八年级初二数学下学期勾股定理单元专题强化试卷学能测试试题

八年级初二数学下学期勾股定理单元专题强化试卷学能测试试题

一、选择题

1．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）

A ．600m

B ．500m

C ．400m

D ．300m

2．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）cm ．

A ．25

B ．20

C ．24

D ．105

3．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE a =，则下列说法正确的是

（ ）

①DC '平分BDE ∠；②BC 长为(

)

22a +；③BCD 是等腰三角形；④CED 的周长

等于BC 的长．

A ．①②③

B ．②④

C ．②③④

D ．③④

4．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）

A ．2cm

B ．3cm

C ．4cm

D ．5cm

5．如图，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ）

A ．15--

B ．15-

C ．5-

D ．15-+

6．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定

ABC 的形状是（ ）

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．等腰三角形

D ．以上都不对

7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

8．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）

A ．217

B ．25

C ．42

D ．7

9．如图，在ABC ?中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点．已知90ACB ∠=?，

4BE =，7AD =，则AB 的长为（ ）

A ．10

B ．53

C ．213

D ．1510．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的

体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=?，

10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（ ）

A ．3尺

B ．4.2尺

C ．5尺

D ．4尺

二、填空题

11．如图，△ABC 是一个边长为1的等边三角形，BB 1是△ABC 的高，B 1B 2是△ABB 1的高，B 2B 3是△AB 1B 2的高，……B n-1B n 是△AB n-2B n-1的高，则B 4B 5的长是________，猜想B n-1B n 的长是________．

12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．

13．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___ 14．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.

15．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交

BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．

16．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．

17．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°

18．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．

19．如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ?使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．

20．如图，直线4

23

y x =

+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ，点C 是线段OA 上的一点，若将ABC ?沿BC 折叠，点A 恰好落在x 轴上的'A 处，则点C 的坐标为______.

三、解答题

21．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．

22．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=?，连接AE ．

（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．

（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由． 23．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．

(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；

②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；

(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．

24．Rt ABC ?中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .

25．如图，ABC ?是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．

（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =； （2）延长BD 与EF 交于点G ． ①如图2，求证：60BGE ∠=?；

②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=?=，则BCG ?的面积为______________．

26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．

(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________； (2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；

(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示) 27．已知ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，过顶点A 作射线AP .

（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知

21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.

①试证明ABD ?是直角三角形；

②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）

（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.

28．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动，到达点B 时运动停止．

（1）设点P 运动时间为t ，△BPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；

（2）当点P 运动到线段CB 上时（如图2），将矩形OACB 沿OP 折叠，顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置，求此时点P 坐标；

（3）在点P 运动过程中，是否存在△BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．

29．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．

（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段

AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．

30．阅读下列材料，并解答其后的问题：

我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的

解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦?秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的

边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()

a b c a b c a c b b c a

+++-+-+-

．

（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；

（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．

【详解】

解：如右图所示，

∵BC∥AD，

∴∠DAE=∠ACB，

又∵BC⊥AB，DE⊥AC，

∴∠ABC=∠DEA=90°，

又∵AB=DE=400m，

∴△ABC≌△DEA，

∴EA=BC=300m，

在Rt△ABC中，22

AB BC

+=500m，

∴CE=AC-AE=200，

从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，

∴最近的路程是500m．

故选B ．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法．

2．A

解析：A 【分析】

分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB ；把右侧面展开到正面上，连结AB ，；把向上的面展开到正面上，连结AB ；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB ，再进行大小比较． 【详解】

把左侧面展开到水平面上，连结AB ，如图1

()

2

210205925537AB =

++==

把右侧面展开到正面上，连结AB ，如图2

()

()2

2

2010562525AB =

++==

把向上的面展开到正面上，连结AB ，如图3

()

()2

2

10205725529AB =

++==925725625>>∴53752925>> ∴需要爬行的最短距离为25cm 故选：A ． 【点睛】

本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

3．B

解析：B 【分析】

根据折叠前后得到对应线段相等，对应角相等判断①③④式正误即可，根据等腰直角三角形性质求BC 和DE 的关系． 【详解】

解：根据折叠的性质知，△C ED CED '??，且都是等腰直角三角形， ∴90BDE ∠

2

C DE BDE ∠'≠∠

∴DC '不能平分BDE ∠①错误；

45DC E DCE ∴∠'=∠=?，C E CE DE AD a '====， 2CD DC a ='=，

2AC a a ∴=，2(22)BC a ==，

∴②正确；

2ABC DBC ∠=∠，

22.5DBC ∴∠=?， 45DCB ∠=?，

112.5BDC ∴∠=?，

BCD ∴?不是等腰三角形，

故③错误；

CED ∴?的周长(2CE DE CD a a a BC =++=+==，

故④正确． 故选：B ． 【点睛】

本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识点．

4．B

解析：B 【分析】

根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在Rt △DEB 中利用勾股定理解决． 【详解】

解：在Rt △ABC 中， ∵AC ＝6，BC ＝8，

∴AB ＝10，

△ADE 是由△ACD 翻折，

∴AC ＝AE ＝6，EB ＝AB?AE ＝10?6＝4， 设CD ＝DE ＝x ， 在Rt △DEB 中， ∵222DE EB DB +=， ∴()2

2248x x +=-， ∴x ＝3， ∴CD ＝3． 故答案为：B ． 【点睛】

本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．

5．A

解析：A 【分析】

首先根据勾股定理得出圆弧的半径,然后得出点A 的坐标. 【详解】

∴由图可知：点A 所表示的数为: 1-故选：A 【点睛】

本题主要考查的就是数轴上点所表示的数,属于基础题型.解决这个问题的关键就是求出斜边的长度.在数轴上两点之间的距离是指两点所表示的数的差的绝对值.

6．C

解析：C 【分析】

利用勾股定理的逆定理可以推导出ABD △是直角三角形.再利用勾股定理求出A C ，可得出AB=AC ，即可判断. 【详解】

解：由已知可得CD=BD=5,

22251213+=

即222BD AD AB +=,

ABD ∴是直角三角形，90ADB ∠=?，

90ADC ∴∠=?

222AD CD AC ∴+=

13AC ∴= 13AB AC ∴==

故ABC 是等腰三角形. 故选C 【点睛】

本题考查了勾股定理和它的逆定理，熟练掌握定理是解题关键.

7．A

解析：A 【分析】

根据直角三角形的两直角边长分别为5和3，可计算出正方形的边长，从而得出正方形的面积. 【详解】

解：3和5为两条直角边长时， 小正方形的边长=5-3=2， ∴小正方形的面积22=4； 综上所述：小正方形的面积为4； 故答案选A ．

本题考查了勾股定理及其应用，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．

8．A

解析：A 【解析】

试题解析：作AD ⊥l 3于D ，作CE ⊥l 3于E ，

∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE=90° 又∠DAB+∠ABD=90° ∴∠BAD=∠CBE ，

{BAD CBE AB BC ADB BEC

∠=∠=∠=∠， ∴△ABD ≌△BCE ∴BE=AD=3

在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得25+9=34， 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得342=217. 故选A ．

考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．

9．C

解析：C 【分析】

设EC=x ，DC=y ，则直角△BCE 中，x 2+4y 2=BE 2=16，在直角△ADC 中，4x 2+y 2=AD 2=49，由方程组可求得x 2+y 2，在直角△ABC 中，2244AB x y

【详解】

解：设EC=x ，DC=y ，∠ACB=90°， ∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴AC=2EC=2x ，BC=2DC=2y ，

∴在直角△BCE 中，CE 2+BC 2=x 2+4y 2=BE 2=16 在直角△ADC 中，AC 2+CD 2=4x 2+y 2=AD 2=49， ∴2

2

55164965x

y ，即2213x y +=，

在直角△ABC 中，22

44413213AB x y ．

【点睛】

本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE 和直角△ADC 求得2

2x

y +的值是解题的关键．

10．B

解析：B 【分析】

竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】

解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺， 根据勾股定理得：2224(10)x x +=-． 解得： 4.2x =，

∴折断处离地面的高度为4.2尺，

故选：B ． 【点睛】

此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．

二、填空题

11 【分析】

根据等边三角形性质得出AB 1＝CB 1＝

1

2

，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理求出BB 1＝

ABC 1

1

3

ABB BCB S S

==

B 1B 2，由勾股定理求出BB 2，根据1

12

21

ABB BB B AB B S S

S

=+代入求出B 2B 3=，

B 3B 4=B 4B 5=，推出B n ﹣1B n ＝2

n ． 【详解】

解：∵△ABC 是等边三角形， ∴BA ＝AC ， ∵BB 1是△ABC 的高， ∴AB 1＝CB 1＝

1

2

，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，

由勾股定理得：BB 1=；

∴△ABC 的面积是12×1=；

∴11

12ABB BCB S S

==?，

1

2

=×1×B 1B 2，

B 1B 2，

由勾股定理得：BB 234

=， ∵1

12

21

ABB BB B AB B S S

S

=+，

231311

2422

B B =???，

B 2B 3，

B 3B 4＝16，

B 4B 5＝32， …，

B n ﹣1B n ＝2

n

．

故答案为：32，2

n ． 【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律． 12．75或6或9

4

【分析】

当△ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当AB ＝BP 时；②当AB ＝AP 时；③当BP ＝AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值． 【详解】

在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝7.52﹣4.52＝36， ∴BC ＝6（cm ）；

①当AB＝BP＝7.5cm时，如图1，t＝7.5

2

＝3.75（秒）；

②当AB＝AP＝7.5cm时，如图2，BP＝2BC＝12cm，t＝6（秒）；

③当BP＝AP时，如图3，AP＝BP＝2tcm，CP＝（4.5﹣2t）cm，AC＝4.5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，

所以4t2＝4.52+（4.5﹣2t）2，

解得：t＝9

4

，

综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝3.75或t＝6或t＝9

4

．

故答案为：3.75或6或9

4

．

【点睛】

此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.

13．5或13

【分析】

根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P+S Q=S K为从而易求S K．

【详解】

解：如下图所示，

若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，

根据勾股定理，可得

A+B=C，

∴C=13．

若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，

根据勾股定理，可得

A+B=C，

∴B=9-4=5．

∴S K为5或13．

故答案为：5或13．

【点睛】

本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．

14．

103. 【分析】

根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，

CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，2

2S GF =，()2

3S NG NF =-，

12310S S S ++=，即可得出答案.

【详解】

∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形 ∴CG=NG ，CF=DG=NF

∴()2

222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+

22S GF =

()2

2232S NG NF NG NF NG NF =-=+-

∴22222

12322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+?+++-?==

∴2

103

GF = 故2103

S =

故答案为

103

. 【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.

15．65

【分析】

由“SAS”可证ABD ≌ACE ，DAF ≌EAF 可得BD CE =，4B ∠∠=，

DF EF =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长． 【详解】

解：如图，连接EF ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，

AE AD ⊥，

DAE DAC 290∠∠∠∴=+=，

又

BAC DAC 190∠∠∠=+=， 12∠∠∴=，

在ABD 和ACE 中

12AB AC AD AE =??

∠=∠??=?

， ABD ∴≌()ACE SAS ．

BD CE ∴=，4B ∠∠=

BAC 90∠=，AB AC =，

∴B 345∠∠==

4B 45∠∠∴==， ECF 3490∠∠∠∴=+=， 222CE CF EF ∴+=，

222BD FC EF ∴+=，

AF 平分DAE ∠， DAF EAF ∠∠∴=， 在DAF 和EAF 中

AD AE DAF EAF AF AF =??

∠=∠??=?

， DAF ∴≌()EAF SAS ． DF EF ∴=．

222BD FC DF ∴+=．

22222DF BD FC 68100∴=+=+=，

∴DF 10=

BC BD DF FC 610824∴=++=++=， AB AC =，AG BC ⊥，

1

BG AG BC 122

∴===，

DG BG BD 1266∴=-=-=，

∴AD =

故答案为【点睛】

考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

16．【解析】 【详解】 ∵（x-6）2=9， ∴x-6=±3， 解得：x 1=9，x 2=3，

∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，

∴当x=3时，x 、y =；

当x=9时，x 、y =； 当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.

故答案为： 【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解． 17．①②③ 【解析】 【详解】

解：∵△ABC 是等边三角形，

60ABC ∴∠=，

∵△BQC ≌△BPA ，

∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，

60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，

∴△BPQ 是等边三角形，①正确. ∴PQ =BP =4，

2222224325,525PQ QC PC +=+===， 222PQ QC PC ∴+=，

90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.

∵△BPQ 是等边三角形，

60PBQ BQP ∴∠=∠=，

∵△BQC ≌△BPA ， ∴∠APB =∠B QC ，

6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.

36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠， 90PQC PQ QC ∠=≠，， 45QPC ∴∠≠，