关于递归与递推的那七道题
递推数列试题及答案
递推数列试题及答案1. 已知递推数列 \(a_n\) 满足 \(a_1 = 2\)，\(a_{n+1} = 2a_n + 1\)，求 \(a_5\) 的值。
答案：首先，我们根据给定的递推公式计算数列的前几项。
\(a_1 = 2\)\(a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \times 2 + 1 = 5\)\(a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \times 5 + 1 = 11\)\(a_4 = 2a_3 + 1 = 2 \times 11 + 1 = 23\)\(a_5 = 2a_4 + 1 = 2 \times 23 + 1 = 47\)所以，\(a_5\) 的值为 47。
2. 给定递推数列 \(b_n\) 满足 \(b_1 = 3\)，\(b_{n+1} = 3b_n - 2\)，求 \(b_4\) 的值。
答案：同样地，我们使用递推公式计算数列的前几项。
\(b_1 = 3\)\(b_2 = 3b_1 - 2 = 3 \times 3 - 2 = 7\)\(b_3 = 3b_2 - 2 = 3 \times 7 - 2 = 19\)\(b_4 = 3b_3 - 2 = 3 \times 19 - 2 = 55\)因此，\(b_4\) 的值为 55。
3. 考虑递推数列 \(c_n\) 满足 \(c_1 = 1\)，\(c_{n+1} = c_n + n\)，求 \(c_4\) 的值。
答案：我们根据递推公式计算数列的前几项。
\(c_1 = 1\)\(c_2 = c_1 + 1 = 1 + 1 = 2\)\(c_3 = c_2 + 2 = 2 + 2 = 4\)\(c_4 = c_3 + 3 = 4 + 3 = 7\)所以，\(c_4\) 的值为 7。
4. 递推数列 \(d_n\) 满足 \(d_1 = 5\)，\(d_{n+1} =\frac{d_n}{2} + 1\)，求 \(d_3\) 的值。
关于递归的一些小练习
关于递归的⼀些⼩练习递归什么是递归在程序中, 所谓的递归, 就是函数⾃⼰直接或间接的调⽤⾃⼰.1. 直接调⽤⾃⼰2. 间接调⽤⾃⼰就递归⽽⾔最重要的就是跳出结构. 因为跳出了才可以有结果.所谓的递归就是化归思想递归的调⽤, 写递归函数, 最终还是要转换为⾃⼰这个函数.假如有⼀个函数 f, 如果它是递归函数的话, 那么也就是说函数体内的问题还是转换为 f 的形式.递归思想就是将⼀个问题转换为⼀个已解决的问题来实现function f() {... f( ... ) ...}例⼦: 1, 2, 3, 4, 5, ..., 1001. ⾸先假定递归函数已经写好, 假设是 foo. 即 foo( 100 ) 就是求 1 到 100 的和2. 寻找递推关系. 就是 n 与 n-1, 或 n-2 之间的关系: foo( n ) == n + foo( n - 1 )var res = foo( 100 );var res = foo( 99 ) + 100;3. 将递推结构转换为递归体function foo( n ) {return n + foo( n - 1 );}* 将求 100 转换为求 99* 将求 99 转换为求 98* ...* 将求 2 转换为求 1* 求 1 结果就是 1* 即: foo( 1 ) 是 14. 将临界条件加到递归体中function foo( n ) {if ( n == 1 ) return 1;return n + foo( n - 1 );}练习: 求 1, 3, 5, 7, 9, ... 第 n 项的结果与前 n 项和. 序号从 0 开始求第 n 项的1. ⾸先假定递归函数已经写好, 假设是 fn. 那么第 n 项就是 fn( n )2. 找递推关系: fn( n ) == f( n - 1 ) + 23. 递归体function fn( n ) {return fn( n-1 ) + 2;}4. 找临界条件求 n -> n-1求 n-1 -> n-2...求 1 -> 0求第 0 项, 就是 15. 加⼊临界条件function fn( n ) {if ( n == 0 ) return 1;return fn( n-1 ) + 2;}前n项和1. 假设已完成, sum( n ) 就是前 n 项和2. 找递推关系: 前 n 项和等于第 n 项 + 前 n-1 项的和3. 得到递归体function sum( n ) {return fn( n ) + sum( n - 1 );}4. 找临界条件n == 1 结果为 15. 得到递归函数function sum( n ) {if ( n == 0 ) return 1;return fn( n ) + sum( n - 1 );}练习: 2, 4, 6, 8, 10 第 n 项与前 n 项和第n项function fn( n ) {if ( n == 0 ) return 2;return fn( n-1 ) + 2;}前n项和function sum( n ) {if ( n == 0 ) return 2;return sum( n - 1 ) + fn( n );}练习: 数列: 1, 1, 2, 4, 7, 11, 16, … 求第 n 项, 求前 n 项和.求第 n 项1. 假设已经得到结果 fn, fn( 10 ) 就是第 10 项2. 找递推关系0, 1 => fn( 0 ) + 0 = fn( 1 )1, 2 => fn( 1 ) + 1 = fn( 2 )2, 3 => fn( 2 ) + 2 = fn( 3 )...n-1, n => fn( n-1 ) + n - 1 = fn( n )3. 递归体也就清楚了, 临界条件是 n == 0 => 1function fn( n ) {if ( n == 0 ) return 1;return fn( n-1 ) + n - 1;}如果从 1 开始表⽰, 那么第 n 项为1. 假设已经得到结果 fn, fn( 10 ) 就是第 10 项2. 找递推关系1, 2 => fn( 1 ) + 0 = fn( 2 )2, 3 => fn( 2 ) + 1 = fn( 3 )3, 4 => fn( 3 ) + 2 = fn( 4 )...n-1, n => fn( n-1 ) + n - 2 = fn( n )3. 临界条件 n == 1 => 1前n项和function sum( n ) {if ( n == 0 ) return 1;return sum( n - 1 ) + fn( n );}如果从 0 开始0 1 2 3 4 5 61, 1, 2, 4, 7, 11, 16,如果从 1 开始1 2 3 4 5 6 71, 1, 2, 4, 7, 11, 16,练习: Fibonacci 数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …求其第 n 项.递推关系 fn(n) == fn( n- 1) + fn( n - 2)function fib( n ) {if ( n == 0 || n == 1 ) return 1;return fib( n - 1 ) + fib( n - 2 );}阶乘阶乘是⼀个运算, ⼀个数字的阶乘表⽰的是从 1 开始累乘到这个数字. 例如 3! 表⽰1 * 2 * 3. 5! 就是1 * 2 * 3 * 4 * 5. 规定 0 没有阶乘, 阶乘从 1 开始.求 n 的阶乘function foo ( n ) {if ( n == 1 ) return 1;return foo( n - 1 ) * n;}求幂求幂就是求某⼀个数⼏次⽅2*2 2 的平⽅, 2 的 2 次⽅求 n 的 m 次⽅最终要得到⼀个函数 power( n, m )n 的 m 次⽅就是 m 个 n 相乘即 n 乘以 (m-1) 个 n 相乘function power ( n, m ) {if ( m == 1 ) return n;return power( n, m - 1 ) * n;}深拷贝如果要实现深拷贝那么就需要考虑将对象的属性, 与属性的属性, ... 都拷贝过来如果要实现:1. 假设已经实现 clone( o1, o2 ), 将对象 o2 的成员拷贝⼀份交给 o12. 简单的算法, 将 o2 的属性拷贝到 o1 中去function clone( o1, o2 ) {for ( var k in o2 ) {o1[ k ] = o2[ k ];}}3. 找递推关系, 或叫划归为已经解决的问题假设⽅法已经实现, 问⼀下, 如果 o2[ k ] 是对象继续使⽤这个⽅法因此需要考虑的是 o2[ k ] 如果是引⽤类型, 再使⽤⼀次 clone() 函数如果 o2[ k ]不是引⽤类型, 那么就直接赋值function clone( o1, o2 ) {for ( var k in o2 ) {if ( typeof o2[ k ] == 'object' ) {o1[ k ] = {};clone( o1[ k ] , o2[ k ] );} else {o1[ k ] = o2[ k ];}}}复杂实现: clone( o ) -> newObjfunction clone( o ) {var temp = {};for ( var k in o ) {if ( typeof o[ k ] == 'object' ) {temp[ k ] = clone( o[ k ] );} else {temp[ k ] = o[ k ];}}return temp;}请⽤递归实现 getElementsByClassName<div><div>1<div class="c">2</div><div>3</div></div><div class="c">4</div><div>5<div>6</div><div class="c">7</div></div><div>8</div></div>1. 如果实现⼀个⽅法 byClass( node, 'c', list ), 表⽰在某⼀个节点上查找符合 class 属性为 c 的元素2. 在当前元素的⼦元素中查找, 如果有符合要求的, 存储到⼀个数组中3. ⾸先遍历⼦节点, 然后看⼦节点是否还有⼦节点, 如果没有直接判断, 如果有再递归function byClass( node, className, list ) {var arr = node.childNodes;for ( var i = 0; i < arr.length; i++ ) {if ( arr[ i ].className == className ) {list.push( arr[ i ] );}if ( arr[ i ].childNodes.length > 0 ) {byClass( arr[ i ], className, list );}}}。
《算法设计与分析》递归算法典型例题
2. 算法构造
设皇帝有 count 个王子，
property[count]=count;
for (i=count-1; i>=1; i--)
{
if (property[i+1]%9!=0 )
break;
// 数目不符跳出 for 循环
else
property[i]=property[i+1]*10/9+i; //计算到第 i 个王子时剩余份数
四、 实验过程
（一） 题目一：…… 1. 题目分析 由已知可得，运动会最后一天剩余的金牌数 gold 等于运动会举行的天数由此可倒推每一 天的金牌剩余数，且每天的金牌数应为 6 的倍数。 2. 算法构造 设运动会举行了 N 天， If(i==N)Gold[i]=N; Else gold[i]=gold[i+1]*7/6+i;
3. 算法实现
#include <iostream> // 预编译命令
using namespace std;
void main()
//主函数
{
int i=0;
int num[9];
//定义储存数组
num[8]=6;
//到终点站车上还有六人
for(i=7; i>=2; i--)
num[i]=2*(num[i+1]-8+i); //计算到第 i 站车上的人数
//主函数
{
int i=0;
int fish[6];
//定义储存数组各天剩余金鱼数
fish[5]=11;
for (i=4; i>=1; i--)
fish[i]=(fish[i+1]*(i+1)+1)/i; //计算到第 i 天剩余金鱼条数
递归的经典例子
递归的经典例子
1. 算数学题的时候啊，像计算一个数的阶乘，这就是一个递归的经典例子呀！比如说计算 5 的阶乘，不就是 5 乘以 4 的阶乘嘛，而 4 的阶乘又等于 4 乘以 3 的阶乘，依次类推，这多有意思啊！
2. 还有走迷宫呢，你想想，当你在迷宫里遇到岔口，你选择一条路走，然后又遇到岔口，又继续选择，这不就跟递归很像嘛！你不断地进入更小的问题去探索，直到找到出口，这难道不是很神奇吗？
3. 画树也可以用递归呀！先画一个树干，然后树干上又分出树枝，每个树枝又可以当作新的树干去继续分树枝，这不就跟递归的过程一样嘛，哇塞，这样就能画出一棵复杂又漂亮的树啦！
4. 你知道汉诺塔游戏不？那就是典型的递归例子哟！要把盘子从一个柱子移到另一个柱子，不就得不断地用递归的方法去解决嘛，天啊，真是好烧脑又好有趣！
5. 再来说说我们电脑里的文件系统，那也是递归的体现呀！文件夹里有子文件夹，子文件夹里还有子文件夹，就这么一层层下去，像不像递归在大展身手呢？
6. 回忆一下我们看电影的时候，很多故事里不是也有类似递归的情节嘛！主角解决一个问题又引出新的问题，然后一直这么循环，这也可以说是一种故事里的递归呀，多有意思的发现呀！
总之，递归在生活中无处不在，它就像一把神奇的钥匙，能打开很多复杂问题的大门，给我们带来惊喜和挑战！。
递归递推区别分析与例题总结
递归递推区别分析与例题总结递归与递推⽂章⽬录特点递归(recursive)运⾏过程中⾃我调⽤，求解过程分为回溯和递推两个过程，占⽤内存多（栈数先积累后收缩，有可能爆栈），代码简洁但低效。
尾递归和递归区别⬇function story() {从前有座⼭，⼭上有座庙，庙⾥有个⽼和尚，⼀天⽼和尚对⼩和尚讲故事：story() // 尾递归，进⼊下⼀个函数不再需要上⼀个函数的环境了，得出结果以后直接返回。
}function story() {从前有座⼭，⼭上有座庙，庙⾥有个⽼和尚，⼀天⽼和尚对⼩和尚讲故事：story()，⼩和尚听了，找了块⾖腐撞死了 // ⾮尾递归，下⼀个函数结束以后此函数还有后续，所以必须保存本⾝的环境以供处理返回值。
}尾递归省内存、⾼效(相当于（或者说递推？）)Python⽆法在语⾔中实现尾递归优化(Tail Call Optimization, TCO)，所以采⽤了for, while等特殊结构代替recursive的表述（优化是编译器⼲的，发现尾递归结构就给优化了）。
递推(iterative)效率⽐递归⾼，尽量递推，除⾮只能递归。
例题递推例⼦⼀般都是数学题。
重点是找递推公式（也太好偷懒了吧）平⾯分割问题直线分割平⾯（基本结论）如果当前有 n 条直线，新增加⼀条直线（第 n+1 条直线），可以多出来 n 个交点（新的直线和之前所有的直线都有交点），⽽多出来 n 个交点对应到可以多出 n+1 个平⾯（⽐如从两条线，⼜新增⼀条线时，新的线和两条线都相交，作⽤在三个区域上，对这三个区域切分，增加三个平⾯）。
也即：S n+1=S n+(n+1)=1+(n+1)(n+2)2当平⾯上已有n-1条曲线将平⾯分割成a n-1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交⼀次，就会增加⼀个区域，因为平⾯上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每⼀条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同⼀点，故平⾯上⼀共增加2(n-1)个区域，加上已有的a n-1个区域，⼀共有a n-1+2(n-1)个区域。
递推与递归练习题
}
getch();
}
3.#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 30
void main()
{
int n, si,si1;
si1=1;
for(n=N-1;n>=1;n--)//倒数第二天开始
{
si=(si1+1)*2; //算出当天的桃子数
{
if(Duhe(a,b+2,0)==1)
return 1;
}
if(judge(a+2,b,1-a,3-b,0))
{
if(Duhe(a+2,b,0)==1)
return 1;
}
if(judge(a+1,b,2-a,3-b,0))
{
if(Duhe(a+1,b,0)==1)
return 1;
}
if(judge(a,b+1,3-a,2-b,0))
{ /*则判断下一个状态，直至问题解决*/
if(a==0&&b==0) return 1;
if(n==0) /*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/
{
if(judge(a-1,b-1,4-a,4-b,1))
{
if(Duhe(a-1,b-1,1)==1)
return 1;
}
if(judge(a,b-2,3-a,5-b,1))
2.（用递归做）商人渡河问题是这样的：有三个商人，三个强盗，和一条船（船每次只可以载小于等于两个人）他们同在河的一边，想渡过河去，但是必须保证在河的任何一边必须保证商人的数目大于等于强盗的数目，应该怎么过这条河呢？
递归经典题目
递归经典题目
递归是一种常用的算法技术，它可以用来解决许多经典问题。
以下是一些经典的递归问题：
1. 斐波那契数列：这是一个经典的递归问题，其中每个数字是前两个数字的和。
例如，斐波那契数列的前几个数字是 0、1、1、2、3、5、8、13、21 等。
2. 阶乘函数：这是一个计算一个数的阶乘的递归函数。
例如，5 的阶乘是 5 4 3 2 1 = 120。
3. 汉诺塔问题：这是一个经典的递归问题，其中有一些盘子需要从一根柱子移动到另一根柱子，每次只能移动一个盘子，并且不能将一个较大的盘子放在较小的盘子上面。
4. 二分搜索：这是一个在排序数组中查找特定元素的递归算法。
它首先将数组分成两半，然后根据目标值与中间元素的比较结果，选择另一半继续搜索。
5. 回溯算法：这是一种通过递归搜索所有可能解的算法，通常用于解决约束满足问题。
例如，排列组合问题、八皇后问题等。
6. 分治算法：这是一种将问题分解为更小的子问题，然后递归地解决这些子问题的算法。
例如，归并排序和快速排序等。
7. 动态规划：这是一种使用递归和备忘录（或称为记忆化）的方法，用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。
例如，背包问题和最短路径问题等。
这些经典的递归问题涵盖了不同的应用领域和算法类型，可以通过学习和解决这些问题来提高自己的编程和算法技能。
递归与递推
递推与递归练习题1、过河卒（NOIP2002普及组第4题）【问题描述】棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。
卒行走的规则：可以向下、或者向右。
同时在棋盘上C点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。
因此称之为“马拦过河卒”。
棋盘用坐标表示，A点(0, 0)、B点(n, m)(n, m为不超过15的整数)，同样马的位置坐标是需要给出的。
现在要求你计算出卒从A点能够到达B 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。
输入：一行四个数据，分别表示B点坐标和马的坐标。
输出：一个数据，表示所有的路径条数。
【样例输入】knight.in6 6 3 3【样例输出】knight.out6【问题分析】跳马是一道老得不能再老的题目，每位编程者都学过，一般是在学习回溯或搜索算法时，很多书上也有类似的题目，一些比赛中也经常出现这一问题的变形（如NOIP1997初中组第三题）。
有些同学一看到这种类型的题目就去盲目搜索，但事实证明：当n，m=15就会超时。
其实，对本题稍加分析就能发现，到达棋盘上的一个点，只能从左边过来（我们称之为左点）或是从上面过来（我们称之为上点）。
根据加法原理，到达某一点的路径条数，就等于到达其相邻的上点或左点的路径数目总和。
因此我们可以使用逐列（逐行）递推的方法来求出从起点到终点的路径数目。
障碍点（马的控制点）也完全适用，只要将到达该点的路径数目设置为0即可。
假设用F[I,J]到达点（I,J）的路径数目用G[I,J]表示点(I,J)是否为对方马的控制点，G[I,J]=0表示不是对放马的控制点，G[I,J]=1表示是对方马的控制点。
则，我们可以得到如下的递推关系式：F[I,J]=0 {G[I,J]=1}F[I,0]=F[I-1,0] {I>0,G[I,0]=0}F[0,J]=F[0,J-1] {J>0,G[0,J]=0}F[I,J]=F[I-1,J]+F[I,J-1] {I>0,J>0,G[I,J]=0}上述递推式边界是：F[0,0]:=1。
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关于递归与递推的那七道题
递归与递推是动态规划最底层的东西，掌握好它对于彻底的理解动规是至关重要的，这次做的题不难，但是它很能锻练人的思维，每一道题都有多种解法。
只要静下心来想，一般人都能做出来，而在做题的过程中，你会有很大的收获。
1、一只小蜜蜂...
题目是这样的，有一只经过训练的蜜蜂只能爬向右侧相邻的蜂房，不能反向爬行。
请编程计算蜜蜂从蜂房a爬到蜂房b的可能路线数。
对于这种题目，我们首先得找出蜂房之间的关系，如从1只能走到2和3，从2只能走到3和4，从3只能走到4和5……，因此
我们可以得到它们的递推关系：
f[a] = f[a+1]+f[a+2]；
下面我们再来找出口，把这个问题化简，即当a与b相邻时(a+1=b 或a+2=b)，f[a] = 1，所以这个问题可以解决了。
它就是一个递归，遇到b就结束。
为了减少重复访问，我们可以用记忆化搜索来提高效率。
这个题也可以顺着来推，即从a到a有0条路线，从a到a+1有1条路线,从a 到a+2有1条路线，而a+3的路线条数来源于a+1
和a+2的路径条数。
f[a] = 0;
f[a+1] = 1;
f[a+2] = 1;
f[a+3] = f[a+1]+f[a+2];
……
f[b] = f[b-1]+f[b-2];
由上面的式子就可以看出，它就是一个菲波拉契数列。
2、LELE的RPG难题
题目描述：有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法.
以上就是著名的RPG难题.
解法一：
这个题目经过同学们的讨论，得出了三种解法。
我所用的方法还是搜索，我们先不考虑它的限制条件，把第一个格子看成是树的根，那么总共可以建成三棵树，每一棵树的结点都有三个孩子。
我们的目标就是要统计这三棵树中分别从根结点走到叶子结点的总的路径条数。
然后把限制条件加上，把不符合要求的路径去掉，即可得出最终的结果。
具体的做法同样是记忆化搜索.
解法二：递推公式 f[n] = 3 * 2^(n-1) – f[n-1]；
解法三：数学公式 f[n] = (k-1)^n+(k-1)*(-1)^n；
证明略。
3、骨牌铺方格
题目描述：在2×n的一个长方形方格中,用一个1× 2的骨牌铺满方格,输入n ,输出铺放方案的总数.
法一：
这道题目，我是用数学方法解的，可以说是枚举。
骨牌放入方格中只有两种方式，横放或竖放，设横放的有x张，竖放的有y张。
则X+y = n；并且x只能是偶数(要把方格填满，横着放的骨牌只能是成对出现)，而题目给出n最大为50,所x,y 完全可以很快的枚举
出来。
剩下的工作只需对由x/2，y组成的多重集合进行排列就行了。
这个集合中共有两类不同类型的元素，第一类元素的重数k1=x/2，
第二类元素的重数k2=y；故最后的结果为(k1+k2)!/(k1! * k2!)。
法二：
假设f[n]为铺放方案的总数，我们只考虑最后放的那几张骨牌，有两种可能，一种是只放一张，竖着放，此时的方案总数为f[n-1]，还有
一种可能是放两张，横着放，此时的方案总数为f[n-2]。
因此我可以得出递推公式 f[n] = f[n-1]+f[n-2]。
法三：
记住这个结论：2*n棋盘用多米诺牌完美覆盖的方法数为一个斐波那契数列，f[0] = f[1] = 1，
f[n] = f[n-1]+f[n-2]。
4、阿牛的EOF牛肉串
题目是这样的：
要构造一个长度为n的只由"E" "O" "F"三种字符组成的字符串（可以只有其中一种或两种字符，但绝对不能有其他字符）,但是禁止在串中出现O相邻的情况，问总共有多少种构造方法。
这个题跟第2题一样，用记忆化搜索就可以把它搞定。
有牛人通过猜想，找规律也把它做出来了。
可以观察到，当n=1时，有f[n] = 3，当n=2时，有f[n] = 8，当n=3时，我们可以看出
f[n] = 22，由此找出规则f[n] = 2*(f[n-1] + f[n-2])。
用这个公式交上去，居然也对了。
至于证明嘛，我至今还没有想到。
5、6题都是关于错位排列的题目，求错位排列的个数的公式有很多个：
f[n] = n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*(1/n!))；
f[n] = (n-1)(f[n-1]+f[n-2])；
f[n] = n*f[n-1]+(-1)^(n-2)；
f[n]表示错位排列的个数。
上面三个公式都可以，就看哪个好用。
第6题稍微有点不同，它是求n 个数中有m个错位的排列的个数。
只须从这n 个中选出m个数来对它们错排，其余的数不动就行了。
7、求n条折线能够分割平面的最大数目。
我们知道n条直线能够分割平面的最大数目为n*(n+1)/2；
由这个公式，我们可以推出n条折线能够分割的平面的最大数目为2n*(2n+1)/2 – n = 2*n^2-n+1。
很好的递推题：铺磁砖和走格子
这是的递推专项训练的题目，感觉很好。
*题一：用1 x 1和2 x 2的磁砖不重叠地铺满N x 3的地板，共有多少种方案？
样例输入：2
样例输出：3
先设一个f[i]表示i*3的地板铺的方法,f[1]=1;f[2]=3;
i*3的地板数是这样得到的：(i-1)*3的地板比i*3的地板少的地方全铺上1*1的瓷砖，这有一种铺法；
或者在(i-2)*3的地板比i*3的地板少的地方铺上2*2的瓷砖和2个1*1的瓷砖，这有两种铺法；
所以得到递推式：f[i]=f[i-1]+2*f[i-2];
*题二：从原点出发，一步只能向右走、向上走或向左走。
恰好走N步且不经过已走的点共有多少种走法？
样例输入：2
样例输出：7
这个我没想出来，看题解才弄明白。
先设一个f[i]表示恰好走i步且不经过已走的点共有的走法。
如果向上走，不会出现经过已走的点；如果向左或右，上一步不能是向右或左。
引用题解上的一句话：/*
这一步的选择数= (3*上一步的所有选择中向上走的选择数) + (2*上一步的所有选择中向左、右走的选择数)。
上一步的所有选择中向上走的选择数”实际上就是“上上步的所有选择数”即d[i-2]
*/引用结束
还有一点，就是“上一步的所有选择中向左、右走的选择数” 等于“上步所有的选择数(即f[i-1])-上步向上的选择数”
也就等于“上步所有的选择数(即f[i-1])-上上步所有的选择数(即f[i-2])”所以得到递推式：f[i] = (3*f[i-2]) + 2*(f[i-1]-f[i-2]);
练习：
1、牛的繁殖问题。
有位科学家曾出了这样一道数学题：一头刚出生的小母牛从第四个年头起，每年初要生一头小母牛。
按此规律，若无牛死亡，第20年头上共有多少头母牛？
2、兔子繁殖（递推）
一对小兔子一年后长成大兔子；一对大兔子每半年生一对小兔子。
大兔子的繁殖期为4年，兔子的寿命是6年。
假定第一年年初投放了一对小兔子，试编程计算，第n年末总共会有多少对兔子。
n由键盘输入
这是一道关于递推的程序编程题目，但是找不到从问题的递推思路，知道思路的就写一下你的思路就可以了，不用写代码！！我只要知道一下思路就可以了·····
3、问题描述]
楼梯有n级台阶，上楼可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶。
编写一递推程序，计算有多少种不同的走法？
4、现在有100个数按递推排列，其中第一个数是0，第二个数是2，并且从第二个数起每个数的三倍都等于前后两个数之和。
问第100个数被6除所得的余数是多少？。