第四章 信息率失真函数-习题答案
ch04 信息率失真函数
P (Y X )
⎧0 xi = y j d ( xi , y j ) = ⎨ ⎩a xi ≠ y j
3
⎡ p ( y1 x1 ) p ( y2 x1 ) ... p ( ym x1 ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ p ( y1 x2 ) p ( y2 x2 ) ... p ( ym x2 ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p ( y1 xn ) p ( y2 xn ) ... p ( ym xn ) ⎦ ⎥ ⎣
⎡ d ( x1, y1 ) d ( x1, y2 ) ⎢d ( x , y ) d ( x , y ) 2 1 2 2 D= ⎢ ⎢ ⎢ ⎣d ( xn , y1 ) d ( xn , y2 )
d ( x1, ym ) ⎤ d ( x2 , ym )⎥ ⎥ ⎥ ⎥ d ( xn , ym )⎦
4
4.1 基本概念
i =1 j n
(
)
离散信源 连续信源
Dmin = ∑ p(xi )min d(xi , y j )
i=1 j
n
仅当失真矩阵每行均 有零元素时, Dmin= 0
R(Dmin ) = R(0) = H ( X )
R(Dmin ) = R(0) = H(x) =∞
12
4.1 基本概念
西华师范大学 物理与电子信息学院
失真函数d(αi,βj)
d(αi , β j ) = d(xi1 xi2
N k =1
xiN , yj1 yj2
= ∑d(xik , yjk )
D ≤ D ，D——允许失真的上界
7
平均失真度—— 单符号时的N倍
D( N ) = ND
8
4.1 基本概念
西华师范大学 物理与电子信息学院
《信号处理原理》 第4章 信息失真率
d(0,2)=d(1,2)=0.5
则得失真矩阵
d
0 1
1 0
0.5 0.5
4.1 平均失真和信息率失真函数
说明：失真函数d (xi, yj) 的数值是依据实际应 用情况，用 yj代替xi, 所导致的失真大小是人为决 定的。比如上例中，用y=2代替x=0和x=1所导致 的失真程度相同，用0.5表示；而用y=0代替x=1 所导致的失真程度要大，用1表示。失真函数d (xi, yj) 的函数形式可以根据需要任意选取，例如平方 代价函数、绝对代价函数、均匀代价函数等。
信源编码器的目的是使编码后所需的信 息传输率R尽量小，然而R越小，引起的平 均失真就越大。给出一个失真的限制值D，
在满足平均失真 D D的条件下，选择一种
编码方法使信息率R尽可能小。信息率R就 是所需输出的有关信源X的信息量。
16
4.1 平均失真和信息率失真函数
将此问题对应到信道，即为接收端Y需要 获得的有关X的信息量，也就是互信息 I(X;Y)。这样，选择信源编码方法的问题就 变成了选择假想信道的问题，符号转移概 率p(yj/xi)就对应信道转移概率。
输入符号集 X:{a1, a2, …, an}中有n种不同的符 号xi (i =1, 2, …, n) ；输出符号集Y:{b1, b2, …, bm}中有m种不同的符号yj (j =1, 2, …, m)；对于 图所示的系统，对应于每一对(xi, yj)(i = 1, 2, …,n；j=1, 2, …, m)，定义一个非负实值函数
平均失真D是对给定信源分布p(ai)经过某一种 转移概率分布为p(bj|ai)的有失真信源编码器后产 生失真的总体量度。
13
4.1 平均失真和信息率失真函数
第四章信道率失真函数后续习题课
2018/10/13
Department of Communication China Ji Liang University
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第四章 信息 率失真函数
• 实际中允许一定程度的失真
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第四章 信息 率失真函数
• 问题：在允许一定程度的失真条件下，信
4.1.1 失真函数
源信息能够压缩到何种程度？至少需要多 少比特的信息率才能描述信源？
•香农信息率失真理论指出：
• 这样就将选择信源编码方法的问题转化为选择假想信道的问题，
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第四章 信息 率失真函数
• 试验信道
4.1.3 信息率失真函数R(D)
平均失真 是信源统计特性p(xi) 、信道统计特性p(yj/xi ) 和失真度d(xi,yj)的函数 。当p(xi)和d(xi,yj)给定后，则可以 求出满足保真度准则 下的所有转移概率分布 pij，构 成一个信道集合PD，
i=n i=n i=n 2n 2n 2n
a1 a2 an
a n+1
an
n 1 2n
a 2n
输出熵H(Y)为: 1 1 1+n n+1 H(Y)=H( ,... , ) log 2n log(n 1) 2n 2n 2n 2n
《信息论与编码》习题解答-第四章(新)
《信息论与编码》习题解答第四章 信息率失真函数-习题答案4.1解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110d ，转移概率⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=εεεε11)|(i j a b p 平均失真：εεεεε=⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯==∑∑==0)1(2/112/112/10)1(2/1),()|()(2121j i i j i j i b a d a b p a p D4.2解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0210d ， 0min =D ,∑=⨯+⨯=⨯+⨯===ij i i j j y x d x p D D )102/122/1(2/112/102/1),()(min min max 舍去当0min =D ，bit X H R D R 12log )()0()(min ====因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001P当2/1max =D ，0)(max =D R因为取的是第二列的max D 值，所以输出符号概率:,1)(,0)(21==b p b p ,,2221b a b a →→因此编码器的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1010P 4.3解：0min =D0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =⨯+⨯+⨯+⨯===⨯+⨯+⨯+⨯===∑∑i j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 当0min =D ，bit X H R D R 24log )()0()(min ==== 因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000100001P 当4/3max =D ，0)(max =D R因为任何一列的max D 值均为3/4，所以取输出符号概率:0)(,0)(,0)(,1)(4321====b p b p b p b p ，即14131211,,,b a b a b a b a →→→→因此编码器的转移概率为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001000100010001P 4.4解： 依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4/1014/110d ， 0min =D∑=⨯+⨯===ij i i j j y x d x p D D )2/12(4/1)4/12/14/12/1min(),()(min min max 个均为其它当0min =D ，bit X H R D R 12log )()0()(min ====因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010001P 当4/1max =D ，0)(max =D R因为取的是第三列的max D 值为1/4，所以取输出符号概率:1)(,0)(,0)(321===b p b p b p ，即3231,b a b a →→因此编码器的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100100P 4.5解：(1)依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110d ，转移概率为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=q q P 101 )1(0)1()1(1)1(1001),()|()(11p q q p q p p p y x d x y p x p D n i mj j i i j i -⨯=⨯-⨯-+⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯==∑∑==(2) 0min =D因为)(D R 是D 的递减函数，所以)1log()1(log )()()())(m ax (min min p p p p D H p H D R D R ----=-==当0=q 时可达到))(max(D R ，此时0=D(3) ∑-=⨯+⨯===iji i j j ，p p p p y x d x p D D )1(10),()(min min max 舍去更大另一个 因为)(D R 是D 的递减函数，所以0)()()())(m in(max max =-==D H p H D R D R当1=q 时可达到))(min(D R ，此时p D -=1(图略，见课堂展示)4.6解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞=1010d ，信源⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2/12/110)(u p u 0min =D ，∑⨯+⨯⨯+∞⨯∞⨯+⨯===iji i j j y x d x p D D )12/112/1,02/12/1,2/102/1min(),()(min min max )(1]1,,m in[舍去另二个，∞=∞∞=10≤≤D因为二元等概信源率失真函数：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a D H n D R ln )( 其中1,2==a n ，所以率失真函数为：D D R -=1)(4.7解：失真矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110d ，按照P81页方法求解。
信息率失真函数 第4章— 1
② 均方失真: d(ai ,bj ) (ai bj )2
③ 绝对失真: d (ai ,bj ) | ai bj |
④ 相对失真: d (ai ,bj ) | ai bj | / | ai |
⑤
误码失真:
d
(ai
,bj
)
(ai
bj
)
0, 1,
ai bj 其他
9
4.1.2 平均失真
• xi和yj都是随机变量,所以失真函数d(xi,yj)也是随 机变量,限失真时的失真值只能用数学期望表示
11
4.1.3 信息率失真函数R(D)
• 若平均失真度 D 不大于我们所允许的失真，即
DD
• 则称此为保真度准则
• 当信源p(xi)给定，单个符号失真度d(xi,yj) 给定时, 选择不同的试验信道p(yj|xi)，相当于不同的编码 方法，其所得的平均失真度不同。
• 试验信道
D D 满足保真度准则
D
＞D
12
4.1.3 信息率失真函数R(D)
• 满足 D D 条件的所有转移概率分布pij ，构成 了一个信道集合
PD {p(bj | a）i ：D D} • D失真允许的试验信道：
– 满足保真度准则的试验信道。
• PD：
– 所有D失真允许的试验信道组成的一个集合。
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4.1.3 信息率失真函数R(D)
信道容量
• 信道容量：
– 假定信道固定的前提下，选择一种试验信源 使信息传输率最大。
– 它所反映的是信道传输信息的能力，是信道 可靠传送的最大信息传输率。
• 一旦找到了信道容量，它就与信源不再有关, 而是信道特性的参量，随信道特性的变化而变 化。
第4章1、失真函数
P∈PD1
R( D1 ) = min I ( P) = I ( P1 ) R( D2 ) = min I ( P) = I ( P2 )
P∈PD 2
D ≤ D1
使 I ( P ) 达到最小，且
D ≤ D2
25 26
R(D)性质
θ 1 因为 d ( Pθ ) = ∑∑ Q(u ) Pθ (v | u )d (u , v)
16
寻找平均 互 信息量 I(U；V) 的 最 小 值 。 BD 是 所有满足保真度准则的试验信道集合，可以在 D失真 许可的试验信道 集合BD 中寻找某 一个信 道 p(vj|ui)， 使 I(U；V) 取 最 小 值 。由于 平均 互 信息量I(u;v)是p (vj|u i)的U型凸函数，所以在BD 集合中，极小值存在。这个最小值就是在 D ≤ D 条件下，信源必须传输的最小平均信息量。 即
称R(D) 为信息率失真函数（或率失真 函数），其 单位为 奈特/信源符号或比特/信源 符号。 N维信源符号序列的信息率失真函数 RN(D)：
RN ( D ) =
p ( y|s ): D ( N ) ≤ ND
min
{I (U ;V )
（4― 28）
R( D ) =
式中 ： x ——信源的一个输出 序列； y—— 信宿的一个接收序列 ；
{
}
P V |U ( v | u ) = p (v ) Dmax = min ∑ p(v)∑ p (u )d (u , v) Dmax = min ∑ p(u )d (u, v)
v∈V v u u n
n
当失真矩阵D中每行至少有一个零元素时 Dmin＝0
最大允许失真度
信息论考试答案
第4章作业1. 设输入符号表与输出符号表为X ＝Y ＝{0，1，2，3}，且输入信号的分布为p (X = i ) = 1/4，i ＝0，1，2，3，设失真矩阵为0111101111011110⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦d 求D min 、D max 和R (D min )、R (D max )以及相应的编码器转移概率矩阵，并求出信源的R(D)函数，画出其曲线（取4至5个点）。
解：10110 41011A A n A P n A A n -⎡⎤⎢⎥⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=↔==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦d有114i p n ==得：()()111011i ji ij ijA AD p P d n n n A n n n-==-⨯⨯+⨯⨯=--∑∑所以1A D =-，进而：()()1111j i ji iA A q p P n n n n n-==+-⨯=-∑()()()()()()()()()1111 ,,,,,1111 ,,1,,,11 log 1log 11log11log ,1log 1 2,1log 3j ji R D H q H p AA H H A n n n n D D H H D n n n n D Dn D D n n n n H D D D n H D D D ==--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=+--+-⨯--=----=--- ()minmin 0,2D R D bit ==，此时1000010000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P()maxmax 3/4,0D R D ==，此时1000100010001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P2. 设输入符号为X ＝{0，1}，输出符号为Y ＝{0，1}。
输入信号的概率分布为P ＝(1/2，1/2)，失真函数为d (0，0) = d (1，1) = 0，d (0，1) =d (1，0) =α。
陈运 信息论与编码 第四章 信息率失真函数
d (a1 , b1 ) d (a1 , b2 ) d (a , b ) d (a , b ) 2 1 2 2 [ D] ... ... d (an , b1 ) d (an , b2 )
... d (a1 , bm ) ... d (a2 , bm ) ... ... ... d (an , bm )
D p(ai ) p(b j / ai )d (ai , b j )
i 1 j 1 n m
D1 (1 ) D2 D (1 ) D D
' ''
满足保真 度准则
' ''
I ( X ; Y ) R( D) R[D (1 ) D ]
k 1 N
由信源和信道的无记忆性
p (ai ) p ( x jk )
k 1 N N
p (b j / ai ) p ( y jk / x jk )
k 1
D( N ) p(ai ) p(b j / ai )d (ai , b j )
i 1 j 1
nN mN
D1 D N
第1章：概述 第2章：信源熵 第3章：信道容量
第4章：信息率失真函数
第5章：信源编码 第6章：信道编码 第7章：密码体制的安全性测度
§4.1 信息率失真函数
§4.2 离散信源的信息率失真函数 §4.3 连续信息的率失真函数
§4.4 保真度准则下的信源编码定理
§4.1 信息率失真函数
§4.1.1 失真函数和平均失真度
n m
'
D 2 p(ai ) p 2 (b j / ai )d (ai , b j ) D
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4.1 一个四元对称信源⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4/14/1324/14/110)(X P X ，接收符号Y = {0, 1, 2, 3}，其失真矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111
101111011110，求D max 和D min 及信源的R(D)函数，并画出其曲线（取4至5个点）。
解： 0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =⨯+⨯+⨯+⨯===⨯+⨯+⨯+⨯===∑∑i
j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 因为n 元等概信源率失真函数：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=a D a D n a D
a D n D R 1ln 11ln ln )( 其中a = 1, n = 4, 所以率失真函数为：
()()D D D D D R --++=1ln 13
ln
4ln )( 函数曲线：
D 其中：
symbol nat D R D symbol nat D R D symbol nat D R D symbol
nat R D /0)(,4
3/12ln 2
14ln )(,21/3
16ln 214ln )(,41/4ln )0(,0==-==-==== 4.2 若某无记忆信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3/113/13/101)(X P X ，接收符号⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21,21Y ，其失真矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112211D 求信源的最大失真度和最小失真度，并求选择何种信道可达到该D max 和D min 的失真度。
4.3 某二元信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2/12/110)(X P X 其失真矩阵为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=a a D 00求这信源的D max 和D min 和R(D)
函数。
解：
0021021),(min )(202121),()(min min min max =⨯+⨯===⨯+⨯===∑∑i
j i j i i j i i j j y x d x p D a a y x d x p D D 因为二元等概信源率失真函数：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a D H n D R ln )( 其中n = 2, 所以率失真函数为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=a D a D a D a D D R 1ln 1ln 2ln )( 4.4 已知信源X = {0, 1}，信宿Y = {0, 1, 2}。
设信源输入符号为等概率分布，而且失真函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞=1100D ，求信源的率失真函数R(D)。
4.5 设信源X = {0, 1, 2, 3}，信宿Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}。
且信源为无记忆、等概率分布。
失真函数定义为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞======其他
且且53,21
41,010),(j i j i j i y x d j i 证明率失真函数R(D)如图所示。
log2
2log2
D
4.6 设信源X = {0, 1, 2}，相应的概率分布p (0) = p (1) = 0.4，p (2) = 0.2。
且失真函数为 )2,1,0,(10),(=⎩⎨⎧≠==j i j i j i y x d j i
(1) 求此信源的R(D)；
(2) 若此信源用容量为C 的信道传递，请画出信道容量C 和其最小误码率P k 之间的曲线关系。
4.7 设0 < α, β < 1, α + β = 1。
试证明：αR(D ’) +βR(D ”) ≥ R(αD ’ +βD ”)
4.8 试证明对于离散无记忆N 次扩展信源，有R N (D) = NR(D)。
其中N 为任意正整数，D ≥ D min 。
4.9 设某地区的“晴天”概率p (晴) = 5/6，“雨天”概率p (雨) = 1/6，把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”造成的损失为a 元。
又设该地区的天气预报系统把“晴天”预报为“晴天”，“雨天”预报为“雨天”的概率均为0.9；把把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”的概率均为0.1。
试计算这种预报系统的信息价值率v （元/比特）。
4.10 设离散无记忆信源⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3/13/13/1)(321x x x X P X 其失真度为汉明失真度。
(1) 求D min 和R(D min )，并写出相应试验信道的信道矩阵；
(2) 求D max 和R(D max )，并写出相应试验信道的信道矩阵；
(3) 若允许平均失真度D = 1/3，试问信源的每一个信源符号平均最少有几个二进制符号表示？
解：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-+=-+==⨯+⨯+⨯==∑j i e n e j i e n x y p y x d x p D sa sa sa i j i
j i j i ,)1(1,)1(11)/(0031031031),(min )(min
4.11 设信源⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p p x x X P X 1)(21（p < 0.5），其失真度为汉明失真度，试问当允许平均失真度D = 0.5p 时，每一信源符号平均最少需要几个二进制符号表示？
解：
因为二元信源率失真函数：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=a D H p H D R )()( 其中a = 1（汉明失真）, 所以二元信源率失真函数为：
)()()(D H p H D R -= 当2
p D =时 []symbol nat p p p p p p p p p H p H p R /21ln 212ln 2)1ln()1(ln 2)(2⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛。