂直是一种相互关系，即a ⊥b ，同时b ⊥a .③当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是指它们所在的直线互相垂直.（三）小组讨论1.完成教材P 4探究提出的问题E (3)OD CBA(1)ODC B经过探索，我们可以发现：在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直． 2.变式训练,请完成教材P 5练习第2题的画图（在教材上画）.画完图后，归纳总结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在______的垂线. （四）评讲总结本节课你你有那些收获？还有什么疑难需老师或同学帮助解决？ （五）检测反馈 判断题.1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.( )4.两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.( ). 填空题.1.如图,直线AB 与直线CD 的位置关系是_______, 记作_______,此时,•∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.2.如图（1）,OA ⊥OB,OD ⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.3.如图（3）,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB的位置关系是_________.画图题如图，P 为∠AOB 的边OA 上一点，过P 点分别画OA,OB 的垂线四、课后练习课时练P4 五、课后反思l A l BODCA 第1题图ODCA 第1题图课题：5.1.2 垂线（2）一、学习目标：1．了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质.2．了解点到直线的距离的意义并会度量点到直线的距离.二、重点难点：对点到直线的距离的概念的理解.三、导学过程（一）预习导引1.将弯曲的河道改直依据的几何知识是 .2.思考教材P5图5.1-8中提出问题.（二）自读深思阅读教材P5-P6内容1.如果把小河看成是直线l，把要挖的渠道看成是一条线段，则该线段的一个端点自然是农田P，另一个端点就是直线l上的某个点,那么最短渠道问题会变成是怎样的数学问题？（提示：用数学眼光思考:在连接直线l外一点P与直线l上各点的线段中,哪一条最短?）回答P5探究提出的问题归纳结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， .简单说成: .2.(1)垂线段与垂线有何区别联系？(2)垂线段与线段有何区别与联系？3.此时你会解决教材P5图5.1-8中提出的问题吗？在图形中画出“最短渠道”的位置.4. 叫做点到直线的距离．．．．．．．.注意：垂线是，垂线段是一条，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离（三）小组讨论例1 教材P6练习解：例2 如图，直线AB,CD相交于O,OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠OFEDCBAAOC 的度数.（四）评讲总结（六）检测反馈1．如图所示，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC =5cm ，BC =12cm ，AB =13cm ，则点B 到AC 的距离是________，点A 到BC 的距离是_______，点C 到AB •的距离是_______，•AC ﹥CD •的依据是_ _ _．2．如图，AOB 为直线，∠AOD ：∠DOB =3：1，OD 平分∠COB ． （1）求∠AOC 的度数； （2）判断AB 与OC 的位置关系．四、课后练习课时练P 5-6 五、课后反思课题：5.1.3同位角、内错角、同旁内角一、学习目标：会识别同位角、内错角、同旁内角.二、重点难点：能准确在各种图形中找出同位角、内错角、同旁内角. 三、导学过程 （一）预习导引在前面我们学习了两条直线相交于一点，得到四个角，即“两线四角”，这四个角里面，有 对对顶角，有 对邻补角.如果是一条直线分别与两条直线相交，结果又会怎样呢？（二）自读深思第2题图第1题图阅读教材第6页，并思考下列问题（写出来）：1.哪些是有公共点的角？哪些是没有公共点的角？什么叫被截直线？2.同位角的位置关系具有哪几个限定条件？第6页图中有几组同位角？3.内错角的位置关系具有哪几个限定条件？第6页图中有几组内错角？4.同旁内角的位置关系具有哪几个限定条件？第6页图中有几组同旁内角？（三）小组讨论1.教材第6页图是“直线，被直线所截”形成的图形（1）∠1与∠5这对角在两被截线AB,CD的，在截线EF的，具有这种位置关系的一对角叫同位角。
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P
A P
B
A
B
活动二：
第5页思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处， 如何挖掘能使渠道最短？
思考： （1）你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ （2）在直线上有无数个点，试着取几个点与点P 相连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？ （3）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一 吗？为什么？ （4）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
2.垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的 所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂 线段的长度，叫点到直线的距离．
思考： （5）如果图中的比例尺为1:1000000，水渠大 概要挖多长？ （6）你能列举生活中类似的实例吗？
归纳小结
1．什么是垂直？垂直和相交有什么关系？ 我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的？ 2．垂线有哪些性质？
5.1.2 垂线
课件说明
学习目标： （1）理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一 点画已知直线的垂线．理解点到直线的距离的概念，能度 量点到直线的距离．掌握垂线的性质． （2）通过观察、思考、探究等活动归纳出垂线的概念和性 质，并利用所学知识进行说理，体会从一般到特殊的方法， 提高逻辑思维能力．通过利用垂线的性质解决简单的实际 问题，提高应用意识．
练习：
第6页练习 第8页习题5.1 第3、4、5、6、7题
（１）用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这 样的垂线能画出几条？
（２）经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线 能画出几条？ ①经过一点画已知直线l的垂线有几种情况？ ②通过画图，你发现过一个点可以画几条直 线与已知直线垂直？
2.垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直．
第5页练习： 2．过点Ｐ画出射线AB或线段AB的垂线．
学习重点： 垂线的概念和性质．
问题1： 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木 条a，转动木条b．
（1）在木条b的转动过程中,什么量也随之发生改变？ a与b所成的角也随之发生改变 （2）木条b与a成90º 的位置有几个？此时，木条b与a 所在的直线有什么位置关系？ a与b垂直
1.垂直概念：两条直线相交所成的四个角中，有一 个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直．两条直 线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂 线，它们的交点叫做垂足． 如图，AB ⊥CD，垂足为Ｏ． 记作：AB ⊥CD于点Ｏ．
符号语言：垂直定义 ∵ AB ⊥CD， ∴∠AOC=90°．
反之垂直性质 ∵ ∠Aபைடு நூலகம்C=90°， ∴ AB⊥CD．
问题2： （1）两条直线垂直和相交是什么关系？
垂直是相交的特殊情况
（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系 有3种：相交，平行，垂直？
不能，因为垂直是相交的特殊情况
活动一：第4页探究