浙大版概率论与数理统计答案---第七章

第七章 参数估计

注意： 这是第一稿（存在一些错误）

1、解 由θ

θθμθ

2

),()(0

1===?

d x xf X E ，204103)(2

221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^

=θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，n

n

X D D 5204)2()(2

2

^

θθθ=

?

==。

3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：

3

2

62121^

=-=-

=X θ。 建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L

令014

8))1ln(4ln 8()(ln =--=?-+?=??θ

θθθθθθL ，

得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计：

()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--，

()()()()2

2

2

2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--,

11A =,

23

4

B =

, 故()()()(

)

22

2

??221,3??????????222121.4

θ

λθλθθλλθλθλ?--=??--++-++--=??

解得1?,43?.8λθ?=???

?=??

为所求矩估计。 极大似然估计：

(){}()3

3214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--，

()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，

()(),33

0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=???--???=-=??--?解得3?,81?.4

θλ?=????=??即为所求。

5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p

的矩估计量为

^

p =

=

建立关于p 的似然函数：32

10)1()2

)1(3()()2)1((

)(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =??p p L ，求得到θ的极大似然估计值：n

n n n p 222

10^++= 6、解：(1)()1

1

12

EX x x dx θθθθ+=

+=

+?

， 由?1?2X θθ

+=+得21?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()11

1,01,

,,0,n

n n

i i i i x x L f x θ

θθλθ==?+∏<

其他。

()()()1

ln 1ln ,01,

,ln ,0,n i i n x x l L θθθλθλ=?

++<

∑其他。 令

()1

ln 01n

i i l n

x θθθ=?=+=?+∑得1

?1

ln n

i

i n

x

θ==-

-∑，

所以θ的极大似然估计为1

1ln n

i

i n

x

=-

-∑。

(2)()1

20

,EX xf x dx e θ

θ=

=?

，令?

2e X θ=得?2ln X θ

=为θ的矩估计量。

()()()

()

2

1

ln 21

21

1

,,2n

i i x n

i n n i i

i L f x e

x θ

θλθπθ=-==∑=∏=

∏，

()()()()

2

1

1

ln ,ln ,ln 2ln 22n

i n

i i i x n

l L x θλθλπθθ

====---

∑∑

令()()

2

1

2

ln 022n

i i x l n θθθ

θ=?=-+

=?∑得()2

1

1?ln n i i x n θ==∑为θ的极大似然估计。

(3)()2

2,1

EX xf x dx θ

θθ=

=

+?

， 令?2?1X θθ

=+得?2X X θ=-为θ的矩估计量。 ()()1

11

2,02,

,0,n n n n

i i i i x x L f x θθθθθ--==?∏<

其他。

()()()1

ln ln 21ln ,02,

ln 0,n i i n n x x l L θθθθθ=?

-+-<

()1

ln 2ln 0n

i i l n

n x θθθ=?=-+=?∑得，1?ln 2ln n

i

i n n x θ==-∑为θ的极大似然估计。

(4)()100

100,2

EX xf x dx θ

θθ+=

=

?，令?1002X θ+=得?2100X θ=-为θ的矩估计量。 ()()()

1

1

,100n

i n

i L f x θθθ==∏=

-，因0100θ<<，要使()L θ最大，则θ应取最大。

又θ不能大于{}1min ,,n x x ，故θ的极大似然估计为{}1?

min ,

,n X X θ=

(5)(),0EX xf x dx θ∞

-∞

=

=?

，故0X =。

22var 2X EX θ==，

由()22211

11?2n n i i i i X X X n n θ===-=∑∑和0θ>得

?θ

=为θ的矩估计量。

()()11

1,,,2

0,n

i

i X n

i n n i e

x L f x θ

θθθ=-=?∑??-∞<<∞=∏=????

其他。 则

()()1

1ln 2ln ,,

ln 0,n i i n n x x l L θθθθ=?

----∞<<∞?==???

∑其他。 令

()120n

i

i x l n θθθθ

=?=-+=?∑得11?n i i x n θ==∑为θ的极大似然估计。

7、解 （1）记}4{<=X P p ，由题意有}4{}4{}4{-≤-<=<=X P X P X P p 根据极大似然估计的不变性可得概率}4{<=X P p 的极大似然估计为：

4484.05.0)6

4

()64(

5.0)25

/2444(

)25

/2444(

22^

=-Φ=-Φ-=--Φ--Φ=s s p （2）由题意得：)6

24

(

)25

/244(

}{}{105.012-Φ=-Φ=≤=>-=-A s A A X P A X P ，于是经查表可求得A 的极大似然估计为0588.12^

=A

8、(1)X μ=，()()()22222

111

1112n n n i i i i i i i E X E X EX EX n n n μμμμσ===-=-=-+=∑∑∑

(2)()()()()122

222

1111111221n n n

i i i i i i i i i i i E k X X k E X X k EX EX EX EX n k σ-++++===??-=-=-+=-????

∑∑∑

则

()1

21k n =

-即为所求。

9、解 由题意得μ

μμμ=-=-=∑∑==78)()(8

1

15

9

^

1i i i i X X E E

及μμμμ=-=-=∑∑==2)7141()(8115

9

^

2i i i i X X E E

所以^1μ和^

2μ都是μ的无偏估计量

又：2228

1

15

9

^

178)()(σσσμ=-=-=∑∑==i i i i X X D D

以及22281159^

214

5

497168)7141()(σσσμ=-=-=∑∑==i i i i X X D D

有)()(^2^1μμD D >，说明2^

μ更有效。

10、(1)依题，i X ，j Y 与l Z 相互独立，()222

2123ET aES bES cES a b c σ=++=++

故T 是2

σ的无偏估计的充要条件为1a b c ++=

(2)记n 个样本的方差为2

S ，则()()2

22

11n S n χσ--，()4221

D S n σ=- 故()

2412D S σ=，()

242D S σ=，()2

4

3

23

D S σ=

故222

2

2

22

224

1

2

3

223b c DT a DS b DS c DS a σ??=++=++ ??

?

要使T 为最有效估计，只须使22

2

23

b c a +

+在1a b c ++=的条件下取最小值即可。 令()22

2

123

b c L a a b c λ=++-++- 由20,0,20,3 1.

L

a a L

b b L

c c a b c λλλ??=-=?????=-=?????=

-=????++=?得1,

6

1,31.2a b c ?=???=??

?=??即为所求。

11、解 由题意可以求出：θθ2);()(0

22==?∞

dx x f x X E 。

建立建立关于θ的似然函数：)(

)(212

θ

θ

θi X i

n i e

X L -

=∏=，于是有：

∑∑∑

==-

=--==n

i i i n i X i

n i X

n X e

X L i 12

121

2ln )ln()ln(

)(ln 2θ

θθ

θθ

令

02)(ln 1

2

2

=+-=??∑=n

i i X n

L θθθθ，得到θ的极大似然估计值：n

X

n

i i

21

2^∑==θ。

又：θθθ====∑=2

2)2()2()(211

2

^

X E n X

E E n

i i

，无偏的。 12、()22,0,

,0,

x

x f x θθθ?≤，

()2,3EX xf x dx θ

θ∞

-∞==

?故3?2

X θ=为θ的矩估计量，且为无偏估计。 ()()211

2,0,,0,n n n i

n i i i x x L f x θθθθ==?∏≤

=∏=???

其他。 显然()L θ关于θ单调递减。故θ取最小值时()L θ最大。 又θ不小于{}1max ,

,n X X ，故()

{}21?max ,,n n X X X θ==为θ的极大似然估计。

又()

()21

22,0,,0,

n n n X n x x f x θθθ-?≤

=???其他。，

故()220

2221

n n n

n

n

EX x dx n θ

θθ=

=

+?

即()

22?21

n n

E EX n θθ==+故2?θ为θ的有偏估计。 13、解 4

3);()(0

θ

θθ

==?

dx x xf X E ，于是得θ的矩估计量为：34^X =θ。

建立建立关于θ的似然函数：)3(

)(3

2

1θθi

n i X L =∏=()i X >θ，若使其似然函数最大，

于是可以求出θ的极大似然估计值：),,,max (21^

n X X X =θ。 (2)由)(32211X X T +=

，可计算θ=+=)]()([3

2

)(211X E X E T E 。

设),m ax (21X X Z =，那么

)()(),()),(m ax (}{212121t X P t X P t X t X P t X X P t Z P <<=<<=<=<，

当0

于是

()767)1())(1())(1(0

2

330

θ

θθθθ

=-=???

? ??-=<-=-=?

??∞

∞

dt t dt t Z P dt t F Z E Z 从而：θ===)),(max(67

)),max(67()(21212X X E X X E T E

因此1T 和2T 都是θ的无偏估计量。

又2

221211135415194)]()([94))(32()(θθ=?=+=+=X D X D X X D T D

2

22121236119633649)),(max(3649)),max(67()(θθ=?===X X D X X D T D

由于222136

1

)(1354)(θθ=>=T D T D ，所以2T 比1T 更有效。

14、(1)()()()

1

1

,n

i i X n

i i L f x e

μμμ=-

-=∑=∏=，

()1

()ln n

i i l L X n μμμ===-+∑，

()l μ为μ的单调递增函数，故μ取最大值时()l μ取最大值。

又μ不大于{}1min ,,n X X ，故(){}111?min ,,n X X X μ

==为μ的极大似然估计。

因()()(),1x

t x F x e dt e μμμ

μ----=

=-?

易知()

()()1,,,0,

n x X i ne

x f x μμμ--?≥?=???其他。

所以()()

()1111

?,X i E EX xf x dx n μμμ∞

-∞

===+?，即1?

μ是μ的有偏估计。

*

111??n

μμ

=-是μ的无偏估计。 (2)()

1x EX xe

dx μμμ∞

--=

=+?，则2?1X μ

=-是μ的矩估计量且为无偏估计。 (3)()

()()

()()

12

*

2

11112

11???D D D EX EX n n μ

μμ?

?=-==-=

???

()()()()*211??1D D X D X D n

μ

μ=-==>，故*

1?μ比2?μ更有效。 (4)由切比雪夫不等式知，0ε?>，{

}

()

*

1*

12

2

2

?1?111D P

n μμμεε

ε

-<≥-

=-

→

{}()222

2

?1

?111D P n μ

μ

μεεε

-<≥-=-

→ 故*

1?μ与2?μ

为μ的相合估计。 15、解 由于λλ==?∞

);()(dx x xf X E ，可求出λ的矩估计量为：X =^

λ

又根据λ的似然函数：λ

λλλ/11

);()(∑--===∏=n

i i X n i n i e

X f L ，

令

0)(ln 21

=+-=??∑=λ

λλλn

i i

X n L ，得到λ的极大似然估计量：X =^λ 因此X 既是λ的矩估计量，也是极大似然估计量。

（2）λcn X c E n

i i =?∑=)(1

，以及2

2

1

)(λn c X c D n

i i =?∑=。用∑=?n

i i X c 1

作为λ的估计量，

其均方误差为：

()()12)1(]2[])[()(2

2

2

2

2221

1

+-+=+-=-=∑∑==cn n n c X cn X

n c E X c E X c Mse n

i i n

i i λλλλ

于是，取11

+=n c 时，在均方误差准则下，∑=?n

i i X c 1

比X 更有效。

16、(1)2

223x

EX x

dx θ

θθ=

=

?

，故1

3?2

X θ=为θ的矩估计量，且为无偏估计。 ()2

2

2

2

2

20

22318x

DX EX EX x dx θ

θθθ??=-=-= ????

2199?448D DX DX n n

θθ===

故{}

()2

1

1

2

??1118D P n

θθ

θμεε

-<≥-=-→，故1?θ为θ的相合估计。

(2)()()21

1

2,n

n

n

i i

n

i i L f x x θθθ===∏=

∏

易知()L θ为θ的单调递减函数，故θ取最小值时，()L θ取最大值。 又θ不小于{}1max ,

,n X X ，故()

{}21?max ,,n n X X X θ==为θ的极大似然估计。

()()21

22,0,,0,n n n

X n x x f x θθθ-?≤

=???其他。 故()

22?21

n n

E EX n θθ==+，故2?θ为θ的有偏估计。 ()()()

()

()()

2

2

222

?121n n n n D DX EX EX n n θθ==-=

++

所以{}()()()2

2

2

2

2

2

??111121D n P

n n θθθθεε

ε

-<≥-

=-

→++

故2

?θ为θ的相合估计。 17、解 （1）只对X 做一次观察。由题意得：X 的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为：

2)1()|2(θθθ-==X P ，2)1(),2(θθθ-==X P ，10≤≤θ

从而??=

-====1

2

1

12

1)1(),2()2(θθθθθd d X P X P θ的条件概率密度函数为2)1(12)

2()

,2()2|(θθθθπ-====

=X P X P X ，

于是θ的贝叶斯估计为：5

2

)1(12)2|(1

0221

0^

=-===??θθθθθθπθd d X B

（2）对X 做三次观察。由题意得：321,,X X X 的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为：

103321)1()|5,3,2(θθθ-====X X X P ，

103321321)1()()|5,3,2();5,3,2(θθθπθθ-========X X X P X X X P ，10≤≤θ

从而

4004

1

)1();5,3,2()5,3,2(1

10310

321321??=

-========θθθθθd d X X X P X X X P θ的条件概率密度函数为： 103321321321)1(4004)

5,3,2()

,;5,3,2()5,3,2|(θθθθπ-========

===X X X P X X X P X X X ，

于是θ的贝叶斯估计为：

15

4)1(4004)5,3,2|(1

10410

321^

=

-=====??θθθθθθπθd d X X X B

18、(1)因(){}{}

(1)(1)(1)1nx X F x P X x P X x e μμμ--=-<=<+=-与参数μ无关，故可取

(1)X μ-为关于μ的区间估计问题的枢轴量。

(2)设常数a b <，满足

{}(1)1P a X b μα<-<=-，即{}(1)(1)

1P X b X a μα-<<-=-

此时，区间的平均长度为L b a =-，易知，取1ln 12a n α??=-

- ???，1ln 2

b n α

=-时，区间的长度最短，从而μ的置信水平为1α-的置信区间为

(1)(1)11ln ,ln 122X X n n αα??

??++- ? ????

?。

19、解 由题意得：λ

λ1

);()(0

=

=?∞

dx x xf X E ，由题意得：^λ的矩估计量为：

X

1

^

=λ。 由题意得：()14~227

1

χλ∑=i i X ，设存在两个数a 和b ，使得：

8.0)2(7

1

=<<∑=b X a P i i λ，即8.0)1414(=<

X a P λ，经查表得到

()7895.7149.02==χa ，(

)0641.21142

1.0==χb ，于是λ的置信水平为80%的双侧置信区间为：（???

??X X

50.1,56.0 20、易知μ的置信水平为95%的置信区间为

0.0250.025,X X z ??

??

?

将0.025 1.96z =，10σ=，25n =，140X =代入得

μ的置信水平为95%的置信区间为()136.08,143.92。