逻辑推理讲义

2-1逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科。

学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．“简易逻辑”．学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证知识点1.命题的概念命题的概念：可以判断真假的陈述句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题注意：1.初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的2.要判断句子是否是命题，首先看句子的句型。

一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次看能不能判断其真假，也就是判断是否成立。

3.开语句. 语句中含有变量x 或y ，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)．例如，x<2，5=3，()()=0.4.一个命题，一般可用一个小写字母表示，如：p 、q 、r …… 例 ①11>5 ②3是15的约数 ③0.7是整数 ①②是真命题，③是假命题反例：④3是15的约数吗？ ⑤ x>8 都不是命题，不涉及真假(问题) 无法判断真假“这是一棵大树”； “x ＜2”． 都不能叫命题．由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x 是未知数，也不能判断“x ＜2”是否成立．知识点2.量 词1.全称量词与全称命题2.存在量词与存在性命题 知识点3．基本逻辑联结词逻辑联结词 “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题 知识点4．简单命题与复合命题简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题 其实，有些概念前面已遇到过如：或：不等式 2x 6>0的解集 { x | x<-2或x>3 }且：不等式 2x 6<0的解集 { x | -2< x<3 } 即 { x | x>-2且x<3 } 知识点5 复合命题的构成形式如果用 p, q, r, s ……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种： 即：p 或q 记作 p ∨q p 且q 记作 p ∧q 非p (命题的否定) 记作 ┑p释义：“p 或q ”是指中的任何一个或两者.例如，“∈或∈”，是指x 可能属于A 但不属于B （这里的“但”等价于“且”），x 也可能不属于A 但属于B ，x 还可能既属于A 又属于B （即∈ ）；又如在“p真或q 真”中，可能只有p 真，也可能只有q 真，还可能都为真.“p 且q ”是指中的两者.例如，“∈且∈”，是指x 属于A ，同时x 也属于B （即∈）. “非p ”是指p 的否定，即不是p. 例如，p 是“∈”，则“非p ”表示x 不是集合A 的元素（即x ∈AC U ）.开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)．也可以把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起来，构成复合的开语句(有的逻辑书也称之为复合条件命题)，这里的“或”、“且”、“非”与复合命题中的“或”、“且”、“非”符号与意义相同．在进行命题教学时，要注意命题与开语句的区别，特别在举有关逻辑联结词“或”、“且”、“非”的例子时，容易把两者混淆．知识点6 判断复合命题真假的方法1．“非p”形式的复合命题例(1)如果p表示“2是10的约数”，试判断非p的真假.(2) 如果p表示“3≤2”，那么非p表示什么？并判断其真假.解：(1)中p表示的复合命题为真，而非p“2不是10的约数”为假.(2)中p表示的命题“3≤2”为假，非p表示的命题为“3>2”，其显然为真.小结：非p复合命题判断真假的方法当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真，即“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反，可用下表表示2．“p且q”形式的复合命题例．如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，试写出ｐ且ｑ，ｐ且ｒ的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.解：p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）小结：“p且q”形式的复合命题真假判断当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假3．“p或q例．如果p表示“5是12的约数”q表示“5是15的约数”，r表示“5是8的约数”，写出，p或r，q或s，p或q的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（p为假、q为真）；p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）小结：“p或q”形式的复合命题真假判断当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假. 即“p或q”形式的复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真. 可用下表表示.像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.4．逻辑符号“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.例如，“p或q”可记作“p∨q”；“p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.注意：数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“∈或∈”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即∈∩B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.5．学习逻辑的意义一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，课本中介绍的洗衣机上的“或门电路”和电子保险门上的“与门电路”就是两个在这方面应用的实例.可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的.同学们可以结合日常生活中电器的自动控制功能，再找出一些这样的例子.电路：或门电路（或）与门电路（且）.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作⇒，或者⇐；如果由p推不出q，命题为假，记作.简单地说，“若p则q”为真，记作⇒（或⇐）；“若p则q”为假，记作（或）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等. 说明：⑴“⇒”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“⇒”也可写为“⇐”，有时也用“p→q”.例指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：；q：x22.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由⇒，即⇒22，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由⇒，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；又由⇒，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.知识点8. 充分条件与必要条件如果已知⇒，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.知识点9. 充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若⇒成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）2.利用逆否命题判断：即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.知识点10. 充要条件如果既有⇒，又有⇒，就记作⇔.此时，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p 是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也可以说q是p的充要条件）例如，“0，0”是“x22=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件.说明：⑴符号“⇔”叫做等价符号.“⇔”表示“⇒且⇐”；也表示“p等价于q”. “⇔”有时也用“↔”；⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.；若，但⇐，则说p是q的必要而不充分条件；若，且，则说p是q的既不充分也不必要条件.例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的条件；“x>0 >0”是“<0”的既不充分也不必要的条件.知识点12.充要条件的判断方法四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；⑶确定条件是结论的什么条件.知识点13.怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？答：有两种说法：⑴若⊆，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若，则A是B的充要条件（此时B也是A的充要条件）.在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合.⑵若⇒，说明p的真值集合⊆q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若⇔，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q充要条件（此时q也是p的充要条件）.知识点14.四种命题1.四种命题简介两个命题，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.例(1)同位角相等，两直线平行；(2)两直线平行，同位角相等(3)同位角不相等，两直线不平行；(4)两直线不平行，同位角不相等.比较命题(1)与(3)、(1)与(4)的条件与结论的异同在命题(1)与命题(3)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们称命题(1)与命题(3)互为否命题；在命题(1)与命题(4)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们称命题(1)与命题(4)互为逆否命题；思考：由原命题怎么得到逆命题、否命题、逆否命题？交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题. 2．概括：(1)为原命题 (2)为逆命题 (3)为否命题 (4)为逆否命题反问：若(2)为原命题，则(1)(3)(4)各为哪种命题？ 若(3)为原命题，则(1)(2)(4)各为哪种命题？ 若(4)为原命题，则(1)(2)(3)各为哪种命题？ 强调：“互为”的含义 3．四中命题的形式若p 为原命题条件，q 为原命题结论则：原命题：若 p 则 q 逆命题：若 p 则 q 否命题：若 ⌝p 则 ⌝q 逆否命题：若 ⌝q 则 ⌝p 4．四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互5．四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系： ①原命题为真，它的逆命题不一定为真②原命题为真，它的否命题不一定为真③原命题为真，它的逆否命题一定为真知识点15.反证法反证法：要证明某一结论A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明A 的反面（非A ）是错误的，从而断定A 是正确的证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.1.简单命题、复合命题，真值判定。