2020年高考数学 三角函数选择题专项训练 精品
2020年高考试题：三角函数
D、 3 2
单调递增区间的零点（与 x 的交点）横坐标为 3 2k ， k Z 。 2
题目已知图中单调递增区间的零点横坐标为 4 ( 4 ) 3 2k
9
9 62
4 9
4 3
2k
( 4 3
2k
)
(
9 4
)
3
9 2
k
。
分类讨论：
（1）当 k
0 时：
3 T
2 | |
2 3
；选项中无此答案
t
t
ymin
1 1 1
2 ；两者综合得到：
ymin
。
y sin x 是奇函数 sin(x) sin x 。
3
f (x) sin x 1 f (x) sin(x) 1 sin x 1
sin x
sin( x)
sin x
(sin x 1 ) f (x) f (x) f (x) 是奇函数 f (x) 关于原点对称。 sin x
2
2
3
3
3( 3 sin 1 cos ) 1 3(cos sin sin cos ) 1
2
2
6
6
3 sin( ) 1 sin( ) 1
3
。
6
6 33
训练六：2020 年高考文科数学新课标Ⅲ卷第 12 题：已知函数 f (x) sin x 1 ，则（
）
sin x
A、 f (x) 的最小值为 2
2 (1800 3600 (1 k),3600 3600 (1 k)) 2 为第三、四象限角
sin 2 0 。
训练五：2020 年高考文科数学新课标Ⅲ卷第 5 题：已知 sin sin( ) 1，则 sin( ) （ ）
2020年新高考数学新题型三角函数典型选择试题答案分析与解答(11页)
2020年新高考数学新题型三角函数典型选择试题新题型三角函数试题多项选择题1．（2019春•中山市校级月考）有下列四种变换方式，其中能将正弦曲线sin y x =的图象变为sin(2)4y x π=+的图象的是( ) A ．横坐标变为原来的12，再向左平移4π B ．横坐标变为原来的12，再向左平移8π C ．向左平移4π，再将横坐标变为原来的12 D ．向左平移8π，再将横坐标变为原来的12． 【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，逐一变换即可． 【解答】解：A ．sin y x =横坐标变为原来的12，再向左平移4π，得sin[2()]sin(2)42y x x ππ=+=+，故A 不正确；B ．sin y x =横坐标变为原来的12，再向左平移8π，得sin[2()]sin(2)84y x x ππ=+=+，故B 正确； C ．sin y x =向左平移4π，再将横坐标变为原来的12，得sin(2)4y x π=+，故C 正确； D ．sin y x =向左平移8π，再将横坐标变为原来的12，得sin(2)8y x π=+，故D 不正确． 故选：BC ．2．（2019春•市中区校级月考）在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A ．10b =，45A =︒，70C =︒ B ．45b =，48c =，60B =︒ C ．14a =，16b =，45A =︒D ．7a =，5b =，80A =︒【分析】在ABC ∆中，已知a ，b 和角A 时，A 为锐角，则由正弦定理可得当sin b A a b <<时，三角形有两解，由此逐项判断即可得解．【解答】解：选项B 满足sin60c b c ︒<<，选项C 满足sin45b a b ︒<<，所以B ，C 有两解， 对于选项A ，可求18065B A C =︒--=︒，三角形有一解， 对于选项D ，由sin sin b AB a=g ，且b a <，可得B 为锐角，只有一解，三角形只有一解．3．（2019春•辽宁期中）已知函数1()sin()23f x x π=-，那么下列式子恒成立的是( )A ．(2)(2)f x f x ππ+=-B ．10()()3f x f x π-=C ．5()()6f x f x π-= D ．5()()3f x f x π-=- 【分析】根据三角函数的解析式，逐一判断各个等式是否成立，从而得出结论． 【解答】解：Q 函数1()sin()23f x x π=-，2(2)sin()23x f x ππ∴+=+，42(2)sin()sin()2323x x f x πππ-=-=+，故A 成立．105()sin()sin()sin()33233223x x x f x πππππ∴-=--=--=-，故B 成立．55()sin()sin()()61223122x xf x f x ππππ∴-=--=-≠，故C 不成立． 55()sin()cos ()36232x xf x f x πππ-=--=≠，故D 不成立． 故选：AB ．4．（2019春•薛城区校级月考）已知曲线1:2sin C y x =，2sin()36x y π=+，则下列结论正确的是( )A ．把1C 上所有的点向右平移6π个单位长度，再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到曲线2C B ．把1C 上所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移6π个单位长度得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移2π个单位长度，得到曲线2C【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：已知曲线1:2sin C y x =，2:2sin()36x C y π=+，故把1C 上所有点向左平移6π个单位长度，可得2sin()6y x π=+的图象， 再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线2C ，2sin()36x y π=+的图象，把1C 上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得12sin 3y x =的图象；再把所得图象上所有的点向左平移2π个单位长度，得到曲线2:2sin()36x C y π=+的图象，故D 正确． 故选：BD ．5．（2018秋•沾化区校级月考）已知α是第三象限角，则2α可能是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【分析】因为α是第三象限角，所以3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈，3224k k παπππ∴+<<+，k Z ∈，再讨论k 的奇偶可得．【解答】解：因为α是第三象限角，所以3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 3224k k παπππ∴+<<+，k Z ∈， 当k 为偶数时，2α是第二象限角；当k 为奇数时，2α是第四象限角， 故选：BD ．6．已知()2cos()12f x x πω=+，x R ∈，又1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值是53π，则ω的值为( ) A ．310-B ．53C ．310 D ．53-【分析】根据题意可得12||x x -的最小值即4T 为53π，进而求出T ，则ω可得． 【解答】解：由题可得543T π=，故254||3ππω=，所以310ω=±． 故选：AC ．7．函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期为π，且其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象( ) A ．关于点(6π-，0)中心对称 B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(3π，0)中心对称 D ．关于直线12x π=对称【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求出()f x 的解析式，再根据三角函数图象的对称性，得出结论．【解答】解：Q 函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期为2ππω=，2ω∴=，且其图象向右平移6π个单位后得到的函数为sin(2)3y x πϕ=-+的图象， 再根据所得函数为奇函数，可得3πϕ=，()sin(2)3f x x π∴=+．当6x π=-时，()0f x =，则()f x 的图象关于点(6π-，0)中心对称，故A 成立；当512x π=时，1()2f x =-，不是最值，故函数()f x 的图象不关于直线512x π=对称，故B 不成立； 当3x π=时，()0f x =，故函数()f x 的图象关于点(3π，0)对称，故C 成立； 当12x π=时，()1f x =，是最大值，故函数()f x 的图象不关于直线12x π=对称，故D 成立，故选：ACD ．8．已知函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则函数()sin(2)(f x x ϕ=+ )A ．在区间[,]63ππ上单调递减B ．在区间[,]63ππ上单调递增C ．在区间[,]36ππ-上单调递减D ．在区间5[6π-，2]3π-上单调递增 【分析】根据条件先求出()f x 解析式为()sin(2)6f x x π=-，进而求出单调区间即可．【解答】解：函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后的解析式为2()sin[2()]sin(2)33f x x x ππϕϕ=++=++， 由题得2(0)sin()13f πϕ=+=，解得6πϕ=-，所以()sin(2)6f x x π=-， 令222262k x k πππππ-+-+剟，解得[6x k ππ∈-+，]()3k k Z ππ+∈，即为函数()f x 的单调增区间；令3222262k x k πππππ+-+剟，解得[3x k ππ∈+，5]()6k k Z ππ+∈，即为函数()f x 的单调减区间． 所以当0k =时，[6x π∈-，]3π时单调递增，B 符合； 当1k =-时，52[,]63x ππ∈--时单调递增，D 符合； 故选：BD ．9．若4sin5α=，且α为锐角，则下列选项中正确的有()A．4tan3α=B．3cos5α=C．8cos5Sinαα+=D．1cos5Sinαα-=-【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，即可计算得解．【解答】解：4 sin5α=Q，且α为锐角，3cos5α∴==，故B正确，4sin45tan3cos35ααα∴===，故A正确，4378sin cos5555αα∴+=+=≠，故C错误，4311sin cos5555αα∴-=-=≠-，故D错误．故选：AB．10．已知扇形的周长是6cm，面积是22cm，下列选项正确的有()A．圆的半径为2B．圆的半径为1C．圆心角的弧度数是1D．圆心角的弧度数是2【分析】由题意及弧长的面积公式可得226122r rrαα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，进而得解．【解答】解：设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得226122r rrαα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：14rα=⎧⎨=⎩，或21rα=⎧⎨=⎩，可得圆心角的弧度数是4，或1．故选：ABC．11．在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是()A．2222cosa b c bc A=+-B．sin sina Bb A=C．cos cosa b C c B=+D．cos cos sina Bb A C+=【分析】在A中，由余弦定理可得正确；在B中，由正弦定理可得结论，正确；在C中由余弦定理整理得2222a a =，可得正确；在D 中，由余弦定理可得错误，即可得解．【解答】解：由在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，知： 在A 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，故A 正确； 在B 中，由正弦定理得：sin sin a bA B=， sin sin a B b A ∴=，故B 正确；在C 中，cos cos a b C c B =+Q ，∴由余弦定理得：22222222a b c a c b a b c ab ac+-+-=⨯+⨯， 整理，得2222a a =，故C 正确；在D 中，由余弦定理得222222cos cos sin 22a c b b c a a B b A a b c C ac bc+-+-+=⨯+⨯=≠，故D 错误． 故选：ABC ．12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin (34A B Ck k ==为非零实数），则下列结论正确的是( )A ．当5k =时，ABC ∆是直角三角形B ．当3k =时，ABC ∆是锐角三角形 C ．当2k =时，ABC ∆是钝角三角形D ．当1k =时，ABC ∆是钝角三角形【分析】由题意根据正弦定理，余弦定理逐一判断各个选项即可得解． 【解答】解：对于A ，当5k =时，sin sin sin 534A B C==，根据正弦定理不妨设5a m =，3b m =，4c m =，显然ABC ∆是直角三角形； 对于B ，当3k =时，sin sin sin 334A B C==，根据正弦定理不妨设3a m =，3b m =，4c m =， 显然ABC ∆是等腰三角形，2222222991620a b c m m m m +-=+-=>， 说明C ∠为锐角，故ABC ∆是锐角三角形； 对于C ，当2k =时，sin sin sin 234A B C==，根据正弦定理不妨设2a m =，3b m =，4c m =， 可得2222222491630a b c m m m m +-=+-=-<，说明C ∠为钝角，故ABC ∆是钝角三角形； 对于D ，当1k =时，sin sin sin 134A B C==，根据正弦定理不妨设a m =，3b m =，4c m =， 此时a b c +=，不等构成三角形，故命题错误． 故选：ABC ．13．下列命题中，正确的是( ) A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形【分析】A ．在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；B ．在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误； C ．在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin2sin2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；D ．在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误．【解答】解：对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确；对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>Q ，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =， sin2sin2A B ∴=，A Q ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-， A B ∴=或2A B π+=，ABC ∴∆是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误．对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确． 故选：ABD ．14．下列四个选项正确的有( ) A ．75-︒角是第四象限角 B ．225︒角是第三象限角 C ．475︒角是第二象限角D ．315-︒是第一象限角【分析】直接找出各对应角的终边所在象限得答案． 【解答】解：对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角；对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角； 对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角． 故选：ABCD ．15．下列关于函数tan()3y x π=+的说法正确的是( )A ．在区间5(,)66ππ-上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于(,0)4π成中心对称D ．图象关于直线6x π=成轴对称【分析】利用正切函数的单调性以及周期性对称性判断选项的正误即可． 【解答】解：令232k x k πππππ-<+<+，解得566k x k ππππ-<<+，k Z ∈，显然5(,)66ππ-满足上述关系式，故A 正确；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确； 令32k x ππ+=，解得23k x ππ=-，k Z ∈，任取k 值不能得到4x π=，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数tan()3y x π=+的图象也没有对称轴，故D 错误．故选：AB ．16．将函数()cos(2)3f x x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则下列判断正确的是( ) A ．曲线()y g x =关于直线3x π=对称B ．曲线()y g x =关于点(6π-，0)对称C ．函数()g x 在(0,)3π上单调递增D ．函数()g x 在5(6π，5)3π上单调递减 【分析】利用三角函数的图象变换，结合三角函数的简单性质，判断选项的正误即可．【解答】解：将函数()cos(2)3f x x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==-的图象，令3x π=，求得()1g x =，故曲线()y g x =关于直线3x π=对称，故A 正确；令6x π=-，求得()0g x =，故曲线()y g x =关于点(3π，0)对称，故B 正确； 在(0,)3π上，(33x ππ-∈-，0)，函数()g x 单调递增，故C 正确；在5(6π，5)3π上，(32x ππ-∈，3)2π，函数()g x 没有单调性，故D 错误， 故选：ABC ．17．关于x 的函数()sin()f x x ϕ=+有以下四个选项，错误的有( ): A ．对任意的ϕ，()f x 都是非奇非偶函数 B ．存在ϕ，使()f x 是偶函数 C ．存在ϕ，使()f x 是奇函数 D ．对任意的ϕ，()f x 都不是偶函数． 【分析】利用赋值法判断函数的奇偶性即可．【解答】解：0ϕ=时，()sin f x = x ，是奇函数，A 错误，B 正确；2πϕ=时，()cos f x = x 是偶函数，C 正确，显然D 错误；故选：AD ．18．对于函数()sin f x x x =+，给出下列选项其中不正确的是( ) A ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π对称B ．存在(0,)3πα∈，使()1f α=C ．存在(0,)3πα∈，使函数()f x α+的图象关于y 轴对称D ．存在(0,)3πα∈，使()(3)f x f x αα+=+恒成立【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的对称性，函数的值域对称轴判断选项的正误即可．【解答】解：函数()sin 2sin()3f x x x x π==+，对于A ：函数()2sin()3f x x π=+，当6x π=时，2sin()263ππ+=，不能得到函数()f x 的图象关于点(,0)6π对称．A ∴不对．对于:(0,)3B πα∈，可得2(,)333πππα+∈，()f α∈，不存在()1f α=；B ∴不对．对于C ：函数()f x α+的对称轴方程为：32x k x ππαπ++=+，可得6x k ππα=+-，当0k =，6πα=时，可得图象关于y 轴对称．C ∴对．对于:()(3)D f x f x αα+=+说明2α是函数的周期，函数()f x 的周期为2π，故απ=，∴不存在(0,)3πα∈，使()(3)f x f x αα+=+恒成立，D ∴不对． 故选：ABD ．19．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin cos θθ+不能能取得的值是( ) A ．4.3B ．3.4C ．5.3D ．1.2【分析】由题意利用两角和差的三角公式化简sin cos θθ+，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的范围，从而得出结论．【解答】解：02πθ<<Q ，3(,)444πππθ∴+∈，又sin cos θ+ )4πθθ=+，∴sin()124πθ<+„，1sin ∴< cos θ+ θ„故选：BCD ．20．已知函数2()2sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个选项，正确的有( ) A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 在区间5[,]88ππ上是减函数C ．函数()f x 的图象关于点(,0)8π-对称D ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向右平移8π个单位，再向下平移1个单位得到． 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【解答】解：2()sin 22sin 11sin f x x x =-+-=Q 2cos x + 21)14x x π-+-．对于A ：因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论正确．对于B ：当5[,]88x ππ∈时，32[,]422x πππ+∈，则sin x 在5[,]88ππ上是减函数，结论正确． 对于C ：因为()18f π-=-，得到函数()f x 图象的一个对称中心为(8π-，1)-，结论不正确．对于D ：函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移8π个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．故正确结论有A ，B ，故选：AB ．。
2020高考—三角函数(选择+填空+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文7)．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22.(20全国Ⅰ理9)．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5B ．23C ．13D 53.（20全国Ⅱ理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.（20全国Ⅲ文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12B 3C ．23D 2 5.（20全国Ⅲ文11）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = A 5B ．5C ．5D ．56.（20全国Ⅲ文12）．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 7.（20全国Ⅲ理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238.（20全国Ⅲ理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=A ．–2B ．–1C ．1D ．29.（20新高考Ⅰ10）．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -10.(20天津8)．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③11.(20浙江4)．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是12.(20北京9)．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.(20北京10)．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sintan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 14. （20全国Ⅱ文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 15.（20全国Ⅲ理）16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．16.(20浙江13)．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．17.（20江苏8）．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．18.（20江苏10）．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．19.(20北京14)．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．BC 10．B 11.A 12. C 13. A14.1915．②③ 16.31,53- 17．13 18．524x π=- 19.2π。
2020年高考试题三角函数汇编【题目+答案版】
2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③(5)【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt=2，则ttt2t=______；tan(t−t4)=______．(6)【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是______．(7)【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt中，角A、B、C的对边分别为a、b、t.已知t=3，t=√2，t=45°．(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ttt=−45，求tan∠ttt的值．(8)【2020全国高考I卷(理)第16题】如图，在三棱锥t−ttt的平面展开图中，tt=1，tt=tt=，AB AC，AB AD，ttt=，则ttt=__________．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．(10) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．(11) 【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t (t )=sin tt ，t >0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f 2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x ∈[0,π4]，求g(x)的值域．(12) 【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，t .已知t =2√2，t =5，t =√13． (1)求角C 的大小； (2)求sin A 的值；(3)求sin (2t +t4)的值．(13) 【2020全国高考I 卷（文）第18题】∆ttt 的内角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t ，已知t =150∘．（1）若a =√3c ，b =2√7，求∆ABC 的面积；（2）若sinA +√3sinC =√22，求C ．(14) 【2020全国高考II 卷（理）第16题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(1) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．(15) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．（16）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√3；8(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t．4t【答案】2020年高考各地三角函数真题(1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22解：∵sin (t+t3)=12sin t+√32cos t，∴sin t+sin (t+t3)=32sin t+√32cos t=√3sin (t+t6)=1得sin (t+t6)=√33故选：B．(2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：t=t(t)=ttttt+tttt，则t(−t)=−ttttt−tttt=−t(t)，∴t(t)为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，当t=t时，t=t(t)=ttttt+tttt=−t<0，故排除B，故选：A．先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键，属于基础题．(3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A. −2B. −1C. 1D. 2解：∵2tan t−tan (t+t4)=2tan t−tan t+11−tan t=7，∴2tan t(1−tan t)−(tan t+1)=7−7tan t，整理得(tan t−2)2=0，∴tan t=2，故选D．(4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是()A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；、②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．(5) 【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt =2，则ttt2t =______；tan (t −t4)=______． 【答案】−35 13【解析】解：tttt =2，则ttt2t =cos 2t −sin 2t cos 2t +sin 2t=1−tan 2t 1+tan 2t =1−41+4=−35．tan (t −t4)=tttt −tan t41+ttttttt t4=2−11+2×1=13． 故答案为：−35；13．利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查．(6) 【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是______．解：因为函数t =3ttt (2t +t4)的图象向右平移t6个单位长度可得t (t )=t (t −t6)=3ttt (2t −t 3+t 4)=3ttt (2t −t12)，则t =t (t )的对称轴为2t −t12=t2+tt ，t ∈t ，即t =7t 24+tt2，t ∈t ，当t =0时，t =7t24， 当t =−1时，t =−5t24， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是t =−5t24， 故答案为：t =−5t 24．(7) 【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、t .已知t =3，t =√2，t =45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ttt =−45，求tan ∠ttt 的值．【答案】解：(1)因为t =3，t =√2，t =45°.，由余弦定理可得：t =√t 2+t 2−2tttttt =√9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得t tttt =ttttt ，所以tttt =t t⋅ttt45°=√2√5⋅√22=√55，所以tttt =√55；(2)因为cos ∠ttt =−45，所以sin ∠ttt =√1−cos 2∠ttt =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得tttt =√1−sin 2t =2√55，所以在三角形ADC 中，sin ∠ttt =sin (∠ttt +∠t )=sin ∠tttttt ∠t +cos ∠tttttt ∠t =2√525，因为∠ttt ∈(0,t2)，所以cos ∠ttt =√1−sin 2∠ttt =11√525，所以tan ∠ttt =sin ∠ttt cos ∠ttt=211．(8) 【2020全国高考I 卷(理)第16题】如图，在三棱锥t −ttt 的平面展开图中，tt =1，tt =tt =，AB AC ，ABAD ，ttt =，则ttt =__________．解：由已知得tt =√2tt =√6， ∵t 、E 、F 重合于一点，∴tt =tt =√3，tt =tt =√6， ∴ △ttt 中，由余弦定理得，∴tt =tt =1， ∴在△ttt 中，由余弦定理得．故答案为．(9) 【2020全国高考天津卷第15题】如图，在四边形ABCD 中，∠t =60°，tt =3，tt =6，且tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，tt⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数t 的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅tt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． (10) 【答案】16 132(11) 【解析】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6， ∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ， 设D(x 0,3√32)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．(12) 【2020全国高考（浙江卷）第18题】在锐角△ttt 中，角t ,t ,t 的对边分别为t ,t ,t .已知2t sin t −√3t =0． (1)求角B ；(2)求cos t +cos t +cos t 的取值范围．【答案】解：(1)∵2t sin t =√3t ， ∴2sin t sin t =√3sin t ， ∵sin t ≠0， ∴sin t =√32， ，∴t =t3，(2)∵△ttt 为锐角三角形，t =t3， ∴t =2t3−t ，，△ttt 为锐角三角形，，，解得， ，，∴cos t+cos t+cos t的取值范围为(√3+12,32 ]．【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．(1)根据正弦定理可得sin t=√32，结合角的范围，即可求出，(2)根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．(13)【2020全国高考（上海卷）第18题】已知函数t(t)=sin tt，t>0．(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求f(x)=12的解集；(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+√3f(−x)f(π2−x)，x∈[0,π4]，求g(x)的值域．【答案】解：(1)由于t(t)的周期是4t，所以t=2t4t =12，所以t(t)=sin12t．令sin12t=12，故12t=2tt+t6或2tt+5t6，整理得t=4tt+t3或t=4tt+5t3．故解集为{t|t=4tt+t3或t=4tt+5t3，t∈t}．(2)由于t=1，所以t(t)=sin t．所以t(t)=sin2t+√3sin(−t)sin(t2−t)=1−cos2t2−√32sin2t=−√32sin2t−12cos2t+12=12−sin(2t+t6)．由于t∈[0,t4]，所以t6≤2t+t6≤2t3．故−1≤−sin(2t+t6)≤−12，故−12≤t(t)≤0．所以函数t(t)的值域为[−12,0]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【2020全国高考（天津卷）第16题】在△ttt中，角A，B，C所对的边分别为a，b，t.已知t=2√2，t=5，t=√13．(1)求角C的大小；(2)求sin A的值；(3)求sin(2t+t4)的值．【答案】解：(1)由余弦定理以及a=2√2，b=5，c=√13，则cosC=a2+b2−c22ab =2×22×5=√22，∵C∈(0,π)，∴C=π4；(2)由正弦定理，以及C=π4，a=2√2，c=√13，可得sinA= asinCc=2√2×√22√13=2√1313；(3)由a<c，及sinA=2√1313，可得cosA=√1−sin2A=3√1313，则sin2A=2sinAcosA=2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A=2cos2A−1=513，∴sin(2A+π4)=√22(sin2A+cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(1)根据余弦定理即可求出C的大小；(2)根据正弦定理即可求出sin A的值；(3)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．(14)【2020全国高考I卷（文）第18题】∆ttt的内角t,t,t的对边分别为t,t,t，已知t=150∘．（1）若a=√3c，b=2√7，求∆ABC的面积；（2）若sinA+√3sinC=√22，求C．【答案】解：(1)由余弦定理得t2=t2+t2−2tt cos t，即28=3t2+t2−2√3t2cos150∘，解得t=4，所以t=4√3，所以t△ttt=12tt sin t=12×4√3×4×12=4√3．(2)因为t=180∘−t−t=30∘−t，所以sin t+√3sin t=sin(30∘−t)+√3sin t=12cos t+√32sin t=sin(30∘+t)=√22，因为t>0°，t>0°，所以0°<t<30°，所以30°<30°+t<60°，所以30°+t=45°，所以t=15°．【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可．(15) 【2020全国高考II 卷（理）第17题】∆ttt 中，sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ．(2) 求A ；(2) 若BC =3，求∆ABC 周长的最大值．【答案】解：(1)在▵ttt 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2t −sin 2t −sin 2t =sin t sin t ，由正弦定理得，t 2−t 2−t 2=tt ，即t 2+t 2−t 2=−tt ， 由余弦定理得，cos t =t2+t 2−t 22tt =−12，因为0<t <t ，所以t =2t 3． (2)由(1)知，t =2t3，因为tt =3，即t =3，由余弦定理得，t 2=t 2+t 2−2tt cos t ，所以9=t 2+t 2+tt =(t +t )2−tt ， 由基本不等式可得tt ≤(t +t )24，所以9=(t +t )2−tt ≥34(t +t )2,所以t +t ≤2√3(当且仅当t =t =√3时取得等号)， 所以▵ttt 周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题． (1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．(16) 【2020全国高考II 卷（文）第17题】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2(π2+A)+cosA =54．(1)求A ；(2)若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】【解答】解：(1)∵cos2(t2+t)+cos t=54，化简得cos2t−cos t+14=0，解得cos t=12，∵t是tttt的内角，故t=t3．(2)证明：∵t−t=√33t，t=t3，由正弦定理可得sin t−sin t=√33sin t=12，又t=t−t−t=2t3−t，∴sin(2t3−t)−sin t=12，化简可得√32cos t−12sin t=12，即可得cos(t+t6)=12，又t∈(0,2t3)，得t+t6∈(t6,5t6)，故可得t+t6=t3，即t=t6，故t+t=t3+t6=t2，∴tttt是直角三角形．【解析】本题考查了正弦定理的应用以及两角和差的正余弦公式的应用，考查了诱导公式和辅助角公式，属于中档题．(1)利用诱导公式和同角的三角函数关系对已知式进行化简，得到cos t=12，再结合A为三角形的一内角，即可求出角A；(2)利用正弦定理把t−t=√33t中的边化成角，得到sin t−sin t=√33sin t=12，再结合t+t=2t3，对式子进行化简，最后结合辅助角公式以及角C的范围，求出角C，即可证得三角形为直角三角形．（17）【2020全国高考II卷理科21题】已知函数t(t)=sin2t sin2t．(1)讨论t(t)在区间(0,t)的单调性；(2)证明：|t(t)|≤3√38；(3)设t∈N∗，证明：sin2t sin22t sin24t⋯sin22t t≤3t4t．【答案】解：(1)t(t)=sin2t⋅sin2t=2sin2t⋅sin t⋅cos t =2sin3t⋅cos tt′(t)=2[sin2t(3cos2t−sin2t)]=2sin2t⋅(√3cos t+sin t)⋅(√3cos t−sin t)=−8sin2t⋅sin(t+t3)⋅sin(t−t3)所以对于f’(t)有：当t∈(0,t3)时，t′(t)>0；当t∈[t3,23t]时，t′(t)≤0；当t∈(2t3,t)时t′(t)>0。
2020高考—三角函数(选择+填空+答案)
2020年高考——三角函数1.(20全国Ⅰ文7)．设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π22.(20全国Ⅰ理9)．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5B ．23C ．13D 53.（20全国Ⅱ理2）．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<04.（20全国Ⅲ文5）．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12B 3C ．23D 2 5.（20全国Ⅲ文11）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B = A 5B ．5C ．5D ．56.（20全国Ⅲ文12）．已知函数f (x )=sin x +1sin x，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线x =π对称D ．f (x )的图像关于直线2x π=对称 7.（20全国Ⅲ理7）．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238.（20全国Ⅲ理9）．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=A ．–2B ．–1C ．1D ．29.（20新高考Ⅰ10）．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -10.(20天津8)．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③11.(20浙江4)．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是12.(20北京9)．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13.(20北京10)．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sintan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 14. （20全国Ⅱ文13）．若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 15.（20全国Ⅲ理）16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．16.(20浙江13)．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．17.（20江苏8）．已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．18.（20江苏10）．将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．19.(20北京14)．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________． 参考答案：1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．D 9．BC 10．B 11.A 12. C 13. A14.1915．②③ 16.31,53- 17．13 18．524x π=- 19.2π。
2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练含答案解析
2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1 （1）点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为________． 【答案】（1）A （2）－34【解析】(1)设Q 点的坐标为(x ，y)， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 题型二 三角函数的图象及应用例1已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭：，则下面结正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】（1） 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 【易错点】函数图像水平方向平移容易出错 【思维点拨】平移变换理论 (1)平移变换:①沿x 轴平移,按“左加右减”法则; ②沿y 轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换:①沿x 轴伸缩时,横坐标x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标y 不变); ②沿y 轴伸缩时,纵坐标y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A 倍(横坐标x 不变). 2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.例2函数sin 21cos xy x=-的部分图像大致为（ ）.【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当x =π时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 21cos 2y =>-，排除A.故选C.【易错点】函数图形判断通过过排除法 【思维点拨】例3函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3【答案】A【解析】 (1)因为T 2＝11π12－5π12，所以T ＝π.又T ＝2πω(ω>0)，所以2πω＝π，所以ω＝2.又2×5π12＋φ＝π2＋2kπ(k ∈Z )，且－π2<φ<π2，故φ＝－π3.【易错点】求φ时，容易忽略讨论k 【思维点拨】题型三 三角函数性质例1 （1）已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<|φ|<π2)为奇函数，且函数y ＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求f(π6)的值；(2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．【答案】（1）f(π6)＝2sin π3＝3（2）[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z )．【解析】（1）f(x)＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ) ＝2[12sin(ωx ＋φ)＋32cos(ωx ＋φ)]＝2sin(ωx ＋φ＋π3)．因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin(φ＋π3)＝0，又0<|φ|<π2，可得φ＝－π3，所以f(x)＝2sin ωx ，由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f(x)＝2sin 2x. 因此f(π6)＝2sin π3＝ 3.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f(x －π6)的图象，所以g(x)＝f(x －π6)＝2sin[2(x －π6)]＝2sin(2x －π3)．当2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π2(k ∈Z )，即kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k ∈Z )时，g(x)单调递增，因此g(x)的单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12](k ∈Z )．【易错点】 【思维点拨】题型四三角函数范围问题例1函数()23sin 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ． 【答案】1【解析】()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令cos x t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，则当t =时，()f x 取最大值1． 【易错点】换元之后转化为二次函数在定区间上的定义域及最值 【思维点拨】 例2函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 .【解析】2()21f x +=【易错点】【思维点拨】辅助角公式运用 例3【2017年Ⅲ】函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ）. A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A 【解析】11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 6sin 53x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选A. 【易错点】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！【思维点拨】题型五三角函数求值问题 例1已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .【解析】由tan 2sin 2cos ααα==得 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=.因为0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5α=，sin 5α=.因为cos cos cos sin sin 44αααππ⎛⎫-=π+ ⎪⎝⎭，所以cos 4525210πα⎛⎫-=+⨯= ⎪⎝⎭. 【易错点】【思维点拨】例2（1）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（2）sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．-B C ．12- D ．12【答案】（1）A （2）12【解析】（1）由sin 3tan cos 4ααα==，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4cos 5α=或3sin 5α=-， 4cos 5α=-，所以24sin 22sin cos 25ααα==，则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=，故选A（2）原式=1sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302+=+==【易错点】 【思维点拨】例3已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32,（2）f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减【解析】 (1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos xsin x －32(1＋cos 2x)＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x≤5π12时， f(x)单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x≤2π3时， f(x)单调递减．综上可知，f(x)在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 【易错点】【思维点拨】解答技巧，方法策略等 题型六 简单的三角恒等变换 例1(2018·新疆第二次适应性检测)cos10(13tan 30)cos50︒+︒︒的值是________．【答案】2【解析】依题意得cos 10°1＋3tan 10°cos 50°＝cos 10°＋3sin 10°cos 50°＝2sin 10°＋30°cos 50°＝2sin 40°sin 40°＝2.【易错点】【思维点拨】解答技巧，方法策略等 例2已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．【答案】（1）-3（2）1【解析】(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.【易错点】 【思维点拨】解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 例3若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4【答案】A【解析】选A ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π. ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2且cos 2α＝－255，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4. 【易错点】 【思维点拨】对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦函数较好．【巩固训练】题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,P y 是角θ终边上一点，且sin θ=则y = . 【答案】-8.【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tanθ1＋tanθ＝12，得tanθ＝13，∴sinθcosθ＝sinθcosθsin 2θ＋cos 2θ＝tanθtan 2θ＋1＝1319＋1＝310.故填310. 2. (1)已知tan α＝2，求值： ①2sin α－3cos α4sin α－9cos α；②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝13，求sin θ－cos θ的值．【答案】(1)①-1②1(2)173【解析】(1)①2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.②4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)∵sin θ＋cos θ＝13，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝19，∴sin θcos θ＝－49.∵θ∈(0，π)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，θ， ∴sin θ>0>cos θ，sin θ－cos θ>0.由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋89＝179，得sin θ－cos θ＝173.3.若cos(π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A ．－53B ．－23C ．－13D ．±23【答案】B【解析】cos (π－α)＝－cos α＝53，∴cos α＝－53. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－532＝23， ∴sin (π＋α)＝－sin α＝－23，故选B ．题型二 三角函数图像1.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( A ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移 π12个单位 D ．向左平移π4个单位【答案】A【解析】因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象. 2.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f(x 1)＝f(x 2)，则f(x 1＋x 2)＝( )A ．1B ．12C ．22D ．32【答案】D【解析】 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x ＋φ). 将⎝⎛⎭⎫－π6，0代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0. 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f(x 1)＝f(x 2)，∴x 1＋x 22＝π12， ∴x 1＋x 2＝π6，∴f(x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32，故选D ． 3.已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性. 【答案】(1) ω＝1(2) f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减.【解析】 (1)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1． (2)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 若0≤x≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x≤π2时，f(x)单调递减. 综上可知，f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减. 题型三 三角函数性质1. 已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,2]【答案】A【解析】由π2<x<π，ω>0得，ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4.又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A ．2.设函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减 【答案】D【解析】根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数一个周期为－2π，A 项正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 项正确；f(x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f(x ＋π)＝0，所以C 项正确；函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 项不正确，故选D ．3.已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin xcos x ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4对称C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数①的图象【答案】C【解析】函数①y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，②y ＝22·sin xcos x ＝2sin 2x ，由于①的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称，②的图象不关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称，故A 项不正确；由于函数①的图象不可能关于直线x ＝－π4对称，故B 项不正确；由于这两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数，故C 项正确；将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，而y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，故D 项不正确，故选C ．题型四三角函数范围问题1.已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .【答案】3√32【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x -2.令f'(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=π3或x=5π3或x=π.因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0时取到,且f (π3)=3√32,f (5π3)=-3√32,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-3√32.2.已知y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，求y 的最大值与最小值之和． 【答案】238【解析】 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x) ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故函数的最大值与最小值的和为2＋78＝238.3.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称. (1)求ω，φ的值； (2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π2，求f(x)的最大值与最小值， 【答案】(1)ω＝23.(2) ⎣⎡⎦⎤3kπ－3π2，3kπ，k ∈Z (3) 函数f(x)的最大值为1，最小值为0. 【解析】(1)因为f(x)＝sin(ωx ＋φ)是R 上的偶函数，所以φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π2，即f(x)＝cos ωx.因为图象关于点M ⎝⎛⎭⎫34π，0对称， 所以ω×34π＝π2＋mπ，m ∈Z ，ω＝23＋4m3，又0<ω<1，所以ω＝23.(2)由(1)得f(x)＝cos 23x ，由－π＋2kπ≤23x≤2kπ，且 k ∈Z 得，3kπ－3π2≤x≤3kπ，k ∈Z ，所以函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤3kπ－3π2，3kπ，k ∈Z . (3)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π2，所以23x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3， 当23x ＝0时，即x ＝0，函数f(x)的最大值为1， 当23x ＝－π2时，即x ＝－3π4，函数f(x)的最小值为0.题型五三角函数求值问题 1.设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A ．3π4B ．5π4C ．7π4D ．5π4或7π4【答案】 C【解析】∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4. 2.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值. 【答案】（1）f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－2π3，2kπ＋π3(k ∈Z )（2） 【解析】 (1)f(x)＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6，（2）43－310由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1，因此2π3ω＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z )，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z )，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.由2kπ－π2≤x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z )，得2kπ－2π3≤x≤2kπ＋π3(k ∈Z )， 所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2kπ－2π3，2kπ＋π3(k ∈Z ). (2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x 2， 由g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65，得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.3.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值. 【答案】－3＋23 【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－33－⎝⎛⎭⎫1－13＝－3＋23. 题型六 简单的三角恒等变换1.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α，则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．0【答案】选D【解析】 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝⎛⎭⎫12－32sin α＝－⎝⎛⎭⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.2.计算cos 10°－3cos －100°r(1－sin 10°)＝________(用数字作答)．【答案】2【解析】cos 10°－3cos －100°r(1－sin 10°)＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2sin 40°＝2sin10°＋30°r(2sin 40°)＝2.3.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.【答案】π3【解析】由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.。
三角函数的图象与性质 高考数学真题分类题库2020解析版 考点14
考点14三角函数的图象与性质一、选择题1..(2020·全国卷Ⅲ文科·T12)已知函数f(x)=sin x+1sin,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=π2对称【命题意图】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性,考查基本分析判断能力.【解析】选D.因为sin x可以为负,所以A错;因为sin x≠0,所以x≠kπ(k∈Z),因为f(-x)=-sin x-1sin=-f(x),所以f(x)关于原点对称;故B错;因为f(2π-x)=-sin x-1sin≠f(x),故C错,f(π-x)=sin x+1sin=f(x),所以f(x)关于直线x=π2对称,D对.2.(2020·浙江高考·T4)函数y=x cos x+sin x在区间[-π,π]的图像大致为()【命题意图】本题主要考查函数的图像与函数的奇偶性等基础知识,考查识图的能力,体现逻辑推理与直观想象等核心素养.【解析】选A.-x cos(-x)+sin(-x)=-x cos x-sin x,故y=x cos x+sin x为奇函数,排除C,D选项,当x=π时,y=-π,故选A.二、填空题3.(2020·全国卷Ⅲ理科·T16)关于函数f(x)=sin x+1sin有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=π2对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.【命题意图】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解,考查推理能力与计算能力.【解析】对于①,由sin x≠0可得函数的定义域为≠χ,∈Z,故定义域关于原点对称,由f(-x)=sin(-x)+1sin(-)=-sin x-1sin=-f(x),所以函数为奇函数,图像关于原点对称,①错②对.对于③,由于f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-)=sin x+1sin=f(x),所以f(x)关于x=π2对称,③对.对于④,令t=sin x,t∈[-1,0)∪(0,1],由对勾函数g(t)=t+1的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错.答案:②③。
2020高考数学(理数)题海集训18三角函数图象性质(30题含答案)
得 f(x) 的单调递增区间为
5π kπ－ ， kπ＋
π
12
12
(k
∈ Z) ，故选
B.
15. 答案为： C;
【解析】由
，当
时，
，
因为
，所以当
时，正数 取得最小值 ，故选 C
16. 答案为： C;
∵ f(x)=(1-2cos
2x)sin
3π ＋ θ - 2sin x · cos xcos
π －θ
2
2
13. 下列叙述：
①作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与
x 轴的单位长度必须一致；
②y= sin x ，x∈[0 ， 2π] 的图象关于点 P( π， 0) 对称；
③y= cos x ，x∈[0 ， 2π] 的图象关于直线 x=π 成轴对称图形；
④正、余弦函数 y=sin x 和 y=cos x 的图象不超出直线 y= － 1 与 y=1 所夹的区域 .
其中正确的个数为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
14. 答案为： B；
2 因为 sin φ －cos φ = 2 ，所以
2sin
π φ－ 4
=
2 ?
2
φ
－
π 4
π =
6
?
5π φ = 12 .
因为 f(x)=sin
2(x ＋ φ )= 1－ cos
2x＋ 2φ 2
5π
1－ cos 2x＋ 6
=
2
，
5π 所以由 2x＋ 6 ∈ [2k π， 2k π ＋ π](k ∈ Z)
2x)sin
3π 2 ＋θ -2sin xcos xcos(
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2020年高考数学三角函数选择题专项训练1．已知︱coos θ︱＝coos θ，︱tan θ︱＝tan θ，则2θ在 （ ） （A ）第二、四象限 （B ）第一、三象限（C ）第一、四象限或终边在x 轴上 （D ）第二、四象限或终边在x 轴上 2.设βα,都是第二象限的角，若βαsin sin >，则（ ） （A ）βαtan tan > （B ）βαcot cot < （C ）βαcos cos > （D ）βαsec sec > 3．函数x x y sin -=在[]ππ,2上的最大值是（ ）（A ）π （B ）12-π（C ）123+π （D ）2223-π4．设32πα=，则=-+-)tan()sin(1252πααπ（ ）（A ）222- （B ）222+ （C ）232+ （D ）232- 5．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则=+--ααααcos cos 1sin 1sin 22（ ）（A ）2 （B ）－2（C ）1 （D ）06．设α是第二象限的角，则1csc sec sin 2-••ααα化简结果是（ ） （A ）1 （B ）α2tan（C ）α2cot （D ）－17．集合M ＝｛α︱22sin <α｝，N ＝｛β︱22cos >β｝，则M 、N 的关系是（ ）（A ）M ＝N （B ）MN （C ）N M ⊆ （D ）N M8．已知57cos sin =+θθ，且,1tan >θ则θcos ＝（ ）（A ）53 （B ）54（C ）53± （D ）54±9．函数)2sin(25π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ）（A ）2π-=x （B ）4π-=x（C ）8π=x （D ）45π=x10．给出下面四个函数，其中既是区间（0，)2π上的增函数又是以π为周期的偶函数的函数是（ ）（A ）x y 2tan = （B ）x y sin =（C ）y ＝cos2x （D ）x y cos =11．函数x x x f sin cos )(2+=在[]4352,ππ∈x 上的最大值是（ ）（A ）45 （B ）221+（C ）221+- （D ）112．函数)2sin(4x y -=π的单调递增区间是（ ）（A ）[])(,838Z k k k ∈+-ππππ （B ）[])(2,28783Z k k k ∈++ππππ （C ）[])(,8783Z k k k ∈++ππππ （D ）[])(2,2838Z k k k ∈+-ππππ13．把函数),0()sin(πϕωϕω<>+=K x y 的图象向左平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是x y sin =，则（ ）（A ）6,2πϕω== （B ）3,2πϕω-==（C ）621,πϕω== （D ）1221,πϕω-==14．在△ABC 中，三边a 、b 、c 与面积S 的关系是S ＝)(22241c b a -+，则角C 应为（ ）（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）90015．若()πθ2,0∈，且,tan cot cos sin θθθθ<<<则θ的取值范围是（ ）（A ）()24,ππ （B ）()ππ,43（C ）()2345,ππ （D ）()ππ2,47 16．函数)sin()sin(44x x y -++=ππ是（ ）（A ）奇函数且最大值是2 （B ）偶函数且最大值是2 （C ）奇函数且最大值是2 （D ）偶函数且最大值是2 17．若1)cos()cos()cos(=---A C C B B A 则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形（C ）等边三角形 （D ）顶角为1200的等腰三角形18．若3πβα=-，则βαsin sin •的最大值是（ ）（A ）41 （B ）43（C ）21 （D ）2319．函数)cos()sin()(44x x x f -+=ππω的最小正周期为π，则正实数ω的值是（ ） （A ）41 （B ）21（C ）1或3 （D ）2 20．函数xx xx y 2sin 2cos 2sin 2cos -+=的最小正周期为（ ）（A ）4π （B ）2π （C ）π （D ）2π21．若0cos cos cos sin sin sin =++=++γβαγβα，（ ）（A ）21 （B ）－21（C ）－1 （D ）122．已知,cos 1sin 2x x +=则2tan x的值为（ ） （A ）21 （B ）21或不存在（C ）2或21 （D ）不存在 23．若,02παβ<<<且,)sin(,)cos(13554=-=+βαβα那么=α2cos （ ）（A ）6563 （B ）－6563（C ）6533 （D ）6556或－651624．设,cos ,325m =<<θπθπ则2sin θ＝（ ）（A ）－21m+ （B ）－21m -（C ）21m + （D ）21m -25．设,,214cos 22,13cos 13sin 260200=-=+=c b a 则a 、b 、c 的大小关系是（ ） （A ）b c a >> （B ）a b c >>（C ）a c b >> （D ）b a c >>26．设,2sin ,sin 53o <=θθ则=2tan θ（ ） （A ）－21 （B ）21（C ）31 （D ）327．若函数x a x x f 2cos 2sin )(+=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值等于（ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 28．函数xxy cos 2sin 3-=的值域为（ ）（A ）[]1,1- （B ）[]3,3-（C ）[]1,3- （D ）[]3,1-29．已知6πβα=+，则α、β满足关系式0tan 3tan 2)tan (tan 3=+++βαβαa 则=αtan （ ） （A ）)1(33a - （B ）)1(33a +（C ）)1(3a - （D ）)1(3a +30．使函数)2cos(3)2sin(ϕϕ+++=x x y 为奇函数，且在[]4,0π上是减函数的ϕ的一个值是（ ）（A ）3π （B ）35π（C ）32π （D ）34π31．已知,tan a x =则=++xx xx 3cos cos 33sin sin 3（ ）（A ）)3(221+a a （B ）)32(21+a a （C ）)3(22+a a （D ）)3(22-a a32．已知,sin sin ,cos cos 3121-=-=-βαβα则=+)sin(βα（ ）（A ）135 （B ）135- （C ）1312 （D ）1312-33．已知,1cos sin 44=+αα那么=+ααcos sin （ ） （A ）21 （B ）21±（C ）1 （D ）1± 34．ab=θtan （)0≠a 是使a b a =+θθ2sin 2cos 成立的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 35．=++00020250cos 20sin 50cos 20sin （ ）（A ）21 （B ）－21（C ）43 （D ）－4336．△ABC 中，B ＝600，则C A cos cos 的取值范围是（ ）（A ）[]41,0 （B ）(]4121,-（C ）[)2141, （D ）[)0,41-37．=-+000063cos 24cos 84cos 2263sin （ ） （A ）22（B ）－22（C ）21 （D ）－2138．若,32π=+y x 则y x 22cos cos +的最大值为（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）23 （D ）2339．若16960cos sin =A A )(24ππ<<A ，则=A tan （ ）（A ）125或512 （B ）34（C ）125 （D ）51240．已知1312)cos(=-A π，A 是第二象限的角，则=-)cot(23Ax （ ） （A ）51 （B ）－51（C ）－5 （D ）541．已知231cos sin -=+x x )0(π<<x ，那么=x 2cos （ ）（A ）21 或－21 （B ）21（C ）－21 （D ）2342．已知α、β都是锐角，且⎩⎨⎧=-=+)2(02sin 22sin 3)1(1sin 2sin 322K K βαβα那么α、β之间的关系是（ ）（A ）4πβα=+ （B ）4πβα=-（C ）42πβα=+ （D ）22πβα=+43． =+--081tan 63tan 27tan 9tan （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）1 （D ）344．已知,cot 2cot cot βγα=+那么)cos(2)cos()cos(βαγαγβγβα-+--++-+＝（ ）（A ）21 （B ）31（C ）－31 （D ）045．如果△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么C A 22cos cos +的最小值等于（ ）（A ）21 （B ）23（C ）43（D ）222+46．化简=-++x x x x x cos 3cos cos 5sin sin 242434（ ） （A ）)sin 1(22x + （B ）)cos 1(22x +（C ）x 2sin 2 （D ）x 2cos 247．化简θθθθθθθθcos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++++-+得（ ）（A ）θcsc 2 （B ）θsec 2 （C ）θsin 2 （D ）θcos 248．αsin 和αcos 是方程012682=+++m mx x 的两个实根，则m 的值等于（ ） （A ）2 （B ）2或910-（C ）910- （D ）－2或910-49．767472cos cos cos πππ ＝（ ）（A ）21 （B ）41（C ）81 （D ）16150．,)sin(1354=-x π且40π<<x ，则=+)cos(2cos 4x xπ（ ） （A ）2413 （B ）1312（C ）1324 （D ）121351．如果,cos cos ,sin sin 2131=+-=+y x y x 那么)sin(y x +的值等于（ ）（A ）1312- （B ）1512-（C ）1312 （D ）151252．=++00020215cos 105cos 15cos 105cos （ ）（A ）41 （B ）43（C ）45 （D ）4653．已知,)cos(,)sin(,131253432=--=+<<<βαβααβππ那么=α2sin （ ） （A ）6556-或6516-（B ）6516（C ）6516-（D ）6556-54．设,cos sin 2,cos sin 22θθθθ++=--=y x 那么x 、y 的大小关系是（ ）（A ）y x ≤ （B ）y x < （C ）y x ≥ （D ）y x >55．欲使31sin =x ω在[]1,0上的实数根不小于100个，那么正实数ω的最小值是（ ）（A ）100π （B ）200π （C ）50π (D)99π56.已知函数y =2sin wx 的图象与直线y +2=0的相邻两个公共点之间的距离为32π,则w 的值为A.3B.23 C.32 D.31答案:DCACD DDAAB BCBBC BCBCD BBCAC DDADC ACDAC BACDD BDBDA BACCC ABDAD A。