(精编)实验数据正态分布方法与案例
正态分布示范教案
正态分布示范教案第一章：正态分布的定义与特征1.1 引入：通过现实生活中的例子（如考试分数、人的身高等）引导学生了解正态分布的概念。
1.2 讲解正态分布的定义：一个连续型随机变量X服从正态分布，如果其概率密度函数为f(x) = (1/σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是分布的均值，σ是分布的标准差。
1.3 分析正态分布的特征：均值、标准差、对称性、拖尾现象等。
1.4 练习：让学生通过图表或计算器观察正态分布的特性。
第二章：正态分布的参数估计2.1 引入：讲解参数估计的概念，以及正态分布参数估计的重要性。
2.2 讲解均值和标准差的点估计：利用样本均值和样本标准差来估计总体均值和总体标准差。
2.3 讲解置信区间：以样本均值为例，讲解如何计算置信区间，并解释其含义。
2.4 练习：让学生运用给出的数据，计算正态分布的均值和标准差的点估计，以及置信区间。
第三章：正态分布的假设检验3.1 引入：讲解假设检验的概念，以及正态分布假设检验的应用。
3.2 讲解单样本Z检验：通过给出样本数据，引导学生了解如何进行正态分布的单样本Z检验。
3.3 讲解两样本Z检验：通过给出两个样本数据，引导学生了解如何进行正态分布的两样本Z检验。
3.4 练习：让学生运用给出的数据，进行正态分布的假设检验。
第四章：正态分布的应用4.1 引入：讲解正态分布在日常生活中的应用，如质量控制、医学等领域。
4.2 讲解正态分布的应用案例：如某产品的质量控制，如何利用正态分布进行控制限的确定。
4.3 讲解正态分布在其他领域的应用：如医学中正常值的判断、心理测量等。
4.4 练习：让学生通过实例，运用正态分布解决实际问题。
第五章：总结与拓展5.1 总结：回顾本章所讲内容，让学生掌握正态分布的定义、特征、参数估计和假设检验。
5.2 拓展：讲解其他连续型分布，如t分布、卡方分布等，以及它们与正态分布的关系。
5.3 练习：让学生运用所学的知识，解决更复杂的实际问题。
生活中的正态分布现象
生活中的正态分布现象生活中的正态分布现象正态分布是概率统计中一种重要的分布形式，它是一种连续概率分布，也就是说，该分布下的随机变量可以取无限个数值。
正态分布主要反映的是一组数据集中值的分散程度，对于生活中的很多现象，正态分布都有很好的适用性，下面我们将详细探讨一下生活中的正态分布现象。
一、身高体重身高体重是正态分布现象最为典型的例子，人的身高体重服从正态分布。
其实，无论是男性还是女性，身高体重的分布都很接近一个常规的正态分布。
而在这个正态分布中，人们的平均身高和平均体重会达到最高点。
同时，各个年龄段人的平均身高和平均体重也会有一些差异，但总体来说，正态分布是描述人类身高和体重的最佳方法之一。
二、考试成绩如果将一个班级的学生的考试成绩进行测量，那么这些成绩将是一个正态分布。
在这个正态分布中，大多数学生会处于中间分数水平，少数学生会获得高分，而另一些学生则会获得低分。
考试成绩的正态分布通常是由许多不同因素引起的，包括整个班级的教育素质、考试的难度以及每个学生的学习能力。
因此，在大多数良好的班级中，学生的考试成绩都会呈现正态分布。
三、实验测试结果在生物或化学实验中，科学家通常会测量许多不同的变量并将它们进行分析，以便更好地理解和解释他们的结果。
在这些实验中，许多数据的分布通常是正态分布的。
这就可以帮助科学家更准确地估计他们测量的变量，以及他们的实验结果是否有显著性差异。
四、心理问卷测试在心理学中，测试人员经常会要求被测试者回答各种心理问卷，以便更好地了解他们的义务感、幸福感、认知水平等等。
在这些测试中，往往会采用量表进行量化分析，得出来的数据往往也是正态分布，这一点也是心理学中常常使用正态分布的原因之一。
五、交通拥堵在城市交通中，交通拥堵是一件非常普遍的事情。
当过多的车辆和行人走在一个有限的区域内，就会形成交通拥堵。
而这种拥堵现象，对于普通交通状况下的车速来说，也是一个正态分布。
因此，当交通拥堵情况较为严重时，交通运输管理人员可以使用正态分布的方法去计算出实际的车辆行驶速度，以便更好地管理交通流量。
高考数学中的正态分布应用技巧
高考数学中的正态分布应用技巧在高考数学中，正态分布是一个非常重要的概率分布，因为许多实际问题都可以用正态分布来描述。
正态分布具有许多良好的特性，例如它的概率密度函数可以用一个简单的公式表示，且该密度函数是对称的，且呈钟形曲线。
因此，掌握正态分布的应用技巧是高考数学中的关键之一。
1. 正态分布的概率计算在高考数学中，我们通常需要在正态分布情况下计算一些概率，例如给定均值和标准差，找到某个值的概率，或者给定概率，找到对应的值。
为了计算这些概率，我们可以使用正态分布表，其中列出了在标准正态分布情况下的各种概率值。
例如，如果我们需要找到标准正态分布下z值为1.96的概率，则可以查找正态分布表，找到对应的值为0.9750。
这意味着从分布的左侧到z=1.96处的面积为0.9750。
同样，如果我们需要找到标准正态分布下，左侧面积为0.0250的z值，则可以查找正态分布表，找到对应的z值为-1.96。
2. 正态分布的近似计算虽然正态分布表可以计算出任意概率值，但是这种方法很难适用于一些较为复杂的计算问题。
因此，在高考数学中，我们通常需要使用正态分布的近似计算方法。
例如，如果我们需要计算某个正态分布的面积，而该分布的均值和标准差均未知，但是有足够数量的样本数据，则可以使用样本均值和样本标准差来进行计算。
这种方法被称为t分布，其形状类似于正态分布，但是适用于小样本的情况。
3. 正态分布的应用案例正态分布在高考数学中出现的应用案例非常广泛，以下是一些常见的例子：a. 考虑到某个申请大学的考试，假设分数服从正态分布，平均分是85，标准差是8，如果该大学只招收前10%的申请者，那么最低要求的分数是多少？解法：根据正态分布的性质，我们可以找到z值为1.28（约等于10%的面积）对应的原始分数，即：z=（x-85）/8，其中x为原始分数。
因此，我们可以解出x=95.04分。
因此，最低要求的分数是95分。
b. 假设某家公司生产的电子产品的电池寿命服从正态分布，均值为450小时，标准差为40小时。
(精编)实验数据正态分布方法与案例
配方Ⅰ 配方Ⅱ 配方Ⅲ
配方Ⅲ 1800 1700 1450 1570 1710 1610
统计过程控 统计抽验
甲
1320 1500
1610 1730
1800 1700
乙
1440 1560
1370 1430
1450 1570
丙
1400 1360
1630 1710
1710 1610
测量分析
改进
否
接受？
一、概述
信息质量
持续改进 过程质量
产品质量
事先预防
事后检验
二、正态分布 1、Excel两对正态函数 2、正态分布图形 3、过程变异情况图示 4、过程稳定与不稳定图示 5、重复测量与正态分布
三、方差分析（数据表）
例1：单因素方差风险
时间（分）
硬度
40
181
187
191
185
50
200
190
198ห้องสมุดไป่ตู้
188
60
192
198
204
202
例2：两因素无交互作用
原料 温度 B1
B2
A1 1313 1349
A2 1351 1356
A3 1379 1391
A4 1361 1352
B3 1373 1385 1394 1364
例3：两因素有交互作用
配方Ⅰ
甲
1320 1500
乙
1440 1560
丙
1400 1360
配方Ⅱ 1610 1730 1370 1430 1630 1710
是
统计过程控制与能力分析
改进
否
接受？
正态分布检验
正态分布检验2篇正态分布检验是统计学中常用的一种方法，用于检验数据是否服从正态分布。
本文将分为两部分，每部分详细介绍正态分布检验的原理、常用方法和应用。
第一部分：正态分布检验的原理和方法正态分布是概率论和统计学中最常见的一种分布。
在很多实际问题中，我们都希望数据能够近似地服从正态分布，因为正态分布具有许多良好的性质，如对称性和稳定性。
然而，对于给定的数据集，我们通常无法直接判断其是否服从正态分布。
这时，我们就需要进行正态分布检验。
常用的正态分布检验方法有如下几种：1. Shapiro-Wilk检验：Shapiro-Wilk检验是一种基于样本数据的正态分布检验方法。
它的原假设是数据集来自于一个正态分布总体。
通过计算统计量W来判断数据是否服从正态分布。
当W的值趋近于1时，说明数据较好地服从正态分布。
2. Kolmogorov-Smirnov检验：Kolmogorov-Smirnov检验也是一种常用的正态分布检验方法。
它的原假设是数据集来自于一个特定的分布，如正态分布。
通过计算统计量D来判断数据是否服从正态分布。
当D的值越接近0，说明数据越接近正态分布。
3. Anderson-Darling检验：Anderson-Darling检验是一种基于样本数据的正态分布检验方法。
它的原假设是数据集来自于一个正态分布总体。
通过计算统计量A来判断数据是否服从正态分布。
当A的值越小，说明数据越接近正态分布。
以上三种方法都是基于一定的统计理论进行计算和判断的，它们的原假设和备择假设也不完全相同。
在实际应用中，我们可以根据数据的性质和要求选择适合的方法进行正态分布检验。
第二部分：正态分布检验的应用正态分布检验在实际问题中有着广泛的应用。
下面以两个例子来说明正态分布检验的具体应用。
例子1：质量控制假设某家工厂生产的产品直径应该服从正态分布。
为了确保生产质量，工厂每天抽取一定数量的产品进行测量。
通过对测量数据进行正态分布检验，可以判断生产过程是否符合要求，并及时采取调整措施。
第三章 正态分布及其应用
二、标准正态分布
正态分布是一个分布族，对应于不同的参数 和 会产生不同位置、不同形状的正态 分布，为了应用方便，我们将正态分布转化成标准正态分布。
u x
f (X )
1
(x )
2
2
e
2
2
, X
ห้องสมุดไป่ตู้
(u )
1 2
u
2
e
2
, u
由频数分布表可知尿汞值呈偏态分布，且尿汞值仅 以过高为异常（单侧） ，所以采用百分位数法计算 上侧界值即求第 95 百分位数 P95。 公式： P
X
L
i fx
(n x%
8 .0 11
fL )
PX 4 0 .0
( 2 8 2 9 5 % 2 6 3 ) 4 3 .6 ( / L )
正 态 分 布
正态分布是医学和生物学中最常见，也是最重要的一种连续性分布，如正常人的 身高，体重，红细胞数，血红蛋白等。我们可以从频数表和频数图对正态分布进行研 究。 120 名正常成年男子红细胞计数的频数表（×1012/L）
组段（1） 3.20~ 3.50~ 3.80~ 4.10~ 4.40~ 4.70~ 5.00~ 5.30~ 5.60~ 5.90~6.20 合计 频数（2） 2 5 10 19 23 24 21 11 4 1 120 频率（%） （3） 1.7 4.2 8.3 15.8 19.2 20.0 17.5 9.2 3.3 0.8 100.0 累计频数（4） 2 7 17 36 59 83 104 115 119 120 累计频率（%）(5) 1.7 5.9 14.2 30.0 49.2 69.2 86.7 95.9 99.2 100.0
正态分布习题与详解(非常有用,必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P <x <；(2)P (x >2). 解：(1)P <x <=- =-[1-]==.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-(2)==.2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝ （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－＝ Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝－＝ 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－，）之间的概率 [Φ（）=, Φ（）=]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 （1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于，则a 至少有多大[Φ（）=, Φ（）=] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量~X N (3,1),若(4)P X p >=,,则P(2<X<4)=( A)12p + ( B)l —p C ．l-2p D ．12p - 【答案】C 因为(4)(2)P X P X p>=<=,所以P(2<X<4)=1(4)(2)12P X P X p ->-<=-,选C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，，所以E (ξ)＝1 000×＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( ) B ．－19 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59.4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝7－x 6－x 42，P (ξ＝1)＝x ·7－x C 72＝x 7－x21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝xx －142，∴0×7－x 6－x 42＋1×x 7－x 21＋2×xx －142＝67， ∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )[答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ Eξ＝4，Dξ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np 1－p ＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －x －μi 22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“0x R,cos x ∀∈>”的否定是:“0x R,cos x ∃∈≤”; ②若lg a lg b lg(a b )+=+,则a b +的最大值为4;③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则6f ()的值为0;④已知随机变量ζ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=,则3019P().ζ≤-=;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“0x R,cos x ∀∈>”的否定是:“0x R,cos x ∃∈≤”;所以①正确.②若lg a lg b lg(a b )+=+,则lg ab lg(a b )=+,即,0,0ab a b a b =+>>.所以2()2a b ab a b +=+≤,即2()4()a b a b +≥+,解得4a b +≥,则a b +的最小值为4;所以②错误.③定义在R 上的奇函数f (x )满足2f (x )f (x )+=-,则(4)()f x f x +=,且(0)0f =,即函数的周期是4.所以(6)(2)(0)0f f f ==-=;所以③正确.④已知随机变量ζ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=,则(5)1(5)10.810.19P P ζζ>=-≤=-=,所以35019P()P().ζζ≤-=>=;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间[1,1]-上任取两数m 和n ,则关于x 的方程220x mx n ++=有两不相等实根的概率为___________.【答案】14由题意知11,1 1.m n -≤≤-≤≤要使方程220x mx n ++=有两不相等实根,则22=40m n ∆->,即(2)(2)0m n m n -+>.作出对应的可行域,如图直线20m n -=,20m n +=,当1m =时,11,22C B n n ==-,所以11111[()]2222OBC S ∆=⨯⨯--=,所以方程220x mx n ++=有两不相等实根的概率为122122244OBC S ∆⨯==⨯.8、下列命题:` (1)221211134dx x x=-=⎰; (2)不等式|1||3|x x a ++-≥恒成立,则4a ≤;(3)随机变量X 服从正态分布N(1,2),则(0)(2);P X P X <=> (4)已知,,21,a b R a b +∈+=则218a b+≥.其中正确命题的序号为____________. 【答案】(2)(3) (1)22111ln ln 2dx x x==⎰,所以(1)错误.(2)不等式|1||3|x x ++-的最小值为4,所以要使不等式|1||3|x x a ++-≥成立,则4a ≤,所以(2)正确.(3)正确.(4)21212222()(2)41529b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++≥+⋅=,所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（ ）A ．26B ．25C ．23D ．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为222221[(1923)(2023)(2223)(2323)(3123)]185-+-+-+-+-=,选 D ．3有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在[)8,10内的频数为（ ）A ．38B ．57C ．76D ．95【答案】C 样本数据在[)8,10之外的频率为(0.020.050.090.15)20.62+++⨯=,所以样本数据在[)8,10内的频率为10.620.38-=,所以样本数据在[)8,10的频数为0.3820076⨯=,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为132410111()()244x x dx x x -=-=⎰,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为14,选 B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
正态分布示范教案
正态分布示范教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】正态分布（1）教材分析正态分布在概率统计学中是一种很重要的分布. 一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布.我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述.要求同学们学会从离散到连续用函数的观点解决问题.课时分配本节内容用2课时的时间完成，第一课时主要讲解正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.3原则放在了第二课时.教学目标重点: 正态分布曲线的特点及其所表示的意义.难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义．知识点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.能力点：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解.教育点：通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神.自主探究点：讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成.考试点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质.易错易混点：求系数最大项时的约分化简.拓展点：引导发现法.教具准备电子白板，多媒体，高尔顿试验板课堂模式学案导学一、创设情境学生上台演示高尔顿板试验．模拟高尔顿板试验截图师生活动：创设情境，为导入新知做准备．学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考．学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的．【设计意图】让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣．让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程．二、探究新知1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律．⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图（如图1）．师生活动：引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，易得：长方形面积代表相应区间内数据的频率．【设计意图】通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．⑶随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线（如图2）．从描述曲线形状的角度自然引入了正态密度函数的表达式：()()()222,,,x x e x μσμσϕ--=∈-∞+∞ 师生活动：分析表达式特点：解析式中前有一个系数σπ21，后面是一个以e 为底数的指数形式，幂指数为222)(σμ--x ，解析式中含两个常数π和e ，还含有两个参数μ和σ，分别指总体随机变量的平均数和标准差，可用样本平均数和标准差去估计．【设计意图】该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观，学生更易理解正态曲线的来源．2．继续探究：当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X 表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标．提出问题：图3中阴影部分面积有什么意义？师生活动：引导学生得到：此时小球与底部接触时的坐标X 是一个连续型随机变量．启发学生回忆：频率分布直方图中面积对应频率，不难理解，图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是X 落在区间],(b a 的频率；再结合定积分的意义,阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的积分值，这样，概率与积分间就建立了一个等量关系．【设计意图】这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡．通过设疑，引起学生对问题的深入思考，加深对定积分几何意义的理解．直接问X 落在区间],(b a 上的概率，学生不容易反应过来，改为问面积的意义后，便于学生理解该问题．在前面分析的基础上，引出正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足：()()dx x b X a P ba σμϕ,⎰=≤＜，则称X 的分布为正态分布，常记作()2,σμN ．如果随机变量X 服从正态分布，则记作()2,~σμN X ． 师生活动：教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法．引导学生分析得，X 所落区间的端点能否取值，均不影响X 落在该区间内的概率．【设计意图】以旧引新，虽概念较抽象，但这样处理学生不会觉得太突兀，易于接受新知识．同时培养学生把前后知识联系起来进行思维的习惯．请学生结合高尔顿板试验讨论提出的问题，尝试归纳服从或近似服从正态分布的随机变量所具有的特征：1．小球落下的位置是随机的吗？2．若没有上部的小木块，小球会落在哪里是什么影响了小球落下的位置3．前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗哪个小球对结果的影响大4．你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗？师生活动：学生通过讨论，教师引导学生得出问题的结果：1．它是随机的．2．竖直落下．受众多次碰撞的影响．3．互不相干、不分主次．4．不能，具有偶然性．然后归纳出特征：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布．教师列举实例分析，帮助学生更加透彻的理解．【设计意图】“什么样的随机变量服从（或近似服从）正态分布？”是本节课的难点，采用问题串的方式，将复杂的问题分解成几个容易解决的问题，能有效突破难点．同时采用小组讨论的形式，加强学生的合作意识，同时培养他们的辩证观．通过举例，让学生体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用．教师通过计算机绘出两组图像（动画），让学生观察：第一组：固定σ的值，μ取三个不同的数（如图4）；第二组：固定μ的值，σ取三个不同的数（如图5）；师生活动：学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可得：当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x平移；当μ一定时，σ影响了曲线的形状．即：σ越小，则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；σ越大，则曲线越矮胖，表示总体分布越分散．【设计意图】针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度，并能很好地突出重点．三、理解新知引导学生结合三幅图像（如图6）及高尔顿板试验，根据问题归纳正态曲线的性质：⑴曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交；⑵曲线是单峰的，图像关于直线μ=x 对称；⑶曲线在μ=x 处达峰值σπ21；⑷曲线与x 轴之间的面积为1；⑸若σ固定, 随μ值的变化而沿x 轴平移, 故μ称为位置参数；⑹当μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，故σ称为形状参数.师生活动：引导学生联系三幅图像（如图6），结合高尔顿板试验思考以下问题：⑴曲线在坐标平面的什么位置？曲线为什么与x 轴不相交？⑵曲线有没有对称轴？⑶曲线有没有最高点坐标是⑷曲线与x 轴围成的面积是多少？⑸曲线的位置与参数μ有什么关系？⑹曲线的形状与参数σ有什么关系？【设计意图】该环节借助计算机模拟及高尔顿板试验试验结果呈现了教学中难以呈现的课程内容，能很好地锻炼学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想．四、运用新知例1.下列函数是正态密度函数的是（B ）22()2.(),,(0)xA f xμσμσσ--=>都是实数；22.()2xB f x eπ-=；2(1)4.()xC f x--=；22.()xD f x e=师生活动：学生通过观察解析式的结构特征可知只有B选项符合正态密度函数解析式的特点．例2.标准正态总体的函数为22(),(,).xf x x-=∈-∞+∞⑴证明()f x是偶函数；⑵求()f x的最大值；⑶利用指数函数的性质说明()f x的增减性．师生活动：学生结合函数知识自行解决问题．【设计意图】设计这一题主要为了加强学生对正态密度函数的理解．例3.把一条正态曲线a沿横轴向右平移2个单位,得到一条新的曲线b．下列说法中不正确的是(D)A. 曲线b仍然是正态曲线．B. 曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相同．C. 以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2．D. 以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2．师生活动：学生易分析知：正态曲线a经过平移仍是正态曲线，峰值不变.而曲线的左右平移与μ即均值有关．故D选项的说法不正确．【设计意图】通过该例，深化学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数μ与σ的理解．例4.某校某次数学考试的成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图7：图6⑴写出X 的正态密度函数；⑵若参加考试的共1200人（满分100分），你能估计及格人数吗？师生活动：学生通过观察图像，可知对称轴60=μ，根据峰值可知8=σ，代入正态曲线表达式可得：()()12860,2281--⋅=x e x πϕσμ；第二问根据图像利用对称性知及格人数占总参考人数一半．【设计意图】通过一个贴近生活的实例，让学生体会到数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情．体现了数形结合的思想．练习：⒈判断正误：⑴正态密度曲线)(,x y σμϕ=关于直线0=x 对称． （×）⑵正态总体)43(,N 的标准差为4． （×）⑶正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0． （√）⑷若)3(~2σ,N X ，则=<)3(X P 31． （×） 【设计意图】通过一组判断题，进一步加深学生对正态分布的认识．五、课堂小结1.知识归纳：正态密度曲线→正态分布的意义↓ ↓正态密度曲线特点 正态分布的实例↓参数对正态曲线的影响2.思想方法： 数形结合思想师生活动：教师引导学生从知识内容和思想方法两方面进行课堂小结．最后教师说明:正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中,我们研究它主要还是希望它能服务于我们的生活,那么它在实际中究竟有着怎样的妙用呢?我们下节课继续学习!【设计意图】通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,同时使学生自己内化知识，查漏补缺,使学生在认识上达到一个新的高度．（为了更好地突出本节课重点，同时更好地突破难点，考虑到本节课的课堂容量及学生的认知情况，σ3原则放在了第二课时．）六、布置作业1.（必做题）设随机变量X服从正态分布)9(-XXP,求c<cP)12(,(cN，若=>)1+的值并写出其正态密度函数解析式．2.（必做题）以学习小组（4人）为单位，搜集某项数据资料（如某年级学生的身高、体重等）．仿照课本的方法，研究该数据是否服从（或近似服从）正态分布？如果是，请估计参数μ的值．3.（选做题）在高尔顿板试验中，为什么落在中间球槽的小球最多？七、教后反思1.数学知识间存在着内在的本质联系，本教案的亮点是充分注意了新旧知识间的内在联系，这样有助于学生理解记忆前后所学知识，并将其融会贯通，从而更好地加以运用．2.本节课的弱项是应用课件进展速度太快，学生思维节奏有点赶不上思维进程.八、板书设计。
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60
192
198
204
202
例2：两因素无交互作用
原料 温度 B1
B2
A1 1313 1349
A2 1351 1356
A3 1379 1391
A4 1361 1352
B3 1373 1385 1394 1364
例3：两因素有交互作用
配方Ⅰ
甲
1320 1500
乙
1440 1560
丙
1400 1360
配方Ⅱ 1610 1730 1370 1430 1630 1710
配方Ⅰ 配方Ⅱ 配方Ⅲ
配方Ⅲ 1800 1700 1450 1570 1710 1610
统计过程控 统计抽验
甲
1320 1500
1610 1730
1800 1700
乙
1440 1560
1370 1430
1450 1570
丙
1400 1360
1630 1710
1710 1610
测量分析
改进
否
接受？
是
统计过程控制与能力分析
改进
否
接受？
是
维持统计过程控制
否
持续改进？
是
一、概述
信息质量
持续改进 过程质量
产品质量
事先预防
事后检验
二、正态分布 1、Excel两对正态函数 2、正态分布图形 3、过程变异情况图示 4、过程稳定与不稳定图示 5、重复测量与正态分布
三、方差分析（数据表）
例1：单因素方差风险
时间（分）
硬度
40
181
187
191
185
50
200
190
198
188